Meni
❌
Početna strana
Algebra
Geometrija
Zadaci iz matematike
Testovi
Viša matematika
Program za rešavanje
GLAVNI MENI
1 razred
Sabiranje i oduzimanje do 10
Poređenje brojeva do 10
Sabiranje i oduzimanje do 20
Sabiranje i oduzimanje do 10 ili 20
2 razred
Sabiranje i oduzimanje do 100
Množenje do 5
Tablica množenja
Deljenje
3 razred
Sabiranje, množenje, deljenje
Zaokrugljivanje
Obim
4 razred
Sabiranje i oduzimanje do 1000
Sabiranje i oduzimanje
Sabiranje, množenje, deljenje
Površina kvadrata i pravougaonika
5 razred
Deljivost sa 2, 3, 4, 5, 9
Jednačine
Površina kvadrata i pravougaonika
Razlomci
Jednakost razlomaka
Najmanji zajednički sadržalac
Sabiranje i oduzimanje
Množenje i deljenje razlomaka
Operacije
Mešoviti brojevi
Decimalni brojevi
6 razred
Celi brojevi
Koordinatni sistem
Procenti
Tekstualni zadaci
Izrazi
Uprošćavanje algebarskih izraza
Polinomi
Razlaganje polinoma
Polinomi
7 razred
Kvadratne jednačine
Vijetove formule
Pitagorina teorema
8 razred
Sistem linearnih jednačina
Parametarska linearna jednačina
Eksponenti zadaci
Korenovanje
Stepenovanje
Racionalne nejednačine
Progresija
Aritmetička progresija
Geometrijska progresija
Progresija
Brojevni nizovi
Logaritmi
Logaritamski izrazi
Logaritamske jednačine
Logaritamske nejednakosti
Recipročne jednačine
Jednačine sa modulom
Nejednačine sa modulom
Iracionalne jednačine
Iracionalne nejednačine
Trigonometrija
Trigonometrija
Trigonometrijski identiteti
Trigonometrija
Trigonometrijske jednačine
Ekstremne vrednosti funkcija
Geometrija
Talesova teorema
Sinusna teorema
Kosinusna teorema
Eksponencijalne nejednačine
Eksponencijalne jednačine
Verovatnoća
Funkcije
Granična vrednost funkcije
Granična vrednost funkcije
Izvod funkcije
Nagib prave
Kompleksni brojevi
Inverzne trigonometrijske funkcije
Analitička geometrija
Analitička geometrija
Konusni preseci
Početna strana
Zadaci
Trigonometrijski identiteti
Trigonometrijski identiteti - zadaci sa rešenjima
Autor:
Prof. Hernando Guzman Jaimes (University of Zulia - Maracaibo, Venezuela)
Zadatak 1
Koji od sledećih trigonometrijskih identiteta je tačan?
$2\cos x=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}$
$\frac{2}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}$
$2\sin x=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}$
$\text{tg }x=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}$
Rešenje:
Odgovor: $\frac{2}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}$
$\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{\sin ^{2}x+\left( 1+\cos x\right) ^{2}}{\sin x\left( 1+\cos x\right) }=\frac{\sin ^{2}x+1+2\cos x+\cos ^{2}x}{\sin x\left( 1+\cos x\right) }=\frac{1+2\cos x+\left( \sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right) }{\sin x\left( 1+\cos x\right) }$
Tako je $=\frac{2+2\cos x}{\sin x\left( 1+\cos x\right) }=\frac{2\left( 1+\cos x\right) }{\sin x\left( 1+\cos x\right) }=\frac{2}{\sin x}$
Onda je $\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{2}{\sin x}$
Zadatak 2
Koji od sledećih trigonometrijskih identiteta je tačan?
$\frac{1+\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{1+\sin x}$
$\frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{1-\sin x}$
$\frac{1-\sin x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\sin x}$
$\frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{1+\sin x}$
Rešenje:
Odgovor: $\frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{1+\sin x}$
$\frac{\cos x}{1+\sin x}=\frac{\cos ^{2}x}{\cos x\left( 1+\sin x\right) }=\frac{1-\sin ^{2}x}{\cos x\left( 1+\sin x\right) }=\frac{\left( 1-\sin x\right) \left( 1+\sin x\right) }{\cos x\left( 1+\sin x\right) }=\frac{1-\sin x}{\cos x}$
Dokazali smo da je $\frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{1+\sin x}$
Zadatak 3
Koji od sledećih trigonometrijskih identiteta je tačan?
$\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\frac{\text{tg }x-1}{\text{tg }x+1}$
$\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{\text{tg }x-1}{\text{tg }x+1}$
$\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{\text{tg }x+1}{\text{tg }x}$
$\frac{\sin x-\cos x}{\sin x-\cos x}=\frac{\text{tg }x-1}{\text{tg }x-1}$
Rešenje:
Odgovor: $\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{\tg x-1}{\tg x+1}$
$\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{\frac{1}{\cos x}-\frac{1}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}}=\frac{\frac{\sin x-\cos x}{\sin x\cos x}}{\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}}=\frac{\frac{\sin x-\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-1}{\frac{\sin x}{\cos x}+1}=\frac{\tg x-1}{\tg x+1}$
Dokazali smo da je $\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{\tg x-1}{\tg x+1}$
Zadatak 4
Koji od sledećih trigonometrijskih identiteta je tačan?
$\frac{\text{tg} x-\sin x}{\sin ^{2}x}=\frac{1}{\cos x+\cos^{2}x}$
$\frac{\text{tg} x-\sin x}{\sin ^{3}x}=\frac{1}{\cos x+\sin x}$
$\frac{\text{tg} x-\sin x}{\sin ^{3}x}=\frac{1}{\cos x+\cos ^{2}x}$
$\frac{\text{tg} x+\sin x}{\sin ^{3}x}=\frac{1}{\sin x+\cos ^{2}x}$
Rešenje:
Odgovor: $\frac{\tg x-\sin x}{\sin^{3}x}=\frac{1}{\cos x+\cos^{2}x}$
$\frac{\tg x-\sin x}{\sin^{3}x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{\sin ^{3}x}=\frac{\sin x-\sin x\cos x}{\cos x\sin ^{3}x}=\frac{\sin x\left( 1-\cos x\right) }{\cos x\sin^{3}x}$
$= \frac{1-\cos x}{\cos x\sin^{2}x}=\frac{1-\cos x}{\cos x\left( 1-\cos ^{2}x\right) }=\frac{1}{\cos x\left( 1+\cos x\right) }=\frac{1}{\cos x+\cos ^{2}x}$
Dokazali smo da je $\frac{\tg x-\sin x}{\sin ^{3}x}=\frac{1}{\cos x+\cos^{2}x}$
Zadatak 5
Koji od sledećih trigonometrijskih identiteta je tačan?
$\frac{\cos ^{3}x-\sin ^{3}x}{\cos x-\sin x}=1+\sin x\cos x$
$\frac{\cos ^{3}x-\sin ^{3}x}{\cos x-\sin x}=1-\sin x\cos x$
$\frac{\cos ^{3}x+\sin ^{3}x}{\cos x+\sin x}=1+\sin x\cos x$
$\frac{\cos ^{3}x+\sin ^{3}x}{\cos x-\sin x}=1-\sin x\cos x$
Rešenje:
Odgovor: $\frac{\cos ^{3}x-\sin ^{3}x}{\cos x-\sin x}=1+\sin x\cos x$
$\frac{\cos ^{3}x-\sin^{3}x}{\cos x-\sin x} =\frac{\left( \cos x-\sin x\right) \left( \cos^{2}x+\cos x\sin x+\sin ^{2}x\right) }{\cos x-\sin x}=\left( \cos ^{2}x+\sin ^{2}x\right) +\cos x\sin x=$
$=1+\cos x\sin x$
Dokazali smo da je $\frac{\cos^{3}x-\sin^{3}x}{\cos x-\sin x}=1+\sin x\cos x$
Zadatak 6
Koji od sledećih trigonometrijskih identiteta je tačan?
$\frac{\sin \theta +\cos \theta +1}{\sin \theta +\cos \theta -1}=\frac{\sin \theta -1}{\cos \theta}$
$\frac{\sin \theta -\cos \theta -1}{\sin \theta +\cos \theta +1}=\frac{\sin \theta +1}{\cos \theta}$
$\frac{\sin \theta +\cos \theta +1}{\sin \theta +\cos \theta -1}=\frac{\sin \theta +1}{\cos \theta}$
$\frac{\sin \theta -\cos \theta +1}{\sin \theta +\cos \theta -1}=\frac{\sin \theta -1}{\sin \theta}$
Rešenje:
Odgovor: $\frac{\sin \theta -\cos \theta +1}{\sin \theta +\cos \theta -1}=\frac{\sin \theta +1}{\cos \theta }$
$\frac{\sin \theta +1\ }{\cos \theta }=\frac{\left( \sin \theta +1\right) \left( \sin \theta +\cos \theta -1\right) }{\cos \theta \left( \sin \theta +\cos \theta -1\right) }=\frac{\sin ^{2}\theta +\sin \theta \cos \theta +\cos \theta -1}{\cos \theta \left( \sin \theta +\cos \theta -1\right) }= \frac{\left( \sin ^{2}\theta -1\right) +\sin \theta \cos \theta +\cos \theta }{\cos \theta \left( \sin \theta +\cos \theta -1\right) }$
$=\frac{-\cos^{2}\theta +\sin \theta \cos \theta +\cos \theta }{\cos \theta \left( \sin \theta +\cos \theta -1\right) }=\frac{\cos \theta \left( \sin \theta -\cos \theta +1\right) }{\cos \theta \left( \sin \theta +\cos \theta -1\right) }=\frac{\sin \theta -\cos \theta +1}{\sin \theta +\cos \theta -1}$
Dokazali smo da je $\frac{\sin \theta -\cos \theta +1}{\sin \theta +\cos \theta -1}=\frac{\sin \theta +1\ }{\cos \theta }$
Zadatak 7
Koji od sledećih trigonometrijskih identiteta je tačan?
$\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\alpha-\text{tg}\beta}{1-\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$
$\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\alpha+\text{tg}\beta}{1+\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$
$\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\alpha+\text{tg}\beta}{1-\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$
$\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\alpha-\text{tg}\beta}{1+\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$
Rešenje:
Odgovor: $\tg \left( \alpha +\beta \right) =\frac{\tg \alpha +\tg \beta }{1-\tg \alpha \tg \beta }$
$\tg \left( \alpha +\beta \right) =\frac{\sin \left( \alpha +\beta \right) }{\cos \left( \alpha +\beta \right) }=\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$
Skratićemo razlomak sa $\cos \alpha \cos \beta $
Pa je $\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }=\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}=\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac{\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }-\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}=\frac{\tg \alpha +\tg \beta }{1-\tg \alpha \tg \beta }$
Dokazali smo da je $\tg \left( \alpha +\beta \right) =\frac{\tg \alpha +\tg \beta }{1-\tg \alpha \tg \beta }$
Zadatak 8
Nađi vrednosti sinusa, kosinusa, i tangensa od $15^{\circ }$.
Pomoć: $15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ }$
A) $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \tg 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$
B) $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \tg 15^{\circ }=2+\sqrt{3}$
C) $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \tg 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$
D) $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \tg 15^{\circ }=2+\sqrt{3}$
A
B
C
D
Rešenje:
Odgovor: $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \tg 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$
$\sin 15^{\circ }=\sin \left( 45^{\circ }-30^{\circ }\right) =\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) $
$\cos 15^{\circ }=\cos \left( 45^{\circ }-30^{\circ }\right) =\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) $
$\tg 15^{\circ }=\tg \left( 45^{\circ }-30^{\circ }\right) =\frac{\tg 45^{\circ }-\tg 30^{\circ }}{1+\tg 45^{\circ }\tg 30^{\circ }}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1\left( \frac{1}{\sqrt{3}}\right) }=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3}$
Zadatak 9
Nađi vrednosti sinusa, kosinusa, i tangensa od $75^{\circ }$
Pomoć: $75^{\circ }=90^{\circ }-15^{\circ }$
A) $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \tg 75^{\circ }=\frac{\left( \sqrt{3}+1\right) ^{2}}{2}$
B) $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \tg 75^{\circ }=\frac{\left( \sqrt{3}-1\right) ^{2}}{2}$
C) $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \tg 75^{\circ }=\frac{\left( \sqrt{3}-1\right) ^{2}}{2}$
D) $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \tg 75^{\circ }=\frac{\left( \sqrt{3}+1\right) ^{2}}{2}$
A
B
C
D
Rešenje:
Odgovor: $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \tg 75^{\circ }=\frac{\left( \sqrt{3}+1\right) ^{2}}{2}$
$\sin 75^{\circ }=\sin \left( 90^{\circ }-15^{\circ }\right) =\sin 90^{\circ }\cos 15^{\circ }-\cos 90^{\circ }\sin 15^{\circ }=$
$1\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) -0\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}% \left( \sqrt{3}-1\right) =\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) $
$\cos 75^{\circ }=\cos \left( 90^{\circ }-15^{\circ }\right) =\cos 90^{\circ }\cos 15^{\circ }+\sin 90^{\circ }\sin 15^{\circ }=$
$0\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) +1\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) =\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) $
$\tg 75^{\circ }=\frac{\sin 75^{\circ }}{\cos 75^{\circ }}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) }{\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) }=\frac{\left( \sqrt{3}+1\right)^{2}}{\left( \sqrt{3}-1\right) \left( \sqrt{3}+1\right) }=\frac{\left( \sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}$
Zadatak 10
$\sin \left( \alpha +\beta \right) +\sin \left( \alpha -\beta \right) =$
$2\sin \beta \cos \alpha$
$2\sin \alpha \sin \beta$
$2\sin \alpha \cos \beta$
$2\cos \alpha \cos \beta$
Rešenje:
$\sin \left( \alpha +\beta \right) +\sin \left( \alpha -\beta \right) =\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha +\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha$
Sledi da je $\sin \left( \alpha +\beta \right) +\sin \left( \alpha -\beta \right) =2\sin \alpha \cos \beta$
Zadatak 11
$\sin \left( \alpha +\beta \right) -\sin \left( \alpha -\beta \right) =$
$2\cos \alpha \sin \beta$
$2\cos \alpha \cos \beta$
$2\sin \alpha \sin \beta$
$2\sin \alpha \cos \beta$
Rešenje:
$\sin \left( \alpha +\beta \right) -\sin \left( \alpha -\beta \right) =\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha -\left( \sin \alpha \cos \beta-\sin \beta \cos \alpha \right) $
$=2\cos \alpha \sin \beta $
Zadatak 12
$\cos \left( \alpha +\beta \right) +\cos\left( \alpha -\beta \right) =$
$2\sin \alpha \sin \beta$
$2\cos \alpha \sin \beta$
$2\sin \alpha \cos \beta$
$2\cos \alpha \cos \beta$
Rešenje:
$\cos \left( \alpha +\beta \right) +\cos \left( \alpha -\beta \right) =\left( \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \right) +\left( \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right) =2\cos \alpha \cos \beta$
Zadatak 13
$\cos \left( \alpha +\beta \right) -\cos \left( \alpha -\beta \right) =$
$-2\sin \alpha \sin \beta$
$-2\sin \alpha \cos \beta$
$-2\cos \alpha \sin \beta$
$-2\cos \alpha \cos \beta$
Rešenje:
$\cos \left( \alpha +\beta \right) -\cos \left( \alpha -\beta \right) =\left( \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \right) -\left( \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right) =-2\sin \alpha \sin \beta $
Zadatak 14
$\frac{\tg \left( \alpha +\beta \right) -\tg \alpha }{1+\tg \left( \alpha +\beta \right) \tg \alpha }=$
$\text{tg} \beta $
$\text{tg} \alpha$
$\text{ctg} \beta$
$\text{ctg} \alpha $
Rešenje:
Koristeći identitet $\tg (A-B)=\frac{\tg A-\tg B}{1+\tg A\tg B}$ dobijemo da je
$\frac{\tg \left( \alpha +\beta \right) -\tg \alpha }{1+\tg \left( \alpha +\beta \right) \tg \alpha }=\tg \left[ \left( \alpha +\beta \right) -\alpha \right] =\tg \beta $
Dokazali smo da je $\frac{\tg \left( \alpha +\beta \right) -\tg \alpha }{1+\tg \left( \alpha +\beta \right) \tg \alpha }=\tg \beta $
Zadatak 15
Proceni vrednost trigonometrijskog izraza:
$\left( \sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \right)^{2}+\left( \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)^{2}=$
$0$
$1$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{3}$
Rešenje:
Rešenje:
Pošto je $\sin \left( \alpha -\beta \right) =\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta $ and $\cos \left( \alpha -\beta \right) =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta $
onda je
$\left( \sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \right) ^{2}+\left( \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right) ^{2}=\sin ^{2}\left( \alpha -\beta \right) +\cos ^{2}\left( \alpha -\beta \right) =1$
Zadatak 16
$\text{ctg}\left( \alpha +\beta \right) =$
$\frac{\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta +1}{\text{ctg} \beta +\text{ctg} \alpha }$
$\frac{\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta -1}{\text{ctg} \beta -\text{ctg} \alpha }$
$\frac{\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta -1}{\text{ctg} \beta +\text{ctg} \alpha }$
$\frac{\text{ctg} \alpha \text{ctg} \beta +1}{\text{ctg} \beta -\text{ctg} \alpha }$
Rešenje:
$\ctg \left( \alpha +\beta \right) =\frac{1}{\tg \left( \alpha +\beta \right) }=\frac{1-\tg \alpha \tg \beta }{\tg \alpha +\tg \beta }=\frac{1-\frac{1}{\ctg \alpha \ctg \beta }}{\frac{1}{\ctg \alpha }+\frac{1}{\ctg \beta }}=\frac{\frac{\ctg \alpha \ctg \beta -1}{\ctg \alpha \ctg \beta }}{\frac{\ctg \beta +\ctg \alpha }{\ctg \alpha \ctg \beta }}=\frac{\ctg \alpha \ctg \beta -1}{\ctg \beta +\ctg \alpha }$
Dokazali smo da je $\ctg \left( \alpha +\beta \right ) =\frac{\ctg \alpha \ctg \beta -1}{\ctg \beta +\ctg \alpha }$
Zadatak 17
$\text{ctg}\left( \alpha -\beta \right) =$
$\frac{\text{ctg }\alpha \text{ctg }\beta +1}{\text{ctg }\beta -\text{ctg }\alpha }$
$\frac{\text{ctg }\alpha \text{ctg }\beta -1}{\text{ctg }\beta -\text{ctg }\alpha }$
$\frac{\text{ctg }\alpha \text{ctg }\beta +1}{\text{ctg }\beta +\text{ctg }\alpha }$
$\frac{\text{ctg }\alpha \text{ctg }\beta +1}{\text{ctg }\beta +\text{ctg }\alpha }$
Rešenje:
Odgovor: $\ctg \left( \alpha -\beta \right) =\frac{\ctg \alpha \ctg \beta +1}{\ctg \beta -\ctg \alpha }$
Pošto je $\ctg \left( -\beta \right) =-\ctg \left( \beta \right) $
i ako iskoristimo da je $\ctg \left( \alpha +\beta \right) =\frac{\ctg \alpha \ctg \beta -1}{\ctg \beta +\ctg \alpha }$
onda je $\ctg \left( \alpha -\beta \right) =\ctg \left[ \alpha +\left( -\beta \right) \right] =\frac{\ctg \alpha \ctg \left( -\beta \right) -1}{\ctg \left( -\beta \right) +\ctg \alpha }=\frac{-\ctg \alpha \ctg \beta -1}{-\ctg \beta +\ctg \alpha }=\frac{\ctg \alpha \ctg \beta +1}{\ctg \beta -\ctg \alpha }$ Dokazali smo da je $\ctg \left( \alpha +\beta \right) =\frac{\ctg \alpha \ctg \beta +1}{\ctg \beta -\ctg \alpha }$
Zadatak 18
$\sin \frac{1}{2}\theta =$
$\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}$
$\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$
$\pm \sqrt{\frac{1-\sin \theta }{2}}$
$\pm \sqrt{\frac{1+\sin \theta }{2}}$
Rešenje:
Znamo da je $\cos 2\alpha =\cos^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =\left( \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha \right) -2\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha $,
Neka je $\alpha =\frac{1}{2}\theta $.
Sledi da je $\cos \theta =1-2\sin ^{2}\frac{1}{2}\theta $
$\sin ^{2}\frac{1}{2}\theta =\frac{1-\cos \theta }{2}$
Tako da je
$\sin \frac{1}{2}\theta =\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$
Zadatak 19
$\cos \frac{1}{2}\theta =$
$\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$
$\pm \sqrt{\frac{1+\sin \theta }{2}}$
$\pm \sqrt{\frac{1-\sin \theta }{2}}$
$\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}$
Rešenje:
$\cos 2\alpha =\cos^{2}\alpha -\sin^{2}\alpha =\left( \cos^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha \right) -\cos^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =\left( \cos^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha \right) -\left( \cos ^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha \right) $
$=2\cos ^{2}\alpha -1$,
Neka je $\alpha =\frac{1}{2}\theta $.
$\cos \theta =2\cos ^{2}\frac{1}{2}\theta -1$,then $\cos ^{2}\frac{1}{2}\theta =\frac{1+\cos \theta }{2}$
Tako je $\cos \frac{1}{2}\theta =\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}$
Zadatak 20
$\text{tg}\frac{1}{2}\theta =$
$\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }$
$\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$
$\frac{\cos \theta }{1+\sin \theta }$
$\frac{\cos \theta }{1-\sin \theta }$
Rešenje:
$\tg \frac{1}{2}\theta =\frac{\sin \frac{1}{2}\theta }{\cos \frac{1}{2}\theta }=\frac{\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}=\pm \sqrt{\frac{\left( 1-\cos \theta \right) \left(1+\cos \theta \right) }{\left( 1+\cos \theta \right) \left( 1+\cos \theta \right) }}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos ^{2}\theta }{\left( 1+\cos \theta \right) ^{2}}}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$
Dokazali smo da je $\tg \frac{1}{2}\theta =\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$
Zadatak 21
Koji od sledećih trigonometrijskih identiteta je tačan?
$1-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{\sin ^{3}x-\cos ^{3}x}{\sin x+\cos x}$
$1-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{\sin ^{3}x+\cos ^{3}x}{\sin x-\cos x}$
$1-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{\sin ^{3}x+\cos ^{3}x}{\sin x+\cos x}$
$1-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{\sin ^{3}x-\cos ^{3}x}{\sin x-\cos x}$
Rešenje:
Odgovor: $1-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{\sin^{3}x+\cos^{3}x}{\sin x+\cos x}$
Kada brojilac razložimo na činioce
$\frac{\sin ^{3}x+\cos^{3}x}{\sin x+\cos x}=\frac{\left( \sin x+\cos x\right) \left( \sin^{2}x-\sin x\cos x+\cos ^{2}x\right) }{\sin x+\cos x}=\sin ^{2}x-\sin x\cos x+\cos ^{2}x=$
$=1-\sin x\cos x=1-\frac{1}{2}\left( 2\sin x\cos x\right) =1-\frac{1}{2} \sin 2x$
Dokazali smo da je $1-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{\sin^{3}x+\cos ^{3}x}{\sin x+\cos x}$
Zadatak 22
Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:
$\sin \left( \theta+30^{\circ }\right) +\cos \left( \theta +60^{\circ}\right)=$
$\sin \theta$
$\cos \theta$
$\text{tg} \theta$
$\text{ctg} \theta$
Rešenje:
Pošto je $\sin \left( \theta +30^{\circ }\right) +\cos \left( \theta +60^{\circ }\right) =\left( \sin \theta \cos 30^{\circ }+\cos \theta \sin 30^{\circ}\right) +\left( \cos \theta \cos 60^{\circ }-\sin \theta \sin 60^{\circ}\right) $
Sada ćemo zameniti $\cos 30^{\circ },\sin 30^{\circ },\cos 60^{\circ },\sin 60^{\circ }$
$\sin \left( \theta +30^{\circ }\right) +\cos \left( \theta +60^{\circ }\right) =\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +\frac{1}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\cos \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta =\cos \theta $
Zadatak 23
Uprosti: $\frac{1-\tg ^{2}\frac{1}{2}x}{1+\tg ^{2}\frac{1}{2}x}=$
$\sin x$
$\cos x$
$\text{tg} x$
$\text{ctg} x$
Rešenje:
$\frac{1-\tg^{2}\frac{1}{2}x}{1+\tg^{2}\frac{1}{2}x}=\frac{1-\frac{\sin ^{2}\frac{1}{2}x}{\cos^{2}\frac{1}{2}x}}{\sec^{2}\frac{1}{2}x}=\frac{\left( 1-\frac{\sin^{2}\frac{1}{2}x}{\cos ^{2}\frac{1}{2}x}\right) \cos^{2}\frac{1}{2}x}{\sec^{2}\frac{1}{2}x\cos ^{2}\frac{1}{2}x}=\cos ^{2}\frac{1}{2}x-\sin^{2}\frac{1}{2}x=\cos x$
Ovde pošalji zadatak.
Tekst zadatka:
Rešenje:
Odgovor:
Tvoje ime (ukoliko želiš da bude objavljeno):
Email (bićeš obavešten/a kada zadatak bude objavljen)
Beleške
: koristi [tex][/tex] (kao na forumu ako bi želeo/la da koristiš LaTeX).
Pravilne:
Pogrešne:
Nerešeni zadaci:
Kontakt imejl:
© 2005 - 2023