Zadaci sa progresijom - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Znamo da je [tex]2b=1+c[/tex] i [tex]b^2=1 \cdot (c+1)=1+c=2b[/tex]. Stoga je [tex]b=0[/tex] i [tex]b=2[/tex]. Ali 0 ne može biti član geometrijske progresije, pa je jedina preostala opcija [tex]b=2[/tex]. Pa je aritmetička progresija [tex]1,2,c[/tex] ili [tex]1+c=2\cdot2[/tex] => [tex]c=3[/tex].

Rešenje:
Zbir je [tex]a-1+b+2+c+13=(a+b+c)-1+2+13=341-1+15=355[/tex].

Rešenje:
Pošto je [tex]a,1,b[/tex] aritmetička progresija, [tex]a+b=2[/tex], stoga je [tex]b=2-a[/tex]. Iz svojstva geometrijske progresije, dobijemo [tex]a^2=b=2-a[/tex]
[tex]a^2+a-2=0[/tex]: [tex]a_1=1[/tex] or [tex]a_2=-2[/tex]. Ali je aritmetička progresija nekonstantna, stoga je [tex]a \ne 1[/tex], pa [tex]a[/tex] mora biti [tex]-2[/tex]. [tex]b=2-a=2-(-2)=4[/tex].

Rešenje:
Na osnovu svojstva geometrijske funkcije imamo
[tex]a \cdot b=9 \cdot 243=3^2 \cdot 3^5=3^7[/tex]. Takođe znamo da je [tex]\frac{a}{9}=\frac{b}{a}[/tex], ili [tex]\frac{a^2}{9}=b[/tex] Kada zamenimo u prethodnu jednačinu, dobijemo [tex]\frac{a^3}{9}=3^7[/tex], ili [tex]a^3=3^9[/tex], što znači da je [tex]a=3^3=27[/tex]. Onda su [tex]b=\frac{a^2}{9}=81[/tex] i njihovo aritmetička sredina je [tex]\frac{27+81}{2}=\frac{108}{2}=54[/tex].

Rešenje:
Po osobinama aritmetičke progresije, imamo [tex]3+a=2 \cdot 9[/tex], ili [tex]a=15[/tex]. Geometrijska progresija postaje [tex]5,15,b[/tex]. Po njenim osobinama imamo, [tex]b \cdot 5=15^2=225[/tex], ili [tex]b=\frac{225}{5}=45[/tex].

Rešenje:
Na osnovu osobina geometrijske progresije, imamo [tex]2x=4^2[/tex], ili [tex]x=8[/tex]. Na osnovu osobina aritmetičke progresije, imamo [tex]3+y=2x=2 \cdot 8=16[/tex], pa je [tex]y=16-3=13[/tex].

Rešenje:
U aritmetičkoj progresiji je [tex]a_{m}+a_{n}=a_{k}+a_{l}[/tex] kad god je [tex]m+n=k+l[/tex]. Ovde se indeksi grupišu u parove sa zbirom [tex]10[/tex]:
[tex]a_{1}+a_{9}=a_{2}+a_{8}=a_{3}+a_{7}=a_{4}+a_{6}=21[/tex]
[tex]4\cdot 21=84[/tex]

Rešenje:
Neka su brojevi [tex]a; b; c[/tex]. Iz aritmetičke progresije je [tex]2b=a+c[/tex], pa je
[tex]3b=9\Rightarrow b=3; a+c=6[/tex]
Iz geometrijske progresije je [tex]ac=b^{2}=9[/tex], pa su [tex]a[/tex] i [tex]c[/tex] koreni jednačine [tex]t^{2}-6t+9=0[/tex], tj. [tex]a=c=3[/tex].

Rešenje:
Iz aritmetičke progresije je [tex]a+c=2\cdot 4=8[/tex].
Iz geometrijske progresije je [tex]4^{2}=a(a+c)=8a\Rightarrow a=2[/tex].
Provera: [tex]2; 4; 6[/tex] je aritmetička, a [tex]2; 4; 8[/tex] geometrijska progresija.

Rešenje:
Neka su brojevi [tex]a; b; c[/tex], pri čemu je [tex]a+b+c=35; b^{2}=ac[/tex]. Aritmetička progresija daje
[tex]2b=(a-1)+(c-4)=a+c-5=30-b\Rightarrow b=10[/tex]
Tada je [tex]a+c=25; ac=100[/tex], pa su brojevi [tex]5; 10; 20[/tex] (ili [tex]20; 10; 5[/tex]), a traženi zbir je [tex]5+20=25[/tex].

Rešenje:
Od [tex]1990[/tex]. do [tex]2006[/tex]. godine prošlo je [tex]16[/tex] godina.
Model A je aritmetička progresija: broj stanovnika se [tex]8[/tex] puta poveća za [tex]100[/tex] i postaje [tex]1000+8\cdot 100=1800[/tex].
Model B je geometrijska progresija sa količnikom [tex]0{,} 95[/tex]: broj stanovnika postaje [tex]1000\cdot 0{,} 95^{16}\approx 440{,} 13[/tex].
[tex]1800-440{,} 13=1359{,} 87\approx 1360[/tex]

Rešenje:
Neka su brojevi [tex]a; a+d; a+2d; a+3d[/tex]. Ako je [tex]d=0[/tex], onda je [tex]q=1\ne d[/tex], pa je [tex]d\ne 0[/tex].
Geometrijska progresija daje [tex](a+d)^{2}=a(a+3d)\iff d^{2}=ad\iff a=d[/tex].
[tex]q=\dfrac{a+d}{a}=2=d\Rightarrow a=d=2[/tex]
Brojevi su [tex]2; 4; 6; 8[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]CD=a; BC=a+d; AD=a+2d; AB=a+3d[/tex]; pošto je [tex]AB\ne CD[/tex], [tex]d\ne 0[/tex]. Obim daje [tex]4a+6d=18[/tex].
Visina je [tex]BC[/tex], a projekcija [tex]AD[/tex] na [tex]AB[/tex] je [tex]AB-CD=3d[/tex], pa je
[tex](a+2d)^{2}=(a+d)^{2}+9d^{2}\iff 2ad=6d^{2}\iff a=3d[/tex]
[tex]18d=18\Rightarrow d=1; a=3[/tex]
Stranice su [tex]CD=3; BC=4; AD=5; AB=6[/tex].

Rešenje:
Četvrti član niza je [tex]S_{4}-S_{3}=15-7=8[/tex], pa je [tex]b=8[/tex].
Jedan koren je [tex]0[/tex]; druga dva su koreni jednačine [tex]x^{2}+ax+8=0[/tex]. Koreni su nenegativni i različiti, pa su to [tex]0; r; 2r[/tex] sa [tex]r\gt 0[/tex]. Po Vijetovim formulama
[tex]r\cdot 2r=8\Rightarrow r=2; a=-(r+2r)=-6[/tex]