Jednačina kružnice - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Odgovor: Centar je u $(0,3)\qquad r=7$

Kanonski oblik jednačine kružnice je

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, gde je centar u $O:(h, k)$ i poluprečnik $r$

Imamo $x^{2}+(y-3)^{2}=49,$

$O(0,3)\qquad r=7$

Rešenje:
Kanonski oblik jednačine kružnice je
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, gde je centar u tački $(h,k)$, a $r$ je njen poluprečnik.

Naša jednačina je
$(x+2)^{2}+y^{2}=36$

Centar je u tački $(-2,0)$ i poluprečnik je 6.

Rešenje:
Odgovor: $O(-1,-4)$ i $r=\sqrt{\frac{33}{2}}$

$2x^{2}+2y^{2}+4x+16y+1=0\Longrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+8y+\frac{1}{2}=0$ then

$\left( x+1\right)^{2}+\left( y+4\right)^{2}-1-16+\frac{1}{2}=0\Longrightarrow \left( x+1\right) ^{2}+\left( y+4\right) ^{2}=\frac{33}{2}$

Vidimo da je centar u tački $(−1,−4)$ i poluprečnik je $\sqrt{\frac{33}{2}}$

Rešenje:
Odgovor: $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=16$

Kanonski oblik jednačine kružnice je:
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, gde se centar nalazi u tački $(h,k)$ a poluprečnik je $r$.

Dakle, jednačina je $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4^{2}\Longrightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=16$

Rešenje:
Kanonski oblik jednačine kružnice je:
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, gde se centar nalazi u tački $(h,k)$ a poluprečnik je $r$.

Dakle, jednačina je $(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=2^{2}\Longrightarrow (x+1)^{2}+(y-4)^{2}=4$

Rešenje:
Treba da pretvorimo jednačinu u zbir kvadrata.
$x^{2}+y^{2}-4x+2y=0\Longrightarrow \left( x-2\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}-4-1=0$
Zatim $\left(x-2\right)^{2}+\left( y+1\right)^{2}=5$
Vidimo da centar je u tački $(2,-1)$ i poluprečnik $r=\sqrt{5}$.

Rešenje:
The canonical form of the equation of a circle is
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

Centar je u tački $(0,0)$, a $r$ je njen poluprečnik.
Dakle, $x^{2}+y^{2}=r^{2}\Longrightarrow r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
​ Znamo da kružnica prolazi kroz tačku $(-1,-2)$, pa je
$r=\sqrt{\left( -1\right)^{2}+\left(-2\right) ^{2}}=\sqrt{5}$

Dakle, jednačina je $x^{2}+y^{2}=5$.

Rešenje:
Kanonski oblik jednačine kružnice je:

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},$ gde je centar u tački $(4,-5)$ y $r$ je njen poluprečnik.

So $(x-4)^{2}+(y+5)^{2}=r^{2}\Longrightarrow r=\sqrt{(x-4)^{2}+(y+5)^{2}}$ Pošto kružnica prolazi kroz tačku $(7,-3)$, tada
$r=\sqrt{\left( 3\right)^{2}+\left( 2\right)^{2}}=\sqrt{13}$

Dakle, jednačina je $(x-4)^{2}+(y+5)^{2}=13$

Rešenje:
Odgovor: $(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=36$

Pošto kružnica dodiruje x-osu, $r=\left\vert y_{c}\right\vert$, gde je centar $(x_{c},y_{c})$.

Dakle, $y_{c}=6$ i jednačina je $(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=36$.

Rešenje:
Pošto kružnica dodiruje $y$-osu, $r=\left\vert x_{c}\right\vert$, gde je centar u tački $(x_{c},y_{c})$.

Dakle, $x_{c}=-4$ i jednačina je $(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=16$.

Rešenje:
Odgovor: $(2,3)$

$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$
Hajde da proverimo koja od tačaka zadovoljava ovu jednačinu.

$A(2,3):(2+2)^{2}+(3-3)^{2}=16\Longrightarrow 16=16$
Dakle, $A(2,3)\in C$

$B(-4,3):(-4+2)^{2}+(3-3)^{2}=16\Longrightarrow 4\neq 16$
Dakle, $B(-4,3)\notin C$

$D(1,5):(1+2)^{2}+(5-3)^{2}=16\Longrightarrow 9+4=13\neq 16$
Dakle, $D(1,5)\notin C$

Rešenje:
Odgovor: $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$ gde $D=-4\qquad E=0\qquad F=-21$

Jednačina tangente u tački $\left( x_{t},y_{t}\right)=(5,4)$ je

$y-y_{t}=\left( \frac{-2x_{t}-D}{2y_{t}+E}\right) (x-x_{t})$ Dakle,

$y-4=\left( \frac{-10+4}{8+0}\right) (x-5)\Longrightarrow y-4=\frac{-3}{4}(x-5)$

$4y+3x-31=0$

Rešenje:
Odgovor: $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{9}{5}$

Znamo da je poluprečnik $r$ rastojanje između tačke $O:(h,k)$ i prave $y-x-2=0$

Dakle, $O:(2,-1)$ $r=d(O,L)=\frac{\left\vert -2-1-2\right\vert }{\sqrt{1^{2}+\left( -1\right) ^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{2}}$ tada je jednačina kružnice:

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\Longrightarrow (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{25}{2}$

Rešenje:
Jednačina koncentrične kružnice je $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=r^{2}$

Znamo da je poluprečnik $r$ rastojanje između centra $O:(h,k)$ i prave.
Dakle, $O:(2,-1)$ $r=d(C,L)=\frac{\left\vert 2\times 2+1+2\right\vert }{\sqrt{2^{2}+\left( -1\right) ^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7}{5}\sqrt{5}$

Dakle, jednačina kružnice je $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{49}{5}$

Rešenje:
Odgovor: L2: $3x+4y-31=0$

Prava koja je tangenta na kružnicu i kružnica sama moraju imati tačno jednu zajedničku tačku.

Za ove prave dobijamo $y=\frac{C-3x}{4}$, zatim zamenimo yy u jednačinu kružnice, tako da $(x-2)^{2}+\left( \frac{C-3x}{4}\right)^{2}=25$

Sada rešavamo jednačinu:

$x^{2}-4x+4+\frac{C^{2}-6Cx+9x^{2}}{16}=25\Longrightarrow 16x^{2}-64x+64+C^{2}-6Cx+9x^{2}=400$

Zatim: $25x^{2}-(64+6C)x+\left( 64+C^{2}-400\right) =0$

$x=\frac{(64+6C)\pm \sqrt{(64+6C)^{2}-100\left( 64+C^{2}-400\right) }}{50}$

Pošto $x$ ima samo jedno rešenje (tačka tangente),
$(64+6C)^{2}-100\left( 64+C^{2}-400\right) =0$

Imamo tri opcije za $C=6,31,60$
Jedinstvena vrednost $C$ koja zadovoljava prethodnu jednačinu je $C=31$, jer
$(64+6\cdot 31)^{2}-100\left( 64+31^{2}-400\right) =250^{2}-62500=0$

Dakle, L2: $3x+4y-31=0$ je prava koja je tangenta na kružnicu.