Kosinusna teorema - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Prema zakonu kosinusa $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta $
onda $b^{2}=12^{2}+10^{2}-2\cdot 12 \cdot 10\cos 26\frac{\pi }{180}=144+100-240(0{,}90)=28$

Tako $b=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

Rešenje:
Prema kosinusnoj teoremi: [tex]BC^2=AC^2+AB^2-2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos\alpha[/tex].
Odatle je [tex]\cos\alpha=\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB}=\frac{36+81-49}{2 \cdot 6 \cdot 9}=\frac{68}{108}=\frac{17}{27}\approx 0{,}6296[/tex].
Dakle, [tex]\alpha=\arccos\frac{17}{27}\approx 50{,}98^\circ[/tex].

Rešenje:
Po kosinusnoj teoremi za trouglove [tex]ABC[/tex], imamo [tex]AB^2=AC^2+BC^2-2AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)[/tex]. Premeštanjem članova, dobijemo [tex]2AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)=AC^2+BC^2-AB^2[/tex]. Kada obe strane podelimo sa [tex]2AC \cdot BC[/tex] dobijemo [tex]\cos(\angle ACB)=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC \cdot BC}=\frac{3^2+5^2-6^2}{2 \cdot 3 \cdot 5}=\frac{9+25-36}{30}=\frac{-2}{30}=-\frac{1}{15}[/tex]

Rešenje:
Po kosinusnoj teoremi, imamo [tex]AB^2=AC^2+BC^2-2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos\angle ACB[/tex]. Kada zamenimo [tex]AC[/tex], [tex]BC[/tex] i i ugao sa njihovim vrednostima, dobijemo: [tex]AB^2=12^2+10^2-2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos(60^{\circ})[/tex], odnosno [tex]AB^2=144+100-2 \cdot 120 \cdot \frac{1}{2}[/tex]. Izvođenjem aritmetičkih operacija na desnoj strani, dobijemo [tex]AB^2=124[/tex].

Rešenje:
Najveći ugao leži naspram najveće stranice [tex]19[/tex]. Označimo ga sa [tex]\gamma[/tex].
Po kosinusnoj teoremi: [tex]19^2=5^2+16^2-2 \cdot 5 \cdot 16 \cdot \cos\gamma[/tex].
[tex]361=281-160\cos\gamma \Rightarrow \cos\gamma=-\frac{1}{2}[/tex].
Prema tome, [tex]\gamma=120^\circ[/tex].

Rešenje:
U paralelogramu je [tex]BC=AD=7[/tex] i [tex]\angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ[/tex].
Po kosinusnoj teoremi za [tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]AC^2=AB^2+BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ=64+49-2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=113+56=169[/tex].
Prema tome, [tex]AC=13[/tex].

Rešenje:
Po kosinusnoj teoremi za [tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]\cos\angle BAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}=\frac{81+36-144}{2 \cdot 9 \cdot 6}=\frac{-27}{108}=-\frac{1}{4}[/tex].
Po kosinusnoj teoremi za [tex]\triangle ADC[/tex]:
[tex]CD^2=AC^2+AD^2-2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos\angle BAC=36+16-2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)=52+12=64[/tex].
Prema tome, [tex]CD=8[/tex].

Rešenje:
Prema kosinusnoj teoremi za [tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]BC^2=AB^2+AC^2-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ=32+1-2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=33-8=25[/tex].
Dakle, [tex]BC=5[/tex].
Obim je [tex]O=4\sqrt{2}+1+5=6+4\sqrt{2}[/tex].

Rešenje:
Najveći ugao [tex]\gamma[/tex] leži naspram najduže stranice [tex]12[/tex].
Prema kosinusnoj teoremi: [tex]\cos\gamma=\frac{7^2+8^2-12^2}{2 \cdot 7 \cdot 8}=\frac{49+64-144}{112}=-\frac{31}{112}[/tex].
Pošto je [tex]\cos\gamma<0[/tex], ugao [tex]\gamma[/tex] je tup, pa je trougao tupougli.

Rešenje:
Za [tex]c=9[/tex], [tex]c=10[/tex] i [tex]c=13[/tex] najduža stranica je [tex]c[/tex] i [tex]\cos\gamma=\frac{36+64-c^2}{2 \cdot 6 \cdot 8}=\frac{100-c^2}{96}[/tex].
Za [tex]c=9[/tex]: [tex]\cos\gamma>0[/tex] – trougao je oštrougli.
Za [tex]c=10[/tex]: [tex]\cos\gamma=0[/tex] – trougao je pravougli.
Za [tex]c=13[/tex]: [tex]\cos\gamma=-\frac{69}{96}<0[/tex], a [tex]6+8>13[/tex] – trougao postoji i tupougli je.
Za [tex]c=14[/tex]: [tex]6+8=14[/tex] – takav trougao ne postoji.
Odgovor: [tex]c=13[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]AC=x[/tex]. Prema kosinusnoj teoremi za ugao [tex]BAC[/tex]:
[tex]BC^2=AB^2+AC^2-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ \Rightarrow 49=25+x^2-5x[/tex].
[tex]x^2-5x-24=0 \Rightarrow x_1=8;\ x_2=-3[/tex] (nije rešenje, dužina je pozitivna).
Dakle, [tex]AC=8[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]\alpha[/tex] oštar ugao paralelograma. Dijagonale leže naspram uglova [tex]\alpha[/tex] i [tex]180^\circ-\alpha[/tex]:
[tex]d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha[/tex], [tex]d_2^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha[/tex].
Sabiranjem dobijamo [tex]d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)[/tex].
[tex]18^2+d^2=2(14^2+8^2) \Rightarrow 324+d^2=520 \Rightarrow d^2=196[/tex].
Druga dijagonala je [tex]14[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]M[/tex] središte stranice [tex]AB[/tex]. Tada je [tex]AM=6[/tex].
Prema kosinusnoj teoremi za [tex]\triangle AMC[/tex]:
[tex]CM^2=AC^2+AM^2-2 \cdot AC \cdot AM \cdot \cos 60^\circ=49+36-2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}=43[/tex].
Dakle, [tex]CM=\sqrt{43}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]AB=10[/tex] osnovica, [tex]AC=BC=b[/tex], a [tex]M[/tex] središte kraka [tex]BC[/tex].
Visina na osnovicu je polovi, pa je [tex]\cos\angle ABC=\frac{5}{b}[/tex].
Prema kosinusnoj teoremi za [tex]\triangle ABM[/tex]:
[tex]AM^2=AB^2+BM^2-2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos\angle ABC=100+\frac{b^2}{4}-2 \cdot 10 \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{5}{b}=50+\frac{b^2}{4}[/tex].
[tex]66=50+\frac{b^2}{4} \Rightarrow b^2=64[/tex].
Krak je [tex]8[/tex].

Rešenje:
Prema kosinusnoj teoremi treća stranica je [tex]c^2=25+64-2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}=49[/tex], [tex]c=7[/tex].
Stranica [tex]c[/tex] leži naspram ugla od [tex]60^\circ[/tex]. Prema sinusnoj teoremi:
[tex]R=\frac{c}{2\sin 60^\circ}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}[/tex].

Rešenje:
Prema kosinusnoj teoremi: [tex]\cos\angle BAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}=\frac{196+169-225}{2 \cdot 14 \cdot 13}=\frac{140}{364}=\frac{5}{13}[/tex].
[tex]\sin\angle BAC=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}[/tex] (sinus ugla trougla je pozitivan).

Rešenje:
[tex]P=\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin 60^\circ \Rightarrow 6\sqrt{3}=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow BC=8[/tex].
Prema kosinusnoj teoremi: [tex]AB^2=9+64-2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}=49[/tex], [tex]AB=7[/tex].

Rešenje:
Dijagonale se polove u preseku, pa stranica [tex]10[/tex] i polovine dijagonala [tex]10[/tex] i [tex]12[/tex] obrazuju trougao.
Neka je [tex]\varphi[/tex] ugao između polovina dijagonala naspram stranice [tex]10[/tex]:
[tex]10^2=10^2+12^2-2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos\varphi \Rightarrow 240\cos\varphi=144 \Rightarrow \cos\varphi=\frac{3}{5}[/tex].
Pošto je [tex]\cos\varphi>0[/tex], [tex]\varphi[/tex] je oštar ugao između dijagonala. Odgovor: [tex]\frac{3}{5}[/tex].

Rešenje:
Polovine dijagonala su [tex]2\sqrt{3}[/tex] i [tex]4[/tex], a uglovi između njih su [tex]150^\circ[/tex] i [tex]30^\circ[/tex].
[tex]a^2=12+16-2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos 150^\circ=28+24=52[/tex], [tex]a=2\sqrt{13}[/tex].
[tex]b^2=12+16-2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ=28-24=4[/tex], [tex]b=2[/tex].

Rešenje:
Neka su druge dve stranice [tex]x[/tex] i [tex]x+7[/tex]. Stranica [tex]13[/tex] leži naspram ugla od [tex]60^\circ[/tex]:
[tex]13^2=x^2+(x+7)^2-2x(x+7)\cos 60^\circ=x^2+7x+49[/tex].
[tex]x^2+7x-120=0 \Rightarrow x_1=8;\ x_2=-15[/tex] (nije rešenje).
Stranice su [tex]8[/tex] i [tex]15[/tex].

Rešenje:
Neka su stranice [tex]a[/tex] i [tex]2a[/tex]. Prema kosinusnoj teoremi treća stranica je [tex]c^2=a^2+4a^2-2 \cdot a \cdot 2a \cdot \frac{1}{2}=3a^2[/tex], [tex]c=a\sqrt{3}[/tex].
Tada je [tex]a^2+c^2=a^2+3a^2=4a^2=(2a)^2[/tex], tj. ugao naspram stranice [tex]2a[/tex] je prav.
Trougao je pravougli.

Rešenje:
Neka je trougao [tex]ABC[/tex], [tex]M \in AB[/tex], [tex]AM=1[/tex], a [tex]O[/tex] njegov centar.
[tex]OA=R=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}[/tex], a [tex]AO[/tex] je simetrala ugla, tj. [tex]\angle OAM=30^\circ[/tex].
Prema kosinusnoj teoremi za [tex]\triangle AOM[/tex]:
[tex]OM^2=12+1-2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=13-6=7[/tex].
Dakle, [tex]OM=\sqrt{7}[/tex].

Rešenje:
[tex]\angle ABC=180^\circ-\angle BAD[/tex], pa je [tex]\cos\angle ABC=-\frac{7}{25}[/tex].
Iz [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]AC^2=a^2+a^2+2a^2 \cdot \frac{7}{25}=\frac{64a^2}{25} \Rightarrow 64=\frac{64a^2}{25} \Rightarrow a=5[/tex].
Iz [tex]\triangle ABD[/tex]: [tex]BD^2=2a^2-2a^2 \cdot \frac{7}{25}=50-14=36[/tex], [tex]BD=6[/tex].

Rešenje:
Prema kosinusnoj teoremi: [tex]AC^2=25+64-2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}=49[/tex], [tex]AC=7[/tex].
[tex]P=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ=10\sqrt{3}[/tex], a poluobim je [tex]s=\frac{5+8+7}{2}=10[/tex].
[tex]r=\frac{P}{s}=\sqrt{3}[/tex].

Rešenje:
Prema kosinusnoj teoremi za ugao [tex]\alpha[/tex]: [tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/tex].
[tex]16=25+c^2-5c \Rightarrow c^2-5c+9=0[/tex].
Diskriminanta je [tex]D=25-36=-11<0[/tex], pa jednačina nema realnih rešenja.
Takav trougao ne postoji. (Zaista, rastojanje od [tex]C[/tex] do prave [tex]AB[/tex] je [tex]b\sin\alpha=\frac{5\sqrt{3}}{2}>4=a[/tex].)

Rešenje:
Visina na osnovicu je i težišna duž, pa je krak [tex]b=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}[/tex].
Prema kosinusnoj teoremi za ugao [tex]\gamma[/tex] pri vrhu:
[tex]\cos\gamma=\frac{b^2+b^2-4^2}{2b^2}=\frac{20+20-16}{40}=\frac{3}{5}[/tex].

Rešenje:
[tex]\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)[/tex], pa je [tex]\cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta)=-\frac{1}{3}[/tex].
Prema kosinusnoj teoremi: [tex]AB^2=9+16-2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=25+8=33[/tex].
Dakle, [tex]AB=\sqrt{33}[/tex].

Rešenje:
Prema kosinusnoj teoremi: [tex]AB^2=9+36-2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=63[/tex], [tex]AB=3\sqrt{7}[/tex].
[tex]P=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \sin 120^\circ=\frac{9\sqrt{3}}{2}[/tex].
[tex]CH=\frac{2P}{AB}=\frac{9\sqrt{3}}{3\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}[/tex].

Rešenje:
Ugao [tex]\beta[/tex] je tup, pa je [tex]\cos\beta=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}[/tex].
Prema kosinusnoj teoremi: [tex]b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta=225+49+2 \cdot 15 \cdot 7 \cdot \frac{3}{5}=274+126=400[/tex].
Dakle, [tex]b=20[/tex].

Rešenje:
Stranice su pozitivne, pa je [tex]0<\sin x<1[/tex] i [tex]0<\cos x<1[/tex], tj. najduža stranica je [tex]1[/tex].
Za ugao [tex]\varphi[/tex] naspram nje: [tex]\cos\varphi=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x-1}{2\sin x\cos x}=0[/tex].
Dakle, [tex]\varphi=90^\circ[/tex].

Rešenje:
Iz kosinusne teoreme za dva susedna ugla paralelograma sledi [tex]d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)[/tex].
Neka je [tex]d_1=6k[/tex], [tex]d_2=7k[/tex]: [tex]36k^2+49k^2=2(121+49) \Rightarrow 85k^2=340 \Rightarrow k=2[/tex].
Dijagonale su [tex]12[/tex] i [tex]14[/tex].

Rešenje:
Prema kosinusnoj teoremi za [tex]\triangle ABD[/tex] [tex](AB=8,\ AD=5,\ BD=7)[/tex]:
[tex]\cos\angle BAD=\frac{64+25-49}{2 \cdot 8 \cdot 5}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}[/tex], tj. [tex]\angle BAD=60^\circ[/tex].
Pošto je [tex]AB \parallel CD[/tex], [tex]\angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ[/tex] i [tex]\cos\angle ADC=-\frac{1}{2}[/tex].

Rešenje:
Prema kosinusnoj teoremi: [tex]b^2+c^2-a^2=2bc\cos\alpha[/tex].
[tex]4P=4 \cdot \frac{1}{2}bc\sin\alpha=2bc\sin\alpha[/tex].
Tada je [tex]2bc\cos\alpha=2bc\sin\alpha[/tex], tj. [tex]\operatorname{tg}\alpha=1[/tex] i [tex]\alpha=45^\circ[/tex].

Rešenje:
[tex]c^2=4+2\sqrt{3}[/tex].
[tex]\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{6+2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], [tex]\alpha=45^\circ[/tex].
[tex]\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{2+2\sqrt{3}}{4(1+\sqrt{3})}=\frac{1}{2}[/tex], [tex]\beta=60^\circ[/tex].
[tex]\gamma=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]a=t[/tex], [tex]b=t\sqrt{3}[/tex], [tex]c=kt[/tex]. Prema kosinusnoj teoremi za [tex]\beta[/tex]:
[tex]3t^2=t^2+k^2t^2-2 \cdot t \cdot kt \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \Rightarrow k^2+k-2=0[/tex].
Pošto je [tex]k>0[/tex], [tex]k=1[/tex]. Tada je [tex]a=c[/tex] i [tex]\alpha=\gamma=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ[/tex].

Rešenje:
Upisani trougao odseca od velikog tri trougla. Svaki od njih ima ugao od [tex]60^\circ[/tex] naspram stranice [tex]\sqrt{3}[/tex], a njihovi uglovi kod temena malog trougla su redom jednaki (zbir dva susedna je [tex]120^\circ)[/tex]. Zato su ta tri trougla podudarna i svaka stranica velikog se deli na duži [tex]x[/tex] i [tex]3-x[/tex].
Prema kosinusnoj teoremi: [tex]3=x^2+(3-x)^2-2x(3-x)\cos 60^\circ=3x^2-9x+9[/tex].
[tex]x^2-3x+2=0 \Rightarrow x=1[/tex] ili [tex]x=2[/tex].
Duži su [tex]1[/tex] i [tex]2[/tex].

Rešenje:
Prema kosinusnoj teoremi za [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]\cos\angle ABC=\frac{9+16-36}{2 \cdot 3 \cdot 4}=-\frac{11}{24}[/tex].
Ako bi četvorougao bio tetivni, onda bi [tex]\angle ABC=180^\circ-30^\circ=150^\circ[/tex] i [tex]\cos\angle ABC=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].
Ali [tex]-\frac{11}{24} \ne -\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], pa se kružnica ne može opisati.