Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je niz brojeva u kome se svaki član, počev od drugog, dobija kada se prethodnom članu doda uvek isti broj. Taj broj se označava sa $d$ i zove se razlika progresije.

Primeri

• $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots$ je aritmetička progresija sa razlikom ${d=1}.$
• $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$ je aritmetička progresija sa razlikom ${d=3},$ jer je ${7-4}={10-7}={13-10}={3}.$
• $20,\ 10,\ 0,\ -10,\ -20,\ \ldots$ je aritmetička progresija sa razlikom ${d=-10}.$
• $5,\ 5,\ 5,\ 5,\ \ldots$ je takođe aritmetička progresija, sa razlikom ${d=0}.$
• $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \ldots$ nije aritmetička progresija: razlike ${2-1=1}$ i ${4-2=2}$ nisu jednake. (Ovde je svaki član dva puta veći od prethodnog. Takav niz je geometrijska progresija.)

Razliku dobijamo kada od bilo kog člana oduzmemo prethodni: ${d=a_2-a_1}={a_3-a_2}=\ldots$

Na ovoj stranici: Označavanje · Formula za $n$-ti član · Svojstva · Zbir prvih $n$ članova · Kalkulator · Rešeni zadaci · Vežbe

Označavanje

• $a_1$ je prvi član progresije;
• $a_n$ je $n$-ti član (opšti član), a $n$ je njegov redni broj;
• $d$ je razlika: ${d=a_{n+1}-a_n}$ za svako $n;$
• $S_n$ je zbir (suma) prvih $n$ članova: ${S_n}={a_1+a_2+\ldots+a_n}.$ Zbir članova aritmetičke progresije zove se i aritmetički red.

Ako je ${d\gt 0},$ svaki član je veći od prethodnog i progresija je rastuća. Ako je ${d\lt 0},$ progresija je opadajuća. Ako je ${d=0},$ svi članovi su jednaki i progresija je konstantna.

Formula za $n$-ti član

Krećemo od $a_1$ i dodajemo $d$ ponovo i ponovo:

${a_2=a_1+d},$   ${a_3}={a_2+d}={a_1+2d},$   ${a_4=a_1+3d},$   ${a_5=a_1+4d},$   $\ldots$

Do člana $a_n$ stižemo posle ${n-1}$ koraka, pa smo prvom članu $a_1$ dodali razliku $d$ tačno ${n-1}$ puta:

Primer. Nađite dvadeseti član progresije $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$

Ovde je ${a_1=4}$ i ${d=3},$ pa je

${a_{20}}={a_1+19d}={4+19\cdot 3}={61}$

Od $a_1$ do $a_{20}$ ima 19 koraka, a ne 20. Zato se razlika množi sa ${n-1},$ a ne sa $n.$

Možemo krenuti i od bilo kog drugog člana $a_k.$ Od $a_k$ do $a_n$ ima ${n-k}$ koraka:

Primer. U aritmetičkoj progresiji je ${a_3=7}$ i ${a_8=22}.$ Nađite $a_1$ i $d.$

Od $a_3$ do $a_8$ ima 5 koraka, pa je

${d}={\frac{a_8-a_3}{8-3}}={\frac{22-7}{5}}={3},$   ${a_1}={a_3-2d}={7-6}={1}$

Progresija je $1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$

Članovi leže na pravoj

Formula za opšti član može da se zapiše i ovako: ${a_n}={a_1+(n-1)d}={dn+(a_1-d)}.$ To je linearna funkcija rednog broja $n.$ Ako ucrtamo tačke ${(n;\ a_n)},$ one leže na jednoj pravoj, a razlika $d$ pokazuje za koliko se prava podigne pri svakom koraku udesno. Za progresiju $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$ je ${a_n=3n+1}$:

Tačke ${(n;\ a_n)}$ progresije ${a_n=3n+1}.$ Svaka sledeća je za ${d=3}$ viša.

Svojstva

Svaki član je aritmetička sredina svojih suseda

Prethodni član je ${a_{n-1}=a_n-d},$ a sledeći je ${a_{n+1}=a_n+d}.$ Kada ih saberemo, $d$ se skrati: ${a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n}.$ Prema tome

Svaki član (osim prvog) je aritmetička sredina prethodnog i sledećeg člana. Odatle i potiče ime progresije. Važi i obrnuto: ako je svaki član, osim prvog, aritmetička sredina svojih suseda, niz je aritmetička progresija.

Zato tri broja $a,$ $b,$ $c$ (tim redom) čine aritmetičku progresiju tačno onda kada je ${2b=a+c}.$

Na isti način, svaki član je aritmetička sredina bilo koja dva člana koja su jednako udaljena od njega: ${a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}$ za ${k\lt n}.$

Članovi jednako udaljeni od krajeva

Zbir dva člana koja su jednako udaljena od početka i od kraja uvek je isti:

Razlog: kada se pomerimo za jedno mesto udesno spreda i za jedno mesto ulevo otpozadi, prvi sabirak se poveća za $d,$ a drugi se smanji za $d.$ Uopšte, ako je ${m+k=p+q},$ onda je ${a_m+a_k=a_p+a_q}.$

Primer. U progresiji $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ 41,\ 51$:

${1+51}={11+41}={21+31}={52}$

${11}={\frac{1+21}{2}},$   ${21}={\frac{11+31}{2}},$   ${31}={\frac{21+41}{2}}$

Zbir prvih $n$ članova

Priča se da je Karl Fridrih Gaus, dok je bio đak, dobio od učitelja zadatak da sabere sve brojeve od 1 do 100. Gaus je odgovorio skoro odmah: sabrao je prvi broj sa poslednjim, drugi sa pretposlednjim i tako dalje.

${1+100}={2+99}={3+98}=\ldots={50+51}={101}$

Parova ima 50, pa je zbir ${50\cdot 101=5050}.$

Ista ideja važi za svaku aritmetičku progresiju. Zapišimo zbir dva puta, drugi put unazad:

$$\begin{aligned}S_n&=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n\\S_n&=a_n+a_{n-1}+\ldots+a_2+a_1\end{aligned}$$

Saberimo dve jednakosti po kolonama. U svakoj koloni su dva člana jednako udaljena od krajeva, pa je zbir svake kolone ${a_1+a_n}.$ Kolona ima $n,$ prema tome ${2S_n=(a_1+a_n)\,n}.$

Zbir ${1+3+5+7+9}$ zapisan dva puta: plavi i narandžasti stubići čine pravougaonik ${5\times 10},$ pa je ${2S_5=50}$ i ${S_5=25}.$

Prva formula je zgodna kada znamo poslednji član, a druga kada znamo razliku.

Primer 1. ${1+2+3+\ldots+100}={\frac{(1+100)\cdot 100}{2}}={5050}.$

Primer 2. Zbir prvih $n$ neparnih brojeva je

${1+3+5+\ldots+(2n-1)}={\frac{\bigl(1+(2n-1)\bigr)\,n}{2}}={n^2}$

Na primer ${1+3+5+7+9}={25}={5^2},$ kao što se vidi i na slici.

Obrnuto: od zbira do člana. Ako znamo zbirove, članove dobijamo oduzimanjem: ${a_1=S_1},$ a za ${n\ge 2}$ je ${a_n=S_n-S_{n-1}}.$

Kalkulator aritmetičke progresije

Upišite prvi član, razliku i broj članova. Rezultat i postupak se pojavljuju dok kucate.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Da li je niz $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ \ldots$ aritmetička progresija?

Rešenje: Da. Svaki član je za 10 veći od prethodnog, tj. to je aritmetička progresija sa ${a_1=1}$ i ${d=10}.$ Njen opšti član je ${a_n}={1+(n-1)\cdot 10}={10n-9}.$

Zadatak 2. Nađite zbir prvih 10 članova progresije $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ \ldots$

Rešenje: Ovde je ${a_1=1},$ ${d=10}$ i ${n=10}$:

${S_{10}}={\frac{(2\cdot 1+9\cdot 10)\cdot 10}{2}}={92\cdot 5}={460}$

Provera drugom formulom: ${a_{10}}={1+9\cdot 10}={91}$ i ${S_{10}}={\frac{(1+91)\cdot 10}{2}}={460}.$

Zadatak 3. Da li je broj 100 član progresije $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots?$ A broj 200?

Rešenje: Opšti član je ${a_n}={4+(n-1)\cdot 3}={3n+1}.$ Tražimo prirodan broj $n$ za koji je

${3n+1=100},$   ${3n=99},$   ${n=33}$

Dakle, ${a_{33}=100}.$ Za 200 dobijamo ${3n=199},$ a 199 nije deljivo sa 3. Broj 200 nije član progresije.

Zadatak 4. Između brojeva 2 i 14 umetnite tri broja tako da pet brojeva čine aritmetičku progresiju.

Rešenje: Tražimo progresiju sa ${a_1=2}$ i ${a_5=14}.$ Od $a_1$ do $a_5$ ima 4 koraka:

${d}={\frac{14-2}{4}}={3}$

Traženi brojevi su $5,\ 8,\ 11,$ a progresija je $2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14.$

Zadatak 5. Nađite zbir svih dvocifrenih brojeva deljivih sa 3.

Rešenje: To su brojevi $12,\ 15,\ 18,\ \ldots,\ 99,$ aritmetička progresija sa ${a_1=12}$ i ${d=3}.$ Njihov broj nalazimo iz ${a_n=99}$:

${12+(n-1)\cdot 3=99},$   ${(n-1)\cdot 3=87},$   ${n-1=29},$   ${n=30}$

${S_{30}}={\frac{(12+99)\cdot 30}{2}}={111\cdot 15}={1665}$

Zadatak 6. Koliko članova progresije $3,\ 7,\ 11,\ \ldots$ treba sabrati da bi se dobilo 210?

Rešenje: Ovde je ${a_1=3}$ i ${d=4}$:

${S_n}={\frac{\bigl(2\cdot 3+(n-1)\cdot 4\bigr)\,n}{2}}={\frac{(4n+2)\,n}{2}}={2n^2+n}$

Rešavamo ${2n^2+n=210},$ tj. ${2n^2+n-210=0}$:

${D}={1+4\cdot 2\cdot 210}={1681}={41^2},$   ${n}={\frac{-1+41}{4}}={10}$

Drugo rešenje, ${\frac{-1-41}{4}=-10{,}5},$ nije prirodan broj. Odgovor: 10 članova. Provera: ${a_{10}=3+9\cdot 4=39}$ i ${S_{10}}={\frac{(3+39)\cdot 10}{2}}={210}.$

Zadatak 7. Tri broja čine aritmetičku progresiju. Njihov zbir je 15, a proizvod 80. Nađite te brojeve.

Rešenje: Zgodno je srednji broj označiti sa $x,$ a druga dva sa ${x-d}$ i ${x+d}.$ Tada je

${(x-d)+x+(x+d)}={3x}={15},$   odakle je ${x=5}$

${(5-d)\cdot 5\cdot (5+d)}={80},$   ${25-d^2=16},$   ${d^2=9},$   ${d=\pm 3}$

Traženi brojevi su $2,\ 5,\ 8$ (za ${d=3}$) ili $8,\ 5,\ 2$ (za ${d=-3}$).

Zadatak 8. Zbir prvih $n$ članova nekog niza je ${S_n=n^2+2n}$ za svako $n.$ Dokažite da je niz aritmetička progresija i nađite njegov opšti član.

Rešenje: ${a_1=S_1=3}.$ Za ${n\ge 2}$:

${a_n}={S_n-S_{n-1}}={n^2+2n-(n-1)^2-2(n-1)}={2n+1}$

Formula ${a_n=2n+1}$ daje ${a_1=3}$ i za ${n=1}.$ Pošto je ${a_{n+1}-a_n=2}$ za svako $n,$ niz je aritmetička progresija sa ${a_1=3}$ i ${d=2}$: $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \ldots$

Zadatak 9. Sala ima 15 redova. U prvom redu je 20 mesta, a u svakom sledećem 2 mesta više nego u prethodnom. Koliko mesta ima u poslednjem redu i koliko mesta ima ukupno?

Rešenje: Brojevi mesta po redovima čine aritmetičku progresiju sa ${a_1=20},$ ${d=2}$ i ${n=15}$:

${a_{15}}={20+14\cdot 2}={48},$   ${S_{15}}={\frac{(20+48)\cdot 15}{2}}={510}$

U poslednjem redu ima 48 mesta, a u sali ukupno 510 mesta.

Zadatak 10. Brojevi ${\frac{1}{b+c}},$ ${\frac{1}{c+a}},$ ${\frac{1}{a+b}}$ čine aritmetičku progresiju. Dokažite da i brojevi $a^2,$ $b^2,$ $c^2$ čine aritmetičku progresiju.

Rešenje: Srednji član je aritmetička sredina svojih suseda:

${\frac{2}{c+a}}={\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}}={\frac{a+2b+c}{(b+c)(a+b)}}$

Imenioci nisu 0 (inače razlomci ne bi postojali), pa možemo da pomnožimo unakrsno:

${2(b+c)(a+b)}={(a+2b+c)(c+a)}$

Leva strana je ${2ab+2b^2+2ac+2bc}.$ Desna strana je ${(a+c)^2+2b(a+c)}={a^2+2ac+c^2+2ab+2bc}.$ Kada skratimo iste sabirke, ostaje

${2b^2=a^2+c^2}$

Dakle, $b^2$ je aritmetička sredina brojeva $a^2$ i $c^2,$ tj. brojevi $a^2,$ $b^2,$ $c^2$ čine aritmetičku progresiju.

Vežbe

Pokušajte sami, pa onda otvorite odgovor.

1. Nađite ${a_{15}}$ progresije $2,\ 9,\ 16,\ \ldots$

${d=7},$ ${a_{15}}={2+14\cdot 7}={100}$

2. ${a_1=10}$ i ${d=-3}.$ Nađite ${a_{12}}$ i ${S_{12}}.$

${a_{12}}={10+11\cdot(-3)}={-23},$   ${S_{12}}={\frac{(10-23)\cdot 12}{2}}={-78}$

3. ${a_5=17}$ i ${a_{12}=45}.$ Nađite $a_1$ i $d.$

${d}={\frac{45-17}{12-5}}={4},$   ${a_1}={a_5-4d}={17-16}={1}$

4. Koji član progresije $5,\ 9,\ 13,\ \ldots$ je jednak 101?

${a_n}={5+(n-1)\cdot 4}={4n+1},$   ${4n+1=101},$   ${n=25}.$ To je ${a_{25}}.$

5. Za koje $x$ brojevi ${x+1},$ ${3x},$ ${4x+2}$ čine aritmetičku progresiju?

${2\cdot 3x}={(x+1)+(4x+2)},$ tj. ${6x=5x+3}$ i ${x=3}.$ Brojevi su $4,\ 9,\ 14,$ sa razlikom 5.

6. Nađite ${S_{20}}$ ako je ${a_1=3}$ i ${a_{20}=60}.$

${S_{20}}={\frac{(3+60)\cdot 20}{2}}={630}$

7. Nađite zbir svih prirodnih brojeva od 1 do 200 koji su deljivi sa 7.

To su brojevi $7,\ 14,\ \ldots,\ 196.$ Pošto je ${196=7\cdot 28},$ ima ih 28. ${S_{28}}={\frac{(7+196)\cdot 28}{2}}={203\cdot 14}={2842}$

8. Uglovi trougla čine aritmetičku progresiju. Nađite srednji po veličini ugao.

Uglovi su ${\alpha-d},$ $\alpha,$ ${\alpha+d},$ a njihov zbir je ${3\alpha=180^\circ}.$ Srednji ugao je ${\alpha=60^\circ},$ kakva god da su druga dva.

9. ${S_5=40}$ i ${S_{10}=155}.$ Nađite $a_1$ i $d.$

${S_5}={\frac{(2a_1+4d)\cdot 5}{2}}={5a_1+10d}={40},$ tj. ${a_1+2d=8}.$

${S_{10}}={\frac{(2a_1+9d)\cdot 10}{2}}={10a_1+45d}={155},$ tj. ${2a_1+9d=31}.$

Iz prve jednačine je ${a_1=8-2d},$ pa je ${16-4d+9d=31},$ ${d=3}$ i ${a_1=2}.$

10. Baštovan prvog dana posadi 12 stabala, a svakog sledećeg dana 4 više nego prethodnog. Za koliko dana će posaditi 168 stabala?

${S_n}={\frac{\bigl(2\cdot 12+(n-1)\cdot 4\bigr)\,n}{2}}={2n^2+10n}.$ Iz ${2n^2+10n=168}$ dobijamo ${n^2+5n-84=0}$ i ${n=7}$ (drugo rešenje je $-12$). Za 7 dana.

Pogledajte i: Geometrijska progresija