Polinomske i racionalne nejednačine

Polinomska nejednačina (nejednačina višeg stepena) poredi polinom sa nulom ili se može tako transformisati, na primer ${x^3-x\gt 0}$ ili ${3x^4+10x}\le{11x^3+4.}$ U racionalnoj nejednačini nepoznata se nalazi u imeniocu, na primer ${\frac{x-3}{x+4}}\ge{\frac{x+2}{x-5}.}$ Obe vrste se rešavaju na isti način: nađemo brojeve u kojima je izraz jednak nuli ili nije definisan, njima podelimo brojevnu pravu na intervale i odredimo znak izraza na svakom intervalu. To je metod intervala.

Na ovoj stranici: Polinomske nejednačine · Smena znakova · Višestruki koreni · Racionalne nejednačine · Česte greške · Vežbe

Polinomske nejednačine

Kada sve članove prebacimo na jednu stranu, polinomska nejednačina dobija jedan od oblika ${P(x)\gt 0,}$ ${P(x)\ge 0,}$ ${P(x)\lt 0}$ ili ${P(x)\le 0,}$ gde je ${P(x)}$ polinom. Kvadratna nejednačina, na primer ${3x^2-2x-5}\gt{0,}$ je slučaj drugog stepena. Drugi primeri: ${x^3-x\gt 0,}$   ${-2x^4+x^2-3}\lt{7,}$   ${4x^3-2x^2}\gt{{5x+7}.}$

Metod intervala

1. Prebacimo sve članove na jednu stranu, tako da na drugoj ostane ${0.}$
2. Rešimo odgovarajuću jednačinu ${P(x)=0}$: rastavimo polinom na činioce i nađemo njegove korene.
3. Obeležimo korene na brojevnoj pravoj. Oni je dele na intervale.
4. Odredimo znak ${P(x)}$ na svakom intervalu: zamenimo jednu probnu vrednost iz intervala ili primenimo pravilo smene znakova (u nastavku).
5. Izaberemo intervale sa traženim znakom. Kod ${\ge}$ i ${\le}$ koreni pripadaju rešenju (uglaste zagrade), a kod ${\gt}$ i ${\lt}$ ne pripadaju (obične zagrade).

Primer 1

Rešiti nejednačinu ${x^3-x\gt 0.}$

Desna strana je već ${0.}$ Rastavimo levu stranu na činioce:

${x^3-x}={x(x^2-1)}={x(x+1)(x-1)}$

Koreni su ${-1,}$ ${0}$ i ${1.}$ Oni dele brojevnu pravu na četiri intervala. Iz svakog uzmemo po jednu probnu vrednost:

Interval	${x}$	${x^3-x}$
${(-\infty,\,-1)}$	${-2}$	${-6}$
${(-1,\,0)}$	${-0{,}5}$	${0{,}375}$
${(0,\,1)}$	${0{,}5}$	${-0{,}375}$
${(1,\,+\infty)}$	${2}$	${6}$

Znaci izraza ${x^3-x}$ na intervalima. Prazni kružići pokazuju da koreni nisu rešenja.

Tražimo ${x^3-x\gt 0,}$ pa uzimamo dva intervala sa znakom „+“. U korenima je izraz jednak ${0,}$ a ${0\gt 0}$ nije tačno, pa koreni ne ulaze u rešenje.

Rešenje: $x\in(-1,\,0)\cup(1,\,+\infty),$ odnosno ${-1\lt x\lt 0}$ ili ${x\gt 1.}$

Grafik funkcije ${y=x^3-x}$ pokazuje isto: kriva je iznad ${x}$-ose tačno nad ova dva intervala.

Grafik funkcije ${y=x^3-x.}$ Rešenje je označeno narandžastom bojom na ${x}$-osi.

Pravilo smene znakova

Probne vrednosti uvek daju rezultat, ali kada je polinom rastavljen na činioce, postoji brži način. Zapišemo ga u obliku

${P(x)}={a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n),}$   gde je $x_1\lt x_2\lt\dots\lt x_n.$

Desno od najvećeg korena sve zagrade su pozitivne, pa tamo ${P(x)}$ ima znak vodećeg koeficijenta ${a.}$ Svaki put kada idući ulevo pređemo preko korena, tačno jedna zagrada menja znak, pa se menja i znak proizvoda.

U primeru 1 je ${x^3-x}={x(x+1)(x-1)}$ i ${a=1\gt 0,}$ pa su znaci zdesna nalevo ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ kao što su pokazale i probne vrednosti.

Primer 2

Rešiti nejednačinu ${3x^4+10x}\le{11x^3+4.}$

Oduzmemo ${11x^3+4}$ od obe strane:

${3x^4-11x^3+10x-4}\le 0$

Algebarsko rešenje

Rešavamo odgovarajuću jednačinu ${3x^4-11x^3+10x-4}=0.$ Prvo probamo male brojeve: ${P(-1)}={3+11-10-4}={{0},}$ pa je ${x=-1}$ koren i polinom je deljiv sa ${x+1.}$ Deljenje (na primer po Hornerovoj šemi) daje

${3x^4-11x^3+10x-4}={(x+1)(3x^3-14x^2+14x-4)}$

Ako polinom sa celobrojnim koeficijentima ima racionalan koren ${\frac pq,}$ onda ${p}$ deli slobodni član, a ${q}$ deli vodeći koeficijent. Za kubni polinom kandidati su ${\pm1,}$ ${\pm2,}$ ${\pm4,}$ ${\pm\frac13,}$ ${\pm\frac23,}$ ${\pm\frac43,}$ i ${x=\frac23}$ je koren:

${3\cdot\frac{8}{27}-14\cdot\frac49+14\cdot\frac23-4}={\frac{8-56+84-36}{9}}={0}$

Kada kubni polinom podelimo sa ${3x-2,}$ ostaje ${x^2-4x+2,}$ čiji su koreni ${x}={\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}}={{2\pm\sqrt2}.}$ Dakle,

${3x^4-11x^3+10x-4}={(x+1)(3x-2)(x^2-4x+2)}$

i četiri korena, poređana po veličini, su

${-1}\lt{2-\sqrt2}\lt{\frac23}\lt{2+\sqrt2,}$   ili približno   ${-1;}$ ${0{,}586;}$ ${0{,}667;}$ ${3{,}414.}$

Vodeći koeficijent je ${3\gt 0}$ i sva četiri korena su različita, pa su znaci zdesna nalevo ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+}$:

Probne vrednosti to potvrđuju (vrednost ${0{,}6}$ je između ${0{,}586}$ i ${0{,}667}$):

Interval	${x}$	${P(x)}$
${(-\infty,\,-1)}$	${-2}$	${112}$
${(-1,\,2-\sqrt2)}$	${0}$	${-4}$
${(2-\sqrt2,\,\frac23)}$	${0{,}6}$	${0{,}0128}$
${(\frac23,\,2+\sqrt2)}$	${1}$	${-2}$
${(2+\sqrt2,\,+\infty)}$	${4}$	${100}$

Tražimo ${P(x)\le 0}$: dva intervala sa znakom „−“ zajedno sa njihovim krajevima, jer nejednačina nije stroga.

Rešenje: $x\in\left[-1,\,2-\sqrt2\,\right]\cup\left[\frac23,\,2+\sqrt2\,\right].$

Grafičko rešenje

Grafik funkcije $y={3x^4-11x^3+10x-4}$ seče ${x}$-osu u tački ${x=-1}$ i blizu ${x=3{,}414.}$ Između ${x=0}$ i ${x=1}$ izgleda kao da kriva samo dodiruje osu.

Kada uvećamo zaokruženi deo, vidi se da kriva tu zapravo dvaput seče osu: u tačkama ${2-\sqrt2}\approx{0{,}586}$ i ${\frac23}\approx{0{,}667.}$ Između ovih korena iznad ose postoji mala izbočina; njena najviša tačka je samo oko ${0{,}022.}$

Grafik je na ${x}$-osi ili ispod nje od ${-1}$ do ${0{,}586}$ i od ${0{,}667}$ do ${3{,}414,}$ što se slaže sa algebarskim rešenjem. Grafik je dobra provera, ali daje samo približne vrednosti i može da sakrije korene koji su blizu jedan drugom. Algebra daje tačne kritične tačke, a grafik na prvi pogled pokazuje koji intervali zadovoljavaju nejednačinu.

Primer 3

Rešiti nejednačinu ${x^4-5x^2+4}\lt 0.$

Leva strana je bikvadratni izraz, odnosno kvadratni po ${x^2.}$ Rastavimo je na činioce u dva koraka:

${x^4-5x^2+4}={(x^2-1)(x^2-4)}={(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)}$

Koreni ${-2,}$ ${-1,}$ ${1,}$ ${2}$ su različiti, a vodeći koeficijent je ${1,}$ pa su znaci zdesna nalevo ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$

Rešenje: $x\in(-2,\,-1)\cup(1,\,2).$

Višestruki koreni

Ako se zagrada javlja dvaput, kao u ${(x-2)^2,}$ onda je ${2}$ dvostruki koren. Kvadrat nikada nije negativan, pa se tu znak ne menja.

Primer 4. Rešiti nejednačinu ${x^3-4x^2+4x}\le 0.$

${x^3-4x^2+4x}={x(x^2-4x+4)}={x(x-2)^2}$

Koren ${0}$ je jednostruk, a koren ${2}$ je dvostruk. Desno od ${2}$ znak je ${+.}$ Pri prelasku preko ${2}$ ostaje ${+,}$ a pri prelasku preko ${0}$ postaje ${-.}$

Izraz je negativan za ${x\lt 0}$ i jednak je ${0}$ za ${x=0}$ i za ${x=2.}$ Svi ti brojevi zadovoljavaju ${\le 0.}$

Rešenje: $x\in(-\infty,\,0]\cup\{2\}.$

Ne zaboravite izdvojenu tačku ${x=2.}$ Za strogu nejednačinu ${x(x-2)^2\lt 0}$ rešenje bi bilo samo ${x\lt 0.}$ Za ${x(x-2)^2\gt 0}$ ono bi bilo $x\in(0,\,2)\cup(2,\,+\infty);$ tu broj ${2}$ mora da se isključi.

Grafik funkcije ${y=x(x-2)^2}$ seče ${x}$-osu u jednostrukom korenu ${0,}$ a u dvostrukom korenu ${2}$ je samo dodiruje.

Činioci koji nikada nisu nula

Kvadratni činilac sa negativnom diskriminantom, na primer ${x^2+x+1}$ (${D=1-4=-3\lt 0}$), nema realne korene. On za svako ${x}$ zadržava znak svog vodećeg koeficijenta, pa ne utiče na raspored znakova. Pozitivan činilac možemo jednostavno da izostavimo, jer deljenje pozitivnim brojem ne menja nejednačinu.

Primer 5. Rešiti nejednačinu ${(x^2+x+1)(x^2-9)}\ge 0.$

Pošto je ${x^2+x+1\gt 0}$ za svako ${x,}$ nejednačina je ekvivalentna sa ${x^2-9\ge 0,}$ odnosno sa ${(x+3)(x-3)}\ge 0.$

Rešenje: $x\in(-\infty,\,-3]\cup[3,\,+\infty).$

Racionalne nejednačine

U racionalnoj nejednačini nepoznata se nalazi u imeniocu. Kada sve članove prebacimo na jednu stranu i zapišemo ih kao jedan razlomak, ona ima oblik ${\frac{P(x)}{Q(x)}}\gt 0$ (ili ${\ge,}$ ${\lt,}$ ${\le}$), gde su ${P}$ i ${Q}$ polinomi.

Metod za racionalne nejednačine

1. Prebacimo sve članove na jednu stranu i svedemo ih na zajednički imenilac.
2. Rastavimo na činioce brojilac i imenilac.
3. Nađemo kritične tačke: nule brojioca i nule imenioca.
4. Obeležimo ih na brojevnoj pravoj. Nule imenioca su uvek prazni kružići. Nule brojioca su popunjeni kružići kod ${\ge}$ i ${\le,}$ a prazni kod ${\gt}$ i ${\lt.}$
5. Odredimo znak na svakom intervalu probnim vrednostima ili pravilom smene znakova. Zagrade imenioca se računaju isto kao zagrade brojioca, jer ${\frac PQ}$ i ${P\cdot Q}$ uvek imaju isti znak.
6. Zapišemo rešenje. Nule imenioca nikada ne ulaze u njega.

Primer 6

Rešiti nejednačinu ${\frac{x-3}{x+4}}\ge{\frac{x+2}{x-5}.}$

Algebarsko rešenje

Oduzmemo ${\frac{x+2}{x-5}}$ i svedemo oba razlomka na zajednički imenilac ${(x+4)(x-5)}$:

${\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5}}\ge 0$

${\frac{(x-3)(x-5)-(x+2)(x+4)}{(x+4)(x-5)}}\ge 0$

Brojilac je ${(x^2-8x+15)}-{(x^2+6x+8)}={{-14x+7},}$ pa je

${\frac{-14x+7}{(x+4)(x-5)}}\ge 0$

Podelimo obe strane sa ${-7.}$ Pri deljenju negativnim brojem znak nejednakosti se okreće:

${\frac{2x-1}{(x+4)(x-5)}}\le 0$

Kritične tačke su ${x=\frac12}$ (nula brojioca; popunjen kružić, jer nejednačina nije stroga) i ${x=-4,}$ ${x=5}$ (nule imenioca; prazni kružići). Do na pozitivan činilac sve zagrade su oblika ${(x-c),}$ pa su znaci zdesna nalevo ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-.}$

Tražimo intervale sa znakom „−“, uz broj ${\frac12,}$ ali bez ${-4}$ i ${5.}$

Rešenje: $x\in(-\infty,\,-4)\cup\left[\frac12,\,5\right).$

Radi provere, evo probnih vrednosti funkcije ${f(x)}={\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5},}$ razlike leve i desne strane polazne nejednačine:

Interval	${x}$	${f(x)}$
${(-\infty,\,-4)}$	${-5}$	${7{,}7}$
${(-4,\,\frac12)}$	${-2}$	${-2{,}5}$
${(\frac12,\,5)}$	${3}$	${2{,}5}$
${(5,\,+\infty)}$	${6}$	${-7{,}7}$

Grafičko rešenje

Grafik funkcije $y={\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5}}$ prekida se u tačkama ${x=-4}$ i ${x=5,}$ u kojima funkcija nije definisana; isprekidane prave su vertikalne asimptote. Kriva seče ${x}$-osu samo jednom, u tački ${x=\frac12.}$

Kriva je na ${x}$-osi ili iznad nje nad ${(-\infty,\,-4)}$ i ${\left[\frac12,\,5\right),}$ što je isto rešenje. Primetite da funkcija menja znak i u tačkama prekida, iako tu ne seče osu. Zato su i nule imenioca kritične tačke.

Primer 7

Rešiti nejednačinu ${\frac{x^2-x-6}{x^2-1}}\ge 0.$

Rastavimo na činioce brojilac i imenilac:

${\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)}}\ge 0$

Brojilac je jednak nuli za ${-2}$ i ${3}$ (popunjeni kružići), a imenilac za ${-1}$ i ${1}$ (prazni kružići). Sve četiri kritične tačke su različite, pa su znaci zdesna nalevo ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$

Rešenje: $x\in(-\infty,\,-2]\cup(-1,\,1)\cup[3,\,+\infty).$

Česte greške

Greška	Pogrešno	Tačno
Množenje imeniocem koji sadrži ${x}$	${\frac1x\lt 1}\Rightarrow{x\gt 1}$	${\frac{x-1}{x}\gt 0}\Rightarrow{x\in(-\infty,\,0)\cup(1,\,+\infty)}$
Nula imenioca uključena u rešenje	${\frac{x+1}{x-2}\ge 0}\Rightarrow{x\in(-\infty,\,-1]\cup[2,\,+\infty)}$	${x\in(-\infty,\,-1]\cup(2,\,+\infty)}$
Promena znaka u dvostrukom korenu	${(x-1)^2(x+2)\gt 0}\Rightarrow{x\in(-\infty,\,-2)\cup(1,\,+\infty)}$	${x\in(-2,\,1)\cup(1,\,+\infty)}$
Zaboravljena izdvojena tačka	${x(x-2)^2\le 0}\Rightarrow{x\in(-\infty,\,0]}$	${x\in(-\infty,\,0]\cup\{2\}}$
Skraćivanje zajedničkog činioca bez pamćenja gde je on nula	${\frac{x^2-1}{x-1}\gt 0}\Rightarrow{x+1\gt 0}\Rightarrow{x\gt -1}$	${x\in(-1,\,1)\cup(1,\,+\infty)}$
Zagrada ${(2-x)}$ tretirana kao ${(x-2)}$	${(2-x)(x+3)\gt 0}\Rightarrow{x\in(-\infty,\,-3)\cup(2,\,+\infty)}$	${x\in(-3,\,2)}$

Vežbe

Rešite nejednačine. Prvo pokušajte sami, a zatim otvorite rešenje.

1. ${(x+3)(x-1)(x-4)}\lt 0$

Koreni ${-3,}$ ${1,}$ ${4;}$ znaci zdesna nalevo ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-.}$ Rešenje: $x\in(-\infty,\,-3)\cup(1,\,4)$

2. ${x^3\ge 9x}$

${x^3-9x}={x(x-3)(x+3)}\ge 0.$ Rešenje: $x\in[-3,\,0]\cup[3,\,+\infty)$

3. ${x^4-10x^2+9}\le 0$

${x^4-10x^2+9}={(x^2-1)(x^2-9)}={(x+3)(x+1)(x-1)(x-3)}\le 0.$ Rešenje: $x\in[-3,\,-1]\cup[1,\,3]$

4. ${(x-2)^2(x+5)}\lt 0$

Dvostruki koren ${2}$ ne menja znak, a za ${x=2}$ izraz je jednak ${0,}$ što nije negativan broj. Rešenje: $x\in(-\infty,\,-5)$

5. ${x^3+x^2-4x-4}\gt 0$

Grupišemo članove: ${x^2(x+1)-4(x+1)}={(x+1)(x-2)(x+2)}\gt 0.$ Rešenje: $x\in(-2,\,-1)\cup(2,\,+\infty)$

6. ${\frac{x-1}{x+2}}\le 0$

Kritične tačke ${-2}$ (prazan kružić) i ${1}$ (popunjen kružić). Rešenje: ${x\in(-2,\,1]}$

7. ${\frac{x+3}{x-1}}\gt 2$

${\frac{x+3}{x-1}-2}={\frac{5-x}{x-1}}\gt{0,}$ odnosno ${\frac{x-5}{x-1}}\lt 0.$ Rešenje: ${x\in(1,\,5)}$

8. ${\frac{x^2-4}{x^2+x}}\ge 0$

${\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)}}\ge 0.$ Kritične tačke ${-2,}$ ${-1,}$ ${0,}$ ${2;}$ znaci zdesna nalevo ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$ Rešenje: $x\in(-\infty,\,-2]\cup(-1,\,0)\cup[2,\,+\infty)$

9. ${\frac{1}{x-1}}\ge{\frac{1}{x+1}}$

${\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}}={\frac{2}{(x-1)(x+1)}}\ge 0.$ Brojilac nikada nije nula, pa razlomak mora biti pozitivan. Rešenje: $x\in(-\infty,\,-1)\cup(1,\,+\infty)$

10. ${\frac{(x-3)^2}{x^2-4}}\le 0$

Brojilac nikada nije negativan i jednak je ${0}$ samo za ${x=3.}$ Razlomak je negativan tamo gde je ${x^2-4\lt 0.}$ Rešenje: $x\in(-2,\,2)\cup\{3\}$

Svoja rešenja možete da proverite programom za rešavanje zadataka, koji rešava nejednačine metodom intervala korak po korak.