Kvadratne jednačine

Brojevi $a,$ $b$ i $c$ su koeficijenti jednačine: $a$ je koeficijent uz $x^2$ (vodeći koeficijent), $b$ je koeficijent uz $x,$ a $c$ je slobodan član. Uslov ${a\ne 0}$ je bitan: za ${a=0}$ ostaje jednačina ${bx+c=0},$ a ona je linearna.

Primeri. Pre nego što odredimo koeficijente, sve članove prebacujemo na levu stranu jednakosti. Znak ispred svakog člana pripada njegovom koeficijentu.

• ${2x^2-5x-3=0}$:   ${a=2},$ ${b=-5},$ ${c=-3}$
• ${x^2-9=0}$:   ${a=1},$ ${b=0},$ ${c=-9}$
• ${-x^2+4x=0}$:   ${a=-1},$ ${b=4},$ ${c=0}$
• ${3x^2=2x+1}$ zapisujemo kao ${3x^2-2x-1=0}$:   ${a=3},$ ${b=-2},$ ${c=-1}$

Kada je ${a=1},$ jednačina ima oblik ${x^2+px+q=0}.$ Svaka kvadratna jednačina može da se svede na taj oblik deljenjem obe strane sa $a.$

Broj koji zadovoljava jednačinu naziva se njeno rešenje (koren). Na primer, ${x=3}$ je rešenje jednačine ${2x^2-5x-3=0},$ jer je ${2\cdot 3^2-5\cdot 3-3}={18-15-3}={0}.$

Na ovoj stranici: Nepotpune jednačine · Formula za rešenja · Kalkulator · Izvođenje formule · Vijetove formule · Rastavljanje na činioce · Parabola · Svođenje na kvadratne · Rešeni zadaci · Sa parametrom · Vežbe

Nepotpune kvadratne jednačine

Ako je ${b=0}$ ili ${c=0},$ jednačina se naziva nepotpuna. Takve jednačine se rešavaju brzo i bez formule za rešenja.

Oblik	Kako se rešava	Rešenja
${c=0}$:   ${ax^2+bx=0}$	izvlačimo $x$ ispred zagrade: ${x(ax+b)=0}$	${x_1=0},$ ${x_2=-\frac{b}{a}}$
${b=0}$:   ${ax^2+c=0}$	${x^2=-\frac{c}{a}}$	${x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}}$ ako je ${-\frac{c}{a}\gt 0};$ nema realnih rešenja ako je ${-\frac{c}{a}\lt 0}$
${b=c=0}$:   ${ax^2=0}$	${x^2=0}$	${x=0}$

Primeri

• ${3x^2-12x=0},$ tj. ${3x(x-4)=0}.$ Proizvod je jednak nuli kada je neki od činilaca jednak nuli: ${x_1=0},$ ${x_2=4}.$
• ${2x^2-18=0},$ tj. ${x^2=9},$ odakle je ${x_{1,2}=\pm 3}.$
• ${4x^2-3=0},$ tj. ${x^2=\frac34},$ odakle je ${x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt3}{2}}.$
• ${x^2+9=0},$ tj. ${x^2=-9}.$ Kvadrat realnog broja nije negativan, pa jednačina nema realnih rešenja.
• ${5x^2=0},$ tj. ${x=0}.$

Ne delite sa $x.$ Ako jednačinu ${3x^2=12x}$ podelimo sa $x,$ dobijamo samo ${x=4}$ i gubimo rešenje ${x=0}.$ Pravilno je: ${3x^2-12x=0},$ ${3x(x-4)=0},$ odakle je ${x_1=0},$ ${x_2=4}.$

Formula za rešenja. Diskriminanta

Svaka kvadratna jednačina rešava se istom formulom.

Diskriminanta	Broj realnih rešenja	Rešenja
${D\gt 0}$	dva različita	${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}}$
${D=0}$	jedno (dvostruko)	${x_1=x_2=-\frac{b}{2a}}$
${D\lt 0}$	nema (dva konjugovano kompleksna rešenja)	—

Zašto je za ${D=0}$ rešenje dvostruko, videćemo kod rastavljanja na činioce: tada je ${ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2}.$

Kako se rešava kvadratna jednačina

1. Zapišemo jednačinu u obliku ${ax^2+bx+c=0}$ i odredimo $a,$ $b$ i $c$ zajedno sa njihovim znacima.
2. Izračunamo diskriminantu ${D=b^2-4ac}.$
3. Prema znaku diskriminante $D$ nađemo rešenja ili zaključimo da realnih rešenja nema.
4. Proverimo: zamenimo rešenja u jednačinu ili iskoristimo Vijetove formule.

Primer 1. ${x^2+3x-4=0}.$ Ovde je ${a=1},$ ${b=3},$ ${c=-4}.$

${D}={3^2-4\cdot 1\cdot(-4)}={9+16}={25}$

${x_{1,2}}={\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\cdot 1}}={\frac{-3\pm 5}{2}}$

${x_1=\frac{-3-5}{2}=-4},$   ${x_2=\frac{-3+5}{2}=1}$

Provera: ${(-4)^2+3\cdot(-4)-4}={16-12-4}={0}$ i ${1^2+3\cdot 1-4=0}.$

Primer 2. ${4x^2-12x+9=0}.$ Ovde je ${a=4},$ ${b=-12},$ ${c=9}$ i

${D}={(-12)^2-4\cdot 4\cdot 9}={144-144}={0}$

Jednačina ima jedno rešenje: ${x=-\frac{b}{2a}=\frac{12}{8}=\frac32}.$ Zaista, ${4x^2-12x+9=(2x-3)^2},$ a to je nula samo za ${x=\frac32}.$

Primer 3. ${x^2-2x+5=0}.$ Ovde je ${D}={(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5}={4-20}={-16}\lt{0},$ pa jednačina nema realnih rešenja. To se vidi i ovako: ${x^2-2x+5=(x-1)^2+4},$ a kvadrat plus 4 je najmanje 4, tj. nikada nije nula.

Primer 4. ${x^2-4x+1=0}.$ Ovde je ${D}={(-4)^2-4\cdot 1\cdot 1}={12}$ i ${\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3}$:

${x_{1,2}}={\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}}={\frac{2(2\pm\sqrt3)}{2}}={2\pm\sqrt3}$

Sa 2 delimo oba sabirka u brojiocu. Rešenja su ${x_1=2-\sqrt3\approx 0{,}27}$ i ${x_2=2+\sqrt3\approx 3{,}73}.$

Primer 5. ${-2x^2+x+6=0}.$ Zgodno je najpre pomnožiti sa $-1,$ da bi vodeći koeficijent bio pozitivan: ${2x^2-x-6=0}.$ Rešenja se ne menjaju.

${D}={(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-6)}={1+48}={49},$   ${x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4}},$   ${x_1=-\frac32},$   ${x_2=2}$

Ako su koeficijenti razlomci ili decimalni brojevi, množimo jednačinu pogodnim brojem da bi postali celi. Na primer, ${0{,}5x^2-1{,}5x+1=0}$ posle množenja sa 2 postaje ${x^2-3x+2=0},$ sa rešenjima 1 i 2.

Formula kada je koeficijent uz x paran

Ako je ${b=2k},$ formula se pojednostavljuje. Tada je ${D}={4k^2-4ac}={4(k^2-ac)},$ pa se dvojka skraćuje:

Na primer, za ${x^2-4x+1=0}$ imamo ${k=-2},$ ${D_1=4-1=3}$ i odmah ${x_{1,2}=2\pm\sqrt3},$ bez skraćivanja. Za ${3x^2+10x+3=0}$ imamo ${k=5},$ ${D_1=25-9=16}$ i ${x_{1,2}=\frac{-5\pm 4}{3}},$ tj. ${x_1=-3},$ ${x_2=-\frac13}.$

Kalkulator za kvadratne jednačine

Upišite koeficijente $a,$ $b$ i $c.$ To mogu biti celi brojevi, decimalni brojevi (na primer 0,5) ili razlomci (na primer 1/3). Prazno polje za $b$ ili $c$ znači 0. Kalkulator tačno računa diskriminantu i rešenja, proverava ih Vijetovim formulama, rastavlja trinom na činioce i nalazi teme parabole.

Izvođenje formule

Formula se dobija dopunjavanjem do potpunog kvadrata. Jednačinu ${ax^2+bx+c=0}$ delimo sa ${a\ne 0}$ i slobodan član prebacujemo na desnu stranu:

${x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}}$

Član ${\frac{b}{a}x}$ je dvostruki proizvod ${2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}}.$ Obema stranama dodajemo ${\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}}$ i leva strana postaje potpun kvadrat:

${x^2+2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}}={\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}$

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

Imenilac ${4a^2}$ je pozitivan, pa desna strana ima znak broja ${D=b^2-4ac}.$

• Ako je ${D\lt 0},$ desna strana je negativna, a kvadrat ne može biti negativan. Realnih rešenja nema.
• Ako je ${D=0},$ dobijamo ${x+\frac{b}{2a}=0},$ tj. ${x=-\frac{b}{2a}}.$
• Ako je ${D\gt 0},$ korenujemo: ${x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}}.$ (Strogo uzevši, ${\sqrt{4a^2}=2|a|},$ ali znak $\pm$ ionako obuhvata oba znaka.) Dakle, ${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}}.$

Vijetove formule

Rešenja kvadratne jednačine su na vrlo jednostavan način povezana sa njenim koeficijentima. Te veze nose ime francuskog matematičara Fransoa Vijeta (1540–1603). On je prvi počeo da slovima označava ne samo nepoznate, nego i date brojeve u jednačinama. Tako su postale moguće opšte formule poput ovih ispod.

Rečima: kod jednačine ${x^2+px+q=0}$ zbir rešenja jednak je koeficijentu uz $x$ sa suprotnim znakom, a njihov proizvod jednak je slobodnom članu.

Dokaz. Neka je ${x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}$ i ${x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}.$ Saberemo ih i pomnožimo (brojioci proizvoda daju razliku kvadrata):

${x_1+x_2}={\frac{-b-\sqrt{D}-b+\sqrt{D}}{2a}}={\frac{-2b}{2a}}={-\frac{b}{a}}$

${x_1x_2}={\frac{(-b-\sqrt{D})(-b+\sqrt{D})}{4a^2}}={\frac{b^2-D}{4a^2}}={\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}}={\frac{4ac}{4a^2}}={\frac{c}{a}}$

Za ${D=0}$ oba rešenja se poklapaju, a formule i dalje važe: ${x_1+x_2}={2\cdot\left(-\frac{b}{2a}\right)}={-\frac{b}{a}}$ i ${x_1x_2=\frac{b^2}{4a^2}=\frac{c}{a}},$ jer je ${b^2=4ac}.$

Primer. Rešenja jednačine ${2x^2-5x-3=0}$ su ${x_1=3}$ i ${x_2=-\frac12}.$ Zaista,

${x_1+x_2}={3-\frac12}={\frac52}={-\frac{-5}{2}},$   ${x_1x_2}={3\cdot\left(-\frac12\right)}={-\frac32}={\frac{-3}{2}}$

Prvo proverite da li rešenja postoje. Vijetove formule govore o rešenjima koja postoje. Za ${x^2+2x+5=0}$ bismo „dobili“ zbir $-2$ i proizvod 5, ali je ${D=4-20=-16\lt 0}$ i realnih rešenja nema. Ne postoje ni dva realna broja čiji je zbir $-2,$ a proizvod 5.

Obrnuta Vijetova teorema

Zašto je to tačno. Oslobodimo se zagrada: ${(x-x_1)(x-x_2)}={x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2}={x^2+px+q}.$ Znači, jednačina ${x^2+px+q=0}$ je isto što i ${(x-x_1)(x-x_2)=0},$ a njena rešenja su upravo $x_1$ i $x_2.$

Isto važi i u opštem obliku: ako je ${x_1+x_2=-\frac{b}{a}}$ i ${x_1x_2=\frac{c}{a}},$ onda su $x_1$ i $x_2$ rešenja jednačine ${ax^2+bx+c=0}$ (podelite jednačinu sa $a$).

Pogađanje rešenja napamet

Ako jednačina ${x^2+px+q=0}$ ima cela rešenja, često ih odmah pogodimo: tražimo dva broja čiji je proizvod $q,$ a zbir $-p.$

• ${x^2-7x+10=0}$: proizvod 10 i zbir 7. To su ${x_1=2}$ i ${x_2=5}.$
• ${x^2+x-12=0}$: proizvod $-12$ je negativan, pa su rešenja suprotnih znakova, a njihov zbir je $-1.$ To su ${x_1=-4}$ i ${x_2=3}.$
• ${x^2+8x+15=0}$: proizvod 15 je pozitivan (isti znaci), a zbir $-8$ je negativan (oba rešenja su negativna). To su ${x_1=-5}$ i ${x_2=-3}.$

Dva posebna slučaja važe za svaku kvadratnu jednačinu:

Zaista, za ${x=1}$ leva strana je ${a+b+c},$ a za ${x=-1}$ ona je ${a-b+c}.$ Drugo rešenje nalazimo iz proizvoda ${x_1x_2=\frac{c}{a}}.$ Na primer, ${5x^2-3x-2=0}$ ima rešenja 1 i ${-\frac25},$ jer je ${5-3-2=0},$ a ${2x^2+7x+5=0}$ ima rešenja $-1$ i ${-\frac52},$ jer je ${2-7+5=0}.$

Ako znamo jedno rešenje, drugo nalazimo iz Vijetovih formula. Na primer, ${x_1=2}$ je rešenje jednačine ${3x^2-7x+2=0},$ jer je ${3\cdot 4-7\cdot 2+2=0}.$ Iz ${x_1x_2=\frac23}$ sledi ${x_2=\frac13}.$

Sastavljanje jednačine sa datim rešenjima

Prema obrnutoj teoremi, brojevi $x_1$ i $x_2$ su rešenja jednačine ${x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2}={0}.$

• Rešenja 3 i $-5$: zbir je $-2,$ a proizvod $-15.$ Jednačina je ${x^2+2x-15=0}.$
• Rešenja $\frac12$ i $-3$: zbir je ${-\frac52},$ a proizvod ${-\frac32}.$ Jednačinu ${x^2+\frac52x-\frac32=0}$ množimo sa 2: ${2x^2+5x-3=0}.$
• Rešenja ${2+\sqrt3}$ i ${2-\sqrt3}$: zbir je 4, a proizvod ${4-3=1}.$ Jednačina je ${x^2-4x+1=0}$ (vidi primer 4).

Izrazi sa rešenjima bez rešavanja jednačine

Izraz koji se ne menja kada $x_1$ i $x_2$ zamene mesta može da se izrazi preko zbira ${S=x_1+x_2}$ i proizvoda ${P=x_1x_2}.$ Najčešće se koriste ovi:

Izraz	Preko $S$ i $P$
${x_1^2+x_2^2}$	${S^2-2P}$
${(x_1-x_2)^2}$	${S^2-4P}$
${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}$	${\frac{S}{P}}$
${x_1^2x_2+x_1x_2^2}$	${SP}$
${x_1^3+x_2^3}$	${S^3-3SP}$
${\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}}$	${\frac{S^2-2P}{P}}$

Na primer, ${x_1^2+x_2^2}={(x_1+x_2)^2-2x_1x_2},$ jer je ${(x_1+x_2)^2}={x_1^2+2x_1x_2+x_2^2},$ a ${x_1^3+x_2^3}={(x_1+x_2)^3}-{3x_1x_2(x_1+x_2)}.$

Primer. Bez rešavanja jednačine ${x^2-6x+4=0}$ izračunajte ${x_1^2+x_2^2},$ ${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}},$ ${x_1^3+x_2^3}$ i ${|x_1-x_2|}.$

Rešenje. ${D=36-16=20\gt 0},$ pa rešenja postoje. ${S=6},$ ${P=4}$ i

${x_1^2+x_2^2}={S^2-2P}={36-8}={28}$

${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}=\frac64=\frac32}$

${x_1^3+x_2^3}={S^3-3SP}={216-72}={144}$

${(x_1-x_2)^2}={S^2-4P}={36-16}={20},$ pa je ${|x_1-x_2|=\sqrt{20}=2\sqrt5}$

Provera: rešenja su ${3\pm\sqrt5},$ i na primer ${(3+\sqrt5)^2+(3-\sqrt5)^2}={(14+6\sqrt5)}+{(14-6\sqrt5)}={28}.$

Uopšte, ${|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{|a|}}$: rastojanje između rešenja zavisi samo od diskriminante i od $a.$

Znaci rešenja

Neka jednačina ima realna rešenja (${D\ge 0}$). Njihovi znaci se određuju iz $S$ i $P,$ bez računanja samih rešenja:

Uslov	Rešenja su
${P\lt 0}$	suprotnih znakova
${P\gt 0},$ ${S\gt 0}$	oba pozitivna
${P\gt 0},$ ${S\lt 0}$	oba negativna
${P=0}$	0 i $S$

Ako je ${P=\frac{c}{a}\lt 0},$ onda su $a$ i $c$ suprotnih znakova, ${-4ac\gt 0}$ i ${D=b^2-4ac\gt 0}.$ Zato takva jednačina uvek ima dva rešenja suprotnih znakova.

Primer. Za ${2x^2-9x+4=0}$ imamo ${D=81-32=49\gt 0},$ ${P=2\gt 0}$ i ${S=\frac92\gt 0}.$ Oba rešenja su pozitivna (to su 4 i $\frac12$). Jednačina ${x^2+5x-3=0}$ ima ${P=-3\lt 0},$ pa su njena rešenja suprotnih znakova. Pošto je ${S=-5\lt 0},$ negativno rešenje ima veću apsolutnu vrednost.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce

Izraz ${ax^2+bx+c}$ naziva se kvadratni trinom. Rešenja jednačine ${ax^2+bx+c=0}$ omogućavaju da ga rastavimo na činioce:

Zašto je to tačno. Prema Vijetovim formulama

${a(x-x_1)(x-x_2)}={a\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr)}={a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)}={ax^2+bx+c}$

Primer 1. ${2x^2-5x-3}$ ima rešenja 3 i ${-\frac12},$ pa je ${2x^2-5x-3}={2(x-3)\left(x+\frac12\right)}={(x-3)(2x+1)}.$

Primer 2. Skratite razlomak ${\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}}.$

Rešenje. Rešenja jednačine ${x^2-5x+6=0}$ su 2 i 3, pa je ${x^2-5x+6}={(x-2)(x-3)}.$ Osim toga, ${x^2-9=(x-3)(x+3)}.$ Za ${x\ne\pm 3}$

${\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}}={\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}={\frac{x-2}{x+3}}$

Kvadratna funkcija i parabola

Funkcija ${y=ax^2+bx+c},$ gde je ${a\ne 0},$ naziva se kvadratna funkcija, a njen grafik je parabola. Rešenja jednačine ${ax^2+bx+c=0}$ su $x$-koordinate zajedničkih tačaka parabole i $x$-ose.

Grafik funkcije ${y=x^2-2x-3}$: rešenja $-1$ i 3, teme ${(1;\ -4)},$ osa simetrije ${x=1}.$

• Za ${a\gt 0}$ grane parabole su okrenute naviše i teme je njena najniža tačka. Za ${a\lt 0}$ grane su okrenute naniže i teme je najviša tačka.
• Teme: ${\left(-\frac{b}{2a};\ -\frac{D}{4a}\right)}.$ Osa simetrije: prava ${x=-\frac{b}{2a}}.$
• Parabola seče $y$-osu u tački ${(0;\ c)}.$
• Osa simetrije prolazi tačno na sredini između rešenja: ${\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}}.$ To je opet Vijetova formula za zbir.

Parabola ima sa $x$-osom onoliko zajedničkih tačaka koliko jednačina ima rešenja, pa njihov broj zavisi od znaka $D$:

Za ${D\gt 0}$ parabola seče $x$-osu u dve tačke, za ${D=0}$ dodiruje je svojim temenom, a za ${D\lt 0}$ nema zajedničkih tačaka sa njom.

Tri oblika kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija može da se zapiše na tri načina. Svaki od njih pokazuje drugu osobinu grafika:

Oblik	Šta se vidi	Primer
Opšti oblik ${y=ax^2+bx+c}$	presek sa $y$-osom: ${(0;\ c)}$	${y=2x^2+4x-30},$ tačka ${(0;\ -30)}$
Kanonski oblik ${y=a(x-m)^2+n}$	teme ${(m;\ n)}$ i osa ${x=m}$	${y=2(x+1)^2-32},$ teme ${(-1;\ -32)}$
Faktorisani oblik ${y=a(x-x_1)(x-x_2)}$	rešenja $x_1$ i $x_2$	${y=2(x-3)(x+5)},$ rešenja 3 i $-5$

Sva tri primera su ista funkcija: ${2(x+1)^2-32}={2x^2+4x+2-32}={2x^2+4x-30}$ i ${2(x-3)(x+5)}={2(x^2+2x-15)}={2x^2+4x-30}.$ Više o grafiku: Uputstvo za crtanje parabole.

Jednačine koje se svode na kvadratne

Mnoge jednačine višeg stepena ili sa razlomcima rešavaju se tako što ih pogodnom smenom ili transformacijom svedemo na kvadratnu jednačinu.

Primer 1. ${3x^4-2x^2-1=0}.$ Jednačina je četvrtog stepena, ali sadrži samo $x^4$ i $x^2$ (bikvadratna jednačina). Uvodimo smenu ${x^2=u},$ gde je ${u\ge 0}$:

${3u^2-2u-1=0}$

Pošto je ${3-2-1=0},$ rešenja su ${u_1=1}$ i ${u_2=-\frac13}.$ Drugo je negativno i ne odgovara, jer je ${x^2\ge 0}.$ Iz ${x^2=1}$ dobijamo ${x_{1,2}=\pm 1}.$

Primer 2. ${(x^2-2x+3)^2}-{5(x^2-2x+3)+4}={0}.$ Uvodimo smenu ${x^2-2x+3=u}$ i dobijamo ${u^2-5u+4=0},$ sa rešenjima ${u_1=1}$ i ${u_2=4}$ (proizvod 4 i zbir 5).

• ${x^2-2x+3=4},$ tj. ${x^2-2x-1=0}.$ Ovde je ${D_1=1+1=2}$ i ${x_{1,2}=1\pm\sqrt2}.$
• ${x^2-2x+3=1},$ tj. ${x^2-2x+2=0}.$ Ovde je ${D_1=1-2=-1\lt 0},$ pa realnih rešenja nema.

Odgovor: ${x_{1,2}=1\pm\sqrt2}.$ Drugi slučaj je mogao odmah da se odbaci: ${x^2-2x+3}={(x-1)^2+2}\ge{2},$ pa taj izraz ne može biti jednak 1.

Primer 3. ${\frac{x}{x-1}-\frac{2}{x+1}=\frac{4}{x^2-1}}.$ Dozvoljene vrednosti su ${x\ne\pm 1}.$ Množimo zajedničkim imeniocem ${x^2-1=(x-1)(x+1)}$:

${x(x+1)-2(x-1)=4},$   ${x^2-x-2=0}$

Rešenja su ${x_1=2}$ i ${x_2=-1}$ (${a-b+c=1+1-2=0}$). Broj $-1$ nije dozvoljen, jer anulira imenioce ${x+1}$ i ${x^2-1}.$ Odgovor: ${x=2}.$

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Rešite jednačinu ${x^2-4=0}.$

Rešenje. Rastavimo razliku kvadrata: ${(x-2)(x+2)=0},$ odakle je ${x_1=2}$ i ${x_2=-2}.$ Isto daje i formula: ${a=1},$ ${b=0},$ ${c=-4},$ ${D}={0^2-4\cdot 1\cdot(-4)}={16}$ i ${x_{1,2}=\frac{0\pm 4}{2}=\pm 2}.$

Zadatak 2. Rešite jednačinu ${3x^2+4x+5=0}.$

Rešenje. ${D}={4^2-4\cdot 3\cdot 5}={16-60}={-44}\lt{0}.$ Jednačina nema realnih rešenja.

Zadatak 3. Rešite jednačinu ${x^2+4x-5=0}.$

Rešenje. ${D}={4^2-4\cdot 1\cdot(-5)}={16+20}={36}$ i ${x_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}},$ tj. ${x_1=1},$ ${x_2=-5}.$ Brže: ${a+b+c=1+4-5=0},$ pa je ${x_1=1}$ i ${x_2=\frac{c}{a}=-5}.$

Zadatak 4. Rešite jednačinu ${x^2+4x+4=0}.$

Rešenje. ${D=4^2-4\cdot 1\cdot 4=0},$ pa jednačina ima jedno rešenje: ${x=-\frac{4}{2}=-2}.$ Zaista, ${x^2+4x+4=(x+2)^2}.$

Zadatak 5. Rešite jednačinu ${x^2-13x+12=0}$ i skicirajte grafik funkcije ${f(x)=x^2-13x+12}.$

Rešenje. ${a+b+c=1-13+12=0},$ pa je ${x_1=1}$ i ${x_2=12}.$ Za grafik: ${a=1\gt 0},$ pa su grane okrenute naviše. Parabola seče $x$-osu u tačkama ${(1;\ 0)}$ i ${(12;\ 0)},$ a $y$-osu u tački ${(0;\ 12)}.$ Teme je na sredini između rešenja: ${x=\frac{1+12}{2}=6{,}5},$ a sa ${D=169-48=121}$ dobijamo ${f(6{,}5)}={-\frac{D}{4a}}={-\frac{121}{4}}={-30{,}25}.$

Zadatak 6. Rešite jednačinu ${8x^2-30x+7=0}.$

Rešenje. Koeficijent uz $x$ je paran: ${k=-15},$ ${D_1}={(-15)^2-8\cdot 7}={225-56}={169}$ i

${x_{1,2}=\frac{15\pm 13}{8}},$   ${x_1=\frac{2}{8}=\frac14=0{,}25},$   ${x_2=\frac{28}{8}=\frac72=3{,}5}$

Zadatak 7. Površina pravougaonika je 40 cm², a obim 26 cm. Odredite njegove stranice.

Rešenje. Neka su stranice $x$ i $y.$ Tada je ${x+y=13}$ i ${xy=40}.$ Prema obrnutoj Vijetovoj teoremi, $x$ i $y$ su rešenja jednačine

${t^2-13t+40=0},$   ${D=169-160=9},$   ${t_{1,2}=\frac{13\pm 3}{2}}$

tj. ${t_1=5}$ i ${t_2=8}.$ Stranice su 5 cm i 8 cm.

Zadatak 8. Proizvod dva uzastopna prirodna broja je 156. Koji su to brojevi?

Rešenje. Neka su brojevi $n$ i ${n+1}.$ Tada je ${n(n+1)=156},$ tj. ${n^2+n-156=0}.$

${D=1+624=625},$   ${n_{1,2}=\frac{-1\pm 25}{2}},$   ${n_1=-13},$   ${n_2=12}$

Broj $-13$ nije prirodan. Traženi brojevi su 12 i 13. Provera: ${12\cdot 13=156}.$

Zadatak 9. Lopta je bačena vertikalno naviše. Posle $t$ sekundi ona je na visini ${h=20t-5t^2}$ metara. Kada je lopta na visini 15 m? Kada pada na zemlju? Koliko visoko se penje?

Rešenje. ${20t-5t^2=15},$ tj. ${5t^2-20t+15=0},$ a posle deljenja sa 5: ${t^2-4t+3=0}.$ Rešenja su ${t_1=1}$ i ${t_2=3}$ (${1-4+3=0}$). Lopta je na visini 15 m dva puta: posle 1 s dok se penje i posle 3 s dok pada.

Lopta je na zemlji kada je ${h=0}$: ${5t(4-t)=0},$ tj. za ${t=0}$ (trenutak bacanja) i za ${t=4}$ s. Najviša tačka je teme parabole: ${t=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2}$ s i ${h=20\cdot 2-5\cdot 2^2=20}$ m.

Zadatak 10. Zbir nekog broja i njegove recipročne vrednosti je ${\frac{10}{3}}.$ Koji je to broj?

Rešenje. ${x+\frac1x=\frac{10}{3}},$ ${x\ne 0}.$ Množimo sa $3x$: ${3x^2+3=10x},$ tj. ${3x^2-10x+3=0}.$ Ovde je ${k=-5},$ ${D_1=25-9=16}$ i ${x_{1,2}=\frac{5\pm 4}{3}},$ tj. ${x_1=\frac13}$ i ${x_2=3}.$ Oba broja su rešenja: ${3+\frac13=\frac{10}{3}}.$

Kvadratne jednačine sa parametrom

U jednačini sa parametrom neki koeficijenti zavise od nekog slova (parametra). Rešiti takvu jednačinu znači reći kakva su rešenja za svaku vrednost parametra. Ako vodeći koeficijent zavisi od parametra, posebno razmatramo slučaj kada je on nula, jer tada jednačina nije kvadratna.

Zadatak 1. Rešite jednačinu ${x^2-3x+p+1=0}$ sa parametrom $p.$

Rešenje. ${D}={(-3)^2-4(p+1)}={9-4p-4}={5-4p}.$

• Za ${p\lt\frac54}$ je ${D\gt 0}$ i jednačina ima dva rešenja: ${x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5-4p}}{2}}.$
• Za ${p=\frac54}$ je ${D=0}$ i jednačina ima jedno rešenje: ${x=\frac32}.$
• Za ${p\gt\frac54}$ je ${D\lt 0}$ i jednačina nema realnih rešenja.

Zadatak 2. Odredite vrednosti $k$ za koje jednačina ${kx^2-x+2=0}$ ima tačno jedno realno rešenje ili nema realnih rešenja.

Rešenje. Za ${k=0}$ jednačina je linearna: ${-x+2=0},$ i ima jedno rešenje ${x=2}.$ Ta vrednost je rešenje zadatka.

Za ${k\ne 0}$ jednačina je kvadratna. Ona ima jedno rešenje ili nema rešenja tačno onda kada je ${D\le 0}$:

${D}={(-1)^2-4\cdot k\cdot 2}={1-8k}\le{0},$   tj. ${k\ge\frac18}$

Odgovor: ${k=0}$ ili ${k\ge\frac18},$ tj. ${k\in\{0\}\cup\left[\frac18,\ +\infty\right)}.$ Vrednost ${k=\frac18}$ je uključena: tada je ${D=0}$ i jednačina ${\frac18x^2-x+2=0}$ ima jedno rešenje ${x=4}.$

Zadatak 3. Odredite $m$ ako za rešenja jednačine ${x^2+mx+12=0}$ važi ${x_1=3x_2}.$

Rešenje. Neka su rešenja $x_2$ i ${x_1=3x_2}.$ Prema Vijetovim formulama ${x_1x_2=3x_2^2=12},$ odakle je ${x_2^2=4}$ i ${x_2=\pm 2}.$

• Za ${x_2=2}$: ${x_1=6}$ i ${m=-(x_1+x_2)=-8}.$ Jednačina ${x^2-8x+12=0}$ ima rešenja 2 i 6.
• Za ${x_2=-2}$: ${x_1=-6}$ i ${m=8}.$ Jednačina ${x^2+8x+12=0}$ ima rešenja $-2$ i $-6.$

Odgovor: ${m=-8}$ ili ${m=8}.$

Zadatak 4. Odredite $k$ ako rešenja jednačine ${x^2+(k-2)x+4-2k=0}$ zadovoljavaju uslov ${x_1^2+x_2^2=5}.$

Rešenje. ${S=x_1+x_2=2-k}$ i ${P=x_1x_2=4-2k}.$ Tada je

${x_1^2+x_2^2}={S^2-2P}={(2-k)^2-2(4-2k)}={k^2-4}$

Iz ${k^2-4=5}$ dobijamo ${k=3}$ ili ${k=-3}.$ Međutim, Vijetove formule važe samo kada rešenja postoje, pa proveravamo diskriminantu:

• ${k=3}$: jednačina je ${x^2+x-2=0}$ i ${D=1+8=9\gt 0}.$ Rešenja su 1 i $-2,$ i zaista ${1^2+(-2)^2=5}.$
• ${k=-3}$: jednačina je ${x^2-5x+10=0}$ i ${D=25-40=-15\lt 0}.$ Realnih rešenja nema.

Odgovor: ${k=3}.$

Zadatak 5. Rešite jednačinu ${\frac{x+k}{k}+\frac{x}{x-k}=\frac{x-k}{2k}}$ sa parametrom $k.$

Rešenje. Jednačina ima smisla za ${k\ne 0}$ i ${x\ne k}.$ Množimo sa ${2k(x-k)}$:

${2(x+k)(x-k)+2kx}={(x-k)^2}$

${2x^2-2k^2+2kx}={x^2-2kx+k^2}$

${x^2+4kx-3k^2=0}$

Koeficijent uz $x$ je paran: ${D_1}={(2k)^2+3k^2}={7k^2}\gt{0},$ jer je ${k\ne 0}.$ Zato je

${x_{1,2}}={-2k\pm\sqrt{7k^2}}={-2k\pm\sqrt7\,|k|}={(-2\pm\sqrt7)k}$

(znak $\pm$ obuhvata i znak broja $k$: $\pm|k|$ i $\pm k$ daju ista dva broja). Ostaje da proverimo uslov ${x\ne k}$: iz ${(-2\pm\sqrt7)k=k}$ sledi ${(-3\pm\sqrt7)k=0},$ a to je nemoguće, jer je ${k\ne 0}$ i ${\sqrt7\ne 3}.$

Odgovor: za ${k=0}$ jednačina nema smisla, a za svako ${k\ne 0}$ rešenja su ${x_{1,2}=(-2\pm\sqrt7)k}.$

Vežbe

Pokušajte sami, a zatim otvorite rešenje.

1. Rešite jednačinu ${x^2-8x+15=0}.$

Tražimo dva broja čiji je proizvod 15, a zbir 8: ${x_1=3},$ ${x_2=5}.$ Formulom: ${D=64-60=4}$ i ${x_{1,2}=\frac{8\pm 2}{2}}.$

2. Rešite jednačinu ${2x^2+3x-2=0}.$

${D=9+16=25},$ ${x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}},$ tj. ${x_1=-2},$ ${x_2=\frac12}.$

3. Rešite jednačinu ${9x^2-6x+1=0}.$

${D=36-36=0}$ i jednačina ima jedno rešenje ${x=\frac{6}{18}=\frac13}.$ Zaista, ${9x^2-6x+1=(3x-1)^2}.$

4. Rešite jednačinu ${x^2+x+1=0}.$

${D=1-4=-3\lt 0}.$ Jednačina nema realnih rešenja.

5. Rešite jednačinu ${5x^2-20=0}.$

${x^2=4},$ odakle je ${x_{1,2}=\pm 2}.$

6. Rešite jednačinu ${x^2-6x+7=0}.$

${k=-3},$ ${D_1=9-7=2}$ i ${x_{1,2}=3\pm\sqrt2}.$

7. Bez rešavanja jednačine ${x^2-3x-7=0}$ izračunajte ${x_1^2+x_2^2}$ i ${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}.$

${D=9+28=37\gt 0},$ ${S=3}$ i ${P=-7}.$ Tada je ${x_1^2+x_2^2}={S^2-2P}={9+14}={23}$ i ${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}=-\frac37}.$

8. Sastavite kvadratnu jednačinu sa celim koeficijentima čija su rešenja $-2$ i ${\frac53}.$

${S=-2+\frac53=-\frac13}$ i ${P=-2\cdot\frac53=-\frac{10}{3}}.$ Jednačinu ${x^2+\frac13x-\frac{10}{3}=0}$ množimo sa 3: ${3x^2+x-10=0}.$

9. Jedno rešenje jednačine ${x^2+px-12=0}$ je 4. Odredite $p$ i drugo rešenje.

${x_1x_2=-12},$ pa je ${x_2=-3}.$ Iz ${x_1+x_2=1=-p}$ dobijamo ${p=-1}.$ Provera: ${4^2-4-12=0}.$

10. Za koju vrednost $m$ jednačina ${x^2-6x+m=0}$ ima jedno (dvostruko) rešenje?

${D=36-4m=0}$ za ${m=9}.$ Tada je ${x^2-6x+9=(x-3)^2}$ i rešenje je ${x=3}.$

11. Dužina pravougaonika je za 3 cm veća od širine, a površina mu je 54 cm². Odredite stranice.

Ako je širina $x$ cm, onda je ${x(x+3)=54},$ tj. ${x^2+3x-54=0}.$ ${D=9+216=225}$ i ${x_{1,2}=\frac{-3\pm 15}{2}}.$ Pozitivno rešenje je ${x=6}.$ Stranice su 6 cm i 9 cm.

Pogledajte i: Bikvadratne jednačine · Kvadratne nejednačine · Uputstvo za crtanje parabole

Svoja rešenja možete da proverite i programom za rešavanje zadataka.