Inverzne trigonometrijske funkcije - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Sa slike
[tex]\sin \angle I=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\;\Rightarrow\;\angle I=\arcsin \frac{4}{5}\approx 53{,} 13^{\circ}[/tex]
(pomoću digitrona).

Rešenje:
Sa slike
[tex]\tg \angle E=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\;\Rightarrow\;\angle E=\operatorname{arctg} \frac{2}{3}\approx 33{,} 69^{\circ}[/tex]
(pomoću digitrona).

Rešenje:
Sa slike
[tex]\sin \angle B=\frac{7}{12}\;\Rightarrow\;\angle B=\arcsin \frac{7}{12}\approx 35{,} 69^{\circ}[/tex]
(pomoću digitrona).

Rešenje:
Sa slike
[tex]\cos\angle A=\frac{3}{8}\;\Rightarrow\;\angle A=\arccos\frac{3}{8}\approx 67{,} 98^{\circ}[/tex]
(pomoću digitrona).

Rešenje:
Transformišemo argument:
[tex]1-8\cos^2x+8\cos^4x=1-8\cos^2x\left(1-\cos^2x\right)=1-8\sin ^2x\cos^2x=1-2\sin ^2 2x=\cos 4x[/tex]
Dakle, jednakost znači [tex]\arccos(\cos 4x)=4x[/tex]. To važi tačno kada je [tex]4x\in\left[0; \pi\right][/tex], tj. za [tex]x\in\left(0; \frac{\pi}{4}\right][/tex]. Na primer, za [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex] leva strana je [tex]\frac{\arccos 1}{\frac{\pi}{2}}=0\ne 4[/tex].

Rešenje:
Funkcije [tex]\arcsin [/tex] i [tex]\arccos[/tex] su definisane samo na [tex]\left[-1; 1\right][/tex]. Pošto je [tex]\frac{\pi}{2}\approx 1{,} 57\gt 1[/tex], ne postoje ni [tex]\arcsin \frac{\pi}{2}[/tex] ni [tex]\arccos\frac{\pi}{2}[/tex]. Formula [tex]\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}[/tex] važi samo za [tex]x\in\left[-1; 1\right][/tex].

Rešenje:
Funkcija [tex]\arccos[/tex] strogo opada na [tex]\left[-1; 1\right][/tex], pa manjoj vrednosti [tex]\arccos[/tex] odgovara veći argument: [tex]a\gt b[/tex]. Na primer, [tex]\arccos 1=0\lt\arccos 0=\frac{\pi}{2}[/tex] i [tex]1\gt 0[/tex].

Rešenje:
[tex]\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}; \quad\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}; \quad\operatorname{arctg} 1=\frac{\pi}{4}[/tex]
[tex]P=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{6}[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]\alpha=\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{6}}{2}[/tex] i [tex]\beta=\arccos\frac{1}{5}[/tex]; oba ugla su u [tex]\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex].
[tex]\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg ^2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{6}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{10}}; \quad\sin \alpha=\tg \alpha\cos\alpha=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}[/tex]
[tex]\cos\beta=\frac{1}{5}; \quad\sin \beta=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}[/tex]
[tex]\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin \alpha\sin \beta=\frac{2}{5\sqrt{10}}+\frac{12}{5\sqrt{10}}=\frac{14}{5\sqrt{10}}=\frac{7\sqrt{10}}{25}\approx 0{,} 885[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]\arccos\frac{3}{5} = x[/tex];
onda je [tex]\cos x = \frac{3}{5},\ 0 < x < \frac{\pi}{2}[/tex]
Pa je [tex]\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2\sqrt{1-\frac{9}{25}}\cdot\frac{3}{5} = \frac{24}{25}[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]\alpha = \arcsin\frac{3}{5}[/tex] i [tex]\beta = \arcsin\frac{8}{17}[/tex]. Oba ugla pripadaju intervalu [tex]\left(0, \frac{\pi}{2}\right)[/tex], pa je
[tex]\cos\alpha = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5}[/tex], [tex]\cos\beta = \sqrt{1-\frac{64}{289}} = \frac{15}{17}[/tex]
[tex]\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\,\sin\beta = \frac{3}{5}\cdot\frac{15}{17} + \frac{4}{5}\cdot\frac{8}{17} = \frac{45}{85} + \frac{32}{85} = \frac{77}{85}[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]\alpha = \arcsin\frac{12}{13}[/tex], [tex]\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)[/tex]. Tada je [tex]\sin\alpha = \frac{12}{13}[/tex] i
[tex]\cos\alpha = \sqrt{1-\frac{144}{169}} = \frac{5}{13}[/tex]
[tex]\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{12}{13} : \frac{5}{13} = \frac{12}{5}[/tex]
Odgovor: [tex]\frac{12}{5}[/tex]

Rešenje:
Funkcija [tex]\arcsin [/tex] je neparna, pa je [tex]\arcsin (-x)=-\arcsin x[/tex] i leva strana je jednaka
[tex]-\left(\arcsin x+\arccos x\right)=-\frac{\pi}{2}[/tex]
jer je [tex]\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}[/tex] za svako [tex]x\in\left[-1; 1\right][/tex]. Dakle, [tex]C=-\frac{\pi}{2}[/tex].

Rešenje:
Funkcija ima inverznu na intervalu ako je na njemu strogo monotona.
Na [tex]\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right][/tex] funkcija [tex]\sin x[/tex] strogo opada od [tex]1[/tex] do [tex]-1[/tex], pa tu ima inverznu.
Na [tex]\left[0; \pi\right][/tex] važi [tex]\sin \frac{\pi}{6}=\sin \frac{5\pi}{6}[/tex], pa inverzna ne postoji; druga dva intervala sadrže [tex]\left[0; \pi\right][/tex].

Rešenje:
Za [tex]x\in\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right][/tex] važi [tex]2x\in\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right][/tex], gde sinus raste, pa inverzna funkcija postoji:
[tex]y=\sin 2x\iff 2x=\arcsin y\iff x=\frac{1}{2}\arcsin y[/tex]
Zamenom slova dobijamo inverznu funkciju [tex]y=\frac{1}{2}\arcsin x; \ x\in\left[-1; 1\right][/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]\alpha=\arcsin x\in\left[0; \frac{\pi}{2}\right][/tex]; tada je [tex]\cos\alpha\ge 0[/tex] i
[tex]\cos\alpha=\sqrt{1-\sin ^2\alpha}=\sqrt{1-x^2}[/tex]
Pošto je [tex]\alpha\in\left[0; \pi\right][/tex], to znači [tex]\alpha=\arccos\sqrt{1-x^2}[/tex], tj. [tex]\arccos\sqrt{1-x^2}=\arcsin x[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]\alpha=\operatorname{arctg} x; \ \alpha\in\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex]; tada je [tex]\tg \alpha=x[/tex] i [tex]\cos\alpha\gt 0[/tex]:
[tex]\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg ^2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}; \ \sin \alpha=\tg \alpha\cos\alpha=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}[/tex]
Primetimo da [tex]\sin \alpha[/tex] ima isti znak kao [tex]x[/tex].