Razmera i proporcija

Razmera dva broja je njihov količnik: ona pokazuje koliko puta je jedan broj veći od drugog ili koji deo drugog broja čini prvi broj. Proporcija je jednakost dve razmere. Razmere i proporcije su svuda oko nas: u receptima, na kartama i planovima, u cenama, brzinama i smešama, i pomoću njih se rešavaju mnogi tekstualni zadaci.

Na ovoj stranici: Razmera · Skraćivanje razmere · Podela u datoj razmeri · Složena razmera · Proporcija · Osnovno svojstvo proporcije · Srednja proporcionala · Neprekidna proporcija · Izvedene proporcije · Direktna i obrnuta proporcionalnost · Rešeni zadaci · Vežbanje

Šta je razmera

Razmera broja $a$ prema broju $b$ je količnik ${a:b}$. Čita se: „$a$ prema $b$”. Razmera se može zapisati i kao razlomak, $\frac{a}{b}$. Brojevi $a$ i $b$ su članovi razmere: $a$ je prvi član, a $b$ drugi član.

Primer. U kesi je 6 plavih i 4 narandžaste kuglice.

10 kuglica čini dve jednake grupe, u svakoj su 3 plave i 2 narandžaste kuglice.

• Razmera broja plavih prema broju narandžastih kuglica je ${6:4}$, a posle skraćivanja ${3:2}$: na svake 3 plave kuglice dolaze 2 narandžaste.
• Razmera broja narandžastih prema broju plavih kuglica je ${4:6=2:3}$. Redosled je važan: ${2:3}$ nije isto što i ${3:2}$.
• Razmera broja plavih kuglica prema broju svih kuglica je ${6:10=3:5}$.

Prve dve razmere porede delove međusobno, a poslednja deo sa celinom. Razmera dela prema celini je isto što i razlomak celine: plavih je $\frac{3}{5}$, odnosno 60%, svih kuglica.

Primer. Kolika je razmera 50 cm prema 2 m? Najpre izrazite obe dužine u centimetrima: 2 m je 200 cm. Tada je

${{50:200}={1:4}}$

Druga dužina je 4 puta veća od prve. Odgovor ${50:2}$ bio bi pogrešan.

Jednake razmere i skraćivanje

Razmera prirodnih brojeva je skraćena kada njeni članovi nemaju zajednički delilac osim 1. Da biste skratili razmeru, podelite oba člana njihovim najvećim zajedničkim deliocem, kao kada skraćujete razlomak.

Primer 1. Skratite razmeru ${12:18}$. Najveći zajednički delilac brojeva 12 i 18 je 6:

${12:18}={(12:6):(18:6)}={2:3}$

Primer 2. Ako su članovi razmere razlomci, pomnožite oba člana njihovim zajedničkim imeniocem. Da biste skratili ${\frac{1}{2}:\frac{2}{3}}$, pomnožite sa 6:

${\frac{1}{2}:\frac{2}{3}}={\left(\frac{1}{2}\cdot 6\right):\left(\frac{2}{3}\cdot 6\right)}={3:4}$

Primer 3. Ako su članovi razmere decimalni brojevi, pomnožite ih sa 10, 100, … tako da oba člana postanu prirodni brojevi:

${0{,}4:1{,}2}={4:12}={1:3}$

Primer 4. Kolika je razmera 45 minuta prema 2 sata? 2 sata je 120 minuta:

${{45:120}={3:8}}$

Poređenje razmera

Da biste uporedili dve razmere, uporedite njihove vrednosti. Najbrže je unakrsnim množenjem: za pozitivne brojeve razmera ${a:b}$ je veća od razmere ${c:d}$ tačno onda kada je ${ad\gt bc}$.

Primer. Koja je razmera veća: ${11:9}$ ili ${44:35}$?

${{11\cdot 35}={385}}$ i ${{9\cdot 44}={396}}$

Pošto je ${385\lt 396}$, veća je razmera ${44:35}$. Provera decimalnim brojevima: ${{11:9}\approx{1{,}222}}$ i ${{44:35}\approx{1{,}257}}$.

Ako se obama članovima doda isti broj, razmera se menja. Razmere ${2:3}$ i ${(2+1):(3+1)}$, tj. ${3:4}$, nisu jednake: $\frac{2}{3}$ je oko 0,67, a $\frac{3}{4}$ je 0,75. Jednaka razmera se dobija samo množenjem ili deljenjem oba člana istim brojem. Štaviše, ako se obama članovima doda isti pozitivan broj, vrednost razmere se uvek približava broju 1: ${5:3}$ je oko 1,67, a ${(5+1):(3+1)}$, tj. ${6:4}$, jednako je 1,5.

Produžena razmera

Razmera može da poredi i više od dve veličine; takva razmera se zove produžena razmera. Beton se, na primer, može pripremiti od cementa, peska i šljunka u razmeri ${1:2:4}$: na 1 kofu cementa dolaze 2 kofe peska i 4 kofe šljunka. Pravila su ista: svi članovi se mogu pomnožiti ili podeliti istim brojem, pa je ${2:4:8}$ ista razmera kao ${1:2:4}$.

Primer. ${a:b=2:3}$ i ${b:c=4:5}$. Odredite ${a:b:c}$.

Rešenje: U ovim razmerama broju $b$ odgovaraju različiti brojevi, 3 i 4. Izjednačimo ih: najmanji zajednički sadržalac brojeva 3 i 4 je 12, pa prvu razmeru pomnožimo sa 4, a drugu sa 3:

${a:b=8:12}$ i ${b:c=12:15}$, pa je ${{a:b:c}={8:12:15}}$

Podela broja u datoj razmeri

Primer 1. Ana i Boris dele 6000 dinara u razmeri ${2:3}$. Koliko dobija svako od njih?

Rešenje: Ima ${{2+3}=5}$ jednakih delova, a jedan deo je ${{6000:5}=1200}$ dinara. Ana dobija ${{2\cdot 1200}=2400}$ dinara, a Boris ${{3\cdot 1200}=3600}$ dinara.

6000 dinara je 5 jednakih delova po 1200 dinara. Ana dobija 2 dela, a Boris 3.

Provera: ${{2400+3600}=6000}$ ✓ i ${2400:3600=2:3}$ ✓

Primer 2. Koliko cementa, peska i šljunka treba za 350 kg suve betonske mešavine u razmeri ${1:2:4}$?

Rešenje: Ima ${{1+2+4}=7}$ delova, a jedan deo je ${{350:7}=50}$ kg. Potrebno je 50 kg cementa, ${{2\cdot 50}=100}$ kg peska i ${{4\cdot 50}=200}$ kg šljunka.

Primer 3. Broj dečaka i broj devojčica u odeljenju odnose se kao ${4:5}$, a dečaka ima 12. Koliko ima devojčica?

Rešenje: Na dečake otpadaju 4 dela, pa je jedan deo ${{12:4}=3}$ učenika. Na devojčice otpada 5 delova: ${{5\cdot 3}=15}$ devojčica. Celo odeljenje čini ${{4+5}=9}$ delova, odnosno ${{9\cdot 3}=27}$ učenika.

Složena razmera i obrnuta razmera

Razmere se mogu množiti. Složena razmera je razmera proizvoda prvih članova prema proizvodu drugih članova. Razmera se može i kvadrirati ili stepenovati na treći stepen, iz nje se može izvući koren ili se može „obrnuti”:

Naziv	Razmera	Primer
Složena razmera od ${a:b}$ i ${c:d}$	${ac:bd}$	${2:3}$ i ${4:5}$ daju ${8:15}$
Razmera kvadrata	${a^2:b^2}$	za ${2:3}$ to je ${4:9}$
Razmera kubova	${a^3:b^3}$	za ${2:3}$ to je ${8:27}$
Razmera kvadratnih korena	${\sqrt{a}:\sqrt{b}}$	za ${4:9}$ to je ${2:3}$
Razmera kubnih korena	${\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}}$	za ${8:27}$ to je ${2:3}$
Obrnuta (recipročna) razmera	${b:a}$, odnosno ${\frac{1}{a}:\frac{1}{b}}$	za ${2:3}$ to je ${3:2}$

Primer. Odredite složenu razmeru od razmere ${2:3}$, razmere kvadrata brojeva 3 i 4 i razmere kvadratnih korena brojeva 64 i 9.

Rešenje: Razmera kvadrata brojeva 3 i 4 je ${9:16}$, a razmera kvadratnih korena brojeva 64 i 9 je ${8:3}$. Pomnožimo prve i druge članove:

${(2\cdot 9\cdot 8):(3\cdot 16\cdot 3)}={144:144}={1:1}$

Razmera kvadrata nije dvostruka razmera. Za razmeru ${3:1}$ razmera kvadrata je ${9:1}$, a dvostruka razmera je ${6:1}$. Isto tako, razmera kubova za ${3:1}$ je ${27:1}$, a ne ${9:1}$.

Ako je drugi član svake razmere jednak prvom članu sledeće, srednji članovi se skraćuju: složena razmera od ${a:b}$, ${b:c}$ i ${c:d}$ je ${a:d}$, jer je

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{d}$$

To će nam trebati kod neprekidne proporcije.

Šta je proporcija

Proporcija je jednakost dve razmere:

$$a:b=c:d\qquad\text{ili}\qquad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Čita se: „$a$ se odnosi prema $b$ kao $c$ prema $d$”. Brojevi $a$, $b$, $c$ i $d$ su članovi proporcije: $a$ i $d$ su spoljašnji članovi, a $b$ i $c$ unutrašnji članovi.

Spoljašnji članovi stoje na krajevima proporcije, a unutrašnji u sredini.

Primer. Da li brojevi 12, 8, 15 i 10 čine proporciju? Vrednosti razmera su ${{12:8}={1{,}5}}$ i ${{15:10}={1{,}5}}$. Jednake su, pa je ${12:8=15:10}$ proporcija.

U svakodnevnom govoru „proporcija” često znači odnos ili srazmeru, na primer „pomešati boju i vodu u proporciji 1 prema 3”. U matematici je proporcija uvek jednakost dve razmere.

Osnovno svojstvo proporcije

Zašto je tako? Pomnožimo obe strane jednakosti ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ sa $bd$:

${{\frac{a}{b}\cdot bd}={\frac{c}{d}\cdot bd}}$, odakle je ${ad=bc}$.

Ovo svojstvo se zove i unakrsno množenje, jer se množe brojevi koji stoje dijagonalno jedan naspram drugog. Pomoću njega se brzo proverava da li je proporcija tačna:

${12:8=15:10}$ je tačna proporcija, jer je ${{12\cdot 10}={120}}$ i ${{8\cdot 15}={120}}$.

Razmere ${3:4}$ i ${5:7}$ ne čine proporciju: ${{3\cdot 7}={21}}$, a ${{4\cdot 5}={20}}$.

Važi i obrnuto: ako je ${ad=bc}$, od ta četiri broja može se sastaviti proporcija. Činioci sa jedne strane jednakosti postaju spoljašnji članovi, a činioci sa druge strane unutrašnji. Na primer, iz jednakosti ${3\cdot 8=4\cdot 6}$ dobijaju se proporcije ${3:4=6:8}$ i ${3:6=4:8}$.

Kako se rešava proporcija

Ako je jedan član proporcije nepoznat, primenite osnovno svojstvo proporcije i rešite dobijenu jednačinu.

Primer 1. Rešite proporciju ${x:12=5:4}$.

${4x}={12\cdot 5}={60}$, odakle je ${x=15}$

Provera: ${{15:12}={1{,}25}}$ i ${{5:4}={1{,}25}}$ ✓

Primer 2. Rešite proporciju ${\frac{x+2}{3}=\frac{x-1}{2}}$.

${{2(x+2)}={3(x-1)}}$

${{2x+4}={3x-3}}$, odakle je ${x=7}$

Provera: ${{\frac{7+2}{3}}={3}}$ i ${{\frac{7-1}{2}}={3}}$ ✓

Ako iz jednakosti ${ad=bc}$ izrazite svako slovo, dobijate pravilo za nalaženje nepoznatog člana proporcije: spoljašnji član jednak je proizvodu unutrašnjih članova podeljenom drugim spoljašnjim članom, a unutrašnji član jednak je proizvodu spoljašnjih članova podeljenom drugim unutrašnjim članom:

$$a=\frac{bc}{d}\qquad d=\frac{bc}{a}$$ $$b=\frac{ad}{c}\qquad c=\frac{ad}{b}$$

Četvrta, treća i srednja geometrijska proporcionala

Četvrta geometrijska proporcionala brojeva $a$, $b$ i $c$ je broj $x$ za koji važi ${a:b=c:x}$. Po osnovnom svojstvu proporcije ${ax=bc}$, pa je

$$x=\frac{bc}{a}$$

Primer. Četvrta geometrijska proporcionala brojeva 4, 6 i 10 je ${{\frac{6\cdot 10}{4}}={15}}$, jer je ${4:6=10:15}$.

Na tome se zasniva pravilo trojno: od tri data broja nalazi se četvrti tako što se drugi broj pomnoži trećim i podeli prvim.

Treća geometrijska proporcionala brojeva $a$ i $b$ je broj $x$ za koji važi ${a:b=b:x}$. Tada je ${ax=b^2}$, pa je

$$x=\frac{b^2}{a}$$

Primer. Treća geometrijska proporcionala brojeva 4 i 6 je ${{\frac{6^2}{4}}={9}}$, jer je ${4:6=6:9}$.

Srednja geometrijska proporcionala dva pozitivna broja $a$ i $b$ je pozitivan broj $x$ za koji važi ${a:x=x:b}$. Tada je ${x^2=ab}$, pa je

$$x=\sqrt{ab}$$

Srednja geometrijska proporcionala se zove i geometrijska sredina brojeva $a$ i $b$. Javlja se i u geometriji: u pravouglom trouglu visina na hipotenuzu je srednja geometrijska proporcionala odsečaka na koje ona deli hipotenuzu.

Primer. Srednja geometrijska proporcionala brojeva 2 i 18 je ${\sqrt{2\cdot 18}}={\sqrt{36}}={6}$, jer je ${2:6=6:18}$.

U proporciji ${4:6=6:9}$ broj 6 je srednja geometrijska proporcionala brojeva 4 i 9, a 9 je treća geometrijska proporcionala brojeva 4 i 6.

Neprekidna proporcija

Tri ili više brojeva čine neprekidnu proporciju ako je razmera svakog broja prema sledećem uvek ista:

$$a:b=b:c=c:d=\ldots$$

Na primer, brojevi 64, 32, 16, 8 i 4 čine neprekidnu proporciju, jer su ${64:32}$, ${32:16}$, ${16:8}$ i ${8:4}$ jednaki 2. Svaki broj se dobija iz prethodnog množenjem istim brojem, ovde sa $\frac{1}{2}$, pa brojevi neprekidne proporcije čine geometrijsku progresiju.

Primer 1. Da li brojevi 4, 10 i 25 čine neprekidnu proporciju? ${{10^2}={100}}$ i ${{4\cdot 25}={100}}$, dakle da: ${4:10=10:25}$.

Razmera prvog broja prema poslednjem

Ako $a$, $b$, $c$ čine neprekidnu proporciju, onda je ${{\frac{a}{c}}={\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}}}$, a oba činioca su jednaka $\frac{a}{b}$. Zato je

$$a:c=a^2:b^2$$

Drugim rečima, prvi broj se odnosi prema trećem kao kvadrat prvog prema kvadratu drugog broja. Za četiri broja u neprekidnoj proporciji važi ${a:d=a^3:b^3}$ i tako dalje: razmera prvog broja prema poslednjem jednaka je zajedničkoj razmeri stepenovanoj izložiocem koji je za jedan manji od broja brojeva. U nizu 64, 32, 16, 8, 4 zajednička razmera je 2, a brojeva ima pet, pa je ${64:4}$ jednako ${2^4=16}$.

Primer 2. Brojevi 2, $x$, $y$, 54 čine neprekidnu proporciju. Odredite $x$ i $y$.

Rešenje: Svaki broj se dobija iz prethodnog množenjem istim brojem $q$, pa je ${2q^3=54}$. Tada je ${q^3=27}$ i ${q=3}$: to su brojevi 2, 6, 18 i 54, dakle ${x=6}$ i ${y=18}$.

Izvedene proporcije

Od proporcije se mogu dobiti nove proporcije: članovi se mogu premeštati, sabirati, oduzimati i tako dalje. Takve proporcije se zovu izvedene proporcije. U tabeli je ${a:b=c:d}$ i nijedan član nije jednak nuli. Svaki primer je dobijen iz proporcije ${12:4=6:2}$, u kojoj su obe razmere jednake 3.

Svojstvo	Pravilo	Primer
Zamena mesta unutrašnjim članovima	${{a:c}={b:d}}$	${{12:6}={4:2}}$
Zamena mesta spoljašnjim članovima	${{d:b}={c:a}}$	${{2:4}={6:12}}$
Obrtanje razmera	${{b:a}={d:c}}$	${{4:12}={2:6}}$
Zbir članova prema drugom članu	${{(a+b):b}={(c+d):d}}$	${{16:4}={8:2}}$
Razlika članova prema drugom članu	${{(a-b):b}={(c-d):d}}$	${{8:4}={4:2}}$
Zbir članova prema njihovoj razlici	${(a+b):(a-b)}={(c+d):(c-d)}$	${{16:8}={8:4}}$
Prvi član prema razlici članova	${{a:(a-b)}={c:(c-d)}}$	${{12:8}={6:4}}$
Zbir prvih prema zbiru drugih članova	${{(a+c):(b+d)}={a:b}}$	${{18:6}={12:4}}$
Množenje prvih (ili drugih) članova istim brojem	${{ka:b}={kc:d}}$	${{24:4}={12:2}}$
Stepeni i koreni	${{a^n:b^n}={c^n:d^n}}$	${{144:16}={36:4}}$
Množenje proporcija	ako je i ${{e:f}={g:h}}$, onda je ${{ae:bf}={cg:dh}}$	sa ${{10:5}={8:4}}$: ${{120:20}={48:8}}$

Za svojstva „zbir članova prema njihovoj razlici” i „prvi član prema razlici članova” potrebno je još da bude ${a\ne b}$, kako nijedan član ne bi bio nula.

Zašto ova svojstva važe? Označimo zajedničku vrednost razmera sa $k$: ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k}$. Tada je ${a=bk}$ i ${c=dk}$. Zamenimo to u obe strane jednakosti. Na primer, za zbir i razliku članova:

${\frac{a+b}{a-b}}={\frac{bk+b}{bk-b}}={\frac{k+1}{k-1}}$

${\frac{c+d}{c-d}}={\frac{dk+d}{dk-d}}={\frac{k+1}{k-1}}$

Obe strane su jednake istom broju, dakle jednake su. Isti postupak, uvođenje zajedničkog koeficijenta $k$, dokazuje i ostala svojstva i pomaže u zadacima u kojima treba nešto dokazati.

Primer. Poznato je da je ${\frac{a+b}{a-b}=\frac{7}{3}}$. Odredite ${a:b}$.

Rešenje: Primenimo na ovu proporciju svojstvo „zbir članova prema njihovoj razlici”:

${\frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)}}={\frac{7+3}{7-3}}$

${{\frac{2a}{2b}}={\frac{10}{4}}}$, odakle je ${a:b=5:2}$

Provera: za ${a=5}$ i ${b=2}$ je ${{\frac{5+2}{5-2}}={\frac{7}{3}}}$ ✓

Direktna i obrnuta proporcionalnost

Dve veličine su direktno proporcionalne ako im se razmera ne menja: kada se jedna poveća nekoliko puta, i druga se poveća isto toliko puta. Ako je $y$ direktno proporcionalno sa $x$, onda je

$$\frac{y}{x}=k\qquad\text{ili}\qquad y=kx$$

Stalni broj $k$ zove se koeficijent proporcionalnosti.

Dve veličine su obrnuto proporcionalne ako im se proizvod ne menja: kada se jedna poveća nekoliko puta, druga se isto toliko puta smanji. Tada je

$$xy=k\qquad\text{ili}\qquad y=\frac{k}{x}$$

Grafik direktne proporcionalnosti je prava kroz koordinatni početak, a grafik obrnute proporcionalnosti je hiperbola.

	Direktna proporcionalnost	Obrnuta proporcionalnost
Ako se $x$ poveća 2 puta	$y$ se poveća 2 puta	$y$ se smanji 2 puta
Šta se ne menja	razmera $\frac{y}{x}$	proizvod $xy$
Formula	${y=kx}$	${y=\frac{k}{x}}$
Dva para vrednosti	${{x_1:x_2}={y_1:y_2}}$	${{x_1:x_2}={y_2:y_1}}$
Primeri	količina robe i njena cena; vreme kretanja i pređeni put pri stalnoj brzini	broj radnika i vreme za koje završe posao; brzina i vreme kretanja na istom putu

Primer 1. 3 kg jabuka košta 750 dinara. Koliko košta 5 kg?

Rešenje: Cena je direktno proporcionalna masi. Svođenjem na jedinicu: 1 kg košta ${{750:3}=250}$ dinara, pa 5 kg košta ${{5\cdot 250}=1250}$ dinara. Pomoću proporcije: razmera masa jednaka je razmeri cena,

${3:5=750:x}$, odakle je ${{3x}={3750}}$ i ${x=1250}$ dinara

Primer 2. 6 radnika ofarba ogradu za 10 sati. Za koliko sati bi istu ogradu ofarbala 4 radnika, ako svi rade jednako brzo?

Rešenje: Što je manje radnika, potrebno je više vremena. Broj radnika i vreme su obrnuto proporcionalni, pa im se proizvod ne menja. Ceo posao iznosi ${{6\cdot 10}=60}$ radnih sati, pa je za 4 radnika potrebno ${{60:4}=15}$ sati. Pomoću proporcije: razmera brojeva radnika jednaka je obrnutoj razmeri vremena,

${6:4=x:10}$, odakle je ${{4x}={60}}$ i ${x=15}$ sati

Primer 3. Brzinom od 60 km/h put traje 3 sata. Koliko traje brzinom od 90 km/h? Rastojanje je ${{60\cdot 3}=180}$ km, pa brzinom od 90 km/h put traje ${{180:90}=2}$ sata.

Nije sve što raste zajedno proporcionalno. Vožnja taksijem košta 300 dinara za start i još 200 dinara po kilometru. Tada 1 km košta 500 dinara, a 2 km košta 700 dinara, a ne 1000. Cena raste sa rastojanjem, ali mu nije proporcionalna, jer se cena starta ne menja: ${500:1}$ nije jednako ${700:2}$.

Česte greške

Pogrešno	Tačno
✗ 3 dečaka i 5 devojčica: razmera broja dečaka prema broju devojčica je ${5:3}$	✓ Poštujte redosled reči: dečaci prema devojčicama je ${3:5}$
✗ Razmera 50 cm prema 2 m je ${{50:2}={25:1}}$	✓ Izrazite dužine u istim jedinicama: ${{50:200}={1:4}}$
✗ 6000 dinara u razmeri ${2:3}$ je ${{6000:2}=3000}$ i ${{6000:3}=2000}$ dinara	✓ 5 delova po 1200 dinara: 2400 i 3600 dinara
✗ ${2:3}={(2+1):(3+1)}={3:4}$	✓ Množite ili delite oba člana: ${{2:3}={4:6}}$
✗ Za razmeru ${3:1}$ razmera kvadrata je ${6:1}$	✓ Ona je ${{3^2:1^2}={9:1}}$
✗ ${\frac{x}{2}+1=\frac{5}{4}}$, pa je ${4x+1=10}$	✓ Najpre zapišite svaku stranu kao jedan razlomak: ${\frac{x+2}{2}=\frac{5}{4}}$, odakle je ${4(x+2)=10}$ i ${x=0{,}5}$
✗ 6 radnika završi posao za 10 sati, pa 4 radnika za ${\frac{4\cdot 10}{6}\approx 6{,}7}$ sati	✓ Manje radnika, više vremena: ${\frac{6\cdot 10}{4}=15}$ sati
✗ Srednja geometrijska proporcionala brojeva 4 i 9 je ${\frac{4+9}{2}=6{,}5}$	✓ Ona je ${\sqrt{4\cdot 9}=6}$, jer je ${{4:6}={6:9}}$

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Podelite broj 49 na dva dela tako da se veći deo uvećan za 6 odnosi prema manjem delu umanjenom za 11 kao 9 prema 2.

Rešenje: Neka je veći deo $x$. Tada je manji deo ${49-x}$, a umanjen za 11 on je ${38-x}$:

${{(x+6):(38-x)}={9:2}}$

${{2(x+6)}={9(38-x)}}$

${{2x+12}={342-9x}}$, odakle je ${11x=330}$ i ${x=30}$

Delovi su 30 i 19. Provera: ${36:8=9:2}$ ✓

Zadatak 2. Koji broj treba dodati svakom od brojeva 1, 5 i 13 da bi dobijeni zbirovi činili neprekidnu proporciju?

Rešenje: Neka je to broj $x$. Zbirovi ${x+1}$, ${x+5}$ i ${x+13}$ čine neprekidnu proporciju ako je kvadrat srednjeg zbira jednak proizvodu druga dva:

${(x+5)^2}={(x+1)(x+13)}$

${x^2+10x+25}={x^2+14x+13}$, odakle je ${4x=12}$ i ${x=3}$

Zbirovi su 4, 8 i 16, i ${4:8=8:16}$ ✓

Zadatak 3. Podelite broj 18 na dva dela čiji se kvadrati odnose kao ${25:16}$.

Rešenje: Ako se kvadrati delova odnose kao ${25:16}$, onda se sami delovi odnose kao kvadratni koreni tih brojeva: ${{\sqrt{25}:\sqrt{16}}={5:4}}$. Delimo 18 u razmeri ${5:4}$: dobija se 9 delova po 2, pa su delovi 10 i 8.

Provera: ${100:64=25:16}$ ✓

Zadatak 4. Broj 20 je podeljen na dva dela koji se odnose kao kvadrati brojeva 3 i 1. Odredite srednju geometrijsku proporcionalu tih delova.

Rešenje: Kvadrati brojeva 3 i 1 odnose se kao ${9:1}$. Delimo 20 u razmeri ${9:1}$: dobija se 10 delova po 2, pa su delovi 18 i 2. Njihova srednja geometrijska proporcionala je

${\sqrt{18\cdot 2}}={\sqrt{36}}={6}$

Zadatak 5. Dva broja se odnose kao ${3:2}$. Ako se većem broju doda 6, a od manjeg oduzme 6, rezultati će se odnositi kao ${3:1}$. Odredite te brojeve.

Rešenje: Zapišimo brojeve kao $3k$ i $2k$:

${(3k+6):(2k-6)}={3:1}$

${3k+6}={3(2k-6)}={6k-18}$, odakle je ${3k=24}$ i ${k=8}$

To su brojevi 24 i 16. Provera: ${30:10=3:1}$ ✓

Zadatak 6. Dva pozitivna broja se odnose kao kvadrati brojeva 4 i 3, a njihova srednja geometrijska proporcionala je 24. Odredite te brojeve.

Rešenje: Kvadrati brojeva 4 i 3 odnose se kao ${16:9}$, pa brojeve zapišimo kao $16k$ i $9k$, gde je ${k\gt 0}$. Njihov proizvod jednak je kvadratu srednje geometrijske proporcionale:

${{16k\cdot 9k}={24^2}}$, odakle je ${144k^2=576}$, ${k^2=4}$ i ${k=2}$

To su brojevi 32 i 18. Provera: obe razmere ${32:24}$ i ${24:18}$ jednake su $\frac{4}{3}$ ✓

Zadatak 7. Proizvod dva broja je 135, a razlika njihovih kvadrata odnosi se prema kvadratu njihove razlike kao 4 prema 1. Odredite te brojeve.

Rešenje: Označimo brojeve sa $a$ i $b$. Pošto je ${a^2-b^2}={(a+b)(a-b)}$, uslov znači da je

${\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2}}={\frac{a+b}{a-b}}={\frac{4}{1}}$

Po svojstvu „zbir članova prema njihovoj razlici” je ${{\frac{2a}{2b}}={\frac{4+1}{4-1}}}$, odakle je ${a:b=5:3}$. Zapišimo ${a=5k}$ i ${b=3k}$:

${{5k\cdot 3k}={135}}$, odakle je ${k^2=9}$ i ${k=\pm 3}$

To su brojevi 15 i 9 ili −15 i −9. Provera: ${{15\cdot 9}={135}}$ i ${(225-81):36}={144:36}={4:1}$ ✓

Zadatak 8. Rešite jednačinu ${\frac{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{x-5}}=3}$.

Rešenje: Zapišimo 3 kao $\frac{3}{1}$ i primenimo svojstvo „zbir članova prema njihovoj razlici”. Zbir i razlika korena postaju pojedinačni koreni:

${\frac{2\sqrt{x+5}}{2\sqrt{x-5}}}={\frac{3+1}{3-1}}={2}$

${{\sqrt{x+5}}={2\sqrt{x-5}}}$, odakle je ${{x+5}={4(x-5)}}$, ${3x=25}$ i ${x=\frac{25}{3}}$

Provera: ${{x+5}={\frac{40}{3}}}$ je 4 puta veće od ${{x-5}={\frac{10}{3}}}$, pa je ${{\sqrt{x+5}}={2\sqrt{x-5}}}$, a leva strana je jednaka ${{\frac{2+1}{2-1}}={3}}$ ✓

Vežbanje

Rešite svaki zadatak, a zatim ga otvorite da proverite odgovor.

1. Skratite razmeru ${24:36}$.

Najveći zajednički delilac je 12: ${{24:36}={2:3}}$

2. Skratite razmeru ${\frac{3}{4}:\frac{5}{6}}$.

Pomnožimo oba člana sa 12: ${{\frac{3}{4}:\frac{5}{6}}={9:10}}$

3. Koja je razmera veća: ${7:9}$ ili ${10:13}$?

${{7\cdot 13}={91}}$ i ${{9\cdot 10}={90}}$. Pošto je ${91\gt 90}$, veća je razmera ${7:9}$.

4. Podelite 9600 dinara u razmeri ${3:5}$.

8 delova po 1200 dinara: 3600 i 6000 dinara.

5. Dva broja se odnose kao ${5:3}$, a njihova razlika je 14. Odredite te brojeve.

Razlika je ${{5-3}=2}$ dela, pa je jedan deo 7. To su brojevi 35 i 21.

6. ${a:b=3:4}$ i ${b:c=6:7}$. Odredite ${a:b:c}$.

Neka $b$ bude 12 u obe razmere: ${a:b=9:12}$ i ${b:c=12:14}$, pa je ${{a:b:c}={9:12:14}}$.

7. Rešite proporciju ${(x-1):6=5:3}$.

${{3(x-1)}={30}}$, odakle je ${x-1=10}$ i ${x=11}$.

8. Odredite treću geometrijsku proporcionalu brojeva 9 i 12 i srednju geometrijsku proporcionalu brojeva 8 i 18.

Treća proporcionala je ${{\frac{12^2}{9}}={16}}$, jer je ${9:12=12:16}$. Srednja proporcionala je ${{\sqrt{8\cdot 18}}={12}}$, jer je ${8:12=12:18}$.

9. Odredite složenu razmeru od razmere ${7:5}$, razmere kvadrata brojeva 4 i 9 i razmere kubova brojeva 3 i 2.

${(7\cdot 16\cdot 27):(5\cdot 81\cdot 8)}={3024:3240}={14:15}$

10. Poznato je da je ${(a+2b):(a-2b)=9:5}$. Odredite ${a:b}$.

Po svojstvu „zbir članova prema njihovoj razlici” je ${{\frac{2a}{4b}}={\frac{14}{4}}}$, pa je ${\frac{a}{b}=7}$ i ${a:b=7:1}$.

11. Dokažite da iz ${a:b=c:d}$ sledi ${(a^2+b^2):(c^2+d^2)=ab:cd}$.

Zamenimo ${a=bk}$ i ${c=dk}$. Leva strana je ${\frac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}}={\frac{b^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}}={\frac{b^2}{d^2}}$, a desna strana je ${\frac{bk\cdot b}{dk\cdot d}}={\frac{b^2}{d^2}}$. One su jednake.

12. Razmera karte je ${1:50.000}$. Rastojanje između dva sela na karti je 7,4 cm. Koliko je rastojanje u prirodi?

${7{,}4\cdot 50.000}={370.000}$ cm, odnosno 3700 m, ili 3,7 km.

13. 4 cevi napune bazen za 9 sati. Za koliko sati ga napuni 6 takvih cevi?

Broj cevi i vreme su obrnuto proporcionalni: ${{4\cdot 9}={36}}$ i ${{36:6}={6}}$ sati.

Još zadataka, svaki put sa novim brojevima (na engleskom jeziku): koja proporcija daje cenu?