Kvadratne nejednačine

Opšta forma kvadratne nejednačine, nakon što prebacimo sve izraze na jednu stranu nejednačine, je jedna od formi prikazanih ispod.

$ax^2+bx+c > 0$   ili   $ax^2+bx+c \geq 0$   ili   $ax^2+bx+c < 0$   ili   $ax^2+bx+c \leq 0$       (1)

Kada je $a \neq 0$ i takođe $b, c \in \mathbb{R}$

Svrha rešavanja svake nejednačine prikazane iznad je da se pronađe set realnih brojeva koje možemo zameniti umesto $x$ a da nejednačina ostane u tačna.

Na primer, tvrdimo da je $x = 1$ jedno od rešenja nejednačine $x^2 - \frac{1}{2} > 0$. Ako stavimo 1 umesto svih $x$ u nejednačini zaključuili bismo da je $1^2 - \frac{1}{2} > 0 \rightarrow \frac{1}{2} > 0$
što je uvek tačno. Stoga, $x = 1$ jeste jedno od rešenja nejednačine.

Sada ćemo da objasnimo kako da rešimo (1) nejednačine.

Prvo, treba da pogledamo u povezane jednačine sa dve varijable, $y = ax^2+bx+c$, i da razmotrimo kada je $ax^2+bx+c$ jednako nuli:

$ax^2+bx+c = 0 \rightarrow a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}) = 0 \rightarrow^{a \neq 0} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0 \rightarrow$
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2} = 0 \rightarrow (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0 \rightarrow$
$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow $
$x = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Ovo ukazuje da grafik kvadratne nejednačine seče x osu u tačkama $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ i $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Ove nule dele brojevnu pravu na tri intervala:

        $(-\infty, x_1)$   ,   $[x_1,x_2]$   ,   $(x_2,+\infty)$

Sa pretpostavkom da je $x_1 < x_2$.

Neka je sada $\Delta = b^2 - 4ac$.

Možemo razmotriti tri sledeća slučaja:

1. $\Delta > 0$
2. $\Delta = 0$
3. $\Delta < 0$

Slučaj 1:

Ako je $\Delta > 0$

onda $ax^2+bx+c$ ima dva različita korena $(x_1 \neq x_2)$.
Ako je $a>0$ onda je njen grafik "Figura a".
Ako je $a<0$ onda je njen grafik kao "Figura b". Stoga, ako je $a>0$ i takođe ako imamo $ax^2+bx+c \geq 0 (ax^2+bx+c > 0)$ onda je skup odgovora:
$(-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)$       $((-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty))$
I ako imamo $ax^2+bx+c \leq 0 (ax^2+bx+c < 0)$ onda je skup rešenja:
$[x_1,x_2]$         $((x_1,x_2))$
Sa druge strane, ako je $a < 0$ i takođe ako imamo $ax^2+bx+c \geq 0 (ax^2+bx+c > 0)$ onda je skup odgovora:
$[x_1,x_2]$         $((x_1,x_2))$
I ako imamo $ax^2+bx+c \leq 0 (ax^2+bx+c < 0)$ onda je skup rešenja:
$(-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)$       $((-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty))$

Slučaj 2:

Ako je $\Delta = 0$

onda $ax^2+bx+c = 0$ ima samo jedan koren $(x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a})$. Ako je $a>0$ onda njen grafik izgleda kao "Figura c" i ako je $a<0$ onda je njen grafik "Figura d".

Ako je $ax^2+bx+c \geq 0$ i a > 0 onda su rešenja svi realni brojevi.
Ako je a > 0 i $ax^2 + bx + c > 0$ (ili a < 0 i $ax^2 + bx + c < 0$) onda je skup rešenja $R - \{\frac{-b}{2a}\}$(Svi brojevi osim $\{\frac{-b}{2a}\}$)

Jasno je da ako je a < 0 i $ax^2 + bx + c \geq 0$(ili a > 0 i $ax^2 + bx + c \le 0$) nejednačina ima samo jedno rešenje i ono je $\{\frac{-b}{2a}\}$ i takođe
ako je a < 0 i $ax^2 + bx + c > 0$(ili a > 0 i $ax^2 + bx + c < 0$) onda nejednačina nema realnih rešenja.

Slučaj 3:

Ako je $\Delta < 0$

onda $ax^2+bx+c=0$ nema koren. Ako je $a>0$ onda je njen grafik "Figura e" i ako je $a<0$ onda je grafik "Figura f".


Ako je $ax^2 + bx + c \ge 0$ ili $ax^2 + bx + c > 0$ i $a > 0$(ili $ax^2 + bx + c < 0$ i $a < 0$) onda su rešenja svi realni brojevi.
Jasno je da, ako je $ax^2 + bx + c > 0$ i $a < 0$(ili $ax^2 + bx + c < 0$ i $a > 0$), onda kvadratna nejednačina nema realnih rešenja.

Primer 1: Nađi skup rešenja nejednačine $x^2 + 3x - 10 > 0$.

Rešenje: Prema onome navedenom iznad

$\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \rightarrow \Delta > 0 \rightarrow x^2 + 3x - 10$ ima dva različita korena:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Sa druge strane je $a > 0$, stoga je skup rešenja nejednačine prema slučaju 1 i "Figuri a" :

$(-\infty, -5) \cup (2, +\infty)$

Primer 2: Nađi skup rešenja $x^2 + 5x - 6 \geq 0$.

Rešenje: Prema gore navedenom

$\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = 5^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 \rightarrow \Delta > 0$
$x^2 + 5x - 6 = 0$ ima dva različita korena i to:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Sa druge strane je $a > 0$, stoga, skup rešenja nejednačine prema slučaju 1 i "Figuri a" je:

$(-\infty, -6] \cup [1, +\infty)$

Primer 3: Nađi skup rešenja $x^2 - 2x + 1 \geq 0$.

Rešenje: Prema gore navedenom

$\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0 \rightarrow \Delta = 0$
$x^2 - 2x + 1 = 0$ ima samo jedan koren i to:

$x_1 = x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{0}}{2 \times 1} = \frac{2 \pm 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Sa druge strane $a > 0$, stoga je skup rešenja nejednačine prema slučaju 1 i "Figuri c" : $\mathbb{R}$

Primer 4: Nađi skup rešenja $x^2 - 2x + 1 < 0$.

Rešenje: Prema gore navedenom

$\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0 \rightarrow \Delta = 0$
$x^2 - 2x + 1$ ima samo jedan koren i to:

$x_1 = x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{0}}{2 \times 1} = \frac{2 \pm 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Sa druge strane je $a > 0$, pa je $x^2 - 2x + 1 \geq 0$ stoga, sudeći po svemu rečenom ovde i grafiku iz predhodnog primera $x^2 - 2x + 1 < 0$ nema rešenje među realnim brojevima.

Primer 5: Nađi skup rešenja nejednačine $-x^2 - 7x + 8 < 0$.

Rešenje: Prema gore navedenom

$\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = (-7)^2 - 4(-1)(8) = 49 + 32 = 81 \rightarrow \Delta > 0$
$-x^2 - 7x + 8$ ima dva različita korena i to:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \times (-1)} = \frac{7 + 9}{-2} = \frac{16}{-2} = -8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \times (-1)} = \frac{7 - 9}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$

Sa druge strane $a > 0$, stoga je skup rešenja nejednačine prema slučaju 1 i "Figuri a" :

$(-\infty, -8) \cup (1, +\infty)$

Primer 6: Nađi skup rešenja nejednačine $x^2 + 1 > 0$.

Rešenje: Prema gore navedenom

$\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = 0^2 - 4(1)(1) = 0 - 4 = -4 \rightarrow \Delta < 0$
$x^2 + 1 = 0$ nema koren među realnim brojevima. Sa druge strane je $a > 0$, stoga, skup rešenja nejednačine $x^2 + 1 > 0$ je $\mathbb{R}$