Bikvadratne jednačine

Bikvadratna jednačina je polinomna jednačina četvrtog stepena koja sadrži samo parne stepene promenljive.

Definicija

Opšti oblik je:

$ax^4 + bx^2 + c = 0$

gde:
$(a \neq 0)$ $a, b, c$ su realni brojevi

Nema članova $x^3$ ni $x$. Pošto se javljaju samo parni stepeni, jednačina se može svesti na kvadratnu jednačinu.

Glavna ideja: smena

Neka je:

$u = x^2$

Tada jednačina postaje:

$au^2 + bu + c = 0$

Ovo je standardna kvadratna jednačina.

Nakon njenog rešavanja, vraćamo se na:
$x^2 = u$

Pošto radimo u skupu realnih brojeva, moramo se setiti:
$x^2 \ge 0$
Negativne vrednosti $u$ ne daju realna rešenja.

Opšti postupak rešavanja

Korak 1: Uvedi smenu $u = x^2$

Korak 2: Reši kvadratnu jednačinu po $u$

Korak 3: Zadrži samo rešenja za koja je $u \ge 0$

Korak 4: Reši
$x = \pm \sqrt{u}$

Primer 1 — Četiri realna rešenja

Reši:
$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Smena: $u^2 - 5u + 4 = 0$

Rastavi na činioce:
$(u - 4)(u - 1) = 0$
$u = 4 \quad \text{ili} \quad u = 1$

Obe vrednosti su nenegativne.

Vrati smenu:
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

Rešenja:
$x = -2, -1, 1, 2$

Primer 2 — Dva realna rešenja (jedna pozitivna, jedna negativna vrednost $u$)

Reši:
$x^4 - x^2 - 6 = 0$

Smena: $u^2 - u - 6 = 0$

Rastavi na činioce: $ (u - 3)(u + 2) = 0$

$u = 3 \quad \text{ili} \quad u = -2$

Pošto je $x^2 \ge 0$, odbacujemo $u = -2$.

Rešavamo dozvoljeni slučaj: $x^2 = 3$
$x = \pm \sqrt{3}$

Rešenja: $x = -\sqrt{3}, \quad \sqrt{3}$

Primer 3 — Tri realna rešenja (jedan višestruki koren)

Reši: $x^4 - 4x^2 = 0$

Rastavi na činioce: $x^2(x^2 - 4) = 0$
$x^2 = 0 \quad \text{ili} \quad x^2 = 4$

Reši:
$x = 0$
$x = \pm 2$

Rešenja:
$x = -2, 0, 2$

Ovde je $x = 0$ višestruki koren.
Svi koreni su: $-2, 0, 0, 2$

Primer 4 — Nema realnih rešenja

Reši: $x^4 + 4x^2 + 5 = 0$

Smena: $u^2 + 4u + 5 = 0$

Diskriminanta: $\Delta = 16 - 20 = -4$

Pošto kvadratna jednačina nema realnih rešenja, ni polazna jednačina nema realnih rešenja.

Upotreba formule za kvadratnu jednačinu

Kada se kvadratna jednačina po $u$ ne može rastaviti na činioce sa celim brojevima, koristimo formulu za rešenja:

$u = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Primer 5 — Iracionalna rešenja

Reši:
$x^4 - 6x^2 + 4 = 0$

Smena: $u^2 - 6u + 4 = 0$

Ovo se ne može rastaviti na činioce sa celim brojevima, pa primenjujemo formulu:
$u = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$

Obe vrednosti su pozitivne, jer $\sqrt{5} \approx 2.24$ daje $u \approx 5.24$ i $u \approx 0.76$.

Vrati smenu:
$x = \pm\sqrt{3 + \sqrt{5}} \quad \text{i} \quad x = \pm\sqrt{3 - \sqrt{5}}$

Rešenja: četiri realna rešenja (sva iracionalna).

Pregled svih mogućih slučajeva

Neka kvadratna jednačina po $u$ ima rešenja $u_1$ i $u_2$.

Grafička interpretacija

Funkcija $f(x) = ax^4 + bx^2 + c$

je simetrična u odnosu na y-osu jer:
$f(x) = f(-x)$

Realna rešenja odgovaraju tačkama u kojima grafik seče x-osu.

Zadaci za vežbanje

Reši svaku bikvadratnu jednačinu. Pokušaj sam, a zatim proveri odgovore ispod.

1.   $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$
2.   $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
3.   $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$
4.   $x^4 - 9x^2 = 0$
5.   $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$

Odgovori

1.   $x = -3, -1, 1, 3$
2.   $x = -3, -2, 2, 3$
3.   $x = -2, 2$
4.   $x = -3, 0, 3$
5.   nema realnih rešenja