Linearne jednačine

Jednačina je jednakost dva izraza, na primer ${3x+5=20}$. Slovo $x$ označava nepoznat broj, a rešiti jednačinu znači naći broj za koji je jednakost tačna. Jednačine u kojima se nepoznata javlja samo na prvom stepenu, kao ${3x+5=20}$ ili ${2(x-1)=\frac{x}{3}+4}$, zovu se linearne jednačine (jednačine prvog stepena). To su prve jednačine koje se uče, a skoro svaki tekstualni zadatak u algebri svodi se na takvu jednačinu.

Na ovoj stranici: Šta je jednačina · Pravilo vage · Jednačine u jednom koraku · Prebacivanje sabiraka · Množenje i deljenje · Korak po korak · Razlomci · Proporcije · Nema rešenja ili svaki broj · Izražavanje slova · Rešeni zadaci · Vežbanje

Šta je jednačina?

Dva izraza u jednačini su njene strane: u ${3x+5=20}$ leva strana je ${3x+5}$, a desna strana je $20$. Broj za koji su obe strane jednake zove se rešenje (koren) jednačine.

Primer. Da li je ${x=5}$ rešenje jednačine ${3x+5=20}$? Zamenimo $x$ brojem 5:

${3\cdot 5+5}={15+5}={20}$ ✓

Obe strane su jednake, pa je ${x=5}$ rešenje. Broj 4 nije: ${3\cdot 4+5=17}$, a ne 20.

Vraćanje odgovora u jednačinu zove se provera. Traje nekoliko sekundi i otkriva većinu grešaka.

Pravilo vage

Zamislite jednačinu kao vagu u ravnoteži. Oba tasa su jednako teška, a vaga ostaje u ravnoteži dok god radite isto sa obe strane.

Ako sa oba tasa skinemo po 3 tega, vaga ostaje u ravnoteži: ${x+3=7}$ postaje ${x=4}$.

Da biste rešili jednačinu, ovim koracima ostavite $x$ samo na jednoj strani. Druga strana je tada rešenje.

Nikada ne množite obe strane nulom. ${x=3}$ važi samo za jedan broj, a ${0\cdot x=0\cdot 3}$ važi za svaki broj, pa se rešenje gubi.

Jednačine u jednom koraku

Ako je sa $x$ urađena samo jedna operacija, poništite je suprotnom operacijom: oduzimanje poništava sabiranje, deljenje poništava množenje, i obrnuto.

Jednačina	Šta radimo sa obe strane	Rešenje
${x+7=12}$	oduzmemo 7	${x=5}$
${x-7=9}$	dodamo 7	${x=16}$
${5x=35}$	podelimo sa 5	${x=7}$
${\frac{x}{4}=3}$	pomnožimo sa 4	${x=12}$

Primer. Rešite ${x-7=9}$. Dodajte 7 obema stranama:

${{x-7+7}={9+7}}$, pa je ${x=16}$

Provera: ${16-7=9}$ ✓

Prebacivanje sabiraka na drugu stranu

Pogledajte šta se desilo u poslednjem primeru: $-7$ je nestao sa leve strane, a $+7$ se pojavio na desnoj. Dodavanje ili oduzimanje istog broja uvek tako deluje, pa možemo kraće.

Primer 1. Rešite ${5x-4=3x+10}$. Prebacite ${3x}$ na levu stranu, a ${-4}$ na desnu, sa promenjenim znakom:

${{5x-3x}={10+4}}$

${{2x}={14}}$, pa je ${x=7}$

Provera: ${5\cdot 7-4=31}$ i ${3\cdot 7+10=31}$ ✓

Nije važno na kojoj strani ostane $x$: ako je ${7=x}$, onda je ${x=7}$. Obično je najlakše da članove sa $x$ skupite na onoj strani na kojoj ostaju pozitivni.

Primer 2. Isti sabirak na obe strane može se jednostavno precrtati, jer je to isto što i oduzeti ga od obe strane:

${{x+3+2x}={7+2x}}$, pa je ${x+3=7}$ i ${x=4}$

Primer 3. Možete promeniti znak svim sabircima na obe strane, jer je to isto što i pomnožiti obe strane sa $-1$:

${-x+5=-3}$ je isto što i ${x-5=3}$, pa je ${x=8}$

Množenje i deljenje obe strane

Kada je $x$ pomnoženo nekim brojem, podelite obe strane tim brojem. Kada je $x$ podeljeno nekim brojem, pomnožite obe strane njime.

Primer 1. U ${-4x=-5}$ podelite obe strane sa $-4$: ${x=\frac{5}{4}}$.

Primer 2. U ${\frac{x}{6}=-2}$ pomnožite obe strane sa 6: ${x=-12}$.

Primer 3. U ${\frac{2}{3}x=8}$ pomnožite obe strane recipročnom vrednošću broja $\frac{2}{3}$:

${x}={8\cdot\frac{3}{2}}={12}$

Primer 4. Ako se $x$ javlja u više sabiraka, prvo ih saberite, pa podelite celim koeficijentom:

${{7x-2x+x}={42}}$, pa je ${6x=42}$ i ${x=7}$

Delite svaki sabirak. U ${2x+6=10}$ ne možete sa 2 da podelite samo $2x$. Ili prvo oduzmite 6, pa je ${2x=4}$ i ${x=2}$, ili sa 2 podelite svaki sabirak, pa je ${x+3=5}$ i ${x=2}$.

Rešavanje korak po korak

Većina jednačina zahteva nekoliko koraka. Ovaj redosled važi za svaku linearnu jednačinu:

Primer 1. Rešite ${16x+10-32=35-10x-5}$. Prvo saberite brojeve na svakoj strani:

${{16x-22}={30-10x}}$

${{16x+10x}={30+22}}$

${{26x}={52}}$, pa je ${x=2}$

Primer 2. Rešite ${7(3x-6)}+{5(x-3)}-{2(x-7)}={5}$.

${21x-42+5x-15-2x+14}={5}$

${{24x-43}={5}}$

${{24x}={48}}$, pa je ${x=2}$

Provera: ${7\cdot 0+5\cdot(-1)-2\cdot(-5)}={0-5+10}={5}$ ✓

Primer 3. Kvadrati mogu da se ponište. Rešite ${(x-3)(x+4)}-{2(3x-2)}={(x-4)^2}$.

${x^2+x-12-6x+4}={x^2-8x+16}$

${x^2-5x-8}={x^2-8x+16}$

Članovi sa $x^2$ se poništavaju, pa je jednačina ipak linearna:

${{-5x+8x}={16+8}}$, pa je ${3x=24}$ i ${x=8}$

Jednačine sa razlomcima

Primer 1. Rešite ${\frac{3x}{4}+6=\frac{5x}{8}+7}$. Najmanji zajednički imenilac je 8:

${{6x+48}={5x+56}}$, pa je ${x=8}$

Primer 2. Rešite ${x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=11}$. Pomnožite sa 6:

${{6x+3x+2x}={66}}$, pa je ${11x=66}$ i ${x=6}$

Primer 3. Ako brojilac ima više sabiraka, stavite ga u zagradu pre množenja. Rešite ${\frac{x-5}{4}+6x=\frac{284-x}{5}}$. Pomnožite sa 20:

${5(x-5)+120x}={4(284-x)}$

${5x-25+120x}={1136-4x}$

${{129x}={1161}}$, pa je ${x=9}$

Minus ispred razlomka menja znak celog brojioca. U ${3x-\frac{x-4}{4}-4=\frac{5x+14}{3}-\frac{1}{12}}$ množenje sa 12 daje ${36x-3(x-4)-48}={4(5x+14)-1}$, a ${-3(x-4)}$ je ${-3x+12}$, a ne ${-3x-12}$. Rešenje je ${x=7}$.

Nepoznata u imeniocu

Ako je $x$ u imeniocu, pomnožite i tim imeniocem. Vrednost $x$ za koju je imenilac jednak nuli ne može biti rešenje, zato uvek proverite odgovor.

Primer 4. Rešite ${\frac{6}{10-x}+7=8}$. Pomnožite sa ${10-x}$:

${6+7(10-x)}={8(10-x)}$

${{6+70-7x}={80-8x}}$, pa je ${x=4}$

Provera: ${\frac{6}{6}+7=8}$ ✓, a imenilac ${10-4}$ nije nula.

Decimalni brojevi

Decimalnih brojeva se oslobađamo na isti način, množenjem sa 10, 100, …

Primer 5. Rešite ${0{,}5x+1{,}2=0{,}3x+2}$. Pomnožite sa 10:

${{5x+12}={3x+20}}$, pa je ${2x=8}$ i ${x=4}$

Jednačine u obliku proporcije

Jednačina oblika ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ je proporcija. Najbrže se rešava unakrsnim množenjem: ${ad=bc}$.

Primer. Rešite ${\frac{x+2}{5}=\frac{x-1}{2}}$.

${{2(x+2)}={5(x-1)}}$

${{2x+4}={5x-5}}$, pa je ${9=3x}$ i ${x=3}$

Provera: ${\frac{3+2}{5}=1}$ i ${\frac{3-1}{2}=1}$ ✓

Nema rešenja ili je svaki broj rešenje

Svaka linearna jednačina može se svesti na oblik ${ax=b}$. Obično $a$ nije nula i postoji tačno jedno rešenje, ${x=\frac{b}{a}}$. Ali ponekad se $x$ potpuno izgubi:

Posle sređivanja	Rešenja
${ax=b}$, gde je $a\ne 0$	tačno jedno, ${x=\frac{b}{a}}$
tačna jednakost, na primer ${0=0}$ ili ${3=3}$	svaki broj je rešenje
netačna jednakost, na primer ${0=5}$	nema rešenja

Primer 1. U ${5-3x=7-3x}$ posle prebacivanja dobijamo ${0=2}$, što ne važi ni za jedno $x$. Jednačina nema rešenja.

Primer 2. U ${3(x+1)^2-(3x+5)x=x+3}$ leva strana se sređuje u ${3x^2+6x+3-3x^2-5x}$, tj. u ${x+3}$. Jednačina glasi ${x+3=x+3}$, što važi za svaki broj.

${0=0}$ ne znači ${x=0}$: znači da je svaki broj rešenje. A ${4x=0}$ nije „nema rešenja”: njeno rešenje je ${x=0}$.

Izražavanje jednog slova pomoću drugih

Pored nepoznate, jednačina može sadržati i druga slova, na primer kada je u pitanju formula. Da biste izrazili jedno slovo, ostala slova posmatrajte kao brojeve i koristite iste korake.

Primer 1. Izrazite $x$ iz ${\frac{x}{c}+a=b}$. Oduzmite $a$, pa pomnožite sa $c$:

${{\frac{x}{c}}={b-a}}$, pa je ${x=c(b-a)}$

Primer 2. Površina trougla je ${P=\frac{1}{2}ah}$. Izrazite $h$: pomnožite sa 2, pa podelite sa $a$:

${{2P}={ah}}$, pa je ${h=\frac{2P}{a}}$

Primer 3. Izrazite $x$ iz ${ax+x=h-4}$. Izvucite $x$ ispred zagrade, pa podelite:

${{(a+1)x}={h-4}}$, pa je ${x=\frac{h-4}{a+1}}$

Poslednji korak je deljenje sa ${a+1}$, što je moguće samo ako je ${a\ne -1}$. Kada koeficijent uz $x$ sadrži slova, proverite šta se dešava kada je on jednak nuli: tako se rešavaju jednačine sa parametrom.

Česte greške

Pogrešno	Tačno
✗ ${x+5=12}$, pa je ${x=12+5}$	✓ Prebačeni sabirak menja znak: $x=12-5=7$
✗ ${\frac{x}{2}+3=5}$, pa je ${x+3=10}$	✓ Pomnožite svaki sabirak: ${x+6=10}$, pa je ${x=4}$
✗ ${2x+6=10}$, pa je ${x+6=5}$	✓ Podelite svaki sabirak: ${x+3=5}$, pa je ${x=2}$
✗ ${-3x=12}$, pa je ${x=4}$	✓ Podelite sa $-3$: ${x=-4}$
✗ $1-\frac{x-3}{5}$ postaje $5-x-3$	✓ Minus se odnosi na ceo brojilac: ${5-(x-3)=5-x+3}$
✗ ${4x=0}$ nema rešenja	✓ Njeno rešenje je ${x=0}$
✗ ${0=0}$, pa je ${x=0}$	✓ Svaki broj je rešenje

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Rešite ${7u-9-3u+5=11u-6-4u}$.

Rešenje: Saberite slične članove na svakoj strani:

${{4u-4}={7u-6}}$

${{6-4}={7u-4u}}$, pa je ${2=3u}$ i ${u=\frac{2}{3}}$

Zadatak 2. Rešite ${(x+1)^3}-{(x-1)^3}={6(x^2+x+1)}$.

Rešenje: Razvijte kubove:

${x^3+3x^2+3x+1}-{(x^3-3x^2+3x-1)}={6x^2+6x+6}$

${{6x^2+2}={6x^2+6x+6}}$

${{2}={6x+6}}$, pa je ${6x=-4}$ i ${x=-\frac{2}{3}}$

Zadatak 3. Rešite ${\frac{x+1}{3}-\frac{2x+5}{2}=-3}$.

Rešenje: Pomnožite sa 6:

${2(x+1)-3(2x+5)}={-18}$

${{2x+2-6x-15}={-18}}$

${{-4x-13}={-18}}$, pa je ${-4x=-5}$ i ${x=\frac{5}{4}}$

Zadatak 4. Rešite ${\frac{6x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}=\frac{12x+49}{10}}$.

Rešenje: Pomnožite sa 10:

${2(6x-1)-5(1-2x)}={12x+49}$

${12x-2-5+10x}={12x+49}$

${{10x}={56}}$, pa je ${x=5{,}6}$

Zadatak 5. Rešite ${(2x-1)^2}-{x(10x+1)}={x(1-x)(1+x)}-{(2-x)^3}$.

Rešenje: Sredite svaku stranu posebno:

${4x^2-4x+1-10x^2-x}={-6x^2-5x+1}$

${x-x^3-(8-12x+6x^2-x^3)}={-6x^2+13x-8}$

Jednačina postaje

${-6x^2-5x+1}={-6x^2+13x-8}$, pa je ${9=18x}$ i ${x=\frac{1}{2}}$

Zadatak 6. Rešite ${\frac{6x+7}{9}+\frac{7x-13}{6x+3}=\frac{2x+4}{3}}$.

Rešenje: Pomnožite obe strane sa ${9(6x+3)}$:

${(6x+7)(6x+3)+9(7x-13)}={3(2x+4)(6x+3)}$

${36x^2+60x+21+63x-117}={36x^2+90x+36}$

${{123x-96}={90x+36}}$, pa je ${33x=132}$ i ${x=4}$

Imenilac ${6\cdot 4+3=27}$ nije nula, pa je ${x=4}$ rešenje.

Zadatak 7. Data je funkcija ${f(x)=x+4}$. Rešite jednačinu ${\frac{3f(x-2)}{f(0)}+4=f(2x+1)}$.

Rešenje: Ovde je ${f(0)=4}$, ${f(x-2)=x+2}$ i ${f(2x+1)=2x+5}$, pa jednačina glasi

${{\frac{3(x+2)}{4}+4}={2x+5}}$

${{3x+6+16}={8x+20}}$, pa je ${2=5x}$ i ${x=\frac{2}{5}}$

Zadatak 8. Jednog čoveka su pitali koliko je platio sat. Odgovorio je: „Ako cenu pomnožite sa 4, dodate 7000, pa oduzmete 5000, dobićete 22.000 dinara.” Koliko je koštao sat?

Rešenje: Neka je cena $x$ dinara:

${{4x+7000-5000}={22.000}}$, pa je ${4x=20.000}$ i ${x=5000}$

Sat je koštao 5000 dinara. Više ovakvih zadataka ima na stranici tekstualni zadaci sa jednačinama.

Vežbanje

Rešite svaki zadatak, pa ga otvorite da proverite odgovor.

1. Rešite ${x+9=4}$.

${x=4-9=-5}$

2. Rešite ${-7x=42}$.

Podelite sa $-7$: ${x=-6}$

3. Rešite ${\frac{x}{5}=-3}$.

Pomnožite sa 5: ${x=-15}$

4. Rešite ${3x-7=2x+5}$.

${{3x-2x}={5+7}}$, pa je ${x=12}$

5. Rešite ${5(x-2)=3(x+4)}$.

${{5x-10}={3x+12}}$, pa je ${2x=22}$ i ${x=11}$

6. Rešite ${40-6x-16=120-14x}$.

${{24-6x}={120-14x}}$, pa je ${8x=96}$ i ${x=12}$

7. Rešite ${\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=7}$.

Pomnožite sa 12: ${4x+3x=84}$, pa je ${7x=84}$ i ${x=12}$

8. Rešite ${3x+\frac{2x+6}{5}=5+\frac{11x-37}{2}}$.

Pomnožite sa 10: ${30x+2(2x+6)}={50+5(11x-37)}$, pa je ${{34x+12}={55x-135}}$, ${147=21x}$ i ${x=7}$

9. Rešite ${\frac{6x-4}{3}-2=\frac{18-4x}{3}+x}$.

Pomnožite sa 3: ${{6x-4-6}={18-4x+3x}}$, pa je ${{6x-10}={18-x}}$, ${7x=28}$ i ${x=4}$

10. Rešite ${2(3x-1)-3(2x+1)=6}$.

${{6x-2-6x-3}={6}}$ daje ${-5=6}$, što nije tačno: jednačina nema rešenja.

11. Rešite ${\frac{x+2}{3}=\frac{2x-1}{5}}$.

Unakrsno množenje: ${{5(x+2)}={3(2x-1)}}$, pa je ${{5x+10}={6x-3}}$ i ${x=13}$

12. Obim pravougaonika je ${O=2(a+b)}$. Izrazite $b$.

Podelite sa 2: ${\frac{O}{2}=a+b}$, pa je ${b=\frac{O}{2}-a}$

Još vežbanja, svaki put sa novim jednačinama:

Još o jednačinama: Tekstualni zadaci sa jednačinama · Kvadratne jednačine · Sistemi jednačina