Bikvadratne jednačine

Kalkulator za bikvadratne jednačine

Upišite koeficijente $a,$ $b$ i $c.$ To mogu biti celi brojevi, decimalni brojevi (na primer 0,5) ili razlomci (na primer 1/3). Prazno polje za $b$ ili $c$ znači 0. Kalkulator uvodi smenu $u=x^2,$ rešava kvadratnu jednačinu po $u,$ proverava znak svakog rešenja i nalazi tačna realna rešenja $x.$

Šta je bikvadratna jednačina?

To je jednačina četvrtog stepena, ali sadrži samo parne stepene promenljive $x\text{:}$ članove sa $x^4$ i $x^2$ i slobodan član. Nema člana sa $x^3$ ni člana sa $x.$ Pošto je $x^4=(x^2)^2,$ jednačina je kvadratna po $x^2.$ Prefiks „bi-“ znači „dva puta“: $x^4$ je kvadrat kvadrata $x^2.$ (U nekim starijim knjigama bikvadratnom se naziva svaka jednačina četvrtog stepena. Na ovoj stranici ta reč označava samo jednačinu $ax^4+bx^2+c=0.$)

Primeri. Pre nego što odredimo koeficijente, sve članove prebacujemo na levu stranu jednakosti. Znak ispred svakog člana pripada njegovom koeficijentu.

• $2x^4-7x^2+3=0\text{:}$   $a=2,$ $b=-7,$ $c=3$
• $x^4-16=0\text{:}$   $a=1,$ $b=0,$ $c=-16$
• $x^4=5x^2$ zapisujemo kao $x^4-5x^2=0\text{:}$   $a=1,$ $b=-5,$ $c=0$
• $x^4+x^3-2=0$ nije bikvadratna, jer sadrži član sa $x^3.$

Na ovoj stranici: Kalkulator · Smena · Postupak · Primeri · Broj rešenja · Grafik · Rastavljanje na činioce · Druge jednačine · Tekstualni zadaci · Sa parametrom · Vežbe

Glavna ideja: smena

Uvedimo smenu $u=x^2.$ Tada je $x^4=(x^2)^2=u^2,$ pa jednačina postaje

$$au^2+bu+c=0.$$

To je obična kvadratna jednačina po novoj nepoznatoj $u$ (u mnogim udžbenicima ona se označava sa $t$). Rešimo je, a zatim se vratimo na $x\text{:}$ za svako rešenje $u$ rešavamo jednačinu $x^2=u.$

Pri povratku na staru nepoznatu treba biti pažljiv. Kvadrat realnog broja nikada nije negativan: $x^2\ge 0$ za svako realno $x.$ Zato rešenje $u$ kvadratne jednačine daje

To se vidi i na slici. Rešenja jednačine $x^2=u$ su apscise tačaka u kojima parabola $y=x^2$ seče horizontalnu pravu $y=u.$ Prava iznad $x$-ose seče parabolu u dve tačke, $x$-osa je dodiruje samo u koordinatnom početku, a prava ispod $x$-ose nema zajedničkih tačaka sa njom.

Kako se rešava bikvadratna jednačina

1. Uvedemo smenu $u=x^2$ i zapišemo kvadratnu jednačinu $au^2+bu+c=0.$
2. Rešimo je po $u\text{:}$ rastavljanjem na činioce, pomoću Vijetovih formula ili formulom za rešenja $u_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},$ gde je $D=b^2-4ac.$
3. Ako je $D\lt 0,$ nema rešenja $u,$ pa ni data jednačina nema realnih rešenja. U suprotnom odbacimo svako negativno rešenje $u\text{:}$ ono ne daje nijedno realno $x.$
4. Za svako rešenje $u\ge 0$ rešimo jednačinu $x^2=u\text{:}$ $x=\pm\sqrt{u}$ (za $u=0$ samo $x=0$).
5. Zapišemo sve dobijene vrednosti $x.$ Za proveru je dovoljno da u polaznu jednačinu zamenimo po jednu vrednost iz svakog para $\pm x$ (suprotan broj $-x$ daje iste brojeve).

Rešeni primeri

Primer 1: četiri rešenja

Rešite jednačinu $x^4-5x^2+4=0.$

Uvedimo smenu $u=x^2\text{:}$

$u^2-5u+4=0$

Tražimo dva broja čiji je proizvod 4, a zbir 5: $u_1=1$ i $u_2=4.$ (Isto daje i formula: $D=25-16=9$ i $u_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$) Oba rešenja su pozitivna, pa svako od njih daje dve vrednosti $x\text{:}$

$x^2=1,$   $x=\pm 1;$    $x^2=4,$   $x=\pm 2$

Odgovor: $x=\pm 1,$ $x=\pm 2.$ Jednačina ima četiri rešenja: $-2,$ $-1,$ $1$ i $2.$

Provera za $x=2\text{:}$ ${2^4-5\cdot 2^2+4}={16-20+4}={0.}$ Pošto se javljaju samo parni stepeni promenljive $x,$ vrednost $x=-2$ daje potpuno iste brojeve.

Primer 2: dva rešenja

Rešite jednačinu $x^4-x^2-6=0.$

Smenom $u=x^2$ dobijamo $u^2-u-6=0,$ tj. $(u-3)(u+2)=0,$ pa je $u_1=3$ i $u_2=-2.$

• $x^2=3$ daje $x=\pm\sqrt{3}.$
• $x^2=-2$ nema realnih rešenja, jer je $x^2\ge 0.$ Odbacujemo rešenje $u_2=-2.$

Odgovor: $x=\pm\sqrt{3}.$

Primer 3: nema realnih rešenja

Rešite jednačinu $x^4-2x^2+2=0.$

Smenom $u=x^2$ dobijamo $u^2-2u+2=0$ i $D=4-8=-4\lt 0.$ Jednačina po $u$ nema realnih rešenja, pa ni data jednačina nema realnih rešenja.

Jednačina $x^4+5x^2+6=0$ nema realnih rešenja iz drugog razloga. Ovde jednačina $u^2+5u+6=0$ ima rešenja, $u_1=-2$ i $u_2=-3,$ ali su oba negativna.

Brži način: ako je $a\gt 0,$ $b\ge 0$ i $c\gt 0,$ onda je $ax^4+bx^2+c\ge c\gt 0$ za svako $x,$ jer je $x^4\ge 0$ i $x^2\ge 0.$ Takva jednačina (na primer $x^4+16=0$) nema realnih rešenja i nema šta da se rešava. Ako je $a\lt 0,$ $b\le 0$ i $c\lt 0,$ najpre pomnožite jednačinu sa $-1.$

Primer 4: tri rešenja (c = 0)

Rešite jednačinu $x^4-4x^2=0.$

Kada je $c=0,$ smena nije potrebna. Izvucimo $x^2$ ispred zagrade:

$x^2(x^2-4)=0$

Proizvod je jednak nuli tačno onda kada je bar jedan od činilaca jednak nuli: $x^2=0$ daje $x=0,$ a $x^2=4$ daje $x=\pm 2.$

Odgovor: $x=0,$ $x=\pm 2.$ Jednačina ima tri rešenja. Rešenje $x=0$ je dvostruko rešenje: u ${x^4-4x^2}={x\cdot x\cdot(x-2)(x+2)}$ činilac $x$ se javlja dva puta. Smenom bismo dobili isto: $u^2-4u=0,$ pa je $u=0$ ili $u=4.$

Ako drugi činilac nikada nije jednak nuli, ostaje samo $x=0\text{:}$ jednačina $x^4+3x^2=x^2(x^2+3)=0$ ima jedno rešenje $x=0,$ jer je $x^2+3\gt 0.$

Primer 5: bez srednjeg člana (b = 0)

Rešite jednačinu $x^4-81=0.$

Ovde je $x^4=81,$ pa je $u^2=81$ i $u=\pm 9.$ Rešenje $u=-9$ odbacujemo, a $x^2=9$ daje $x=\pm 3.$

Drugi način: dva puta rastavimo razliku kvadrata:

${x^4-81}={(x^2-9)(x^2+9)}={(x-3)(x+3)(x^2+9)}$

Činilac $x^2+9$ je uvek pozitivan. Odgovor: $x=\pm 3.$

Primer 6: jednačina po u ima jedno rešenje (D = 0)

Rešite jednačinu $x^4-8x^2+16=0.$

Smenom $u=x^2$ dobijamo $u^2-8u+16=0,$ gde je $D=64-64=0.$ Jedino rešenje je $u=\frac{8}{2}=4,$ a $x^2=4$ daje $x=\pm 2.$

Odgovor: $x=\pm 2.$ Oba rešenja su dvostruka: leva strana je potpun kvadrat,

${x^4-8x^2+16}={(x^2-4)^2}={(x-2)^2(x+2)^2}$

Primer 7: vodeći koeficijent različit od 1

Rešite jednačinu $4x^4-37x^2+9=0.$

Smenom $u=x^2$ dobijamo $4u^2-37u+9=0.$ Primenimo formulu za rešenja:

${D}={37^2-4\cdot 4\cdot 9}={1369-144}={1225}={35^2,}$   $u_{1,2}=\frac{37\pm 35}{8}$

Dakle, $u_1=\frac{2}{8}=\frac14$ i $u_2=\frac{72}{8}=9.$ Oba rešenja su pozitivna:

$x^2=\frac14,$   $x=\pm\frac12;$    $x^2=9,$   $x=\pm 3$

Odgovor: $x=\pm\frac12,$ $x=\pm 3.$

Primer 8: iracionalna rešenja

Rešite jednačinu $x^4-6x^2+4=0.$

Smenom $u=x^2$ dobijamo $u^2-6u+4=0.$ Leva strana ne može da se rastavi na činioce sa celim koeficijentima, pa koristimo formulu:

$D=36-16=20,$   $\sqrt{D}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},$   $u_{1,2}=\frac{6\pm 2\sqrt{5}}{2}=3\pm\sqrt{5}$

Obe vrednosti su pozitivne: $3+\sqrt{5}\gt 0$ je očigledno, a $3-\sqrt{5}\gt 0$ jer je $\sqrt{5}\lt\sqrt{9}=3.$ Zato jednačina ima četiri rešenja:

${x}={\pm\sqrt{3+\sqrt{5}}}\approx{\pm 2{,}288,}$   $x=\pm\sqrt{3-\sqrt{5}}\approx\pm 0{,}874$

Odgovor: $x=\pm\sqrt{3+\sqrt{5}},$ $x=\pm\sqrt{3-\sqrt{5}}.$

Koren pod korenom ponekad može da se uprosti. Kvadrirajmo broj $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\text{:}$

${\left(\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\right)^2}={\frac{10+2\sqrt{20}+2}{4}}={\frac{12+4\sqrt{5}}{4}}={3+\sqrt{5}}$

Dakle, $\sqrt{3+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2},$ a na isti način $\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}.$ Oba oblika odgovora su tačna.

Koliko realnih rešenja može da bude?

Ako je $x_0$ rešenje, onda je i $-x_0$ rešenje, jer je $(-x_0)^4=x_0^4$ i $(-x_0)^2=x_0^2.$ Zato se rešenja različita od nule javljaju u parovima $\pm x_0,$ a zbir svih realnih rešenja je 0. Bikvadratna jednačina ima 0, 1, 2, 3 ili 4 različita realna rešenja. Njihov broj je neparan tačno onda kada je $x=0$ rešenje, tj. kada je $c=0.$

Sve zavisi od rešenja $u_1$ i $u_2$ jednačine $au^2+bu+c=0\text{:}$

Rešenja jednačine po $u$	Realna rešenja $x$	Primer
dva pozitivna rešenja	4:   $\pm\sqrt{u_1},$ $\pm\sqrt{u_2}$	$x^4-5x^2+4=0$
jedno pozitivno (dvostruko) rešenje, $D=0$	2:   $\pm\sqrt{u_1}$	$x^4-8x^2+16=0$
jedno pozitivno i jedno negativno rešenje	2:   $\pm\sqrt{u_1}$	$x^4-x^2-6=0$
pozitivno rešenje i rešenje 0	3:   $0,$ $\pm\sqrt{u_1}$	$x^4-4x^2=0$
rešenje 0 i negativno rešenje (ili samo rešenje 0)	1:   $0$	$x^4+3x^2=0$
samo negativna rešenja	0	$x^4+5x^2+6=0$
nema realnih rešenja, $D\lt 0$	0	$x^4-2x^2+2=0$

Broj rešenja bez rešavanja jednačine

Znake rešenja $u_1$ i $u_2$ možemo da odredimo pomoću Vijetovih formula, bez rešavanja jednačine po $u\text{:}$

$P=u_1u_2=\frac{c}{a},$   $S=u_1+u_2=-\frac{b}{a},$   $D=b^2-4ac$

Uslov	Rešenja $u$	Realna rešenja $x$
$P\lt 0$	suprotnih znakova	2
$P\gt 0,$ $D\gt 0,$ $S\gt 0$	oba pozitivna	4
$P\gt 0,$ $D=0,$ $S\gt 0$	jedno pozitivno (dvostruko)	2
$P\gt 0,$ $D\ge 0,$ $S\lt 0$	oba negativna	0
$D\lt 0$	nema realnih rešenja	0
$P=0,$ $S\gt 0$	0 i pozitivno rešenje	3
$P=0,$ $S\le 0$	0 i negativno rešenje (ili samo 0)	1

Ako je $P\lt 0,$ onda su $a$ i $c$ suprotnih znakova, pa je $-4ac\gt 0$ i $D=b^2-4ac\gt 0.$ Zato u prvom redu tabele nije potreban uslov za $D.$

Primer. Koliko realnih rešenja ima jednačina $3x^4-10x^2+2=0?$ Ovde je $P=\frac23\gt 0,$ $S=\frac{10}{3}\gt 0$ i $D=100-24=76\gt 0.$ Oba rešenja $u$ su pozitivna, pa jednačina ima četiri realna rešenja. Jednačina $2x^4+3x^2-7=0$ ima $P=-\frac72\lt 0,$ pa ima tačno dva realna rešenja.

Grafik funkcije y = ax⁴ + bx² + c

Funkcija $f(x)=ax^4+bx^2+c$ je parna: $f(-x)=f(x)$ za svako $x.$ Njen grafik je simetričan u odnosu na $y$-osu i seče $y$-osu u tački $(0,\ c).$ Realna rešenja jednačine $ax^4+bx^2+c=0$ su apscise zajedničkih tačaka grafika i $x$-ose.

Za jednačinu $x^4-5x^2+4=0$ iz primera 1 grafik seče $x$-osu u tačkama $-2,$ $-1,$ $1$ i $2.$ Kada je $a\gt 0$ i $b\lt 0,$ grafik ima oblik slova W: lokalni maksimum u tački $(0,\ c)$ i dve najniže tačke za $x=\pm\sqrt{-\frac{b}{2a}},$ gde je $y=c-\frac{b^2}{4a}.$ One potiču od temena $u=-\frac{b}{2a}$ parabole $y=au^2+bu+c,$ jer je $u=x^2.$ Ovde su najniže tačke za $x=\pm\sqrt{2{,}5}\approx\pm 1{,}58,$ gde je $y=-2{,}25.$ Kada je $a\gt 0$ i $b\ge 0,$ grafik liči na slovo U, a najniža tačka mu je $(0,\ c).$ Kada je $a\lt 0,$ sve je okrenuto naopako: oblik slova M ako je $b\gt 0$ i obrnuto slovo U ako je $b\le 0.$

Ovako izgledaju različiti slučajevi:

Rastavljanje trinoma ax⁴ + bx² + c na činioce

Ako su $u_1$ i $u_2$ rešenja jednačine $au^2+bu+c=0,$ onda je ${au^2+bu+c}={a(u-u_1)(u-u_2).}$ Stavimo $u=x^2\text{:}$

Svaki činilac $x^2-u$ sa $u\gt 0$ je razlika kvadrata: ${x^2-u}={(x-\sqrt{u})(x+\sqrt{u}).}$

Primer 1. ${x^4-5x^2+4}={(x^2-1)(x^2-4)}={(x-1)(x+1)(x-2)(x+2).}$

Primer 2. ${4x^4-37x^2+9}={4\left(x^2-\frac14\right)(x^2-9)}={(4x^2-1)(x^2-9)}={(2x-1)(2x+1)(x-3)(x+3).}$

Primer 3. ${x^4-x^2-6}={(x^2-3)(x^2+2)}={(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x^2+2).}$ Činilac $x^2+2$ ne može dalje da se rastavi, jer je uvek pozitivan.

Može i obrnuto. Bikvadratna jednačina sa rešenjima $\pm 2$ i $\pm 3$ je $(x^2-4)(x^2-9)=0,$ tj. $x^4-13x^2+36=0.$

Kada jednačina po $u$ nema realnih rešenja, polinom ipak može da se rastavi na dva kvadratna činioca sa realnim (ponekad iracionalnim) koeficijentima, dopunom do potpunog kvadrata:

${x^4+x^2+1}={(x^4+2x^2+1)-x^2}={(x^2+1)^2-x^2}={(x^2-x+1)(x^2+x+1)}$

${x^4+4}={(x^4+4x^2+4)-4x^2}={(x^2+2)^2-(2x)^2}={(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$

${x^4+1}={(x^4+2x^2+1)-2x^2}={(x^2+1)^2-2x^2}={(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)}$

Druge jednačine koje se rešavaju smenom

Primer 1. Rešite jednačinu $(x^2-1)(x^2+2)=4.$

Oslobodimo se zagrada i sve članove prebacimo na levu stranu: $x^4+2x^2-x^2-2=4,$ tj. $x^4+x^2-6=0.$ Smenom $u=x^2$ dobijamo $u^2+u-6=0,$ pa je $u_1=2$ i $u_2=-3.$ Rešenje $-3$ odbacujemo.

Odgovor: $x=\pm\sqrt{2}.$

Primer 2. Rešite jednačinu $x^2+\frac{36}{x^2}=13.$

Ovde je $x\ne 0.$ Pomnožimo obe strane sa $x^2\text{:}$ $x^4+36=13x^2,$ tj. $x^4-13x^2+36=0.$ Smenom $u=x^2$ dobijamo $u^2-13u+36=0,$ pa je $u_1=4$ i $u_2=9.$ Nijedna od četiri vrednosti $x$ nije jednaka 0, pa su sve one rešenja.

Odgovor: $x=\pm 2,$ $x=\pm 3.$

Primer 3. Rešite jednačinu $x^6-9x^3+8=0.$

Na isti način rešava se svaka jednačina oblika $ax^{2n}+bx^n+c=0$ (trinomna jednačina): uvodimo smenu $u=x^n.$ Ovde je $u=x^3\text{:}$

$u^2-9u+8=0,$   $u_1=1,$   $u_2=8$

Dakle, $x^3=1$ ili $x^3=8,$ tj. $x=1$ ili $x=2.$ Odgovor: $x=1,$ $x=2.$

Kub broja može biti negativan, pa se kod smene $u=x^3$ negativno $u$ ne odbacuje. Na primer, $x^6+7x^3-8=0$ daje $u=1$ ili $u=-8,$ a $x^3=-8$ ima rešenje $x=-2.$ Negativna rešenja odbacujemo samo kod smene $u=x^2$ (i kod drugih parnih stepena).

Primer 4. Rešite jednačinu ${(x^2+x)^2}-{8(x^2+x)+12}={0.}$

Uvedimo smenu $u=x^2+x\text{:}$ $u^2-8u+12=0,$ pa je $u_1=2$ i $u_2=6.$ Sada rešavamo dve kvadratne jednačine:

• $x^2+x=2,$ tj. $x^2+x-2=0\text{:}$ $x=1$ ili $x=-2;$
• $x^2+x=6,$ tj. $x^2+x-6=0\text{:}$ $x=2$ ili $x=-3.$

Odgovor: $x=-3,$ $x=-2,$ $x=1,$ $x=2.$ Ova jednačina nije bikvadratna (kada se oslobodimo zagrada, pojavljuje se i član sa $x^3$), ali se smenom rešava na isti način.

Tekstualni zadaci

Zadatak 1. Dijagonala pravougaonika je 13 cm, a njegova površina je 60 cm². Odredite njegove stranice.

Rešenje. Neka su stranice $x$ cm i $y$ cm. Prema Pitagorinoj teoremi je $x^2+y^2=169,$ a iz površine dobijamo $xy=60,$ pa je $y=\frac{60}{x}.$ Tada je

$x^2+\frac{3600}{x^2}=169,$   $x^4-169x^2+3600=0$

Smenom $u=x^2$ dobijamo $u^2-169u+3600=0,$ ${D}={28561-14400}={14161}={119^2}$ i $u_{1,2}=\frac{169\pm 119}{2},$ tj. $u_1=25$ i $u_2=144.$ Dužina stranice je pozitivna, pa je $x=5$ ili $x=12,$ a tada je $y=12$ ili $y=5.$ Stranice su 5 cm i 12 cm. Provera: $5^2+12^2=169$ i $5\cdot 12=60.$

Zadatak 2. Četvrti stepen nekog broja je za 12 veći od njegovog kvadrata. Odredite sve takve brojeve.

Rešenje. $x^4=x^2+12,$ tj. $x^4-x^2-12=0.$ Smenom $u=x^2$ dobijamo $u^2-u-12=0,$ pa je $u_1=4$ i $u_2=-3.$ Rešenje $-3$ odbacujemo, a $x^2=4$ daje dva broja. Provera: $2^4=16=4+12,$ a $-2$ daje iste brojeve. Odgovor: $x=2$ i $x=-2.$

Bikvadratne jednačine sa parametrom

Zadatak 1. Koliko realnih rešenja ima jednačina $x^4-4x^2+m=0$ u zavisnosti od $m?$

Rešenje. Smenom $u=x^2$ dobijamo $u^2-4u+m=0,$ gde je $D=16-4m,$ $S=4\gt 0$ i $P=m.$

• $m\lt 0\text{:}$ $P\lt 0,$ rešenja $u$ su suprotnih znakova, pa jednačina ima 2 rešenja.
• $m=0\text{:}$ $u=0$ ili $u=4,$ pa jednačina ima 3 rešenja: $0$ i $\pm 2.$
• $0\lt m\lt 4\text{:}$ $D\gt 0,$ $P\gt 0$ i $S\gt 0,$ oba rešenja $u$ su pozitivna, pa jednačina ima 4 rešenja.
• $m=4\text{:}$ $D=0$ i $u=2,$ pa jednačina ima 2 rešenja: $\pm\sqrt{2}.$
• $m\gt 4\text{:}$ $D\lt 0,$ pa jednačina nema realnih rešenja.

Isto se vidi i na grafiku. Zapišimo jednačinu u obliku $x^4-4x^2=-m.$ Njena rešenja su apscise tačaka u kojima horizontalna prava $y=-m$ seče grafik funkcije $y=x^4-4x^2.$ Ovaj grafik ima lokalni maksimum 0 za $x=0,$ a najmanju vrednost $-4$ dostiže za $x=\pm\sqrt{2}.$ Zato prava seče grafik u četiri tačke tačno onda kada je $-4\lt -m\lt 0,$ tj. kada je $0\lt m\lt 4.$

Zadatak 2. Rešite jednačinu $x^4-(k+1)x^2+k=0$ za svaku vrednost parametra $k.$

Rešenje. Smenom $u=x^2$ dobijamo $u^2-(k+1)u+k=0.$ Zbir koeficijenata je $1-(k+1)+k=0,$ pa je jedno rešenje $u_1=1,$ a prema Vijetovim formulama drugo je $u_2=k.$ Drugim rečima, ${u^2-(k+1)u+k}={(u-1)(u-k).}$ Rešenje $u_1=1$ uvek daje $x=\pm 1.$ Rešenje $u_2=k$ tome dodaje:

• za $k\gt 0,$ $k\ne 1\text{:}$ još dva rešenja $x=\pm\sqrt{k},$ ukupno 4 rešenja;
• za $k=1\text{:}$ ništa novo ($u_2=u_1$), 2 rešenja;
• za $k=0\text{:}$ rešenje $x=0,$ ukupno 3 rešenja;
• za $k\lt 0\text{:}$ ništa, 2 rešenja.

Odgovor: za $k\gt 0,$ $k\ne 1\text{:}$ $x=\pm 1,$ $x=\pm\sqrt{k};$ za $k=0\text{:}$ $x=0,$ $x=\pm 1;$ za $k=1$ i za $k\lt 0\text{:}$ $x=\pm 1.$

Zadaci za vežbanje

Pokušajte sami, a zatim otvorite rešenje.

1. Rešite jednačinu $x^4-10x^2+9=0.$

$u^2-10u+9=0,$ $u_1=1,$ $u_2=9.$ Odgovor: $x=\pm 1,$ $x=\pm 3.$

2. Rešite jednačinu $x^4-17x^2+16=0.$

$u^2-17u+16=0,$ $u_1=1,$ $u_2=16.$ Odgovor: $x=\pm 1,$ $x=\pm 4.$

3. Rešite jednačinu $x^4-2x^2-8=0.$

$u^2-2u-8=0,$ $u_1=4,$ $u_2=-2.$ Negativno rešenje odbacujemo. Odgovor: $x=\pm 2.$

4. Rešite jednačinu $x^4-9x^2=0.$

$x^2(x^2-9)=0.$ Odgovor: $x=0,$ $x=\pm 3.$

5. Rešite jednačinu $x^4+3x^2+2=0.$

Svi koeficijenti su pozitivni, pa je leva strana uvek najmanje 2. (Osim toga, jednačina $u^2+3u+2=0$ ima rešenja $-1$ i $-2,$ oba negativna.) Odgovor: nema realnih rešenja.

6. Rešite jednačinu $x^4-16=0.$

$x^4=16,$ pa je $x^2=4$ (vrednost $x^2=-4$ je nemoguća). Odgovor: $x=\pm 2.$

7. Rešite jednačinu $9x^4-10x^2+1=0.$

$9u^2-10u+1=0,$ $D=100-36=64,$ $u_{1,2}=\frac{10\pm 8}{18},$ $u_1=\frac19,$ $u_2=1.$ Odgovor: $x=\pm\frac13,$ $x=\pm 1.$

8. Rešite jednačinu $x^4-18x^2+81=0.$

${x^4-18x^2+81}={(x^2-9)^2,}$ pa je $x^2=9.$ Odgovor: $x=\pm 3$ (oba rešenja su dvostruka).

9. Rešite jednačinu $x^4-4x^2+1=0.$

$u^2-4u+1=0,$ $u_{1,2}=2\pm\sqrt{3},$ oba su pozitivna, jer je $\sqrt{3}\lt 2.$ Odgovor: $x=\pm\sqrt{2+\sqrt{3}},$ $x=\pm\sqrt{2-\sqrt{3}}.$ U jednostavnijem obliku: $\sqrt{2\pm\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}.$

10. Rešite jednačinu $(x^2-2)(x^2+3)=14.$

$x^4+x^2-6=14,$ tj. $x^4+x^2-20=0.$ Tada je $u^2+u-20=0,$ $u_1=4,$ $u_2=-5.$ Odgovor: $x=\pm 2.$

11. Rešite jednačinu $x^2-\frac{4}{x^2}=3.$

$x\ne 0.$ Pomnožimo sa $x^2\text{:}$ $x^4-3x^2-4=0,$ $u_1=4,$ $u_2=-1.$ Odgovor: $x=\pm 2.$

12. Bez rešavanja odredite koliko realnih rešenja ima svaka od jednačina: a) $5x^4-3x^2-2=0;$ b) $2x^4-9x^2+4=0;$ v) $x^4+6x^2+8=0.$

a) $P=-\frac25\lt 0\text{:}$ 2 rešenja. b) $D=81-32=49\gt 0,$ $P=2\gt 0,$ $S=\frac92\gt 0\text{:}$ 4 rešenja. v) svi koeficijenti su pozitivni: nema realnih rešenja.

13. Napišite bikvadratnu jednačinu čija su rešenja $\pm 1$ i $\pm\sqrt{5}.$

$(x^2-1)(x^2-5)=0,$ tj. $x^4-6x^2+5=0.$

14. Za koje $m$ jednačina $x^4-6x^2+m=0$ ima tačno tri realna rešenja? A tačno četiri?

Tri rešenja: $m=0$ (rešenja su $0$ i $\pm\sqrt{6}$). Četiri rešenja: $D=36-4m\gt 0$ i $P=m\gt 0$ (ovde je $S=6\gt 0$), tj. $0\lt m\lt 9.$

15. Dijagonala pravougaonika je 10 cm, a njegova površina je 48 cm². Odredite njegove stranice.

Neka su stranice $x$ cm i $\frac{48}{x}$ cm. Tada je $x^2+\frac{2304}{x^2}=100,$ tj. $x^4-100x^2+2304=0,$ $u_{1,2}=\frac{100\pm 28}{2},$ $u_1=36,$ $u_2=64.$ Stranice su 6 cm i 8 cm.

16. Rešite jednačinu $x^6-7x^3-8=0.$

$u=x^3\text{:}$ $u^2-7u-8=0,$ $u_1=8,$ $u_2=-1.$ Ovde je negativno $u$ dozvoljeno. Odgovor: $x=2,$ $x=-1.$

Pogledajte i: Kvadratne jednačine · Grafik kvadratne funkcije