Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je niz brojeva takav da je razlika bilo koja dva uzastopna broja konstanta.

Na primer, niz 1, 2, 3, 4, ... je aritmetička progresija sa zajedničkom razlikom 1.

Drugi primer: niz 3, 5, 7, 9, 11,... je aritmetička progresija
sa međusobnom razlikom 2.
Treći primer: niz 20, 10, 0, -10, -20, -30, ... je aritmetička progresija
sa međusobnom razlikom -10.

Označavanje

Međusobnu razliku označavamo sa d.

Sa a_n označavamo n-ti član aritmetičke progresije.

Sa S_n označavamo sumu prvih n članova aritmetičke progresije.
Aritmetički red je suma elemenata aritmetičke progresije.

Svojstva

i

Primer: neka je 1, 11, 21, 31, 41, 51... aritmetička progresija.

51 + 1 = 41 + 11 = 31 + 21
i
11 = (21 + 1)/2
21 = (31 + 11)/2...

Ako je početni član aritmetičke progresije a₁ i međusobna razlika susednih članova je d, onda je n-ti član niza dat sa

Suma S prvih n članova aritmetičke progresije je data formulom:

ili

Kalkulator aritmetičke progresije

Aritmetička progresija - zadaci

1) Da li je niz 1,11,21,31... aritmetička progresija?
Rešenje: Da, ovo jeste aritmetička progresija. Njen prvi član je 1, a međusobna razlika je 10.

2) Nađi sumu prvih 10 brojeva sledeće aritmetičke progresije: 1, 11, 21, 31...
Rešenje: možemo koristiti sledeću formulu S = ¹/₂(2a₁ + d(n-1))n
S = ¹/₂(2⋅1 + 10(10-1))10 = 5(2 + 90) = 5⋅92 = 460

3) Pokušaj da dokažeš da ako brojevi 1/(c + b), 1/(c + a), 1/(a + b) formiraju aritmetičku progresiju, onda brojevi a², b², c² takođe formiraju aritmetičku progresiju.

Zadaci sa rešenjima

Aritmetička progresija

Zadaci sa progresijom