Algebra

Osnovne formule

Najvažnija pravila iz algebre na jednom mestu. Detalji i rešeni zadaci su u lekciji za svaku grupu.

Oslobađanje od zagrada

Pravilo	Formula
Minus ispred minusa	$-(-a)=a$
Minus ispred zagrade	${-(a+b)}={-a-b},$ ${-(a-b)}={-a+b}$
Množenje zbira	${a(b+c)}={ab+ac}$
Proizvod dva zbira	${(a+b)(c+d)}={ac+ad+bc+bd}$

Formule skraćenog množenja

Pravilo	Formula
Kvadrat zbira	${(a+b)^2}={a^2+2ab+b^2}$
Kvadrat razlike	${(a-b)^2}={a^2-2ab+b^2}$
Razlika kvadrata	${a^2-b^2}={(a-b)(a+b)}$
Kub zbira	${(a+b)^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$
Kub razlike	${(a-b)^3}={a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$
Zbir kubova	${a^3+b^3}={(a+b)(a^2-ab+b^2)}$
Razlika kubova	${a^3-b^3}={(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Zbir kvadrata $a^2+b^2$ ne može da se rastavi na činioce (u skupu realnih brojeva). Ne mešajte: ${(a+b)^2\ne a^2+b^2}.$ Više u lekciji Algebarski izrazi.

Razlomci

Svi imenioci su različiti od nule.

Pravilo	Formula
Proširivanje i skraćivanje	${\frac{a}{b}}={\frac{a\cdot k}{b\cdot k}},$ $k\ne 0$
Sabiranje i oduzimanje	${\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}}={\frac{ad\pm bc}{bd}}$
Množenje	${\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}}={\frac{ac}{bd}}$
Deljenje	${\frac{a}{b}:\frac{c}{d}}={\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}}={\frac{ad}{bc}},$ $c\ne 0$
Znak razlomka	${\frac{-a}{b}}={\frac{a}{-b}}={-\frac{a}{b}},$ ${\frac{-a}{-b}}={\frac{a}{b}}$
Nula u brojiocu	${\frac{0}{b}}=0$
Nula u imeniocu	$\frac{a}{0}$ nije definisano: nulom se ne deli
Dvojni razlomak	${\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}}={\dfrac{ad}{bc}},$ ${\dfrac{a}{\frac{b}{c}}}={\dfrac{ac}{b}}$

Stepeni

Ovde je $a\ne 0,$ $b\ne 0,$ a $m$ i $n$ su celi brojevi.

Pravilo	Formula
Proizvod stepena jednakih osnova	${a^m\cdot a^n}={a^{m+n}}$
Količnik stepena jednakih osnova	${a^m:a^n}={a^{m-n}}$
Stepen stepena	${(a^m)^n}={a^{mn}}$
Stepen proizvoda	${(ab)^n}={a^nb^n}$
Stepen količnika	${\left(\frac{a}{b}\right)^n}={\frac{a^n}{b^n}}$
Nulti izložilac	${a^0}=1$
Negativan izložilac	${a^{-n}}={\frac{1}{a^n}},$ ${\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}}={\left(\frac{b}{a}\right)^{n}}$
Osnove 1 i 0	${1^n}=1;$ ${0^n}=0$ za $n\gt 0,$ a $0^0$ i $0^{-n}$ nisu definisani

Više u lekciji Stepeni.

Koreni

Za paran $n$ potkorene veličine moraju biti nenegativne: kvadratni koren negativnog broja nije realan broj.

Pravilo	Formula
Definicija	${\left(\sqrt[n]{a}\right)^n}=a$
Koren stepena	${\sqrt{a^2}}={|a|},$ ${\sqrt[n]{a^n}}=a$ za $a\ge 0$
Koren proizvoda	${\sqrt[n]{ab}}={\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$
Koren količnika	${\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}={\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}},$ $b\ne 0$
Koren korena	${\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}}={\sqrt[mn]{a}}$
Racionalni izložilac	${a^{\frac{m}{n}}}={\sqrt[n]{a^m}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)^m},$ $a\gt 0$

Više u lekciji Koren.

Apsolutna vrednost

Pravilo	Formula
Definicija	$|x|=x$ za $x\ge 0;$ $|x|=-x$ za $x\lt 0$
Suprotni brojevi	${|-a|}={|a|}$
Proizvod i količnik	${|ab|}={|a|\cdot|b|},$ ${\left|\frac{a}{b}\right|}={\frac{|a|}{|b|}},$ $b\ne 0$
Jednačina i nejednačina	${|x|=a}\iff{x=\pm a}$ za $a\ge 0;$ ${|x|\lt a}\iff{-a\lt x\lt a}$

Više u lekciji Apsolutne vrednosti.

Logaritmi

Ovde je $a\gt 0,$ $a\ne 1,$ $x\gt 0$ i $y\gt 0.$

Pravilo	Formula
Definicija	${\log_a x=b}\iff{a^b=x}$
Logaritam jedinice i osnove	${\log_a 1}=0,$ ${\log_a a}=1$
Logaritam proizvoda	${\log_a(xy)}={\log_a x+\log_a y}$
Logaritam količnika	${\log_a\frac{x}{y}}={\log_a x-\log_a y}$
Logaritam stepena	${\log_a x^n}={n\log_a x}$
Promena osnove	${\log_a x}={\frac{\log_b x}{\log_b a}},$ $b\gt 0,$ $b\ne 1$

Više u lekciji Logaritam.

Faktorijel

Pravilo	Formula
Definicija	${n!}={1\cdot 2\cdot 3\cdots n}$ za $n\ge 1$
Faktorijel nule	${0!}=1$
Rekurentna formula	${(n+1)!}={(n+1)\cdot n!}$