Algebarski izrazi

Formule skraćenog množenja (algebarski identiteti) su gotovi rezultati množenja koja se javljaju veoma često. Umesto da svaki put množimo svaki član sa svakim, odmah zapisujemo rezultat. Spadaju među najkorišćenije alate u algebri i koriste se u dva smera:

• sleva nadesno, za oslobađanje od zagrada: ${{(x+3)^2}={x^2+6x+9}}$;
• zdesna nalevo, za rastavljanje polinoma na činioce: ${{x^2-9}={(x-3)(x+3)}}$.

U formulama $a$ i $b$ mogu biti bilo koji brojevi ili izrazi, na primer $2x$, $5y^2$ ili ${x+1}$.

Tabela formula

Naziv	Formula
Kvadrat zbira	${(a+b)^2}={a^2+2ab+b^2}$
Kvadrat razlike	${(a-b)^2}={a^2-2ab+b^2}$
Razlika kvadrata	${a^2-b^2}={(a-b)(a+b)}$
Kub zbira	${(a+b)^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$
Kub razlike	${(a-b)^3}={a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$
Zbir kubova	${a^3+b^3}={(a+b)(a^2-ab+b^2)}$
Razlika kubova	${a^3-b^3}={(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Svaka od ovih formula dokazuje se množenjem zagrada. U nastavku je pokazano kako se to radi i kako se svaka formula primenjuje.

Kvadrat zbira i kvadrat razlike

Zašto je tako? Kvadrirati izraz znači pomnožiti ga samim sobom:

${(a+b)^2}={(a+b)(a+b)}={a^2+ab+ba+b^2}={a^2+2ab+b^2}$

Dva jednaka člana $ab$ i $ba$ daju dvostruki proizvod $2ab$. Isto se vidi i na slici: kvadrat stranice ${a+b}$ sastoji se od kvadrata $a^2$, dva pravougaonika površine $ab$ i kvadrata $b^2$.

${(a+b)^2}={a^2+ab+ab+b^2}={a^2+2ab+b^2}$

Kvadrat razlike računa se na isti način. Razlikuje se samo znak ispred dvostrukog proizvoda:

${(a-b)^2}={(a-b)(a-b)}={a^2-ab-ba+b^2}={a^2-2ab+b^2}$

Primeri

Primer 1. U ${(x+3)^2}$ prvi izraz je $x$, a drugi je $3$:

${(x+3)^2}={x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2}={x^2+6x+9}$

Primer 2. Kada je izraz proizvod, na primer $2a$, stavljamo ga u zagradu da bismo kvadrirali i broj i slovo:

${(2a-5)^2}={(2a)^2-2\cdot 2a\cdot 5+5^2}={4a^2-20a+25}$

Primer 3.

${(3x+2y)^2}={(3x)^2+2\cdot 3x\cdot 2y+(2y)^2}={9x^2+12xy+4y^2}$

Primer 4. Kada se stepen kvadrira, izložilac se udvostručuje:

${(1-x^2)^2}={1^2-2\cdot 1\cdot x^2+(x^2)^2}={1-2x^2+x^4}$

Suprotni izrazi imaju jednake kvadrate, pa je ${{(b-a)^2}={(a-b)^2}}$ i ${{(-a-b)^2}={(a+b)^2}}$. Na primer, ${(-x-3)^2}={(x+3)^2}={x^2+6x+9}$.

Pažnja: ${{(a+b)^2}\ne {a^2+b^2}}$. Ne zaboravite dvostruki proizvod! Provera brojevima: ${(3+4)^2}=7^2=49$, a ${3^2+4^2}={9+16}=25$. Razlika ${{49-25}=24}$ je tačno ${2\cdot 3\cdot 4}$.

Računanje napamet

Formule pomažu da napamet kvadriramo brojeve bliske okruglim brojevima:

$51^2={(50+1)^2}={2500+100+1}=2601$

$99^2={(100-1)^2}={10\,000-200+1}=9801$

Razlika kvadrata

Kada pomnožimo zagrade, dva srednja člana se poništavaju:

${(a-b)(a+b)}={a^2+ab-ba-b^2}={a^2-b^2}$

Geometrijski: iz ugla kvadrata $a^2$ isečemo kvadratić $b^2$. Ostatak razrežemo na dva pravougaonika i od njih složimo jedan pravougaonik sa stranicama ${a+b}$ i ${a-b}$.

${a^2-b^2}={(a+b)(a-b)}$

Primeri

${(x-7)(x+7)}={x^2-7^2}={x^2-49}$

${(2y+1)(2y-1)}={(2y)^2-1^2}={4y^2-1}$

U suprotnom smeru formula rastavlja razliku kvadrata na činioce:

${9a^2-25b^2}={(3a)^2-(5b)^2}={(3a-5b)(3a+5b)}$

I računanje napamet: ${51\cdot 49}={(50+1)(50-1)}={2500-1}=2499$, ${102\cdot 98}={100^2-2^2}=9996$.

Pažnja: za zbir kvadrata ${a^2+b^2}$ takva formula ne postoji: on se ne može rastaviti na činioce sa realnim brojevima. Zato ${x^2+9}$ ostaje takav kakav je. Zbir kvadrata može se samo izraziti preko kvadrata zbira ili razlike: ${a^2+b^2}={(a+b)^2-2ab}={(a-b)^2+2ab}$.

Kub zbira i kub razlike

Dokaz: pomnožimo ${(a+b)^2}$ još jednom sa ${(a+b)}$:

${(a+b)^3}={(a^2+2ab+b^2)(a+b)}={a^3+a^2b+2a^2b}+{2ab^2+ab^2+b^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$

Primeri

${(2x-1)^3}={(2x)^3-3\cdot(2x)^2\cdot 1}+{3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3}={8x^3-12x^2+6x-1}$

${(1+a^2)^3}={1+3\cdot a^2+3\cdot(a^2)^2+(a^2)^3}={1+3a^2+3a^4+a^6}$

Napamet: $11^3={(10+1)^3}={1000+300+30+1}=1331$.

Pažnja: ${{(a+b)^3}\ne {a^3+b^3}}$. Na primer, ${{(1+2)^3}=27}$, a ${{1^3+2^3}=9}$.

Zbir i razlika kubova

Izraz ${a^2-ab+b^2}$ naziva se nepotpuni kvadrat razlike: liči na ${(a-b)^2}$, ali je srednji član $ab$, a ne $2ab$. Slično, ${a^2+ab+b^2}$ je nepotpuni kvadrat zbira. Kako da zapamtimo znake:

• u prvoj zagradi je isti znak kao na levoj strani;
• srednji član druge zagrade ima suprotan znak;
• poslednji znak je uvek plus.

Provera množenjem: svi srednji članovi se poništavaju.

${(a+b)(a^2-ab+b^2)}={a^3-a^2b+ab^2}+{a^2b-ab^2+b^3}={a^3+b^3}$

Primeri

${x^3-8}={x^3-2^3}={(x-2)(x^2+2x+4)}$

${27a^3+1}={(3a)^3+1^3}={(3a+1)(9a^2-3a+1)}$

Nepotpuni kvadrati se dalje ne mogu rastaviti na činioce sa realnim brojevima.

Obrnuti smer: rastavljanje na činioce

Često treba prepoznati formulu u datom polinomu. Trinom oblika ${a^2\pm 2ab+b^2}$ je potpun kvadrat. Kako ga prepoznati:

1. Dva člana su kvadrati: ${x^2=(x)^2}$, ${9=3^2}$, ${4a^2=(2a)^2}$.
2. Treći član je dvostruki proizvod njihovih osnova: ${{2\cdot x\cdot 3}=6x}$.
3. Znak dvostrukog proizvoda je znak u zagradi.

${x^2+6x+9}={x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2}={(x+3)^2}$

${25+20a+4a^2}={5^2+2\cdot 5\cdot 2a+(2a)^2}={(5+2a)^2}$

${4y^2-12y+9}={(2y)^2-2\cdot 2y\cdot 3+3^2}={(2y-3)^2}$

Ali ${x^2+5x+9}$ nije potpun kvadrat, jer je ${2\cdot x\cdot 3}=6x\ne 5x$.

Ponekad se formula primenjuje više puta. Prvo izvlačimo zajednički činilac ispred zagrade, ako postoji:

${2x^3-18x}={2x(x^2-9)}={2x(x-3)(x+3)}$

${x^4-16}={(x^2-4)(x^2+4)}={(x-2)(x+2)(x^2+4)}$

Još korisnih formula

${(a+b+c)^2}={a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}$

${(a-b-c)^2}={a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc}$

${(a+b)^2+(a-b)^2}={2(a^2+b^2)}$

${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$

${(a-b)^2}={(a+b)^2-4ab}$

${a^3+b^3}={(a+b)^3-3ab(a+b)}$

${a^4-b^4}={(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}$

Pomoću njih možemo izračunati vrednost izraza bez nalaženja samih brojeva. Ako je ${{a+b}=5}$ i ${ab=6}$, onda je

${a^2+b^2}={(a+b)^2-2ab}={25-12}=13$

${a^3+b^3}={(a+b)^3-3ab(a+b)}={125-90}=35$

Formule za n-ti stepen

Razlika kvadrata i razlika kubova su posebni slučajevi formule koja važi za svaki prirodan broj ${n\ge 2}$:

${a^n-b^n}={(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})}$

U drugoj zagradi stepeni od $a$ opadaju, stepeni od $b$ rastu, a svi znaci su plus. Na primer:

${a^4-b^4}={(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)}$

Ako je $n$ neparan, zbir ${a^n+b^n}$ je deljiv sa ${a+b}$ (znaci u drugoj zagradi se smenjuju):

${a^n+b^n}={(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})}$

${a^5+b^5}={(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)}$

Ako je $n$ paran, sa ${a+b}$ je deljiva razlika ${a^n-b^n}$, a ne zbir:

${a^n-b^n}={(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-b^{n-1})}$

Za paran $n$ zbir ${a^n+b^n}$ nije deljiv sa ${a+b}$. Na primer, ${a^2+b^2}$ se uopšte ne može rastaviti na činioce.

Paskalov trougao

Koeficijenti u ${(a+b)^n}$ čitaju se iz Paskalovog trougla. Svaki red počinje i završava se jedinicom, a svaki drugi broj je zbir dva broja iznad njega:

Red $1;\ 2;\ 1$ daje ${(a+b)^2}$, red $1;\ 3;\ 3;\ 1$ daje ${(a+b)^3}$, a sledeći red daje

${(a+b)^4}={a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}$

Stepeni od $a$ opadaju od $n$ do 0, a stepeni od $b$ rastu od 0 do $n$. Kod ${(a-b)^n}$ znaci se smenjuju, počevši od plusa.

Zadaci u vezi sa algebarskim izrazima

Zadatak 1. Reši jednačinu ${{x^2-25}=0}$.

Rešenje: Leva strana je razlika kvadrata: ${{x^2-25}={(x-5)(x+5)}}$. Proizvod je jednak nuli kada je bar jedan od činilaca jednak nuli: ${{x-5}=0}$ ili ${{x+5}=0}$. Jednačina ima dva rešenja: ${x_1=5}$ i ${x_2=-5}$.

Zadatak 2. Uprosti izraz ${(a-b)^2}-{2(a-b)(a+b)}+{(a+b)^2}$.

Rešenje: Oslobodimo se zagrada u svakom delu:

${(a^2-2ab+b^2)}-{2(a^2-b^2)}+{(a^2+2ab+b^2)}={2a^2+2b^2-2a^2+2b^2}={4b^2}$

Brže: izraz je oblika ${{A^2-2AB+B^2}={(A-B)^2}}$, gde je ${A={a-b}}$ i ${B={a+b}}$, pa je jednak ${((a-b)-(a+b))^2}={(-2b)^2}={4b^2}$.

Zadatak 3. Uprosti izraz ${(x^2+2)^2}-{(x-2)(x+2)(x^2+4)}$.

Rešenje: Dva puta primenimo razliku kvadrata: ${{(x-2)(x+2)}={x^2-4}}$ i ${(x^2-4)(x^2+4)}={x^4-16}$. Tada je

${(x^2+2)^2-(x^4-16)}={x^4+4x^2+4-x^4+16}={4x^2+20}$

Zadatak 4. Uprosti izraz ${(x+2)^2-(x-2)^2}$.

Rešenje: ${(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)}=8x$. Još brže je pomoću formule ${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$, gde je ${a=x}$ i ${b=2}$, pa je rezultat ${{4\cdot x\cdot 2}=8x}$.

Zadatak 5. Reši jednačinu ${{(x+3)^2-(x-1)^2}=24}$.

Rešenje: ${(x^2+6x+9)-(x^2-2x+1)}=24$, tj. ${{8x+8}=24}$, odakle je ${x=2}$. Provera: ${{5^2-1^2}=24}$.

Zadatak 6. Izračunaj ${1001^2-999^2}$.

Rešenje: ${1001^2-999^2}={(1001-999)(1001+999)}={2\cdot 2000}=4000$.

Zadatak 7. Rastavi na činioce ${3x^3-12x}$.

Rešenje: ${3x^3-12x}={3x(x^2-4)}={3x(x-2)(x+2)}$.

Zadatak 8. Dokaži da je razlika kvadrata dva uzastopna neparna broja deljiva sa 8.

Rešenje: Dva uzastopna neparna broja možemo zapisati kao ${2k-1}$ i ${2k+1}$. Po formuli ${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$ za ${a=2k}$ i ${b=1}$: ${(2k+1)^2-(2k-1)^2}={4\cdot 2k\cdot 1}=8k$, a $8k$ je deljivo sa 8. Na primer, ${7^2-5^2}=24={8\cdot 3}$.

Zadaci za vežbu

Reši zadatak, a zatim ga otvori da proveriš odgovor.

1. ${(x+5)^2}$

${x^2+10x+25}$

2. ${(3a-2b)^2}$

${(3a)^2-2\cdot 3a\cdot 2b+(2b)^2}={9a^2-12ab+4b^2}$

3. ${(2y-7)(2y+7)}$

${{(2y)^2-7^2}={4y^2-49}}$

4. Izračunaj napamet $49^2$

${(50-1)^2}={2500-100+1}=2401$

5. ${(a+2)^3}$

${a^3+3\cdot a^2\cdot 2+3\cdot a\cdot 2^2+2^3}={a^3+6a^2+12a+8}$

6. Rastavi na činioce ${16x^2-1}$

${(4x)^2-1^2}={(4x-1)(4x+1)}$

7. Rastavi na činioce ${x^2-14x+49}$

${x^2-2\cdot x\cdot 7+7^2}={(x-7)^2}$

8. Rastavi na činioce ${8m^3-125}$

${(2m)^3-5^3}={(2m-5)(4m^2+10m+25)}$

9. Ako je ${{a-b}=3}$ i ${ab=10}$, nađi ${a^2+b^2}$

${a^2+b^2}={(a-b)^2+2ab}={9+20}=29$

10. Reši jednačinu ${{(x-4)^2}=x^2}$

${{x^2-8x+16}=x^2}$, tj. ${{-8x+16}=0}$ i ${x=2}$.