Kvadratne jednačine

Kvadratne jednačine su jednačine oblika: ax2 + bx + c = 0
gde su a,b,c realni brojevi, i a ≠ 0 (to linearna jednačina).
Svaka kvadratna jednačina može imati 0, 1 ili 2 realna rešenja izvedena iz formule:

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Broj D = b2 - 4ac se naziva "diskriminanta".
Ako je D < 0, onda kvadratna jednačina nema realnih rešenja (ima 2 kompleksna rešenja).
Ako je D = 0, onda kvadratna jednačina ima jedno rešenje $x = - \frac{b}{2a}$
Ako je D > 0, onda kvadratna jednačina ima 2 različita rešenja.

Primer:
Rešimo kvadratnu jednačinu: x2 + 3x - 4 = 0
a = 1, b = 3, c = -4
$x=\frac{-(3) \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = $
$ = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = $
$\frac{-3 \pm 5}{2} = \begin{cases} \frac{-3 - 5}{2} = -4 \\ \frac{-3 + 5}{2} = 1\end{cases}$

Parabola

Grafik kvadratne jednačine nazivamo parabola.
Ako je a > 0, onda ona ima minimum:

parabola sa minimumom
Ako je a < 0, onda ona ima maksimum:
parabola sa maksimumom
Ako je a = 0 grafik nije parabola nego je prava.

Ekstremumi parabole su u tački $x = -\frac{b}{2a}$.

Vietove formule

Ako su x1 i x2 koreni kvadratne jednačine ax2 + bx + c = 0 onda:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
Ove formule se nazivaju Vietove formule.
Korene x1 i x2 kvadratne jednačine možemo naći rešavanjem sistema jednačina.

Zadaci

Zadatak 1. Reši jednačinu:
x2 - 4 = 0
Rešenje: x2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
(x - 2)(x + 2) = 0
x - 2 = 0 or x + 2 = 0
Koreni su x = 2 i x = -2

Rešenje 2: a = 1, b = 0, c = -4
D = 02 - 4 ⋅ 1 ⋅ (-4) = 16
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{- 0 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{- 0 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$


Zadatak 2. Reši jednačinu:
3x2 + 4x + 5 = 0
Rešenje: diskriminanta je D = 42 - 4⋅3⋅5 = 16 - 60 = -44 < 0
Tako da kvadratna jednačina nema realne korene.


Zadatak 3. Reši jednačinu:
x2 + 4x - 5 = 0; x = ?
Rešenje: Diskriminanta je 42 - (-4⋅1⋅5) = 16 + 20 = 36 > 0
Jednačina ima 2 realna korena: $\frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}$
x = 1 or x = -5


Zadatak 4. Reši jednačinu:
x2 + 4x + 4 = 0; x = ?
Rešenje: Diskriminanta je 42 - (4⋅1⋅4) = 16 - 16 = 0
Znači postoji jedno realno rešenje: $x = \frac{-4}{2}$
x = -2


Zadatak 5. Reši jednačinu:
x2 - 13x + 12 = 0
Koreni: 1, 12


Zadatak 6. Reši jednačinu:
8x2 - 30x + 7 = 0
Koreni: 3.5, 0.25

Besplatan softver za rešavanje kvadratnih jednačina

x2 x = 0
a = 1, b = 1, c = 1
D = (1)2 - 4⋅1⋅1 = -3
Jednačina nema realna rešenja.

Izvođenje formule

Koristeći metodu "Dopuna do potpunog kvadrata"

$ax^2 + bx + c = 0$
$ax^2 + bx = -c$
$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
Dodajte konstantu $\frac{b^2}{4a^2}$ na obe strane jednačine tako da leva strana postane potpun kvadrat

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}= -\frac{c}{a}+ \frac{b^2}{4a^2}$

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}= -\frac{4ac}{4a^2}+ \frac{b^2}{4a^2}$

$(x + \frac{b}{2a})^2= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

$x + \frac{b}{2a}= \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

$x = -\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Dodatni izvori koji obuhvataju kvadratne jednačine

Zadaci sa kvadratnim jednačinama
Zadaci-Vietove formule


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2019