Racionalni izrazi: zadaci sa rešenjima (1. deo)

Zadaci 1–16 o celim i razlomljenim izrazima, monomima i polinomima, svaki sa potpunim rešenjem. Pravila su objašnjena u lekciji Racionalni izrazi. Zadaci 17–28 (potpuni kvadrati, rastavljanje na činioce i identiteti) nalaze se u 2. delu.

Zadaci: 1 Ceo ili razlomljen · 2 Monom ili ne · 3 Standardni oblik ili ne · 4 Zapis u standardnom obliku · 5 Vrednost monoma · 6 Stepen · 7 Slični monomi · 8 Vrednost polinoma · 9 Brojevi kao polinomi · 10 Polinom u standardnom obliku · 11 Zajednički činilac · 12 Oslobađanje od zagrada · 13 Uprošćavanje · 14 Deljenje monoma · 15 Stepeni · 16 Deljenje monomom

Zadatak 1. Ceo ili razlomljen?

Koji su od ovih izraza celi u odnosu na $x?$

a) ${x^2-9x+2};$ b) $\frac{3x+2}{a-1};$ v) ${\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{7}x+\frac{1}{5}a};$ g) $\frac{7-x}{x+1};$ d) ${x^2-\frac{1}{x}};$ đ) ${\frac{1}{2}x+\frac{2}{x}}.$

Rešenje. Izraz je ceo u odnosu na $x$ ako se u njemu ne deli izrazom koji sadrži $x.$ Deljenje brojem ili izrazom bez $x$ je dozvoljeno.

• a), b) i v) su celi u odnosu na $x\text{:}$ imenilac ${a-1}$ u b) ne sadrži $x,$ a u v) delimo samo brojevima.
• g), d) i đ) su razlomljeni u odnosu na $x\text{:}$ u njima delimo sa ${x+1}$ i sa $x.$

Zadatak 2. Monom ili ne?

Koji su od ovih izraza monomi?

a) ${ab^2x};$ b) ${ab\cdot(-3)c};$ v) ${x^3+x};$ g) ${-a+b};$ d) ${2(a+b)^3};$ đ) ${0{,}67ab}.$

Odgovor. a), b) i đ) su monomi: to su proizvodi brojeva i promenljivih. Standardni oblik izraza b) je ${ab\cdot(-3)c=-3abc}.$ v) i g) su zbirovi dva monoma, pa su to polinomi, a ne monomi. d) je stepen zbira ${a+b},$ pa ni on nije monom; polinom postaje tek kada se zagrade izmnože.

Zadatak 3. Da li je monom u standardnom obliku?

a) ${-3abc};$ b) ${x^2y};$ v) ${0{,}4a\cdot\frac{1}{3}b};$ g) ${x^2yx}.$

Odgovor. a) i b) su u standardnom obliku. v) i g) nisu: v) ima dva brojna činioca, a g) sadrži $x$ dva puta. Njihovi standardni oblici su ${0{,}4a\cdot\frac{1}{3}b=\frac{2}{15}ab}$ i ${x^2yx=x^3y}.$

Zadatak 4. Napiši monom u standardnom obliku

a) ${12xy^2x^2};$ b) ${3x\cdot5ayx};$ v) ${2\cdot\frac{3}{4}ax^2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)a^2x}.$

Rešenje. Pomnožimo brojeve, a zatim i stepene iste promenljive.

a) ${12xy^2x^2}={12x^3y^2}.$

b) ${3x\cdot5ayx}={15ax^2y}.$

v) ${2\cdot\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)}\cdot {a\cdot a^2\cdot x^2\cdot x}={{-a^3x^3},}$ jer je ${2\cdot\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-1}.$

Zadatak 5. Vrednost monoma

a) ${-7x^2y^2}$ za ${x=-2},$ ${y=1};$ b) ${7a^2bc}$ za ${a=3},$ ${b=2},$ ${c=\frac{5}{7}}.$

Rešenje. a) ${-7x^2y^2}={-7\cdot(-2)^2\cdot1^2}={-7\cdot4\cdot1}={{-28}.}$

b) ${7a^2bc}={7\cdot3^2\cdot2\cdot\frac{5}{7}}={9\cdot2\cdot5}={{90}.}$

Zadatak 6. Standardni oblik i stepen

Napiši svaki monom u standardnom obliku i odredi njegov stepen u odnosu na promenljive $x$ i $y.$

a) ${ax\cdot10xaax};$ b) ${ay\cdot\frac{3}{4}\cdot bxx\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)};$ v) ${5cxy\cdot(-4)cxy}.$

Rešenje. Za stepen u odnosu na $x$ i $y$ sabiramo samo izložioce promenljivih $x$ i $y;$ ostala slova posmatramo kao brojeve.

a) ${ax\cdot10xaax}={10a^3x^3}\text{:}$ stepen je $3.$

b) ${ay\cdot\frac{3}{4}\cdot bxx\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}={{-\frac{3}{8}abx^2y}\text{:}}$ stepen je ${2+1=3}.$

v) ${5cxy\cdot(-4)cxy}={{-20c^2x^2y^2}\text{:}}$ stepen je ${2+2=4}.$

Zadatak 7. Sabiranje sličnih monoma

Uprosti:

a) ${3x^2-5x^2+7{,}5x^2};$ b) ${-\frac{5}{7}a^3b^2-2a^3b^2+8a^3b^2};$ v) ${2x-5xy-8xy}-{3{,}1xy-0{,}2xy;}$ g) ${a^3x^2+3a^3x^2+a^2x^3};$ d) ${9x-[-(5x-1)-8x]};$ đ) ${2a}-{\left\{b-[a+(a-2b)]+3a\right\};}$ e) ${(x-y)(x^2+xy+y^2)}+{(x+y)(x^2-xy+y^2).}$

Rešenje. Sabiramo koeficijente sličnih monoma; monomi koji nisu slični ostaju takvi kakvi jesu.

a) ${3x^2-5x^2+7{,}5x^2}={(3-5+7{,}5)x^2}={{5{,}5x^2}.}$

b) ${-\frac{5}{7}a^3b^2}-{2a^3b^2+8a^3b^2}={\left(-\frac{5}{7}-2+8\right)a^3b^2}={{\frac{37}{7}a^3b^2}.}$

v) ${2x-5xy-8xy}-{3{,}1xy-0{,}2xy}={{2x-16{,}3xy}\text{:}}$ član $2x$ nije sličan ostalima.

g) ${a^3x^2+3a^3x^2+a^2x^3}={{4a^3x^2+a^2x^3}\text{:}}$ monom $a^2x^3$ nije sličan monomu $a^3x^2.$

U d) i đ) oslobađamo se zagrada redom, od unutrašnjih ka spoljašnjim.

d) ${9x-[-(5x-1)-8x]}={9x-(-5x+1-8x)}={9x-(-13x+1)}={9x+13x-1}={{22x-1}.}$

đ) ${2a}-{\left\{b-[a+(a-2b)]+3a\right\}}={2a}-{\left\{b-(2a-2b)+3a\right\}}={2a-(b-2a+2b+3a)}={2a-(a+3b)}={{a-3b}.}$

e) Primenimo formule za razliku i zbir kubova:

${(x-y)(x^2+xy+y^2)}+{(x+y)(x^2-xy+y^2)}$

$=x^3-y^3+x^3+y^3=2x^3.$

Zadatak 8. Vrednost polinoma

a) ${100x+10y+z}$ za ${x=2},$ ${y=3},$ ${z=4};$ b) ${-0{,}08b}+{73a^2b+27a^2b}$ za ${a=0{,}2},$ ${b=4}.$

Rešenje. a) ${100x+10y+z}={100\cdot2+10\cdot3+4}={{234}.}$

b) Najpre saberemo slične monome: ${-0{,}08b}+{73a^2b+27a^2b}={{-0{,}08b+100a^2b}.}$ Zatim je ${-0{,}08b+100a^2b}={-0{,}08\cdot4}+{100\cdot0{,}2^2\cdot4}={-0{,}32+16}={{15{,}68}.}$

Zadatak 9. Brojevi zapisani kao polinomi

Slova $a,$ $b$ i $c$ su cifre. Crta iznad slova pokazuje da je $\overline{ab}$ broj zapisan ciframa $a$ i $b,$ a ne proizvod $ab;$ prva cifra broja nije $0.$ Zapiši broj kao polinom: a) $\overline{ab};$ b) $\overline{abc};$ v) $\overline{abba};$ g) $\overline{ba}.$

Rešenje. U broju $\overline{abc}$ cifra $c$ je cifra jedinica, $b$ je cifra desetica, a $a$ cifra stotina. Zato je:

a) ${\overline{ab}=10a+b};$ b) ${\overline{abc}=100a+10b+c};$ v) ${\overline{abba}}={1000a+100b+10b+a}={{1001a+110b};}$ g) ${\overline{ba}=10b+a}.$

Zadatak 10. Napiši kao polinom u standardnom obliku

a) ${\left(\frac{a^2}{4}\right)^2}+{\frac{1}{32}a(16a-2a^3);}$ b) ${12x\left(y-\frac{1}{6}x\right)}-{2y\left(\frac{1}{2}y+3x\right).}$

Rešenje. a)

${\left(\frac{a^2}{4}\right)^2}+{\frac{1}{32}a(16a-2a^3)}={\frac{a^4}{16}+\frac{16a^2}{32}-\frac{2a^4}{32}}$

$=\frac{a^4}{16}+\frac{a^2}{2}-\frac{a^4}{16}=\frac{a^2}{2}.$

b)

${12x\left(y-\frac{1}{6}x\right)}-{2y\left(\frac{1}{2}y+3x\right)}={12xy-2x^2-y^2-6xy}$

$=-2x^2+6xy-y^2.$

Zadatak 11. Izvuci zajednički činilac ispred zagrade

a) ${a(c-b)+d(b-c)};$ b) ${a-3b-2x(3b-a)}+{4y(3b-a);}$ v) ${6(3-b)+9(b-3)^2};$ g) ${5a(2x-7)+3b(7-2x)}.$

Rešenje. Najpre izjednačimo zagrade. Za zagrade koje se razlikuju samo po znaku važi ${b-c=-(c-b)};$ kvadrat se ne menja kada izraz u zagradi promeni znak: ${(b-3)^2=(3-b)^2}.$

a) ${a(c-b)+d(b-c)}={a(c-b)-d(c-b)}={{(c-b)(a-d)}.}$

b) ${a-3b}-{2x(3b-a)+4y(3b-a)}={(a-3b)}+{2x(a-3b)-4y(a-3b)}={{(a-3b)(1+2x-4y)}.}$

v) ${6(3-b)+9(b-3)^2}={6(3-b)+9(3-b)^2}={3(3-b)[2+3(3-b)]}={{3(3-b)(11-3b)}.}$

g) ${5a(2x-7)}+{3b(7-2x)}={5a(2x-7)}-{3b(2x-7)}={{(2x-7)(5a-3b)}.}$

Zadatak 12. Oslobađanje od zagrada

a) ${(x-y)(x+y)};$ b) ${(x+5)(y-7)};$ v) ${(2y-7)\left(x+\frac{1}{y}\right)};$ g) ${(-2a-3b)(a+b^3)};$ d) ${(a+b-c)(x-y)}.$

Rešenje. Svaki član prvog činioca množimo sa svakim članom drugog.

a) ${(x-y)(x+y)}={x^2+xy-xy-y^2}={{x^2-y^2}.}$

b) ${(x+5)(y-7)}={{xy-7x+5y-35}.}$

v) ${(2y-7)\left(x+\frac{1}{y}\right)}={2xy+2-7x-\frac{7}{y}}$ za ${y\ne0}.$

g) ${(-2a-3b)(a+b^3)}={{-2a^2-2ab^3-3ab-3b^4}.}$

d) ${(a+b-c)(x-y)}={{ax-ay+bx-by-cx+cy}.}$

Zadatak 13. Uprosti i napiši u standardnom obliku

a) ${(a+1)(a^2-a+1)};$ b) ${(a-7)(a+2)}-{(2a-1)(a-14);}$ v) ${(2-b)(1+2b)}+{(1+b)(b^3+3b);}$ g) ${(x-y)(x+y)}+{x^2+2xy+y^2;}$ d) ${-(x-y)^2+x^2}-{2xy+y^2.}$

Rešenje. a) ${(a+1)(a^2-a+1)}={a^3-a^2+a+a^2-a+1}={a^3+1}$ (zbir kubova).

b) Drugi proizvod se oduzima, pa ga držimo u zagradi dok ga ne izmnožimo:

${(a-7)(a+2)}-{(2a-1)(a-14)}$

$={a^2-5a-14}-{(2a^2-29a+14)}$

$={a^2-5a-14}-{2a^2+29a-14}={-a^2+24a-28.}$

v)

${(2-b)(1+2b)}+{(1+b)(b^3+3b)}$

$={2+3b-2b^2+b^3}+{3b+b^4+3b^2}$

$=b^4+b^3+b^2+6b+2.$

g) ${(x-y)(x+y)}+{x^2+2xy+y^2}={x^2-y^2+x^2+2xy+y^2}={{2x^2+2xy}.}$

d) ${-(x-y)^2}+{x^2-2xy+y^2}={-(x^2-2xy+y^2)}+{x^2-2xy+y^2}={{0}.}$

Zadatak 14. Deljenje monoma

a) $\frac{2x\cdot(-5xy)}{2xy};$ b) ${21x^3y^2:\frac{-7x^2y}{x^5}};$ v) ${a^8:\left(\frac{a^2}{a}:\frac{a^2}{a}\right)}.$

Rešenje. Sve promenljive su različite od $0.$

a) ${\frac{2x\cdot(-5xy)}{2xy}}={\frac{-10x^2y}{2xy}}={{-5x}.}$

b) Deliti razlomkom znači pomnožiti njegovom recipročnom vrednošću: ${21x^3y^2:\frac{-7x^2y}{x^5}}={21x^3y^2\cdot\frac{x^5}{-7x^2y}}={\frac{21x^8y^2}{-7x^2y}}={{-3x^6y}.}$

v) Izraz podeljen samim sobom jednak je $1\text{:}$ ${\frac{a^2}{a}:\frac{a^2}{a}=1},$ pa je ${a^8:1=a^8}.$

Zadatak 15. Stepeni sa istom osnovom

Uprosti ($m,$ $p$ i $q$ su prirodni brojevi; ${x\ne0},$ ${y\ne0}$):

a) ${-a^2\cdot a^6};$ b) ${-x^p\cdot x^q};$ v) ${3x^p\cdot y\cdot x\cdot y^p};$ g) ${\frac{x^{3m}}{x^m}:x^m};$ d) $\frac{x^py^q}{x^{4-p}y^{-4+q}}.$

Rešenje. Kada množimo stepene sa istom osnovom, izložioce sabiramo; kada ih delimo, izložioce oduzimamo.

a) ${-a^2\cdot a^6}={-a^{2+6}}={{-a^8}.}$

b) ${-x^p\cdot x^q}={-x^{p+q}}.$

v) ${3x^p\cdot y\cdot x\cdot y^p}={{3x^{p+1}y^{p+1}}.}$

g) ${\frac{x^{3m}}{x^m}:x^m}={x^{2m}:x^m}={x^m}.$

d) ${\frac{x^py^q}{x^{4-p}y^{-4+q}}}={x^{p-(4-p)}y^{q-(-4+q)}}={{x^{2p-4}y^4}.}$

Zadatak 16. Deljenje polinoma monomom

a) $\frac{x^3-x^2+yx^2}{x^2};$ b) $\frac{mna^2+3anm^2-2na^2}{3an};$ v) $\frac{-6x^2y^3+8yx^3-xy}{-2x}.$

Rešenje. Svaki član delimo monomom (koji nije jednak $0$).

a) ${\frac{x^3-x^2+yx^2}{x^2}}={\frac{x^3}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}+\frac{yx^2}{x^2}}={{x-1+y}.}$

b) ${\frac{mna^2+3anm^2-2na^2}{3an}}={\frac{mna^2}{3an}+\frac{3anm^2}{3an}-\frac{2na^2}{3an}}={{\frac{1}{3}am+m^2-\frac{2}{3}a}.}$

v) ${\frac{-6x^2y^3+8yx^3-xy}{-2x}}={\frac{-6x^2y^3}{-2x}+\frac{8yx^3}{-2x}+\frac{-xy}{-2x}}={{3xy^3-4x^2y+\frac{1}{2}y}.}$

Za dalju vežbu

• Racionalni izrazi: zadaci sa rešenjima (2. deo) (zadaci 17–28).
• Racionalni izrazi: lekcija.
• Formule skraćenog množenja.