Aritmetička progresija - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Zajednička razlika je -5.

Rešenje:
Brojevi ne predstavljaju aritmetičku progresiju.
Da bi predstavljali progresiju niz bi trebao da izgleda ovako 2, 6, 10, 14, 18.

Rešenje:
[tex]d=3{,} 5-1=2{,} 5[/tex]
[tex]a_{10}=a_{1}+9d=1+9\cdot 2{,} 5=23{,} 5[/tex]

Rešenje:
Kao što znamo, prirodni brojevi formiraju aritmetičku progresiju sa [tex]a_1=1[/tex] i [tex]d=1[/tex]. Stoga je [tex]S_{10}=\frac{2a_1+(10-1)\cdot d}{2}\cdot 10=\frac{2+9}{2}\cdot 10=11\cdot 5=55[/tex]

Rešenje:
5 uzastopnih brojeva formiraju aritmetičku progresiju sa razlikom 1.
n = 5,
S(5) = 100,
d = 1
Neka prvi broj bude [tex]a[/tex]
On je nepoznat.

[tex]S(n) = \frac{n}{2}(2a+d(n-1))[/tex]

[tex]100 = \frac{5}{2} (2a + 1\cdot 4)[/tex]
[tex]100 \cdot \frac{2}{5} = 2a +4[/tex]
[tex]40 = 2a + 4[/tex]
[tex]2a = 36[/tex]
[tex]a = 18[/tex]
Prvi broj je 18, a ostali brojevi su 18, 19, 20, 21, 22.

Rešenje:
Pošto je [tex]{a_n}[/tex] aritmetička progresija, razlika između bilo koja dva uzastopna broja je ista i ona iznosi [tex]d=a_2-a_1=7-4=3[/tex]. Formula za n-ti broj je [tex]a_n=a_1+(n-1)\cdot d[/tex], kada zamenimo n=11 dobijemo [tex]a_{11}=4+(11-1)\cdot 3=34[/tex]

Rešenje:
[tex]a_n=a_1+(n-1)\cdot d[/tex] => [tex]a_1=a_n-(n-1)\cdot d[/tex]. Zamenimo [tex]n=3[/tex] i dobijemo [tex]a_1=43-2\cdot 12=43-24=19[/tex].

Rešenje:
[tex]a_{19}=a_1+(19-1)\cdot d=a_1+18\cdot d[/tex]. Pošto je [tex]a_n[/tex] aritmetička progresija, [tex]d=a_{n+1}-a_n=a_2-a_1=8-15=-7[/tex]. Zamenimo vrednost od [tex]d[/tex] i [tex]a_1[/tex] i dobijemo [tex]a_{19}=15-18\cdot 7=-111[/tex]

Rešenje:
[tex]a_n=a_1+(n-1)\cdot d=1+(n-1)\cdot 1=n[/tex], pa je [tex]a_{1083}=1083[/tex]

Rešenje:
[tex]d=a_2-a_1=5-(-11)=16[/tex]

Rešenje:
[tex]a_5=a_1+4d[/tex], [tex]a_2=a_1+d[/tex]. Oduzimanjem potonjeg od prvog, dobijemo [tex]a_5-a_2=a_1+4d-a_1-d=3d[/tex], pa je [tex]3d=18-9=9[/tex], što znači da je [tex]d=3[/tex]

Rešenje:
[tex]a_{\frac{3+11}{2}}=\frac{a_3+a_{11}}{2}[/tex], ili [tex]a_7=\frac{13+25}{2}=\frac{38}{2}=19[/tex]

Rešenje:
Postoji formula za izračunavanje zbira prvih n elemenata - i ona glasi [tex]S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n[/tex]. Za [tex]n=10[/tex], imamo [tex]S_{10}=\frac{2\cdot 15+9\cdot 3}{2}\cdot 10=\frac{30+27}{2}\cdot 10=57\cdot 5=285[/tex]

Rešenje:
Zajednički odnos je -2.

Rešenje:
Zbir koji tražimo je [tex]a_2+a_4+a_6+a_8+a_10+a_{12}=[/tex]
[tex]=(a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)+(a_1+7d)+(a_1+9d)+(a_1+11d)=[/tex]
[tex]=6\cdot a_1+(1+3+5+7+9+11)d=6a_1+36d=[/tex]
[tex]=6\cdot 7+36\cdot 4=42+144=186[/tex]

Rešenje:
Svaki član je razlika dva uzastopna zbira: [tex]a_{n}=S_{n}-S_{n-1}[/tex].
[tex]S_{12}=3\cdot 144-24=408[/tex]
[tex]S_{11}=3\cdot 121-22=341[/tex]
[tex]a_{12}=408-341=67[/tex]

Rešenje:
Uglovi su [tex]30^{\circ}; 30^{\circ}+d; 30^{\circ}+2d; 30^{\circ}+3d[/tex], a njihov zbir je [tex]360^{circ}[/tex]:
[tex]120^{\circ}+6d=360^{\circ}\Rightarrow d=40^{\circ}[/tex]
[tex]30^{\circ}+3\cdot 40^{\circ}=150^{\circ}[/tex]

Rešenje:
Svaki upisani broj je aritmetička sredina svojih suseda: [tex]2a_{k}=a_{k-1}+a_{k+1}[/tex]. Zato devet brojeva čine aritmetičku progresiju sa [tex]a_{1}=16[/tex] i [tex]a_{9}=4[/tex].
[tex]S_{9}=\dfrac{9(16+4)}{2}=90[/tex]

Rešenje:
Brojevi su [tex]a; a+2; \ldots; a+14[/tex] – aritmetička progresija sa [tex]d=2[/tex].
Aritmetička sredina članova progresije jednaka je aritmetičkoj sredini prvog i poslednjeg člana: [tex]\dfrac{a+(a+14)}{2}=a+7=19\Rightarrow a=12[/tex].
Prva tri broja su [tex]12; 14; 16[/tex], a njihova aritmetička sredina je [tex]14[/tex].

Rešenje:
Sabirak sa rednim brojem [tex]k[/tex] je [tex]k\cdot 4k[/tex], gde je [tex]k=1; 2; \ldots; 20[/tex].
Posle promene on postaje [tex]k(4k-1)=k\cdot 4k-k[/tex].
Dakle, zbir se smanjuje za [tex]1+2+\ldots+20=\dfrac{20\cdot 21}{2}=210[/tex].

Rešenje:
[tex]S_{9}=\dfrac{9(2a_{1}+8d)}{2}=9(3+4d)=27+36d[/tex]
[tex]135\lt 27+36d\lt 207\iff 108\lt 36d\lt 180\iff 3\lt d\lt 5[/tex]
Svi članovi su celi brojevi, pa je i [tex]d=a_{2}-a_{1}[/tex] ceo broj. Dakle, [tex]d=4[/tex].

Rešenje:
Neka su brojevi [tex]a; a+1; \ldots; a+9[/tex]; njihov zbir je [tex]10a+45[/tex].
Neka je obrisan broj [tex]a+k; 0\le k\le 9[/tex]. Tada je
[tex]10a+45-(a+k)=2009\Rightarrow 9a=1964+k[/tex]
Broj [tex]1964[/tex] pri deljenju sa [tex]9[/tex] daje ostatak [tex]2[/tex], pa je [tex]k=7[/tex] i [tex]a=219[/tex]. Obrisan je broj [tex]219+7=226[/tex].