Logaritam (log, ln)

Na koji stepen treba podići 2 da bismo dobili 8? Odgovor je 3, jer je ${2^3=8}.$ Broj 3 se naziva logaritam broja 8 za osnovu 2 i zapisuje se ${\log_2 8=3}.$ Čita se: „logaritam broja 8 za osnovu 2 jednak je 3”.

Broj $a$ se naziva osnova logaritma, a $b$ je logaritmand (broj koji logaritmujemo). Sam logaritam $c$ može biti bilo koji realan broj: pozitivan, negativan, nula ili razlomak.

Primeri

• ${\log_3 81=4},$ jer je ${3^4=81}.$
• ${\log_{10} 1000=3},$ jer je ${10^3=1000}.$
• ${\log_5\frac{1}{25}=-2},$ jer je ${5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}}.$
• ${\log_9 3=\frac12},$ jer je ${9^{\frac12}=\sqrt9=3}.$
• ${\log_{1/2} 8=-3},$ jer je ${\left(\frac12\right)^{-3}=2^3=8}.$
• ${\log_7 1=0},$ jer je ${7^0=1}.$

Animirani primer: koliko je $\log_2 64?$

Kada logaritam postoji

• Logaritmand je pozitivan: ${b\gt 0}.$ Svaki stepen pozitivnog broja je pozitivan, pa jednačine ${2^c=0}$ i ${2^c=-4}$ nemaju rešenja. Logaritam nule i negativnog broja ne postoji: $\log_2 0$ i $\log_2(-4)$ nisu definisani.
• Osnova je pozitivna: ${a\gt 0}.$ Stepen negativnog broja nije definisan za svaki izložilac. Na primer, ${(-4)^{\frac12}}$ bi trebalo da bude $\sqrt{-4},$ a takav realan broj ne postoji.
• Osnova nije 1: ${a\ne 1}.$ Svaki stepen broja 1 jednak je 1. Zato jednačina ${1^c=5}$ nema rešenja, a jednačina ${1^c=1}$ ima beskonačno mnogo rešenja.

Na ovoj stranici: log i ln · Osnovne osobine · Proizvod, količnik, stepen · Promena osnove · Grafik · Jednačine i nejednačine · Kalkulator · Rešeni zadaci · Vežbe

Dekadni i prirodni logaritam

Dve osnove se koriste toliko često da logaritmi za te osnove imaju svoje oznake.

• ${\log 100=2},$ ${\log 1000=3}$ i ${\log 0{,}01=-2},$ jer je ${10^{-2}=0{,}01}.$
• ${\ln e=1},$ ${\ln 1=0},$ ${\ln e^5=5}$ i ${\ln\frac1e=-1}.$

Na kalkulatoru taster log računa dekadni logaritam, a taster ln prirodni. Na primer, ${\log 2\approx 0{,}30103}$ i ${\ln 2\approx 0{,}69315}.$ Logaritam za neku drugu osnovu računa se pomoću formule za promenu osnove.

Dekadni logaritam pokazuje koliko je neki broj velik. Ako je ${10^n\le b\lt 10^{n+1}},$ onda je ${n\le\log b\lt n+1},$ tj. broj $b$ ima ${n+1}$ cifara ispred decimalnog zareza. Logaritamske skale se koriste i u nauci: kiselost rastvora je ${\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H}^+]},$ jačina zvuka se meri u decibelima, a jačina zemljotresa po Rihterovoj skali.

Osnovne osobine logaritma

Sledeće jednakosti slede direktno iz definicije. Svuda je ${a\gt 0},$ ${a\ne 1}$ i ${b\gt 0}.$

Osobina	Zašto važi
${\log_a 1=0}$	${a^0=1}$
${\log_a a=1}$	${a^1=a}$
${\log_a a^c=c}$	da bismo dobili $a^c,$ podižemo $a$ na stepen $c$
${a^{\log_a b}=b}$	$\log_a b$ je upravo izložilac na koji podižemo $a$ da bismo dobili $b$

Poslednja jednakost se naziva osnovni logaritamski identitet. Na primer, ${3^{\log_3 7}=7},$ ${10^{\log 5}=5}$ i ${e^{\ln 2}=2}.$

Poslednje dve jednakosti pokazuju da su stepenovanje i logaritmovanje za istu osnovu $a$ inverzne operacije: svaka od njih poništava drugu.

Logaritam proizvoda, količnika i stepena

Logaritmi su izmišljeni upravo zbog ovih pravila: oni pretvaraju množenje u sabiranje, a deljenje u oduzimanje. Džon Neper je objavio prve tablice logaritama 1614. godine. Pomoću njih su astronomi zamenjivali duga množenja višecifrenih brojeva sabiranjem njihovih logaritama.

Zašto važi. Neka je ${\log_a b=x}$ i ${\log_a c=y},$ tj. ${b=a^x}$ i ${c=a^y}.$ Tada je

${bc=a^x\cdot a^y=a^{x+y}},$   ${\frac{b}{c}=\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}},$   ${b^n=(a^x)^n=a^{nx}}$

Po definiciji logaritma ${\log_a(bc)=x+y},$ ${\log_a\frac{b}{c}=x-y}$ i ${\log_a b^n=nx}.$ Pravila za logaritme su pravila za stepene pročitana unazad.

Primeri

• ${\log_2(5\cdot 4)}={\log_2 5+\log_2 4}={\log_2 5+2}$
• ${\log_2\frac54}={\log_2 5-\log_2 4}={\log_2 5-2}$
• ${\log_2 8}={\log_2 2^3}={3\log_2 2}={3}$
• ${\log 2+\log 5}={\log 10}={1}$
• ${\log_3 54-\log_3 2}={\log_3 27}={3}$

Dva posebna slučaja trećeg pravila javljaju se vrlo često:

Na primer, ${\log_2\frac18=-\log_2 8=-3}$ i ${\log_2\sqrt{32}=\frac12\log_2 32=\frac52}.$

Pažnja kod parnog stepena. Jednakost ${\log_a b^2=2\log_a b}$ važi samo za ${b\gt 0}.$ Broj $b^2$ je pozitivan i kada je $b$ negativan, pa za svako ${b\ne 0}$ važi ${\log_a b^2=2\log_a|b|}.$ Na primer, ${\log\bigl((-10)^2\bigr)}={\log 100}={2},$ a $\log(-10)$ ne postoji.

Logaritam zbira. Formula za ${\log_a(b+c)}$ i ${\log_a(b-c)}$ ne postoji. U opštem slučaju ${\log_a(b+c)\ne\log_a b+\log_a c}.$ Na primer, ${\log_2(4+4)=\log_2 8=3},$ a ${\log_2 4+\log_2 4=4}.$

Promena osnove

Zašto važi. Logaritmujemo za osnovu $c$ obe strane osnovnog identiteta ${a^{\log_a b}=b}$: ${\log_c a^{\log_a b}=\log_c b},$ tj. ${\log_a b\cdot\log_c a=\log_c b}.$ Ostaje da podelimo sa ${\log_c a\ne 0}.$

Pomoću ove formule svaki logaritam možemo izračunati kalkulatorom:

${\log_2 3}={\frac{\log 3}{\log 2}}={\frac{\ln 3}{\ln 2}}\approx{1{,}585}$

Nova osnova može biti bilo koji pozitivan broj različit od 1, na primer 7: ${\log_2 3=\frac{\log_7 3}{\log_7 2}}.$

Posledice. Logaritmandi su pozitivni, osnove su pozitivne i različite od 1, a ${n\ne 0}$:

Na primer, ${\log_8 2=\frac{1}{\log_2 8}=\frac13},$ ${\log_2 3\cdot\log_3 8=\log_2 8=3}$ i ${\log_9 27}={\log_{3^2} 3^3}={\frac32\log_3 3}={\frac32}.$

Logaritamska funkcija i njen grafik

Funkcija ${y=\log_a x},$ gde je ${a\gt 0}$ i ${a\ne 1},$ naziva se logaritamska funkcija. Definisana je samo za ${x\gt 0},$ a njene vrednosti su svi realni brojevi.

Grafici funkcija ${y=\log_2 x},$ ${y=\ln x}$ i ${y=\log x}.$ Svi prolaze kroz tačku ${(1;\ 0)},$ a vrednost 1 dostižu za ${x=a}.$

Za svaku osnovu grafik prolazi kroz tačke ${(1;\ 0)}$ i ${(a;\ 1)},$ jer je ${\log_a 1=0}$ i ${\log_a a=1}.$ Osa $Oy$ je asimptota grafika: kada se $x$ približava nuli, grafik se neograničeno udaljava od ose $Ox.$ Da li funkcija raste ili opada, zavisi od osnove:

	${a\gt 1}$	${0\lt a\lt 1}$
Funkcija	raste	opada
Za ${0\lt x\lt 1}$	${\log_a x\lt 0}$	${\log_a x\gt 0}$
Za ${x\gt 1}$	${\log_a x\gt 0}$	${\log_a x\lt 0}$
Kada ${x\to 0}$	${\log_a x\to-\infty}$	${\log_a x\to+\infty}$
Kada ${x\to+\infty}$	${\log_a x\to+\infty}$	${\log_a x\to-\infty}$

Grafici funkcija ${y=\log_2 x}$ i ${y=\log_{1/2} x}$ simetrični su u odnosu na osu $Ox,$ jer je ${\log_{1/2} x=-\log_2 x}.$

${y=\log_2 x}$ raste, a ${y=\log_{1/2} x}$ opada.

Logaritamska funkcija ${y=\log_a x}$ je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije ${y=a^x}$: ako je ${y=a^x},$ onda je ${x=\log_a y}.$ Zato su njihovi grafici simetrični u odnosu na pravu ${y=x}.$ Na primer, tačka ${(1;\ 2)}$ pripada grafiku funkcije ${y=2^x},$ a tačka ${(2;\ 1)}$ pripada grafiku funkcije ${y=\log_2 x}.$

Grafici funkcija ${y=2^x}$ i ${y=\log_2 x}$ simetrični su u odnosu na pravu ${y=x}.$

Logaritamske jednačine i nejednačine

Logaritamska funkcija je strogo monotona, pa različiti brojevi imaju različite logaritme za istu osnovu. Zato iz jednakosti logaritama sledi jednakost brojeva. Taj prelaz sa logaritama na same brojeve naziva se antilogaritmovanje.

Kako se rešava logaritamska jednačina

1. Određujemo oblast definisanosti: svaki izraz pod znakom logaritma mora biti pozitivan. Ako je nepoznata u osnovi, osnova mora biti pozitivna i različita od 1.
2. Pomoću pravila za logaritme svodimo jednačinu na oblik ${\log_a f(x)=\log_a g(x)}$ ili ${\log_a f(x)=c}.$
3. Antilogaritmujemo: ${f(x)=g(x)}$ ili po definiciji ${f(x)=a^c}.$ Rešavamo dobijenu jednačinu.
4. Zadržavamo samo rešenja koja pripadaju oblasti definisanosti.

Primer 1. ${\log_3(2x-1)=2}.$ Oblast definisanosti je ${x\gt\frac12}.$ Po definiciji ${2x-1=3^2=9},$ odakle je ${x=5}.$ To rešenje pripada oblasti definisanosti.

Primer 2. ${\log_2(x+1)}={\log_2(3x-5)}.$ Mora biti ${x+1\gt 0}$ i ${3x-5\gt 0},$ tj. ${x\gt\frac53}.$ Antilogaritmujemo: ${x+1=3x-5},$ odakle je ${x=3}.$ Provera: obe strane su jednake $\log_2 4.$

Primer 3. Uporedite $\log_{0{,}5} 3$ i $\log_{0{,}5} 7.$ Osnova je manja od 1, pa veći broj ima manji logaritam: ${\log_{0{,}5} 3\gt\log_{0{,}5} 7}.$

Kalkulator za logaritme

Upišite osnovu i broj. Za prirodni logaritam upišite slovo e kao osnovu. Možete upisivati i razlomke, na primer 1/2. Kada je logaritam racionalan broj, kalkulator ga nalazi tačno i pokazuje zašto. U suprotnom računa približnu vrednost pomoću formule za promenu osnove.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Izračunajte: a) $\log_2 32;$ b) $\log_3\frac19;$ v) $\log_{1/2} 16;$ g) $\log 0{,}01;$ d) $\log_{27} 3.$

Rešenje: Tražimo izložilac na koji treba podići osnovu da bismo dobili broj.

• a) ${2^5=32},$ pa je ${\log_2 32=5}.$
• b) ${3^{-2}=\frac19},$ pa je ${\log_3\frac19=-2}.$
• v) ${\left(\frac12\right)^{-4}=2^4=16},$ pa je ${\log_{1/2} 16=-4}.$
• g) ${10^{-2}=0{,}01},$ pa je ${\log 0{,}01=-2}.$
• d) ${27^{\frac13}=\sqrt[3]{27}=3},$ pa je ${\log_{27} 3=\frac13}.$

Zadatak 2. Odredite $x$: a) ${\log_3 x=-2};$ b) ${\log_x 16=4};$ v) ${\log_{\sqrt3} 9=x}.$

Rešenje:

• a) Po definiciji ${x=3^{-2}=\frac19}.$
• b) ${x^4=16},$ a osnova mora biti pozitivna i različita od 1. Zato je ${x=2}.$ Broj $-2$ je takođe rešenje jednačine ${x^4=16},$ ali ne može biti osnova.
• v) ${\left(\sqrt3\right)^x=9},$ a ${9=\left(\sqrt3\right)^4}.$ Zato je ${x=4}.$

Zadatak 3. Izračunajte: a) $2^{3+\log_2 5};$ b) $25^{\log_5 3}.$

Rešenje: Koristimo osnovni logaritamski identitet.

a) ${2^{3+\log_2 5}}={2^3\cdot 2^{\log_2 5}}={8\cdot 5}={40}$

b) ${25^{\log_5 3}}={\left(5^2\right)^{\log_5 3}}={\left(5^{\log_5 3}\right)^2}={3^2}={9}$

Zadatak 4. Izračunajte: a) ${\log 8+3\log 5};$ b) ${\log_6 4+\log_6 9};$ v) ${\log_3 18}-{\log_3 2+\log_3\frac{1}{27}}.$

Rešenje:

a) ${\log 8+3\log 5}={\log 8+\log 5^3}={\log(8\cdot 125)}={\log 1000}={3}$

b) ${\log_6 4+\log_6 9}={\log_6(4\cdot 9)}={\log_6 36}={2}$

v) ${\log_3 18}-{\log_3 2+\log_3\frac{1}{27}}={\log_3 9+\log_3 3^{-3}}={2-3}={-1}$

Zadatak 5. Izračunajte ${\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 8}.$

Rešenje: Dva puta primenjujemo formulu ${\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c}$:

${\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 8}={\log_2 4\cdot\log_4 8}={\log_2 8}={3}$

Isto dobijamo ako svaki činilac zapišemo kao količnik dekadnih logaritama: ${\frac{\log 3}{\log 2}\cdot\frac{\log 4}{\log 3}\cdot\frac{\log 8}{\log 4}}={\frac{\log 8}{\log 2}}={3}.$

Zadatak 6. Dato je ${\log 2=a}$ i ${\log 3=b}.$ Izrazite pomoću $a$ i $b$: a) $\log 12;$ b) $\log 5;$ v) $\log_6 24.$

Rešenje:

a) ${\log 12}={\log\left(2^2\cdot 3\right)}={2\log 2+\log 3}={2a+b}$

b) ${\log 5}={\log\frac{10}{2}}={\log 10-\log 2}={1-a}$

v) ${\log_6 24}={\frac{\log 24}{\log 6}}={\frac{\log\left(2^3\cdot 3\right)}{\log(2\cdot 3)}}={\frac{3a+b}{a+b}}$

Zadatak 7. Koliko cifara ima broj $2^{100}?$ Koristite da je ${\log 2\approx 0{,}30103}.$

Rešenje: ${\log 2^{100}}={100\log 2}\approx{30{,}103}.$ Dakle, ${30\lt\log 2^{100}\lt 31},$ tj. ${10^{30}\lt 2^{100}\lt 10^{31}}.$ Najmanji 31-cifreni broj je $10^{30},$ a $10^{31}$ već ima 32 cifre. Zato $2^{100}$ ima 31 cifru.

Zadatak 8. Rešite jednačinu ${\log_2(x-1)}+{\log_2(x+1)}={3}.$

Rešenje: Mora biti ${x-1\gt 0}$ i ${x+1\gt 0},$ tj. ${x\gt 1}.$ Zbir logaritama je logaritam proizvoda:

${\log_2\bigl((x-1)(x+1)\bigr)}={3},$   ${x^2-1=2^3},$   ${x^2=9},$   ${x=\pm 3}$

Rešenje ${x=-3}$ ne pripada oblasti definisanosti, jer $\log_2(-4)$ ne postoji. Odgovor: ${x=3}.$ Provera: ${\log_2 2+\log_2 4}={1+2}={3}.$

Zadatak 9. Rešite jednačinu ${\log^2 x-3\log x+2=0}.$

Rešenje: Mora biti ${x\gt 0}.$ Ovde $\log^2 x$ znači ${(\log x)^2}.$ Uvodimo smenu ${\log x=t}$ i dobijamo ${t^2-3t+2=0}$ sa rešenjima ${t_1=1}$ i ${t_2=2}$:

${\log x=1\Rightarrow x=10},$   ${\log x=2\Rightarrow x=100}$

Odgovor: ${x_1=10},$ ${x_2=100}.$

Zadatak 10. Rešite nejednačinu ${\log_{1/3}(2x-1)\ge -1}.$

Rešenje: Mora biti ${x\gt\frac12}.$ Desnu stranu zapisujemo kao logaritam za istu osnovu: ${-1=\log_{1/3} 3},$ jer je ${\left(\frac13\right)^{-1}=3}.$

${\log_{1/3}(2x-1)\ge\log_{1/3} 3}$

Osnova je između 0 i 1, pa se znak nejednakosti okreće: ${2x-1\le 3},$ tj. ${x\le 2}.$ Zajedno sa oblašću definisanosti dobijamo ${\frac12\lt x\le 2},$ tj. ${x\in\left(\frac12;\ 2\right]}.$

Vežbe

Pokušajte sami, pa onda otvorite odgovor.

1. Izračunajte $\log_5 125.$

${5^3=125},$ pa je ${\log_5 125=3}.$

2. Izračunajte $\log_8 2.$

${8^{\frac13}=\sqrt[3]8=2},$ pa je ${\log_8 2=\frac13}.$

3. Izračunajte $\log_{1/3} 27.$

${\left(\frac13\right)^{-3}=3^3=27},$ pa je ${\log_{1/3} 27=-3}.$

4. Izračunajte $3^{2\log_3 4}.$

${3^{2\log_3 4}}={\left(3^{\log_3 4}\right)^2}={4^2}={16}$

5. Izračunajte ${\log_{12} 3+\log_{12} 48}.$

${\log_{12} 3+\log_{12} 48}={\log_{12}(3\cdot 48)}={\log_{12} 144}={2}$

6. Izračunajte $\frac{\log 8+\log 18}{2\log 2+\log 3}.$

Brojilac je ${\log(8\cdot 18)=\log 144},$ a imenilac je ${\log\left(2^2\cdot 3\right)=\log 12}.$ Pošto je ${144=12^2},$ dobijamo ${\frac{\log 144}{\log 12}=\frac{2\log 12}{\log 12}=2}.$

7. Između koja dva uzastopna cela broja se nalazi $\log_2 10?$

${2^3=8\lt 10\lt 16=2^4},$ pa je ${3\lt\log_2 10\lt 4}.$ Tačnije, ${\log_2 10\approx 3{,}32}.$

8. Rešite jednačinu ${\log_5(3x+1)=2}.$

Mora biti ${x\gt-\frac13}.$ ${3x+1=5^2=25},$ odakle je ${x=8}.$

9. Rešite jednačinu ${\log_3 x+\log_3(x-8)=2}.$

Mora biti ${x\gt 8}.$ ${\log_3\bigl(x(x-8)\bigr)=2},$ tj. ${x^2-8x=9}$ i ${x^2-8x-9=0}.$ Rešenja su $9$ i $-1,$ ali oblasti definisanosti pripada samo ${x=9}.$

10. Novac oročen u banci raste za 5% svake godine. Posle koliko godina će se iznos udvostručiti?

Posle $n$ godina iznos je ${1{,}05^n}$ puta veći. Tražimo najmanje $n$ za koje je ${1{,}05^n\ge 2}.$ Logaritmujemo: ${n\log 1{,}05\ge\log 2},$ tj. ${n\ge\frac{\log 2}{\log 1{,}05}\approx 14{,}2}.$ Iznos se udvostručuje posle 15 godina.

Pogledajte i: Eksponenti