Trigonometrija - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
$\sin \theta=\frac{\text{naspramna kateta}}{\text{hipotenuza}}=\frac{4}{5}$

$\cos \theta=\frac{\text{nalegla kateta}}{\text{hipotenuza}}=\frac{3}{5}$

$\tg \theta=\frac{\text{naspramna kateta}}{\text{nalegla kateta}}=\frac{4}{3}$

$\ctg \theta=\frac{\text{nalegla kateta}}{\text{naspramna kateta}}=\frac{3}{4}$

Rešenje:
$\sin \theta=\frac{\text{naspramna kateta}}{\text{hipotenuza}}=\frac{5}{13}$

$\cos \theta=\frac{\text{nalegla kateta}}{\text{hipotenuza}}=\frac{12}{13}$

$\tg \theta=\frac{\text{naspramna kateta}}{\text{nalegla kateta}}=\frac{5}{12}$

$\ctg \theta=\frac{\text{nalegla kateta}}{\text{naspramna kateta}}=\frac{12}{5}$

Rešenje:
Pitagorina teorema kaže da je $c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Onda je $b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$
Tako da je $b=\sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2$

$\sin \beta =\frac{b}{c}=\frac{2}{3}$

Rešenje:
Pošto je $\cos 30^{\circ }=\frac{a}{c}\Longrightarrow c=\frac{a}{\cos 30^{\circ }}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Prema Pitagorinoj teoremi je $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Tako da je $b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{\left( \frac{4\sqrt{3}}{3}\right) ^{2}-2^{2}}=\sqrt{\frac{16}{3}-4}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Rešenje:
Pošto je $\sin 30^{\circ }=\frac{b}{c}\Longrightarrow c=\frac{b}{\sin 30^{\circ}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$

Prema Pitagorinoj teoremi je $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Tako da je $a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Rešenje:
Potrebno je da odredimo naspramnu katetu.
Pitagorina teorema kaže da je:
$\left( b\right) ^{2}+\left( a\right)^{2}=c^{2}\Longrightarrow \left(b\right) =\sqrt{c^{2}-\left(a\right)^{2}}$

gde je $b$: naspramna kateta $a$: nalegla kateta i $c$: hipotenuza

$\left( b\right) =\sqrt{6^{2}-\left( 3\right) ^{2}}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}$

Sada je
$\sin \theta =\frac{b}{h}=\frac{\sqrt{27}}{6}$

Rešenje:
Neka je $h$ udaljenost između zmaja i zemlje.
Na slici vidimo da je $\frac{h}{90}=\sin 22^{0}$, tako da je $h=90\sin 22^{0}\approx 33,71$ dm.

Rešenje:
$\tg \theta =\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{2}{3}$ i $\ctg \theta =\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{3}{2}$

Rešenje:
Neka su $x$, $y$, i $z$ stranice nepoznatih dimenzija.
Tako je prema definiciji funkcije tangens,

$\tg 25^{0}=\frac{x}{4}$, $x=4\tg 25^{0}\approx 1,87$ dm

Izračunajmo $y$
$\cos 25^{0}=\frac{4}{y}$, otuda je $y=\frac{4}{\cos 25^{0}}\approx 4,41$ dm

Znamo da je $z=\frac{3}{2}+x$ i $x\approx 1,87$ dm. Tako je $z=1,5+1,87\approx 3,37$ dm.

Rešenje:
Pošto je $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{65}}\Longrightarrow \text{naspramna kateta}=1$

$\text{hipotenuza}=\sqrt{65}$ i
$\tg \theta =\frac{1}{8}\Longrightarrow \text{nalegla kateta}=8$

Onda je $\cos \theta =\frac{\text{nalegla kateta}}{\text{hipotenuza}}=\frac{8}{\sqrt{65}}=\frac{8\sqrt{65}}{65}$

i $\ctg \theta =\frac{\text{nalegla kateta}}{\text{naspramna kateta}}=8$

Rešenje:
Koristićemo sledeći trigonometrijski identitet

$\sin \left( \alpha -\beta \right) =\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha $

So $\sin 15^{\circ }=\sin \left( 90^{\circ }-75^{\circ }\right) =\sin 90^{\circ}\cos 75^{\circ }-\sin 75^{\circ}\cos 90^{\circ }$

Pošto je $\sin 90^{\circ }=1$ i $\cos 90^{\circ }=0$ dobijamo da je

$\sin 15^{\circ }=\cos 75^{\circ }=\frac{1}{4}\left( \sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$

Rešenje:
Imajući u vidu sledeće formule:
$\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$

i $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ dobijamo da je

$\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{1+\cos^{2}x-\sin^{2}x}=\frac{2\sin x\cos x}{\cos^{2}x+\sin^{2}x+\cos^{2}x-\sin^{2}x}=\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^{2}x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tg x$

Rešenje:
$1-\sin ^{4}\alpha =\left[ 1-\sin ^{2}\alpha \right] \left[ 1+\sin^{2}\alpha \right] $
a pošto je $1-\sin ^{2}\alpha =\cos ^{2}\alpha$

Dobijamo $\frac{1-\sin^{4}\alpha }{\cos^{2}\alpha }=\frac{\left[ 1-\sin^{2}\alpha \right] \left[ 1+\sin ^{2}\alpha \right] }{\cos ^{2}\alpha }=\frac{\cos^{2}\alpha \left[ 1+\sin ^{2}\alpha \right] }{\cos ^{2}\alpha }=1+\sin ^{2}\alpha $

Pošto je $\sin ^{2}\alpha =1-\cos ^{2}\alpha $,
dobijamo da je $\frac{1-\sin^{4}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }=1+1-\cos ^{2}\alpha$

Tako je $\frac{1-\sin ^{4}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }=2-\cos ^{2}\alpha $

Rešenje:
Poći ćemo od toga da je $\cos 2\alpha =\cos^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha $ i $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\frac{2\sin \alpha }{\tg 2\alpha }=\frac{2\sin \alpha \cos 2\alpha }{\sin2\alpha }=\frac{2\sin \alpha \left( \cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \right)}{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{\left( \cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \right) }{\cos \alpha }=\cos \alpha -\frac{\sin ^{2}\alpha }{\cos \alpha }$

Rešenje:
Vidimo da je $\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha =1\Longrightarrow \cos^{2}\alpha =1-\sin ^{2}\alpha $ Pa je

$\cos^{2}\alpha =\left( 1-\sin \alpha \right) \left( 1+\sin \alpha \right) \Longrightarrow \frac{\cos \alpha }{\left( 1+\sin \alpha \right) }=\frac{\left( 1-\sin \alpha \right) }{\cos \alpha }$

Rešenje:
$\sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha +\cos^{4}\alpha =\cos^{2}\alpha \left( \sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha \right) $

Pošto je $\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha =1$

Dobijamo da je $\sin ^{2}\alpha \cos^{2}\alpha +\cos ^{4}\alpha =\cos ^{2}\alpha $

Rešenje:
Pošto je $\tg \alpha =\frac{h}{x}$ i $\tg \beta =\frac{h}{c-x}$ možemo izraziti $x$ u funkciji od $h$
$x=\frac{h}{\tg \alpha }$ i sad zameniti u drugu jednačinu $c-x=\frac{h}{\tg \beta }$

Tako je $c-\frac{h}{\tg \alpha }=\frac{h}{\tg \beta }\Longrightarrow c=h\left( \frac{1}{\tg \beta }+\frac{h}{\tg \alpha }\right) =h\left( \frac{\tg \alpha +\tg \beta }{\tg \alpha \tg \beta }\right) $

Onda je $h=c\left( \frac{\tg \alpha \tg \beta }{\tg \alpha +\tg \beta }\right)$

Rešenje:
Neka je $h$ visina planine. Slika pokazuje da postoje dva pravougla trougla sa zajendičkom stranicom, $h$.

Dobijamo dve jednačine sa dve nepoznate, $h$ i $z$:
$\frac{h}{z+0,5}=\tg 37^{\circ}$ i $\frac{h}{z}\tg 41^{\circ}$

Procena $h$:

$h=\left( z+0,5\right) \tg 37^{\circ}$ i $h=z\tg 41^{\circ}$
Zadnja dva rezultata su jednaka, te imamo jednačinu kojom možemo odrediti udaljenost $z$:

$\left( z+0,5\right) \tg 37^{\circ}=z\tg 41^{\circ}$

$z=\frac{-0,5\tg 37^{\circ}}{\tg 37^{\circ}-\tg 41^{\circ}}$

Sada možemo izračunati $h$, znajući da je $h=z\tg 41^{\circ}$

$h=\frac{-0,5\tg 37^{\circ}\tg 41^{\circ}}{\tg 37^{\circ}-\tg 41^{\circ}}\approx 2,83$ km