Sistemi jednačina drugog stepena sa dve nepoznate

Kalkulator za sisteme jednačina drugog stepena

Upišite koeficijente obe jednačine oblika ${ax^2+bxy}+{cy^2+dx+ey}={f.}$ To mogu biti celi brojevi, decimalni brojevi (na primer 0,5) ili razlomci (na primer 1/3). Prazno polje znači 0. Kalkulator bira jednu od metoda iz lekcije (zamena, suprotni koeficijenti, smena ili rastavljanje na činioce), nalazi sva realna rešenja sistema i prikazuje postupak korak po korak. Ako nijedna od tih metoda nije pogodna, kalkulator nalazi rešenja numerički.

Šta je sistem jednačina drugog stepena?

Sistem od dve jednačine sa dve nepoznate je drugog stepena ako je jedna od njegovih jednačina drugog stepena, a druga prvog ili drugog stepena. Na primer, u sistemu

$$\begin{array}{|l}x-y=7\\x^2-xy-y^2=19\end{array}$$

prva jednačina je prvog stepena, a druga je drugog stepena (članovi ${x^2,}$ ${xy}$ i ${y^2}$ su drugog stepena). Svaka jednačina drugog stepena sa dve nepoznate može da se zapiše u obliku

Rešenje sistema je svaki uređeni par brojeva, u oznaci ${(x;\ y),}$ koji zadovoljava obe jednačine. Rešiti sistem znači naći sva njegova rešenja ili pokazati da rešenja ne postoje. Na primer, ${(4;\ -3)}$ je rešenje gornjeg sistema, jer je ${4-(-3)=7}$ i ${4^2-4\cdot(-3)-(-3)^2}={16+12-9}={19.}$ Par ${(8;\ 1)}$ zadovoljava prvu jednačinu, ali ne i drugu (${64-8-1=55\ne 19}$), pa nije rešenje.

Dva sistema su ekvivalentna ako imaju ista rešenja (posebno, ako su oba bez rešenja). Metode koje slede zamenjuju dati sistem jednostavnijim sistemom koji mu je ekvivalentan ili sa nekoliko jednostavnijih sistema čija rešenja zatim objedinjujemo.

Na ovoj stranici: Kalkulator · Metoda zamene · Suprotni koeficijenti · Eliminacija nepoznate · Simetrični sistemi · Faktorisanje · Homogene jednačine · Tekstualni zadaci · Vežbe

Sistemi u kojima je jedna jednačina prvog stepena: metoda zamene

Iz jednačine prvog stepena uvek možemo da izrazimo jednu od nepoznatih. Posle zamene dobijamo jednačinu sa jednom nepoznatom, najčešće kvadratnu. Zato se metodom zamene može rešiti svaki sistem drugog stepena u kome je jedna jednačina prvog stepena.

1. Iz jednačine prvog stepena izrazimo jednu nepoznatu preko druge. Zgodno je izabrati nepoznatu čiji je koeficijent 1 ili ${-1.}$
2. Dobijeni izraz zamenimo u jednačinu drugog stepena i dobijemo jednačinu sa jednom nepoznatom.
3. Rešimo tu jednačinu (obično je to kvadratna jednačina).
4. Za svaki koren nađemo drugu nepoznatu iz izraza dobijenog u koraku 1.
5. Rešenja zapišemo kao parove ${(x;\ y).}$

U koraku 4 drugu nepoznatu tražimo iz izraza dobijenog iz jednačine prvog stepena, a ne iz jednačine drugog stepena. Inače možemo da dobijemo parove koji nisu rešenja. Tako, u primeru 1 koji sledi, za ${x=3}$ jednačina ${x^2+y^2=25}$ daje ${y=4}$ i ${y=-4,}$ ali ${(3;\ -4)}$ nije rešenje sistema, jer je ${3+(-4)\ne 7.}$

Primer 1

Rešite sistem

$$\begin{array}{|l}x+y=7\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Rešenje. Iz prve jednačine je ${y=7-x.}$ Zamenimo to u drugu jednačinu:

${x^2+(7-x)^2=25}$

$x^2+49-14x+x^2=25$

${2x^2-14x+24}={0\iff x^2-7x+12}={0}$

Koreni su ${x_1=3}$ i ${x_2=4}$ (njihov zbir je 7, a proizvod 12). Iz ${y=7-x}$ dobijamo ${y_1=7-3=4}$ i ${y_2=7-4=3.}$

Odgovor: ${(3;\ 4)}$ i ${(4;\ 3).}$

Primer 2

Rešite sistem

$$\begin{array}{|l}x-y=7\\x^2-xy-y^2=19\end{array}$$

Rešenje. Iz prve jednačine je ${x=7+y.}$ Zamenimo to u drugu jednačinu:

${(7+y)^2-(7+y)y-y^2}={19}$

${49+14y+y^2}-{7y-y^2-y^2}={19}$

${-y^2+7y+30}={0\iff y^2-7y-30}={0}$

${D}={(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-30)}={49+120}={169,}$ odakle je ${y_{1,2}=\frac{7\pm 13}{2},}$ tj. ${y_1=-3}$ i ${y_2=10.}$ Iz ${x=7+y}$ dobijamo ${x_1=4}$ i ${x_2=17.}$

Provera za ${(17;\ 10)\text{:}}$ ${17-10=7}$ i ${17^2-17\cdot 10-10^2}={289-170-100}={19.}$

Odgovor: ${(4;\ -3)}$ i ${(17;\ 10).}$

Primer 3. Jedno rešenje ili nijedno

a) Rešite sistem

$$\begin{array}{|l}3x+4y=25\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Rešenje. Iz prve jednačine je ${y=\frac{25-3x}{4}.}$ Zamenimo to u drugu jednačinu i pomnožimo sa 16:

${x^2+\frac{(25-3x)^2}{16}}={25\iff 16x^2+625}-{150x+9x^2}={400}$

${25x^2-150x+225}={0\iff x^2-6x+9}={0\iff (x-3)^2}={0}$

Jednačina ima samo jedan koren ${x=3,}$ odakle je ${y=\frac{25-9}{4}=4.}$ Odgovor: ${(3;\ 4).}$ Sistem ima jedno rešenje.

b) Rešite sistem

$$\begin{array}{|l}x+y=10\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Rešenje. Iz prve jednačine je ${y=10-x.}$ Zamenimo to u drugu jednačinu:

${x^2+(10-x)^2}={25\iff 2x^2-20x+75}={0}$

${D}={(-20)^2-4\cdot 2\cdot 75}={400-600}={-200}\lt{0,}$ pa kvadratna jednačina nema realnih korena. Odgovor: sistem nema rešenja.

Sistemi u kojima su obe jednačine drugog stepena: metoda suprotnih koeficijenata

Kada su obe jednačine drugog stepena, obično se nijedna nepoznata ne može zgodno izraziti preko druge. Tada tražimo način da dobijemo jednostavniju jednačinu. Neki takvi sistemi rešavaju se sabiranjem jednačina ili sabiranjem i zamenom.

Brojeve biramo tako da članovi drugog stepena dobiju suprotne koeficijente i posle sabiranja nestanu. Dobijamo jednačinu prvog stepena i nastavljamo metodom zamene. (Oduzimanje dve jednačine je sabiranje u kome je druga jednačina pomnožena sa ${-1.}$)

Primer 4

Rešite sistem

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2+2x=39\\x^2+y^2-y=27\end{array}$$

Rešenje. Ovde se nijedna nepoznata ne izražava zgodno preko druge, jer obe jednačine sadrže ${x^2}$ i ${y^2.}$ Primetimo, međutim, da članovi ${x^2}$ i ${y^2}$ nestaju kada od prve jednačine oduzmemo drugu:

${(x^2+y^2+2x)}-{(x^2+y^2-y)}={39-27\iff 2x+y}={12}$

Dobijamo sistem ekvivalentan datom:

$$\begin{array}{|l}2x+y=12\\x^2+y^2+2x=39\end{array}$$

Rešimo ga metodom zamene. Iz prve jednačine je ${y=12-2x,}$ a druga daje

${x^2+(12-2x)^2+2x}={39\iff 5x^2-46x+105}={0}$

${D}={(-46)^2-4\cdot 5\cdot 105}={2116-2100}={16,}$ odakle je ${x_{1,2}=\frac{46\pm 4}{10},}$ tj. ${x_1=5}$ i ${x_2=\frac{21}{5}.}$ Tada je ${y_1=12-10=2}$ i ${y_2=12-\frac{42}{5}=\frac{18}{5}.}$

Odgovor: ${(5;\ 2)}$ i ${\left(\frac{21}{5};\ \frac{18}{5}\right),}$ tj. ${(4{,}2;\ 3{,}6).}$

Primer 5

Rešite sistem

$$\begin{array}{|l}4x^2-2xy+x+y=15\\2x^2-xy+2x-y=9\end{array}$$

Rešenje. Članovi drugog stepena u prvoj jednačini jednaki su dvostrukim članovima drugog stepena u drugoj: ${4x^2-2xy}={2(2x^2-xy).}$ Ako drugu jednačinu pomnožimo sa ${-2}$ i saberemo je sa prvom, dobićemo jednačinu prvog stepena:

$$\begin{array}{|l}4x^2-2xy+x+y=15\\-4x^2+2xy-4x+2y=-18\end{array}$$

$-3x+3y=-3\iff x-y=1$

Sistem je ekvivalentan sistemu

$$\begin{array}{|l}x-y=1\\2x^2-xy+2x-y=9\end{array}$$

Iz prve jednačine je ${x=1+y.}$ Zamenimo to u drugu jednačinu:

${2(1+y)^2}-{y(1+y)+2(1+y)-y}={9\iff y^2+4y-5}={0}$

Koreni su ${y_1=-5}$ i ${y_2=1}$ (njihov zbir je ${-4,}$ a proizvod ${-5}$). Tada je ${x_1=1+(-5)=-4}$ i ${x_2=1+1=2.}$

Odgovor: ${(-4;\ -5)}$ i ${(2;\ 1).}$

Eliminacija jedne nepoznate

Ponekad pogodnim sabiranjem možemo da uklonimo sve članove sa jednom nepoznatom, a ne samo članove drugog stepena. Dobijamo jednačinu samo sa drugom nepoznatom. Rešimo je i za svaki njen koren nađemo eliminisanu nepoznatu iz jedne od jednačina sistema. Prema teoremi o sabiranju jednačina, nova jednačina i bilo koja od datih jednačina čine sistem ekvivalentan datom. Zato je svaki par dobijen na ovaj način rešenje.

To nije u suprotnosti sa upozorenjem kod metode zamene. Tamo jednačina prvog stepena povezuje ${x}$ i ${y,}$ a ovde nova jednačina sadrži samo jednu nepoznatu. Zato za svaki njen koren svaka vrednost druge nepoznate koja zadovoljava zadržanu jednačinu daje rešenje.

Primer 6

Rešite sistem

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2=13\\x^2-y^2=5\end{array}$$

Rešenje. Saberemo jednačine: ${2x^2=18,}$ tj. ${x^2=9}$ i ${x=\pm 3.}$ Od prve jednačine oduzmemo drugu: ${2y^2=8,}$ tj. ${y^2=4}$ i ${y=\pm 2.}$ Sistem je ekvivalentan sistemu ${x^2=9,}$ ${y^2=4,}$ pa se svaka od dve vrednosti ${x}$ kombinuje sa svakom od dve vrednosti ${y.}$

Odgovor: ${(3;\ 2),}$ ${(3;\ -2),}$ ${(-3;\ 2)}$ i ${(-3;\ -2).}$

Primer 7

Rešite sistem

$$\begin{array}{|l}x^2+2y^2-5x+4y=-2\\x^2-3y^2-6y=-2\end{array}$$

Rešenje. Članovi sa ${y}$ su ${2y^2+4y}$ u prvoj jednačini i ${-3y^2-6y}$ u drugoj. Ako prvu jednačinu pomnožimo sa 3, a drugu sa 2, i saberemo ih, svi članovi sa ${y}$ će nestati:

$$\begin{array}{|l}3x^2+6y^2-15x+12y=-6\\2x^2-6y^2-12y=-4\end{array}$$

${5x^2-15x}={-10\iff x^2-3x+2}={0}$

Koreni su ${x_1=1}$ i ${x_2=2.}$ Svaki od njih zamenimo u drugu jednačinu (ona je jednostavnija):

• za ${x=1\text{:}}$ ${1-3y^2-6y}={-2\iff y^2+2y-1}={0,}$ odakle je ${y=-1\pm\sqrt{2};}$
• za ${x=2\text{:}}$ ${4-3y^2-6y}={-2\iff y^2+2y-2}={0,}$ odakle je ${y=-1\pm\sqrt{3}.}$

Odgovor: sistem ima četiri rešenja: ${(1;\ -1+\sqrt{2}),}$ ${(1;\ -1-\sqrt{2}),}$ ${(2;\ -1+\sqrt{3})}$ i ${(2;\ -1-\sqrt{3}).}$

Simetrični sistemi

Sistem je simetričan ako se njegove jednačine ne menjaju kada razmenimo ${x}$ i ${y.}$ Na primer, jednačina ${x^2+xy+y^2=7}$ je simetrična: posle razmene dobijamo ${y^2+yx+x^2=7,}$ tj. istu jednačinu. Simetrični sistemi se zgodno rešavaju smenom

Ako su ${t_1}$ i ${t_2}$ koreni jednačine ${t^2-ut+v=0,}$ sistem ima rešenja ${(t_1;\ t_2)}$ i ${(t_2;\ t_1)}$ (za ${t_1=t_2}$ to je jedno rešenje ${(t_1;\ t_1)}$). Ako ta jednačina nema realnih korena, tj. ako je ${u^2-4v\lt 0,}$ odgovarajući par ${u,}$ ${v}$ ne daje rešenje.

Primer 8

Rešite sistem

$$\begin{array}{|l}x+y=5\\xy=6\end{array}$$

Rešenje. Ovde je odmah ${u=5}$ i ${v=6.}$ Brojevi ${x}$ i ${y}$ su koreni jednačine ${t^2-5t+6=0,}$ tj. ${t_1=2}$ i ${t_2=3.}$ (Isti sistem može da se reši i metodom zamene: ${y=5-x}$ i ${x(5-x)=6.}$)

Odgovor: ${(2;\ 3)}$ i ${(3;\ 2).}$

Primer 9

Rešite sistem

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2=13\\xy=6\end{array}$$

Rešenje. Uvedimo smenu ${x+y=u}$ i ${xy=v.}$ Pošto je ${x^2+y^2=u^2-2v,}$ sistem postaje

$$\begin{array}{|l}u^2-2v=13\\v=6\end{array}$$

Prema tome, ${u^2=25,}$ tj. ${u=5}$ ili ${u=-5.}$

• Za ${u=5}$ i ${v=6\text{:}}$ ${t^2-5t+6=0,}$ ${t_1=2,}$ ${t_2=3.}$
• Za ${u=-5}$ i ${v=6\text{:}}$ ${t^2+5t+6=0,}$ ${t_1=-3,}$ ${t_2=-2.}$

Odgovor: ${(2;\ 3),}$ ${(3;\ 2),}$ ${(-2;\ -3)}$ i ${(-3;\ -2).}$

Primer 10

Rešite sistem

$$\begin{array}{|l}x^2+xy+y^2=7\\x+xy+y=5\end{array}$$

Rešenje. Sistem je simetričan. Pošto je ${x^2+xy+y^2}={(x^2+y^2)+xy}={u^2-2v+v}={u^2-v,}$ smenom ${x+y=u,}$ ${xy=v}$ dobijamo

$$\begin{array}{|l}u^2-v=7\\u+v=5\end{array}$$

Saberemo jednačine: ${u^2+u=12,}$ tj. ${u^2+u-12=0,}$ odakle je ${u_1=3}$ i ${u_2=-4.}$ Tada je ${v_1=5-3=2}$ i ${v_2=5-(-4)=9.}$

• Za ${u=3}$ i ${v=2\text{:}}$ ${t^2-3t+2=0,}$ ${t_1=1,}$ ${t_2=2.}$ Dobijamo ${(1;\ 2)}$ i ${(2;\ 1).}$
• Za ${u=-4}$ i ${v=9\text{:}}$ jednačina ${t^2+4t+9=0}$ ima diskriminantu ${16-36=-20\lt 0,}$ pa ne daje rešenja.

Odgovor: ${(1;\ 2)}$ i ${(2;\ 1).}$

Rastavljanje na činioce

Ako jedna jednačina može da se zapiše u obliku ${A\cdot B=0,}$ gde su ${A}$ i ${B}$ izrazi prvog stepena, ona važi tačno onda kada je ${A=0}$ ili ${B=0.}$ Tada se sistem raspada na dva sistema i u svakom od njih je jedna jednačina prvog stepena. Rešimo ih metodom zamene i objedinimo njihova rešenja.

Primer 11

Rešite sistem

$$\begin{array}{|l}x^2-5xy+6y^2=0\\x^2+y^2=10\end{array}$$

Rešenje. Leva strana prve jednačine rastavlja se na činioce na isti način kao ${t^2-5t+6}={(t-2)(t-3)\text{:}}$ ${x^2-5xy+6y^2}={(x-2y)(x-3y)}$ (proverite to oslobađanjem od zagrada). Dakle, ${x=2y}$ ili ${x=3y.}$

• Za ${x=2y}$ druga jednačina daje ${4y^2+y^2=10,}$ tj. ${y^2=2}$ i ${y=\pm\sqrt{2}.}$ Dobijamo ${(2\sqrt{2};\ \sqrt{2})}$ i ${(-2\sqrt{2};\ -\sqrt{2}).}$
• Za ${x=3y}$ druga jednačina daje ${9y^2+y^2=10,}$ tj. ${y^2=1}$ i ${y=\pm 1.}$ Dobijamo ${(3;\ 1)}$ i ${(-3;\ -1).}$

Odgovor: ${(2\sqrt{2};\ \sqrt{2}),}$ ${(-2\sqrt{2};\ -\sqrt{2}),}$ ${(3;\ 1)}$ i ${(-3;\ -1).}$

Homogene jednačine

Jednačina kao što je ${x^2-5xy+6y^2=0,}$ u kojoj su svi članovi drugog stepena, a desna strana je 0, naziva se homogena. Ako ne vidimo odmah kako da je rastavimo na činioce, za ${y\ne 0}$ podelimo je sa ${y^2}$ i uvedemo smenu ${t=\frac{x}{y}.}$ Iz ${x^2-5xy+6y^2=0}$ dobijamo ${t^2-5t+6=0,}$ sa korenima ${t=2}$ i ${t=3,}$ tj. ${x=2y}$ ili ${x=3y.}$ Slučaj ${y=0}$ proveravamo posebno, jer sa 0 ne možemo da delimo. Ovde za ${y=0}$ jednačina daje ${x^2=0,}$ tj. tačku ${(0;\ 0),}$ a ona ne zadovoljava ${x^2+y^2=10.}$ (Ako u jednačini nema člana sa ${x^2,}$ na primer ${5xy+6y^2=0,}$ za ${y=0}$ ona važi za svako ${x.}$ Tada je ${y}$ zajednički činilac: ${y(5x+6y)=0.}$)

Ako obe jednačine sistema sadrže samo članove drugog stepena i slobodne članove, pomnožimo ih pogodnim brojevima i saberemo tako da se slobodni članovi ponište. Dobijamo homogenu jednačinu.

Primer 12

Rešite sistem

$$\begin{array}{|l}x^2+xy=15\\xy+y^2=10\end{array}$$

Rešenje. Prvu jednačinu pomnožimo sa 2, a drugu sa ${-3,}$ i saberemo ih:

${2x^2+2xy-3xy-3y^2}={30-30\iff 2x^2-xy-3y^2}={0}$

Prema teoremi o sabiranju jednačina, sistem je ekvivalentan sistemu koji čine dobijena homogena jednačina i druga jednačina. Ako je ${y=0,}$ homogena jednačina daje ${2x^2=0,}$ tj. ${x=0,}$ a ${(0;\ 0)}$ ne zadovoljava ${xy+y^2=10.}$ Za ${y\ne 0}$ podelimo sa ${y^2}$ i uvedemo smenu ${t=\frac{x}{y}\text{:}}$ ${2t^2-t-3=0,}$ odakle je ${t_1=-1}$ i ${t_2=\frac{3}{2}.}$ Dakle, ${x=-y}$ ili ${x=\frac{3y}{2}.}$ Isto daje i rastavljanje ${2x^2-xy-3y^2}={(x+y)(2x-3y).}$

• Za ${x=-y}$ druga jednačina daje ${-y^2+y^2=10,}$ tj. ${0=10,}$ što nije tačno.
• Za ${x=\frac{3y}{2}}$ druga jednačina daje ${\frac{3y^2}{2}+y^2=10,}$ tj. ${y^2=4}$ i ${y=\pm 2.}$ Za ${y=2}$ dobijamo ${x=3,}$ a za ${y=-2}$ dobijamo ${x=-3.}$

Odgovor: ${(3;\ 2)}$ i ${(-3;\ -2).}$ Provera: ${9+6=15}$ i ${6+4=10.}$

Drugi način. Ako saberemo jednačine, dobijamo ${x^2+2xy+y^2=25,}$ tj. ${(x+y)^2=25}$ i ${x+y=\pm 5.}$ Prva jednačina je ${x(x+y)=15.}$ Za ${x+y=5}$ dobijamo ${5x=15,}$ ${x=3,}$ ${y=2,}$ a za ${x+y=-5}$ dobijamo ${x=-3,}$ ${y=-2.}$

Tekstualni zadaci

Zadatak 1. Obim pravougaonika je 34 cm, a njegova dijagonala je 13 cm. Odredite stranice pravougaonika.

Rešenje. Neka su stranice ${x}$ cm i ${y}$ cm. Tada je ${2(x+y)=34,}$ a prema Pitagorinoj teoremi ${x^2+y^2=13^2\text{:}}$

$$\begin{array}{|l}x+y=17\\x^2+y^2=169\end{array}$$

Sistem je simetričan: ${u=x+y=17}$ i ${u^2-2v=169,}$ tj. ${289-2v=169}$ i ${v=xy=60.}$ Brojevi ${x}$ i ${y}$ su koreni jednačine ${t^2-17t+60=0\text{:}}$ ${t_1=5}$ i ${t_2=12.}$ Odgovor: stranice su 5 cm i 12 cm. Provera: ${5+12=17}$ i ${25+144=169.}$

Zadatak 2. Proizvod cifara jednog dvocifrenog broja je 24, a zbir kvadrata njegovih cifara je 52. Koji broj to može biti?

Rešenje. Neka je cifra desetica ${x,}$ a cifra jedinica ${y.}$ Tada je ${xy=24}$ i ${x^2+y^2=52.}$ Prema tome, ${(x+y)^2}={x^2+y^2+2xy}={52+48}={100,}$ a pošto su cifre pozitivne (proizvod im je 24, pa nijedna od njih nije 0), to je ${x+y=10.}$ Cifre su koreni jednačine ${t^2-10t+24=0,}$ tj. 4 i 6. Odgovor: broj je 46 ili 64.

Zadatak 3. Razlika dva broja je 3, a njihov proizvod je 40. Odredite te brojeve.

Rešenje. Neka su to brojevi ${x}$ i ${y\text{:}}$

$$\begin{array}{|l}x-y=3\\xy=40\end{array}$$

Iz prve jednačine je ${x=y+3.}$ Zamenimo to u drugu: ${(y+3)y=40,}$ tj. ${y^2+3y-40=0,}$ odakle je ${y_1=-8}$ i ${y_2=5.}$ Tada je ${x_1=-5}$ i ${x_2=8.}$ Odgovor: brojevi su 8 i 5 ili ${-5}$ i ${-8.}$ Oba para ispunjavaju uslov: ${8-5=3,}$ ${8\cdot 5=40}$ i ${-5-(-8)=3,}$ ${(-5)\cdot(-8)=40.}$

Zadatak 4. Hipotenuza pravouglog trougla je 10 cm, a njegova površina je 24 cm². Odredite katete.

Rešenje. Neka su katete ${x}$ cm i ${y}$ cm. Tada je ${x^2+y^2=100}$ i ${\frac{xy}{2}=24,}$ tj. ${xy=48.}$ Prema tome, ${(x+y)^2}={100+96}={196}$ i ${x+y=14}$ (katete su pozitivne). Brojevi ${x}$ i ${y}$ su koreni jednačine ${t^2-14t+48=0,}$ tj. 6 i 8. Odgovor: katete su 6 cm i 8 cm. Provera: ${36+64=100}$ i ${\frac{6\cdot 8}{2}=24.}$

Zadaci za vežbanje

Pokušajte da ih rešite sami, a zatim otvorite odgovor. Svoje rešenje možete da proverite i kalkulatorom na početku stranice.

1. Rešite sistem $\begin{array}{|l}x+y=8\\xy=15\end{array}$

Brojevi ${x}$ i ${y}$ su koreni jednačine ${t^2-8t+15=0,}$ tj. 3 i 5. Odgovor: ${(3;\ 5)}$ i ${(5;\ 3).}$

2. Rešite sistem $\begin{array}{|l}x-y=2\\x^2+y^2=20\end{array}$

${y=x-2,}$ ${x^2+(x-2)^2}={20\iff x^2-2x-8}={0,}$ ${x_1=-2,}$ ${x_2=4.}$ Odgovor: ${(-2;\ -4)}$ i ${(4;\ 2).}$

3. Rešite sistem $\begin{array}{|l}2x+y=5\\x^2+y^2=10\end{array}$

${y=5-2x,}$ ${x^2+(5-2x)^2}={10\iff x^2-4x+3}={0,}$ ${x_1=1,}$ ${x_2=3.}$ Odgovor: ${(1;\ 3)}$ i ${(3;\ -1).}$

4. Rešite sistem $\begin{array}{|l}x+2y=7\\xy=6\end{array}$

${x=7-2y,}$ ${(7-2y)y}={6\iff 2y^2-7y+6}={0,}$ ${y_1=\frac{3}{2},}$ ${y_2=2.}$ Odgovor: ${\left(4;\ \frac{3}{2}\right)}$ i ${(3;\ 2).}$

5. Rešite sistem $\begin{array}{|l}x^2+y^2=41\\x^2-y^2=9\end{array}$

Saberemo: ${2x^2=50,}$ ${x^2=25.}$ Oduzmemo: ${2y^2=32,}$ ${y^2=16.}$ Odgovor: ${(5;\ 4),}$ ${(5;\ -4),}$ ${(-5;\ 4)}$ i ${(-5;\ -4).}$

6. Rešite sistem $\begin{array}{|l}x+y=3\\x^2+y^2=1\end{array}$

${y=3-x,}$ ${x^2+(3-x)^2}={1\iff x^2-3x+4}={0,}$ ${D=9-16=-7\lt 0.}$ Odgovor: sistem nema rešenja.

7. Rešite sistem $\begin{array}{|l}x^2+y^2-2x=15\\x^2+y^2+4y=25\end{array}$

Od prve jednačine oduzmemo drugu: ${-2x-4y=-10,}$ tj. ${x=5-2y.}$ Zamenimo u drugu: ${(5-2y)^2+y^2+4y}={25\iff 5y^2-16y}={0,}$ ${y_1=0,}$ ${y_2=\frac{16}{5}.}$ Odgovor: ${(5;\ 0)}$ i ${\left(-\frac{7}{5};\ \frac{16}{5}\right).}$

8. Rešite sistem $\begin{array}{|l}x^2+y^2=20\\x+y=6\end{array}$

${u=6,}$ ${u^2-2v=20,}$ ${v=8,}$ ${t^2-6t+8=0.}$ Odgovor: ${(2;\ 4)}$ i ${(4;\ 2).}$

9. Rešite sistem $\begin{array}{|l}x^2+xy+y^2=13\\x+y=4\end{array}$

${x^2+xy+y^2=u^2-v,}$ pa je ${16-v=13}$ i ${v=3,}$ ${t^2-4t+3=0.}$ Odgovor: ${(1;\ 3)}$ i ${(3;\ 1).}$

10. Rešite sistem $\begin{array}{|l}x^2-3xy+2y^2=0\\x^2+y^2=20\end{array}$

${(x-y)(x-2y)=0.}$ Za ${x=y\text{:}}$ ${2y^2=20,}$ ${y=\pm\sqrt{10}.}$ Za ${x=2y\text{:}}$ ${5y^2=20,}$ ${y=\pm 2.}$ Odgovor: ${(\sqrt{10};\ \sqrt{10}),}$ ${(-\sqrt{10};\ -\sqrt{10}),}$ ${(4;\ 2)}$ i ${(-4;\ -2).}$

11. Rešite sistem $\begin{array}{|l}xy=12\\x^2+y^2=25\end{array}$

$(x+y)^2=25+24=49,$ ${x+y=\pm 7.}$ Za ${u=7\text{:}}$ ${t^2-7t+12=0;}$ za ${u=-7\text{:}}$ ${t^2+7t+12=0.}$ Odgovor: ${(3;\ 4),}$ ${(4;\ 3),}$ ${(-3;\ -4)}$ i ${(-4;\ -3).}$

12. Zbir dva broja je 12, a zbir njihovih kvadrata je 74. Odredite te brojeve.

${x+y=12,}$ ${x^2+y^2=74,}$ pa je ${xy=\frac{144-74}{2}=35}$ i ${t^2-12t+35=0.}$ Odgovor: brojevi su 5 i 7.