Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je niz brojeva takav da je razlika bilo koja dva uzastopna broja konstanta.

Na primer, niz 1, 2, 3, 4, ... je aritmetička progresija sa zajedničkom razlikom 1.

Drugi primer: niz 3, 5, 7, 9, 11,... je aritmetička progresija
sa međusobnom razlikom 2.
Treći primer: niz 20, 10, 0, -10, -20, -30, ... je aritmetička progresija
sa međusobnom razlikom -10.

Označavanje

Međusobnu razliku označavamo sa d.

Sa an označavamo n-ti član aritmetičke progresije.

Sa Sn označavamo sumu prvih n članova aritmetičke progresije.
Aritmetički red je suma elemenata aritmetičke progresije.

Svojstva

a1 + an = a2 + an-1 = ... = ak + an-k+1

i

an = ½(an-1 + an+1)

Primer: neka je 1, 11, 21, 31, 41, 51... aritmetička progresija.

51 + 1 = 41 + 11 = 31 + 21
i
11 = (21 + 1)/2
21 = (31 + 11)/2...


Ako je početni član aritmetičke progresije a1 i međusobna razlika susednih članova je d, onda je n-ti član niza dat sa

an = a1 + (n - 1)d, n = 1, 2...

Suma S prvih n članova aritmetičke progresije je data formulom:

S = ½(a1 + an)n
gde je a1 prvi član a an je poslednji.

ili

S = ½(2a1 + d(n-1))n

Kalkulator aritmetičke progresije

Prvi član
Međusobna razlika
Broj člana(n=?)


Aritmetička progresija - zadaci

1) Da li je niz 1,11,21,31... aritmetička progresija?
Rešenje: Da, ovo jeste aritmetička progresija. Njen prvi član je 1, a međusobna razlika je 10.


2) Nađi sumu prvih 10 brojeva sledeće aritmetičke progresije: 1, 11, 21, 31...
Rešenje: možemo koristiti sledeću formulu S = 1/2(2a1 + d(n-1))n
S = 1/2(2⋅1 + 10(10-1))10 = 5(2 + 90) = 5⋅92 = 460


3) Pokušaj da dokažeš da ako brojevi 1/(c + b), 1/(c + a), 1/(a + b) formiraju aritmetičku progresiju, onda brojevi a2, b2, c2 takođe formiraju aritmetičku progresiju.


Zadaci sa rešenjima

Aritmetička progresija

Zadaci sa progresijom


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2019