Operacije sa funkcijama

Brojeve možemo da sabiramo, oduzimamo, množimo i delimo. Isto možemo da radimo i sa funkcijama, a rezultat je nova funkcija. Postoji i operacija koju brojevi nemaju: jednu funkciju možemo da stavimo unutar druge. Ta operacija se naziva kompozicija. Dakle, funkcije možemo da

• sabiramo: ${f+g};$
• oduzimamo: ${f-g};$
• množimo: ${f\cdot g};$
• delimo: $\frac fg;$
• komponujemo (stavljamo jednu u drugu): ${f\circ g}.$

Za svaku operaciju pokazaćemo kako se nalazi formula nove funkcije i, što je podjednako važno, njen domen. Ako treba da se podsetite šta je funkcija i šta je njen domen, pogledajte lekciju Funkcije i granične vrednosti.

Na ovoj stranici: Računske operacije · Domen nove funkcije · Grafik zbira · Stepen funkcije · Kompozicija · Domen kompozicije · Funkcija kao kompozicija · Rešeni zadaci · Česte greške · Vežbe

Zbir, razlika, proizvod i količnik funkcija

Uzmimo dve funkcije, ${f(x)=x^2}$ i ${g(x)=x}.$ Za svako $x$ možemo da saberemo njihove vrednosti:

$$f(x)+g(x)=x^2+x$$

Tako dobijamo novu funkciju. Ona se naziva zbir funkcija $f$ i $g$ i označava se sa ${f+g}.$ Zagrade u zapisu ${(f+g)(x)}$ pokazuju da je ${f+g}$ oznaka jedne funkcije, a ${(f+g)(x)}$ njena vrednost u tački $x.$ Na isti način definišemo razliku, proizvod i količnik:

Primer 1. Za ${f(x)=x^2}$ i ${g(x)=x}\text{:}$

${(f+g)(x)=x^2+x}$

${(f-g)(x)=x^2-x}$

${(f\cdot g)(x)=x^2\cdot x=x^3}$

${\left(\frac fg\right)(x)}={\frac{x^2}{x}}={x,\quad x}\ne{0}$

Uslov ${x\ne 0}$ u poslednjem redu nije sitnica: ${g(0)=0},$ a nulom ne možemo da delimo. Na to ćemo se vratiti u sledećem odeljku.

Primer 2. Neka je ${f(x)=2x+1}$ i ${g(x)=x^2-3}.$ Da biste našli vrednost nove funkcije, prvo nađite vrednosti funkcija $f$ i $g,$ a zatim sa njima izvršite odgovarajuću računsku operaciju:

${(f+g)(2)}={f(2)+g(2)}={5+1}={6}$

${(f-g)(-1)}={f(-1)-g(-1)}={-1-(-2)}={1}$

${(f\cdot g)(0)}={f(0)\cdot g(0)}={1\cdot(-3)}={-3}$

${\left(\frac fg\right)(3)=\frac{f(3)}{g(3)}=\frac76}$

Množenje brojem. Ako je $c$ broj, onda je ${(cf)(x)=c\cdot f(x)}.$ Na primer, ako je ${f(x)=x^2},$ onda je ${(3f)(x)=3x^2}.$ To je proizvod funkcije $f$ i konstantne funkcije ${g(x)=c}.$

Domen nove funkcije

Da bismo izračunali ${f(x)+g(x)},$ potrebne su nam obe vrednosti, $f(x)$ i $g(x).$ Zato $x$ mora istovremeno da pripada i domenu funkcije $f$ i domenu funkcije $g.$ Kod količnika postoji još jedan uslov: imenilac $g(x)$ ne sme biti jednak 0. Sa $D(f)$ označavamo domen (oblast definisanosti) funkcije $f,$ a sa $D(g)$ domen funkcije $g.$

Primer 3. Neka je ${f(x)=1+\sqrt{x-2}}$ i ${g(x)=x-1}.$ Njihov zbir je

${(f+g)(x)}={f(x)+g(x)}={\left(1+\sqrt{x-2}\right)+(x-1)}={x+\sqrt{x-2}}$

Uporedimo domene funkcija $f,$ $g$ i njihovog zbira:

Funkcija	Domen
${f(x)=1+\sqrt{x-2}}$	${[2,\,+\infty)}$
${g(x)=x-1}$	${(-\infty,\,+\infty)}$
${(f+g)(x)=x+\sqrt{x-2}}$	${[2,\,+\infty)\cap(-\infty,\,+\infty)}$ ${{}=[2,\,+\infty)}$

Primer 4. Neka je ${f(x)=\sqrt{x+1}}$ i ${g(x)=x-3}.$ Tada je ${D(f)=[-1,\,+\infty)},$ a $D(g)$ čine svi realni brojevi, pa je presek ${[-1,\,+\infty)}.$

• ${\left(\frac fg\right)(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}}\text{:}$ izbacujemo još i ${x=3},$ za koje je ${g(x)=0}.$ Domen je ${[-1,\,3)\cup(3,\,+\infty)}.$
• ${\left(\frac gf\right)(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x+1}}}\text{:}$ sada je u imeniocu $f(x),$ a ${f(x)=0}$ za ${x=-1}.$ Domen je ${(-1,\,+\infty)}.$

Primer 5. Neka je ${f(x)=3\sqrt x}$ i ${g(x)=\sqrt x}.$ Njihov proizvod je

${(f\cdot g)(x)}={f(x)\cdot g(x)}={3\sqrt x\cdot\sqrt x}={3x}$

Formula $3x$ ima smisla za svaki realan broj $x\text{:}$ prirodni domen izraza $3x$ je ${(-\infty,\,+\infty)}.$ Ali proizvod ${f\cdot g}$ postoji samo tamo gde su definisane obe funkcije, i $f$ i $g\text{:}$

Funkcija	Domen
${f(x)=3\sqrt x}$	${[0,\,+\infty)}$
${g(x)=\sqrt x}$	${[0,\,+\infty)}$
${(f\cdot g)(x)=3x},$ ${x\ge 0}$	${[0,\,+\infty)\cap[0,\,+\infty)}$ ${{}=[0,\,+\infty)}$

Grafik funkcije ${f\cdot g}$ je samo poluprava ${y=3x},$ ${x\ge 0},$ a ne cela prava.

Prvo odredite domen na osnovu funkcija $f$ i $g,$ pa tek onda uprošćavajte formulu. Uprošćena formula može da sakrije uslove koje $f$ i $g$ nameću promenljivoj $x.$

Grafik zbira

Za svako $x$ vrednost funkcije ${f+g}$ jednaka je ${f(x)+g(x)}.$ Na graficima to znači da je visina (ordinata) grafika funkcije ${f+g}$ jednaka zbiru visina grafika funkcija $f$ i $g.$ Evo grafika funkcija ${f(x)=x^2},$ ${g(x)=x}$ i njihovog zbira ${(f+g)(x)=x^2+x}\text{:}$

Za ${x=2}\text{:}$ ${f(2)+g(2)=4+2=6}.$ Za ${x=-2}\text{:}$ ${f(-2)+g(-2)}={4+(-2)}={2.}$ Zelene duži prikazuju $g(x)\text{:}$ za ${x=2}$ dodajemo 2 (naviše), a za ${x=-2}$ dodajemo ${-2}$ (naniže).

Tamo gde je vrednost $g(x)$ pozitivna, grafik funkcije ${f+g}$ leži iznad grafika funkcije $f;$ tamo gde je vrednost $g(x)$ negativna, leži ispod njega. Grafik funkcije ${f-g}$ crta se na isti način, samo se visine oduzimaju.

Stepen funkcije

Proizvod funkcije sa samom sobom zapisuje se kao stepen:

$$f^2(x)=f(x)\cdot f(x)=\bigl(f(x)\bigr)^2$$

Uopšte, ako je $n$ prirodan broj, onda je

$$f^n(x)=\underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdot\ldots\cdot f(x)}_{n\text{ činilaca}}$$

Na primer, ${\sin x\cdot\sin x=(\sin x)^2},$ što se kraće zapisuje kao $\sin^2x.$ Ako je ${f(x)=x+1},$ onda je ${f^3(x)=(x+1)^3}.$

${\sin^2x=(\sin x)^2}$ nije isto što i $\sin(x^2).$ Za ${f(x)=x+1}\text{:}$ ${f^2(x)=(x+1)^2},$ ali ${f(x^2)=x^2+1}.$
Izložilac ${-1}$ je izuzetak: ${f^{-1}}$ obično označava inverznu funkciju (pogledajte kalkulator inverzne funkcije), a ne $\frac1f.$

Kompozicija funkcija

Uzmimo dve funkcije

$$f(x)=x^3\quad\text{i}\quad g(x)=x+4$$

Ako $g(x)$ stavimo umesto $x$ u formulu funkcije $f,$ dobijamo novu funkciju:

$$f(g(x))=\bigl(g(x)\bigr)^3=(x+4)^3$$

Zamislite dve mašine postavljene jedna iza druge: broj $x$ ulazi u mašinu $g,$ a ono što izađe iz nje, $g(x),$ ulazi u mašinu $f.$

Za ${f(x)=x^3}$ i ${g(x)=x+4}\text{:}$

${(f\circ g)(1)}={f(g(1))}={f(5)}={5^3}={125}$

Formula daje isto: ${(1+4)^3=125}.$ Računajte iznutra ka spolja: prvo $g(1),$ a zatim $f$ od tog broja.

Redosled je važan

Za iste dve funkcije kompozicija u obrnutom redosledu glasi

${(g\circ f)(x)}={g(f(x))}={f(x)+4}={x^3+4}$

To je drugačija funkcija:${(f\circ g)(1)=125},$ a ${(g\circ f)(1)=1^3+4=5}.$

Za neke parove funkcija oba redosleda daju istu funkciju. Na primer, ako je ${f(x)=2x}$ i ${g(x)=3x},$ onda je ${f(g(x))=2\cdot 3x=6x}$ i ${g(f(x))=3\cdot 2x=6x}.$ Ali to je izuzetak, pa uvek proverite koja je funkcija unutrašnja.

Kompozicija funkcije sa samom sobom. Ako je ${f(x)=2x+1},$ onda je

${(f\circ f)(x)}={f(f(x))}={2(2x+1)+1}={4x+3}$

Ne mešajte $f(f(x))$ sa ${f^2(x)}={\bigl(f(x)\bigr)^2}={(2x+1)^2.}$

Domen kompozicije

Da bismo izračunali $f(g(x)),$ prvo računamo $g(x),$ pa $x$ mora da pripada domenu funkcije $g.$ Zatim računamo vrednost funkcije $f$ za broj $g(x),$ pa $g(x)$ mora da pripada domenu funkcije $f.$

Primer 6. Neka je ${f(x)=x^2+3}$ i ${g(x)=\sqrt x}.$ Tada je

${(f\circ g)(x)}={f(g(x))}={\bigl(g(x)\bigr)^2+3}={\left(\sqrt x\right)^2+3}={x+3}$

Uporedimo domene funkcija $f,$ $g$ i njihove kompozicije:

Funkcija	Domen
${f(x)=x^2+3}$	${(-\infty,\,+\infty)}$
${g(x)=\sqrt x}$	${[0,\,+\infty)}$
${(f\circ g)(x)=x+3},$ ${x\ge 0}$	svi brojevi $x$ iz ${[0,\,+\infty)}$ za koje $g(x)$ pripada ${(-\infty,\,+\infty)},$ dakle ${[0,\,+\infty)}$

Sama formula ${x+3}$ dozvoljavala bi svako $x,$ ali računanje vrednosti ${f\circ g}$ počinje sa $\sqrt x,$ a za to je potrebno ${x\ge 0}.$ Zato je ${(f\circ g)(x)=x+3}$ samo za ${x\ge 0}.$

Primer 7. Neka je ${f(x)=\frac1{x-2}}$ i ${g(x)=\sqrt x}.$

• ${(f\circ g)(x)=\frac1{\sqrt x-2}}.$ Potrebno je ${x\ge 0}$ (zbog $g$) i ${g(x)\ne 2}$ (zbog $f$), odnosno ${\sqrt x\ne 2},$ pa je ${x\ne 4}.$ Domen je ${[0,\,4)\cup(4,\,+\infty)}.$
• ${(g\circ f)(x)=\sqrt{\frac1{x-2}}}.$ Potrebno je ${x\ne 2}$ (zbog $f$) i ${f(x)\ge 0}$ (zbog $g$), odnosno ${\frac1{x-2}\ge 0},$ pa je ${x-2\gt 0}.$ Domen je ${(2,\,+\infty)}.$

Primetite da domen funkcije ${f\circ g}$ nije naprosto ${D(f)\cap D(g)}\text{:}$ ovde je ${D(f)\cap D(g)}={[0,\,2)\cup(2,\,+\infty),}$ ali ${x=2}$ pripada domenu funkcije ${f\circ g}$ (imenilac ${\sqrt2-2}$ nije 0), a ${x=4}$ ne pripada.

Predstavljanje funkcije kao kompozicije

Često nam treba obrnuto: datu funkciju treba zapisati kao kompoziciju jednostavnijih funkcija. Zapitajte se: šta se prvo radi sa $x$ (to je unutrašnja funkcija), a šta se radi na kraju (to je spoljašnja funkcija)?

Primer 8. Posmatrajmo funkciju

$$h(x)=(x+1)^2$$

Prvo broju $x$ dodamo 1, a zatim dobijeni rezultat kvadriramo. Zato $h$ možemo da predstavimo ovako:

${g(x)}={x+1,\quad f(x)}={x^2,\quad h(x)}={f(g(x))}$

Primer 9. ${\sqrt{3x-5}=f(g(x))},$ gde je ${g(x)=3x-5}$ i ${f(x)=\sqrt x}.$ Slično je ${\frac1{x^2+1}=f(g(x))},$ gde je ${g(x)=x^2+1}$ i ${f(x)=\frac1x}.$

Ovakvo predstavljanje nije jedinstveno. Najprirodnije je da ${(x^2+1)^{10}}$ zapišemo kao $f(g(x)),$ gde je ${g(x)=x^2+1}$ i ${f(x)=x^{10}}.$ Ali možemo da zapišemo i

${(x^2+1)^{10}}={\Bigl[(x^2+1)^2\Bigr]^5}={f(g(x)),\quad g(x)}={(x^2+1)^2,\quad f(x)}={x^5}$

ili čak

${(x^2+1)^{10}}={\Bigl[(x^2+1)^3\Bigr]^{10/3}}={f(g(x)),\quad g(x)}={(x^2+1)^3,\quad f(x)}={x^{10/3}}$

(Stepen čiji je izložilac razlomak, kao što je $x^{10/3},$ koristi se samo za ${x\ge 0}.$ Ovde to ne smeta, jer je ${g(x)=(x^2+1)^3\ge 1}.$)

Određivanje unutrašnje i spoljašnje funkcije prvi je korak pri primeni pravila za izvod složene funkcije.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Neka je ${f(x)=x^2-4}$ i ${g(x)=x+2}.$ Nađite ${f+g},$ ${f-g},$ ${f\cdot g}$ i $\frac fg,$ kao i njihove domene.

Rešenje: Obe funkcije, $f$ i $g,$ definisane su za sve realne brojeve.

${(f+g)(x)}={x^2-4+x+2}={x^2+x-2}$

${(f-g)(x)}={x^2-4-(x+2)}={x^2-x-6}$

${(f\cdot g)(x)}={(x^2-4)(x+2)}={x^3+2x^2-4x-8}$

Domen ove tri funkcije čine svi realni brojevi. Kod količnika izbacujemo ${x=-2},$ za koje je ${g(x)=0}\text{:}$

${\left(\frac fg\right)(x)}={\frac{x^2-4}{x+2}}={\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}}={x-2,\quad x}\ne{-2}$

Njegov domen je ${(-\infty,\,-2)\cup(-2,\,+\infty)}.$

Zadatak 2. Neka je ${f(x)=\sqrt{x-1}}$ i ${g(x)=\sqrt{5-x}}.$ Nađite domene funkcija ${f+g}$ i $\frac fg.$

Rešenje: ${D(f)=[1,\,+\infty)}$ i ${D(g)=(-\infty,\,5]}.$ Njihov presek je $[1,\,5],$ i to je domen funkcije ${f+g}.$ Za $\frac fg$ izbacujemo još i nulu funkcije $g\text{:}$ ${\sqrt{5-x}=0}$ za ${x=5}.$ Domen funkcije $\frac fg$ je $[1,\,5).$

Zadatak 3. Neka je ${f(x)=x^2+1}$ i ${g(x)=2x-3}.$ Nađite ${(f\circ g)(x)},$ ${(g\circ f)(x)},$ ${(f\circ g)(2)}$ i ${(g\circ f)(2)}.$

Rešenje:

${(f\circ g)(x)}={f(2x-3)}={(2x-3)^2+1}={4x^2-12x+10}$

${(g\circ f)(x)}={g(x^2+1)}={2(x^2+1)-3}={2x^2-1}$

${(f\circ g)(2)}={f(g(2))}={f(1)}={2}$ i ${(g\circ f)(2)}={g(f(2))}={g(5)}={7.}$ Formule daju isto: ${4\cdot 2^2-12\cdot 2+10=2}$ i ${2\cdot 2^2-1=7}.$

Zadatak 4. Neka je ${f(x)=2x-3}.$ Nađite $f(f(x))$ i $f(f(f(x))).$

Rešenje:

${f(f(x))}={2(2x-3)-3}={4x-9}$

${f(f(f(x)))}={2(4x-9)-3}={8x-21}$

Zadatak 5. Neka je ${f(x)=\sqrt x}$ i ${g(x)=4-x^2}.$ Nađite ${f\circ g}$ i ${g\circ f},$ kao i njihove domene.

Rešenje: ${(f\circ g)(x)=\sqrt{4-x^2}}.$ Potrebno je ${4-x^2\ge 0},$ odnosno ${x^2\le 4},$ pa je domen ${[-2,\,2]}.$
${(g\circ f)(x)}={4-\left(\sqrt x\right)^2}={4-x.}$ Formula ${4-x}$ definisana je za sve realne brojeve, ali prvo računamo $\sqrt x,$ pa je domen ${[0,\,+\infty)}.$

Zadatak 6. Funkcije $f$ i $g$ zadate su tabelom. Nađite $f(g(1)),$ $g(f(1)),$ $f(f(2))$ i ${(f+g)(3)}.$

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$3$	$1$	$4$	$2$
$g(x)$	$2$	$4$	$1$	$3$

Rešenje: Računamo iznutra ka spolja. ${f(g(1))=f(2)=1};$   ${g(f(1))=g(3)=1};$   ${f(f(2))=f(1)=3};$   ${(f+g)(3)}={f(3)+g(3)}={4+1}={5.}$

Zadatak 7. Zapišite u obliku $f(g(x))\text{:}$ a) ${h(x)=\sqrt{x^2+9}};$   b) ${k(x)=\frac1{(x+5)^2}}.$

Rešenje: a) Prvo ${x^2+9},$ zatim kvadratni koren: ${g(x)=x^2+9},$ ${f(x)=\sqrt x}.$
b) Prvo ${x+5},$ zatim $\frac1{(\ldots)^2}\text{:}$ ${g(x)=x+5},$ ${f(x)=\frac1{x^2}}.$

Zadatak 8. Neka je ${f(x)=x+3}.$ Nađite funkciju $g$ takvu da je ${(f\circ g)(x)=x^2+1}.$

Rešenje: ${(f\circ g)(x)}={f(g(x))}={g(x)+3.}$ Dakle, ${g(x)+3=x^2+1},$ pa je ${g(x)=x^2-2}.$

Zadatak 9. Neka je ${f(x)=x^2}$ i ${g(x)=\sin x}.$ Nađite ${(f\circ g)(x)}$ i ${(g\circ f)(x)}.$

Rešenje: ${(f\circ g)(x)}={f(\sin x)}={(\sin x)^2}={\sin^2x,}$ a ${(g\circ f)(x)}={g(x^2)}={\sin(x^2).}$ To su dve različite funkcije.

Zadatak 10. Neka je ${f(x)=x^2-2x}$ i ${g(x)=x+1}.$ Rešite jednačinu ${f(g(x))=0}.$

Rešenje:

${f(g(x))}={(x+1)^2-2(x+1)}={x^2+2x+1-2x-2}={x^2-1}$

Iz ${x^2-1=0}$ dobijamo ${x=1}$ ili ${x=-1}.$

Česte greške

Greška	Pogrešno	Tačno
Proizvod ${f\cdot g}$ pomešan sa kompozicijom	${f(x)=x+1},$ ${g(x)=x^2}\text{:}$ ${(f\cdot g)(x)=x^2+1}$	${(f\cdot g)(x)}={(x+1)x^2}={x^3+x^2}$
Obrnut redosled funkcija u kompoziciji	${f(x)=x^3},$ ${g(x)=x+4}\text{:}$ ${(f\circ g)(x)=x^3+4}$	${(f\circ g)(x)}={f(g(x))}={(x+4)^3}$
Oduzimanje bez zagrada	${f(x)=x^2},$ ${g(x)=x-3}\text{:}$ ${(f-g)(x)=x^2-x-3}$	${(f-g)(x)}={x^2-(x-3)}={x^2-x+3}$
Nule funkcije $g$ ostavljene u domenu funkcije $\frac fg$	${f(x)=x},$ ${g(x)=x-2}\text{:}$ domen funkcije $\frac fg$ čine svi realni brojevi	Svi realni brojevi osim 2
Domen određen na osnovu uprošćene formule	${3\sqrt x\cdot\sqrt x=3x},$ pa domen čine svi realni brojevi	Domen je ${[0,\,+\infty)}$
Domen funkcije ${f\circ g}$ određen na osnovu konačne formule	${f(x)=x^2+3},$ ${g(x)=\sqrt x}\text{:}$ ${f(g(x))=x+3},$ domen čine svi realni brojevi	Domen je ${[0,\,+\infty)}$
$\sin^2x$ shvaćeno kao $\sin(x^2)$	${\sin^2x=\sin(x^2)}$	${\sin^2x=(\sin x)^2}$

Vežbe

Prvo pokušajte sami, a zatim pogledajte odgovor.

1. Neka je ${f(x)=3x+2}$ i ${g(x)=x^2}.$ Nađite ${(f+g)(x)},$ ${(f-g)(x)}$ i ${(f\cdot g)(x)}.$

${(f+g)(x)=x^2+3x+2},$ ${(f-g)(x)}={-x^2+3x+2,}$ ${(f\cdot g)(x)=3x^3+2x^2}.$

2. Neka je ${f(x)=x+5}$ i ${g(x)=x-1}.$ Nađite ${(f+g)(2)},$ ${(f\cdot g)(-1)}$ i $\left(\frac fg\right)(3).$

${(f+g)(2)=7+1=8},$ ${(f\cdot g)(-1)}={4\cdot(-2)}={-8,}$ ${\left(\frac fg\right)(3)=\frac82=4}.$

3. Nađite domen funkcije $\frac fg$ ako je ${f(x)=x+1}$ i ${g(x)=x^2-4}.$

${g(x)=0}$ za ${x=2}$ i ${x=-2}.$ Domen je ${(-\infty,\,-2)\cup(-2,\,2)\cup}$ ${(2,\,+\infty)}.$

4. Nađite domen funkcije ${f+g}$ ako je ${f(x)=\sqrt x}$ i ${g(x)=\frac1{x-3}}.$

${D(f)=[0,\,+\infty)},$ a $D(g)$ čine svi realni brojevi osim 3. Domen je ${[0,\,3)\cup(3,\,+\infty)}.$

5. Neka je ${f(x)=x^2}$ i ${g(x)=x-5}.$ Nađite ${(f\circ g)(x)}$ i ${(g\circ f)(x)}.$

${(f\circ g)(x)}={(x-5)^2}={x^2-10x+25,}$ ${(g\circ f)(x)=x^2-5}.$

6. Neka je ${f(x)=2x-1}$ i ${g(x)=x^2+3}.$ Nađite ${(f\circ g)(1)}$ i ${(g\circ f)(1)}.$

${(f\circ g)(1)=f(4)=7},$ ${(g\circ f)(1)=g(1)=4}.$

7. Neka je ${f(x)=x+2}$ i ${g(x)=x-5}.$ Da li je ${f\circ g=g\circ f}?$

Da: ${f(g(x))}={(x-5)+2}={x-3}$ i ${g(f(x))}={(x+2)-5}={x-3.}$

8. Neka je ${f(x)=3x-2}.$ Nađite ${(f\circ f)(x)}.$

${(f\circ f)(x)}={3(3x-2)-2}={9x-8.}$

9. Nađite domen funkcije ${f\circ g}$ ako je ${f(x)=\sqrt x}$ i ${g(x)=x-7}.$

${(f\circ g)(x)=\sqrt{x-7}},$ pa mora biti ${x-7\ge 0}.$ Domen je ${[7,\,+\infty)}.$

10. Nađite domen funkcije ${f\circ g}$ ako je ${f(x)=\frac1x}$ i ${g(x)=x^2-9}.$

${(f\circ g)(x)=\frac1{x^2-9}},$ pa mora biti ${g(x)\ne 0},$ odnosno ${x\ne 3}$ i ${x\ne -3}.$ Domen je ${(-\infty,\,-3)\cup(-3,\,3)\cup}$ ${(3,\,+\infty)}.$

11. Zapišite ${h(x)=(5x+2)^4}$ i ${k(x)=\frac1{x^2+4}}$ u obliku $f(g(x)).$

$h\text{:}$ ${g(x)=5x+2},$ ${f(x)=x^4}.$   $k\text{:}$ ${g(x)=x^2+4},$ ${f(x)=\frac1x}.$

12. Neka je ${f(x)=2x+3}.$ Nađite $g$ ako je ${(f\circ g)(x)=6x-1}.$

${2g(x)+3=6x-1},$ pa je ${g(x)=3x-2}.$

Prethodna lekcija: Funkcije i granične vrednosti.