Razlomci

Na ovoj stranici: Šta je razlomak · Primeri · Razlomak kao količnik · Pravi i nepravi · Brojevna prava · Jednaki razlomci · Poređenje · Računske operacije · Razlomak od broja · Test

Šta je razlomak?

Podelite celinu (tablu čokolade, picu, duž) na jednake delove i uzmite nekoliko tih delova. Deo koji ste uzeli zapisuje se razlomkom.

Traka na slici podeljena je na $5$ jednakih delova, a $3$ od njih su obojena. Obojeni deo je $\frac{3}{5}$ trake. Čita se „tri petine”.

U razlomku $\frac{3}{5}$ brojilac je $3,$ a imenilac je $5.$ Razlomak se može zapisati i u jednom redu: 3/5.

Delovi moraju biti jednaki. Ako je pica isečena na $4$ parčeta različite veličine, ta parčad nisu četvrtine pice.

Kako se čitaju razlomci

Brojilac se čita kao osnovni broj (jedna, tri, pet), a imenilac kao reč izvedena iz rednog broja: peti – petina, osmi – osmina, deseti – desetina. Ta reč menja oblik prema brojiocu, kao i svaka imenica posle broja (jedna jabuka, dve jabuke, pet jabuka): posle brojioca $1$ ona je u jednini (jedna petina), posle dva, tri i četiri završava se na -e (dve petine, tri petine), a od pet nadalje na -a (pet osmina, sedam desetina). Tako je $\frac{1}{5}$ „jedna petina”, $\frac{3}{5}$ „tri petine”, $\frac{5}{8}$ „pet osmina”, a $\frac{7}{10}$ „sedam desetina”. Česti su i ovi razlomci: $\frac{1}{2}$ se čita „jedna polovina” (ili samo „polovina”, „pola”), $\frac{1}{4}$ „jedna četvrtina”, $\frac{3}{4}$ „tri četvrtine”, a $\frac{3}{2}$ „tri polovine”. Posebnu reč, polovina, ima samo imenilac dva.

Primeri razlomaka

Primer 1. Sara, Marija i Đorđe dele tablu čokolade na jednake delove. Koliki deo čokolade dobija svako od njih? Koliki deo dobijaju Sara i Marija zajedno?

Čokoladu lome na $3$ jednaka dela, pa svako dete dobija $\frac{1}{3}$ čokolade. Dve devojčice zajedno imaju $2$ od $3$ dela, odnosno $\frac{2}{3}$ čokolade. Đorđe ima preostali deo, $\frac{1}{3}.$ Sva tri dela zajedno čine celu čokoladu: ${\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1}.$

Primer 2. Koliki deo svih balona čine žuti baloni?

Odgovor

Ima $5$ balona, a $2$ od njih su žuta, pa žuti baloni čine $\frac{2}{5}$ svih balona. Ostala $3$ balona su zelena, a to je $\frac{3}{5}$ svih balona.

Primer 3. Koji deo kutije je prazan?

Odgovor

Kutija ima $8$ mesta, a $1$ od njih je prazno, pa je $\frac{1}{8}$ kutije prazna. Na ostalih $7$ mesta su jabuke i one popunjavaju $\frac{7}{8}$ kutije.

Razlomak kao količnik

Četvoro dece deli tri pice na jednake delove. Isecite svaku picu na $4$ četvrtine. To je ukupno $12$ četvrtina, pa svako dete dobija po $3$ četvrtine: $\frac{3}{4}$ pice. Dakle, ${3:4=\frac{3}{4}}.$

Razlomačka crta znači deljenje: ${\frac{a}{b}=a : b}.$

Prema tome, razlomak je broj. Kada izvršimo deljenje, dobijamo ga u obliku decimalnog ili prirodnog broja: ${\frac{3}{4}=3:4=0{,}75},$ ${\frac{1}{2}=0{,}5}$ i ${\frac{6}{3}=2}.$

Imenilac nikada nije $0.$ Celina se ne može podeliti na $0$ delova, a deljenje nulom nije definisano. U svakom razlomku $\frac{a}{b}$ je ${b\ne 0}.$

U algebri brojilac i imenilac mogu biti i negativni celi brojevi (imenilac i dalje nikada nije $0$), na primer ${\frac{-2}{3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}}.$ Brojevi koji se mogu zapisati kao razlomak $\frac{a}{b},$ gde su $a$ i $b$ celi brojevi i ${b\ne 0},$ nazivaju se racionalni brojevi. Svuda drugde na ovoj stranici brojioci i imenioci su prirodni brojevi.

Pravi i nepravi razlomci

Razlomak je pravi ako mu je brojilac manji od imenioca, na primer $\frac{3}{4},$ $\frac{5}{8}$ i $\frac{1}{10}.$ Uzimamo manje delova nego što ih ima u celini, pa je pravi razlomak manji od $1.$

Razlomak je nepravi ako mu je brojilac veći od imenioca ili mu je jednak, na primer $\frac{7}{4},$ $\frac{5}{5}$ i $\frac{9}{2}.$ Nepravi razlomak je veći od broja $1$ ili mu je jednak. Na primer, ${\frac{5}{5}=1},$ jer $5$ petina čini celinu.

Nepravi razlomak može biti i prirodan broj: ${\frac{8}{4}=2}$ i ${\frac{12}{4}=3}.$ Svaki prirodan broj može se zapisati kao razlomak sa imeniocem $1,$ ali i sa bilo kojim drugim imeniocem: ${5=\frac{5}{1}=\frac{10}{2}=\frac{15}{3}}.$

Razlomci na brojevnoj pravoj

Svakom razlomku odgovara jedna tačka na brojevnoj pravoj. Da biste označili $\frac{3}{4},$ podelite duž od $0$ do $1$ na $4$ jednaka dela i odbrojte $3$ dela udesno od $0$ (plava tačka). Da biste označili $\frac{7}{4},$ odbrojte $7$ takvih delova (narandžasta tačka).

Pravi razlomci nalaze se između $0$ i $1.$ Tačka $\frac{4}{4}$ je broj $1,$ a nepravi razlomak $\frac{7}{4}$ nalazi se desno od $1.$

Jedna tačka može imati više imena: $\frac{2}{4}$ i $\frac{1}{2}$ su ista tačka, a isto važi i za $\frac{6}{4}$ i $\frac{3}{2}.$ Od dva razlomka veći je onaj koji se na brojevnoj pravoj nalazi desnije.

Jednaki razlomci

Tri kruga na slici su iste veličine. Prvi je podeljen na $2$ jednaka dela, drugi na $4,$ a treći na $6,$ i u svakom od njih obojena je polovina kruga.

Obojeni deo je isti u sva tri kruga, pa je ${\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}}.$ Razlomci koji predstavljaju isti broj nazivaju se jednaki ili ekvivalentni razlomci.

Razlomak $\frac{2}{4}$ dobijamo iz $\frac{1}{2}$ kada brojilac i imenilac pomnožimo sa $2\text{:}$ svaka polovina je isečena na $2$ dela, pa delova ima dvaput više, a dvaput više ih je i obojeno. Na isti način dobijamo $\frac{3}{6}$ kada i brojilac i imenilac razlomka $\frac{1}{2}$ pomnožimo sa $3.$

Proširivanje razlomka

Da biste razlomak $\frac{3}{4}$ zapisali sa imeniocem $20,$ zapitajte se kojim brojem treba pomnožiti $4$ da bi se dobilo $20.$ Odgovor je $5,$ pa i brojilac pomnožite sa $5\text{:}$

${\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{15}{20}}$

Ovako se, proširivanjem, razlomci svode na zajednički imenilac pre nego što se saberu, oduzmu ili uporede.

Skraćivanje razlomka

Skratiti razlomak znači podeliti njegov brojilac i imenilac istim brojem većim od $1$ (zajedničkim deliocem). Vrednost razlomka se ne menja, ali brojevi postaju manji. Razlomak je neskrativ kada njegov brojilac i imenilac nemaju zajednički delilac osim $1,$ kao $\frac{3}{4}$ ili $\frac{5}{8}.$

Primer: skratite $\frac{18}{24}.$ Oba broja su parna, pa ih podelite sa $2\text{:}$ ${\frac{18}{24}=\frac{9}{12}}.$ I $9$ i $12$ su deljivi sa $3\text{:}$ ${\frac{9}{12}=\frac{3}{4}}.$

Brže je da brojilac i imenilac odmah podelite njihovim najvećim zajedničkim deliocem (NZD). NZD brojeva $18$ i $24$ je $6,$ pa je

${\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}}.$

Da li su dva razlomka jednaka?

Dva razlomka $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ jednaka su tačno onda kada su im jednaki unakrsni proizvodi: ${a\cdot d=b\cdot c}.$

Primer: $\frac{6}{8}$ i $\frac{9}{12}.$ Unakrsni proizvodi su ${6\cdot 12=72}$ i ${8\cdot 9=72}.$ Jednaki su, pa je ${\frac{6}{8}=\frac{9}{12}}$ (oba razlomka su jednaka $\frac{3}{4}$). Ali ${\frac{2}{3}\ne\frac{3}{5}},$ jer je ${2\cdot 5=10},$ a ${3\cdot 3=9}.$

Poređenje razlomaka

Razlomci sa jednakim imeniocima

Od dva razlomka sa jednakim imeniocima veći je onaj koji ima veći brojilac.

Delovi su iste veličine, pa više delova čini veći deo celine: ${\frac{4}{5}\gt\frac{3}{5}\gt\frac{2}{5}}.$

Razlomci sa jednakim brojiocima

Od dva razlomka sa jednakim brojiocima veći je onaj koji ima manji imenilac.

Što je celina podeljena na manji broj delova, to je svaki deo veći: četvrtina pice je veća od petine pice. Zato je ${\frac{3}{4}\gt\frac{3}{5}\gt\frac{3}{20}}.$

Različiti brojioci i imenioci

Svedite razlomke na zajednički imenilac i uporedite njihove brojioce.

Primer: uporedite $\frac{3}{4}$ i $\frac{5}{7}.$ Zajednički imenilac je ${4\cdot 7=28},$ pa je ${\frac{3}{4}=\frac{21}{28}},$ a ${\frac{5}{7}=\frac{20}{28}}.$ Pošto je ${21\gt 20},$ sledi da je ${\frac{3}{4}\gt\frac{5}{7}}.$

Unakrsni proizvodi daju isti odgovor brže. Pomnožite brojilac svakog razlomka imeniocem drugog razlomka: ${3\cdot 7=21}$ za $\frac{3}{4}$ i ${5\cdot 4=20}$ za $\frac{5}{7}.$ Veći je razlomak sa većim proizvodom: ${21\gt 20},$ pa je ${\frac{3}{4}\gt\frac{5}{7}}.$

Ponekad pomaže broj $\frac{1}{2}.$ Važi ${\frac{4}{9}\lt\frac{1}{2}},$ jer je $4$ manje od polovine broja $9,$ i ${\frac{5}{8}\gt\frac{1}{2}},$ jer je $5$ više od polovine broja $8.$ Dakle, ${\frac{4}{9}\lt\frac{5}{8}}$ bez ikakvog računanja.

Kada se menja samo brojilac ili samo imenilac

Ako se brojilac pomnoži nekim brojem, a imenilac ostane isti, razlomak se pomnoži tim brojem: ${\frac{2\cdot 3}{7}=\frac{6}{7}},$ a to je razlomak $3$ puta veći od $\frac{2}{7}.$

Ako se imenilac pomnoži brojem različitim od $0,$ a brojilac ostane isti, razlomak se podeli tim brojem: ${\frac{2}{7\cdot 3}=\frac{2}{21}},$ a to je trećina razlomka $\frac{2}{7}.$

Računske operacije sa razlomcima

Evo pravila, a uz svako pravilo i primer. Kalkulator na vrhu stranice rešava ovakve zadatke korak po korak.

Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa jednakim imeniocima

${\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{1+2}{5}=\frac{3}{5}}$

${\frac{4}{5}-\frac{2}{5}=\frac{4-2}{5}=\frac{2}{5}}$

Jedna petina i dve petine su tri petine, kao što su $1$ jabuka i $2$ jabuke ukupno $3$ jabuke. Imenilac samo kazuje koliki su delovi.

Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim imeniocima

Najpre svedite razlomke na zajednički imenilac: broj koji je deljiv sa oba imenioca. Najpogodniji je najmanji zajednički imenilac, odnosno najmanji zajednički sadržalac (NZS) imenilaca.

Primer: ${\frac{5}{6}+\frac{3}{4}}.$ NZS brojeva $6$ i $4$ je $12.$ Pošto je ${12:6=2}$ i ${12:4=3},$ prvi razlomak proširujemo sa $2,$ a drugi sa $3$ (množimo i brojilac i imenilac):

${\frac{5}{6}+\frac{3}{4}}={\frac{5\cdot 2}{6\cdot 2}+\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}}={\frac{10}{12}+\frac{9}{12}}={\frac{19}{12}}$

Proizvod imenilaca je uvek zajednički imenilac. Odatle dobijamo pravilo za bilo koja dva razlomka:

${\frac{3}{5}-\frac{1}{2}}={\frac{3\cdot 2-5\cdot 1}{5\cdot 2}}={\frac{6-5}{10}}={\frac{1}{10}}$

Kod većih imenilaca proizvod daje veće brojeve, a rezultat često treba skratiti: ${\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{6+4}{24}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}}.$ Sa najmanjim zajedničkim imeniocem $12$ račun je kraći: ${\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}}.$

Množenje razlomaka

${\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{8}=\frac{3\cdot 7}{5\cdot 8}=\frac{21}{40}}$

Lakše je skratiti pre množenja. U proizvodu ${\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}}$ podelite $4$ i $8$ sa $4,$ a $3$ i $9$ sa $3\text{:}$

${\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}}={\frac{4\cdot 3}{9\cdot 8}}={\frac{1\cdot 1}{3\cdot 2}}={\frac{1}{6}}$

Razlomak se množi prirodnim brojem tako što se pomnoži samo brojilac: ${3\cdot\frac{2}{5}=\frac{3\cdot 2}{5}=\frac{6}{5}}.$

Deljenje razlomaka

Dva broja su međusobno recipročne vrednosti ako je njihov proizvod $1.$ Recipročan razlomak dobija se kada brojilac i imenilac zamene mesta: recipročna vrednost razlomka $\frac{2}{9}$ je $\frac{9}{2},$ a recipročna vrednost broja $5$ je $\frac{1}{5}.$ Broj $0$ nema recipročnu vrednost.

${\frac{3}{5}:\frac{2}{9}=\frac{3}{5}\cdot\frac{9}{2}=\frac{27}{10}}$

Zašto je to tako? Koliko polovina ima u $3$ celine? Svaka celina ima $2$ polovine, pa ih ima ukupno $6\text{:}$ ${3:\frac{1}{2}=3\cdot 2=6}.$ Deliti sa $\frac{1}{2}$ isto je što i množiti sa $2.$

Razlomak od broja

Razlomak od broja. Koliko jabuka je $\frac{3}{4}$ od $20$ jabuka? Jedna četvrtina od $20$ je ${20:4=5},$ a tri četvrtine su ${3\cdot 5=15}$ jabuka. Razlomak od broja nalazimo tako što broj pomnožimo razlomkom:

${\frac{3}{4}\cdot 20=\frac{3\cdot 20}{4}=15}$

Broj na osnovu njegovog dela. U jednom odeljenju $\frac{2}{5}$ svih učenika čine $12$ učenika. Koliko učenika ima u odeljenju? Dve petine su $12$ učenika, pa je jedna petina ${12:2=6}$ učenika, a celo odeljenje (pet petina) ima ${5\cdot 6=30}$ učenika. Broj nalazimo na osnovu njegovog dela tako što deo podelimo razlomkom:

${12:\frac{2}{5}=12\cdot\frac{5}{2}=30}$

Koliki deo jednog broja je drugi broj. Naočare nosi $8$ od tih $30$ učenika. To je ${\frac{8}{30}=\frac{4}{15}}$ odeljenja: deo se piše u brojiocu, a celina u imeniocu. Ovakva su i pitanja 1–3 u testu ispod.

Test iz razlomaka

Izaberite po jedan odgovor na svako pitanje i pritisnite Pošalji. Ispod svakog pitanja na koje ste odgovorili pojaviće se objašnjenje. Pitanja označena zvezdicom (*) su teža.