Brojevi

Razumevanje brojeva, posebno prirodnih brojeva, je jedna od najstarijih matematičkih veština. Mnoge kulture, čak i neke savremene, dodeljuju neke mistične osobine brojevima zbog njihovog velikog značaja u opisivanju prirode. Iako matematika i moderne nauke ne priznaju takve stavove, značaj teorije brojeva je nesporan.

Istorijski, prvo se pojavio skup prirodnih brojeva; prilično brzo se proširio sa razlomcima, čak i sa pozitivnim iracionalnim brojevima; nula i negativni brojevi su otkriveni tek posle ovih podskupova realnih brojeva. Poslednji u seriji, skup kompleksnih brojeva, pojavljuje se tek sa razvojem moderne nauke.

Sa druge strane, u modernoj matematici brojevi se ne uvode hronološkim redom; iako je red kojim se uvode prilično sličan.

Prirodni brojevi $\mathbb{N}$

Skup prirodnih brojeva se često označava sa $\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, i često se proširuje sa $0$ i tada se označava sa $\mathbb{N}_0$.

U skupu $\mathbb{N}$ operacije sabiranja (+) i množenja ($\cdot$) su definisane sledećim osobinama za svako $a,b,c \in \mathbb{N}$:

Pošto postoji neutralan element za množenje u skupu $\mathbb{N}$, ali ne i za sabiranje, upravo to je razlog zbog čega se ovaj skup često proširuje sa 0, koja je neutralni element za sabiranje.

Pored ove dve operacije u skupu $\mathbb{N}$, odnosi strogo-manje-od ($<$) i manje-ili-jednako-od ($\leq$) su definisani sledećim osobinama za svako $a,b,c\in \mathbb{N}$:

Skup celih brojeva $\mathbb{Z}$

Primeri celih brojeva:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Rešavanje jednačine $a+x=b$, gde su $a$ i $b$ dati prirodni brojevi, i $x$ nepoznat prirodni broj, zahteva uvodjenje nove aritmetičke operacije: oduzimanja (-). Ako postoji prirodan broj $x$ koji zadovoljava uslove jednačine, onda je $x=b-a$. Ali ova jednačina ne mora obavezno da ima rešenje u skupu $\mathbb{N}$, zato je potrebno, iz praktičnih razloga, proširiti skup prirodnih brojeva rešenjima ove jednačine; što praktično vodi skupu celih brojeva: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Pošto je $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, prirodno je da se uvedu operacije $+$ i $\cdot$ i odnosi $<$ i $\leq$ koji će 'naslediti' iste osobine kao i u skupu $\mathbb{N}$. Pored tih osobina, takođe postoje dve nove koje se odnose na sabiranje:
1. $0+a=a+0=a$ postoji neutralni element za sabiranje
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ postoji suprotan broj $-a$ broju $a$

Osobina 5.
5. ako je $0\leq a$ i $0\leq b$ onda je $0\leq a\cdot b$

Skup $\mathbb{Z} $ je zatvoren i za oduzimanje takođe, tj. $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z} )$.

Racionalni brojevi $\mathbb{Q}$

Primeri racionalnih brojeva:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}...$

Pored već pomenute jednačine, potrebno je naći rešenje i za sledeći tip jednačina $a\cdot x=b$, gde su $a$ i $b$ dati celi brojevi, i $x$ nepoznati broj. U svrhu rešavanja ovog tipa jednačina, uvodi se operacija deljenja ($:$),i rešenje ove jednačine je $x=b:a$, to jest $x=\frac{b}{a}$. Ponovo se javlja problem da $x$ ne pripada uvek skupu $\mathbb{Z}$ , tako da je neophodno proširiti skup sa rešenjima ovog tipa jednačina. Zbog toga je uveden skup $\mathbb{Q}$ čiji elementi su $\frac{p}{q}$, gde $p\in \mathbb{Z}$ i $q\in \mathbb{N}$. Podskup ovog skupa gde je za svaki element $q=1$ je skup $\mathbb{Z}$, znači $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ i zbog toga operacije sabiranja i množenja se proširuju na ovaj skup prema sledećim pravilima koja zadržavaju gore pomenute osobine i u skupu $\mathbb{Q}$:
$\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1}{q_1\cdot q_2}$
$\frac{p-1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

U isto vreme uvedeno je i deljenje kao:
$\frac{p_1}{q_1}:\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{q_2}{p_2}$

U skupu $\mathbb{Q}$ jednačina $a\cdot x=b$ ima jedinstveno rešenje za svako $a\neq 0$, deljenje sa nulom nije definisano. Ovo znači da postoji inverzan element, koji se naziva recipročan broj, i označava se sa $\frac{1}{a}$ ili $a^{-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=1)$

Uređenje u skupu $\mathbb{Q}$ može biti prošireno na sledeći način:
$\frac{p_1}{q_1} < \frac{p_2}{q_2}\Leftrightarrow p_1\cdot q_2 < p_2\cdot q_1$

Skup $\mathbb{Q}$ ima još jednu važnu osobinu - između bilo koja dva racionalna broja postoji neograničen broj racionalnih brojeva, što znači da ne postoje dva susedna racionalna broja, kao što je slučaj sa prirodnim i celim brojevima.

Iracionalni brojevi $\mathbb{I}$

Primeri iracionalnih brojeva:
$\sqrt{2} \approx 1.41422135...$
$\pi \approx 3.1415926535...$

Zbog činjenice da između bilo koja dva racionalna broja postoji neograničen broj drugih racionalnih brojeva, lako se može izvesti pogrešan zaključak da je skup racionalnih brojeva toliko gust da nije potrebno dalje ga proširivati. Čak je i Pitagora došao do tog zaključka. Ipak, čak i Pitagorini savremenici su osporavali ovaj zaključak dok su pokušavali da reše jednačinu $x\cdot x=2$, to jest $x^2=2$ u skupu racionalnih brojeva. Da bi se rešila ova jednačina neophodno je uvesti funkciju kvadratnog korena, tako da je rešenje ove jednačine $x=\sqrt{2}$. Jednačina ovog tipa $x^2=a$, gde je $a$ dati racionalni broj, i x nepoznati broj, nema uvek rešenje u skupu racionalnih brojeve, i potreba za proširivanjem skupa brojeva se ponovo javlja. Ovi brojevi se nazivaju iracionalni brojevi, i $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$... pripadaju tom skupu.

Realni brojevi $\mathbb{R}$

Unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva. Kako je $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ ponovo je logično da se uvedene aritmetičke operacije i odnosi prošire i na novi skup. Jako je teško formalno izvesti takvo proširivanje i urediti skup Realnih brojeva, tako da su već pomenute osobine aritmetičkih operacija i odnosi uvedeni u skup realnih brojeva kao aksiome. U algebri, takva struktura naziva se polje, tako da se kaže da je skup realnih brojeva uređeno polje.

Da bismo završili definisanje skupa realnih brojeva, potrebni su nam dodatni aksiomi koji predstavljaju razliku između skupova $\mathbb{Q}$ i $\mathbb{R}$. Pretpostavimo da je S neprazan podskup skupa realnih brojeva. Elemenat $b\in \mathbb{R}$ je gornje granica skupa $S$ ako je $\forall x\in S$ tačno da je $x\leq b$, i onda kažemo da je skup $S$ ograničen odozgo. Najmanja gornja granica skupa $S$ naziva se supremum i označava se sa $\sup S$. Analogno tome se uvode pojmovi donja granica, skup ograničen odozdo i infimum $\inf S$. Preostali aksiom glasi:

Svaki neprazan i odozgo ograničen podskup skupa realnih brojeva ima supremum.
Takođe se može dokazati da je polje realnih brojeva definisano na ovaj način jedinstveno.

Kompleksni brojevi $\mathbb{C}$

Primeri kompleksnih brojeva:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ gde je $i = \sqrt{-1}$ or $i^2 = -1$

Skup kompleksnih brojeva je skup svih uređenih parova realnih brojeva, tj. $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, u kome su operacije sabiranja i množenja definisane na sledeći način:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Kompleksni brojevi se mogu zapisati na više načina, najčešći način je $z=a+ib$, gde je $(a,b)$ broj, a broj $i=(0,1)$ se naziva imaginarna jedinica.

Jednostavno se pokazuje da je $i^2=-1$. Proširivanje skupa $\mathbb{R}$ na skup $\mathbb{C}$ dozvoljava definisanje kvadratnog korena negativnih brojeva, upravo to je i razlog uvođenja kompleksnih brojeva. Takođe je lako pokazati da podskup skupa $\mathbb{C}$, definisan kao $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, zadovoljava sve aksiome realnih brojeva, što znači da je $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, ili je $R\subset\mathbb{C}$.

Algebarska struktura skupa $\mathbb{C}$ u odnosu na sabiranje i množenje ima sledeće osobine:
1. komutativnost sabiranja i množenja
2. asocijativnost sabiranja i množenja
3. $0+i0$ je neutralni element za sabiranje
4. $1+i0$ je neutralni element za množenje
5. distributivnost množenja prema sabiranju
6. postoji jedinstven inverzni element za sabiranje i množenje