Sistemi nelinearnih jednačina - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Sabiranjem dveju jednačina dobijamo
[tex]x^2+2xy+y^2=15+10\iff (x+y)^2=25[/tex]
Sistem zaista ima rešenja: može se zapisati kao [tex]x(x+y)=15,\ y(x+y)=10[/tex]; za [tex]x+y=5[/tex] dobijamo [tex](3; 2)[/tex], a za [tex]x+y=-5[/tex] dobijamo [tex](-3; -2)[/tex]. Za oba rešenja važi [tex](x+y)^2=25[/tex].

Rešenje:
Neka su stranice pravougaonika [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] (u metrima), [tex]a\gt 0,\ b\gt 0[/tex]. Kvadrati imaju površine [tex]a^2[/tex], [tex]b^2[/tex] i obime [tex]4a[/tex], [tex]4b[/tex], pa je
[tex]a^2+b^2=116,\quad 4a+4b=56\Rightarrow a+b=14[/tex]
Pošto je [tex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab[/tex], dobijamo
[tex]196=116+2ab\Rightarrow ab=40[/tex]
Takav pravougaonik postoji: [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] su koreni jednačine [tex]t^2-14t+40=0[/tex], tj. [tex]4[/tex] i [tex]10[/tex]. Površina pravougaonika je [tex]ab=40[/tex] m².

Rešenje:
Prva jednačina je zadovoljena ako i samo ako je [tex]x=0[/tex] ili [tex]x=2y[/tex]. Za [tex]x=0[/tex] druga jednačina postaje
[tex]-y^2-3y=0\iff y(y+3)=0\Rightarrow y=0\text{ ili }y=-3[/tex]
Dobijamo parove [tex](0; 0)[/tex] i [tex](0; -3)[/tex]. Za [tex]x=2y[/tex] imamo
[tex]4y^2-y^2-3y=0\iff 3y(y-1)=0\Rightarrow y=0\text{ ili }y=1[/tex]
Dobijamo parove [tex](0; 0)[/tex] i [tex](2; 1)[/tex]. Par [tex](0; 0)[/tex] se javlja u oba slučaja, pa se broji samo jednom. Rešenja su [tex](0; 0)[/tex], [tex](0; -3)[/tex] i [tex](2; 1)[/tex], tj. sistem ima [tex]3[/tex] rešenja.

Rešenje:
Pomnožimo prvu jednačinu sa [tex]3[/tex] i saberimo je sa drugom; članovi sa [tex]y^2[/tex] i [tex]y[/tex] se poništavaju:
[tex]3x^2+3y^2-15x-3y+2x^2-3y^2+x+3y=3\iff 5x^2-14x-3=0[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{14\pm 16}{10}\Rightarrow x=3\text{ ili }x=-\frac{1}{5}[/tex]
Sistem je ekvivalentan ovoj jednačini zajedno sa prvom jednačinom. Za [tex]x=3[/tex] prva jednačina daje
[tex]9+y^2-15-y=0\iff y^2-y-6=0\Rightarrow y=3\text{ ili }y=-2[/tex]
Za [tex]x=-\frac{1}{5}[/tex] dobijamo [tex]\frac{1}{25}+y^2+1-y=0[/tex], tj. [tex]y^2-y+\frac{26}{25}=0[/tex], čija je diskriminanta [tex]1-\frac{104}{25}\lt 0[/tex], pa realno [tex]y[/tex] ne postoji. Rešenja su [tex](3; 3)[/tex] i [tex](3; -2)[/tex].

Rešenje:
Rastavimo obe jednačine na činioce. Pošto je [tex]x^2+x-12=(x-3)(x+4)[/tex] i [tex]xy-3y=y(x-3)[/tex], prva jednačina postaje
[tex]y(x-3)-(x-3)(x+4)=0\iff (x-3)(y-x-4)=0[/tex]
U drugoj jednačini je [tex]y^2+y-2=(y-1)(y+2)[/tex] i [tex]-xy+x=-x(y-1)[/tex], pa ona postaje
[tex](y-1)(y+2-x)=0[/tex]
Svaka jednačina se razlaže na dva slučaja, što daje četiri jednostavna sistema. Za [tex]x=3,\ y=1[/tex] dobijamo [tex](3; 1)[/tex]; za [tex]x=3,\ y=x-2[/tex] ponovo dobijamo [tex](3; 1)[/tex].
Za [tex]y=x+4,\ y=1[/tex] je [tex]x=-3[/tex] i dobijamo [tex](-3; 1)[/tex]; za [tex]y=x+4,\ y=x-2[/tex] sledi [tex]x+4=x-2[/tex], tj. [tex]4=-2[/tex], što je nemoguće. Rešenja su [tex](3; 1)[/tex] i [tex](-3; 1)[/tex].

Rešenje:
Domen: [tex]x\ne 0,\ y\ne 0[/tex]. Svedimo prvu jednačinu na zajednički imenilac i iskoristimo drugu jednačinu:
[tex]\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{5}{6}\Rightarrow \frac{5}{xy}=\frac{5}{6}\Rightarrow xy=6[/tex]
Zamenimo [tex]y=\frac{6}{x}[/tex] u drugu jednačinu:
[tex]x^2-\frac{36}{x^2}=5\iff x^4-5x^2-36=0\iff (x^2-9)(x^2+4)=0[/tex]
Pošto je [tex]x^2+4\gt 0[/tex], dobijamo [tex]x^2=9[/tex], [tex]x=\pm 3[/tex], a [tex]y=\frac{6}{x}[/tex] ima isti znak kao [tex]x[/tex]: parovi [tex](3; 2)[/tex] i [tex](-3; -2)[/tex]. Oba para pripadaju domenu i zadovoljavaju sistem: [tex]\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}[/tex] i [tex]9-4=5[/tex].
Parovi [tex](3; -2)[/tex] i [tex](-3; 2)[/tex] nisu rešenja: za njih je [tex]xy=-6[/tex] i leva strana prve jednačine jednaka je [tex]-\frac{5}{6}[/tex]. Rešenja su [tex](3; 2)[/tex] i [tex](-3; -2)[/tex].

Rešenje:
Neka su obimi prednjeg i zadnjeg točka [tex]x[/tex] cm i [tex]y[/tex] cm, [tex]x\gt 0,\ y\gt 40[/tex]. Rastojanje je [tex]48[/tex] m, tj. [tex]4800[/tex] cm, pa točkovi naprave [tex]\frac{4800}{x}[/tex] i [tex]\frac{4800}{y}[/tex] obrtaja. Iz uslova dobijamo sistem
[tex]\left\{\begin{array}{l} \frac{4800}{x}-\frac{4800}{y}=10 \\ \frac{4800}{x+40}=\frac{4800}{y-40} \end{array}\right.[/tex]
Iz druge jednačine je [tex]x+40=y-40[/tex], tj. [tex]y=x+80[/tex]. Zamenom u prvu jednačinu dobijamo:
[tex]\frac{4800}{x}-\frac{4800}{x+80}=10\iff 4800\cdot 80=10x(x+80)\iff x^2+80x-38400=0[/tex]
[tex]x=-40\pm\sqrt{1600+38400}=-40\pm 200[/tex]
Koren [tex]x=-240[/tex] odbacujemo jer je [tex]x\gt 0[/tex], pa je [tex]x=160[/tex] i [tex]y=240[/tex]. Provera: [tex]\frac{4800}{160}-\frac{4800}{240}=30-20=10[/tex], a sa izmenjenim obimima oba točka naprave po [tex]\frac{4800}{200}=24[/tex] obrtaja. Obim prednjeg točka je [tex]160[/tex] cm.