Pravila deljivosti

Ceo broj je deljiv sa drugim celim brojem ako pri deljenju nema ostatka. Na primer, 84 je deljiv sa 7 jer je 84 : 7 = 12 i ostatak je 0, a 85 nije deljiv sa 7 jer je 85 : 7 = 12 i ostatak je 1.

Pomoću pravila u nastavku deljivost se može proveriti bez deljenja. Uz svako pravilo dat je jedan broj koji ga ispunjava i jedan koji ga ne ispunjava.

Pravila deljivosti ukratko
Deljiv sa	Pravilo	Deljiv	Nije deljiv
2	Poslednja cifra je parna: 0, 2, 4, 6 ili 8.	258 se završava na 8.	347 se završava na 7, a 7 je neparna cifra.
3	Zbir cifara je deljiv sa 3.	246: 2 + 4 + 6 = 12, a 12 = 3 ⋅ 4.	247: 2 + 4 + 7 = 13, a 13 nije deljiv sa 3.
4	Poslednje dve cifre čine broj deljiv sa 4.	316: 16 = 4 ⋅ 4.	530: 30 nije deljiv sa 4.
5	Poslednja cifra je 0 ili 5.	135 se završava na 5, 770 se završava na 0.	572 se završava na 2.
6	Broj je deljiv i sa 2 i sa 3.	282 je paran, a 2 + 8 + 2 = 12.	471: 4 + 7 + 1 = 12, ali 471 je neparan.
7	Poslednju cifru pomnožimo sa 2 i oduzmemo od broja koji čine ostale cifre. Ako je rezultat deljiv sa 7, deljiv je i polazni broj (računaju se i 0 i negativni rezultati). Kod dugačkih brojeva postupak ponavljamo.	203: 20 − 2 ⋅ 3 = 14 = 7 ⋅ 2. 119: 11 − 2 ⋅ 9 = −7. 2464: 246 − 2 ⋅ 4 = 238, zatim 23 − 2 ⋅ 8 = 7.	326: 32 − 2 ⋅ 6 = 20, a 20 nije deljiv sa 7.
8	Poslednje tri cifre čine broj deljiv sa 8.	1112: 112 = 8 ⋅ 14.	1250: 250 = 8 ⋅ 31 + 2, pa je ostatak 2.
9	Zbir cifara je deljiv sa 9.	819: 8 + 1 + 9 = 18 = 9 ⋅ 2.	725: 7 + 2 + 5 = 14.
10	Poslednja cifra je 0.	2340 se završava na 0.	2345 se završava na 5.
11	Počevši od poslednje cifre, cifre naizmenično sabiramo i oduzimamo (+ − + − …). Ako je rezultat deljiv sa 11, deljiv je i broj (računaju se i 0 i negativni rezultati).	4829: 9 − 2 + 8 − 4 = 11. 1331: 1 − 3 + 3 − 1 = 0.	1234: 4 − 3 + 2 − 1 = 2.
12	Broj je deljiv i sa 3 i sa 4.	348: 3 + 4 + 8 = 15, a 48 = 4 ⋅ 12.	138: 1 + 3 + 8 = 12, ali 38 nije deljiv sa 4.
25	Poslednje dve cifre su 00, 25, 50 ili 75.	1375 se završava na 75.	1340 se završava na 40.

Pažnja

Kod deljivosti sa 4 gledaju se poslednje dve cifre, a ne samo poslednja: 34 se završava na 4, ali 34 nije deljiv sa 4.
Dva pravila smemo da kombinujemo samo ako brojevi nemaju zajednički delilac osim 1. Za 12 koristimo 3 i 4, nikako 2 i 6: 18 je deljiv i sa 2 i sa 6, ali nije deljiv sa 12.
Svaki broj deljiv sa 9 deljiv je i sa 3, ali obrnuto ne važi: 12 je deljiv sa 3, a zbir njegovih cifara 1 + 2 = 3 pokazuje da nije deljiv sa 9.

Zašto pravila važe?

2, 5 i 10. Svaki broj se sastoji od nekoliko desetica i poslednje cifre, na primer 258 = 250 + 8. Desetice su uvek deljive sa 2, 5 i 10, jer je 10 = 2 ⋅ 5. Zato odlučuje samo poslednja cifra.

4, 25 i 8. 100 = 4 ⋅ 25, pa su stotine uvek deljive sa 4 i sa 25. U 316 = 300 + 16 važno je samo 16. Na isti način je 1000 = 8 ⋅ 125, pa su za 8 važne samo poslednje tri cifre.

3 i 9. 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 i 1000 = 999 + 1. Zato je
246 = 2 ⋅ 100 + 4 ⋅ 10 + 6 = (2 ⋅ 99 + 4 ⋅ 9) + (2 + 4 + 6).
Prva zagrada je uvek deljiva sa 9, a samim tim i sa 3, pa broj i zbir njegovih cifara daju isti odgovor.

11. 10 = 11 − 1, 100 = 99 + 1 i 1000 = 1001 − 1, gde je 1001 = 11 ⋅ 91. Svaka dekadna jedinica je za 1 veća ili za 1 manja od nekog sadržaoca broja 11, i zato se cifre naizmenično sabiraju i oduzimaju.

7. Napišimo broj kao 10a + b, gde je b poslednja cifra, a a broj koji čine ostale cifre. Tada je
2 ⋅ (10a + b) = 21a − (a − 2b).
21a je uvek deljiv sa 7, pa je 10a + b deljiv sa 7 tačno onda kada je a − 2b deljiv sa 7. (Udvostručavanje broja ne menja to da li je on deljiv sa 7.)

6 i 12. Broj koji je deljiv sa 2 i sa 3 sadrži oba činioca, pa je deljiv sa 2 ⋅ 3 = 6. Isto važi za 3 i 4, što daje 12. Ovo funkcioniše samo zato što 2 i 3 (kao i 3 i 4) nemaju zajednički delilac osim 1; zato se za 12 ne mogu koristiti 2 i 6.

Vežbanje

Zadaci iz deljivosti sa rešenjima
Vežbe: najmanji zajednički sadržalac (NZS)

Više o deljivosti

Deljivost sa 2
Deljivost sa 3 i 9
Deljivost sa 4
Deljivost sa 5
Deljivost sa 25

Pravila deljivosti

Pažnja

Vežbanje

Više o deljivosti

Testovi