Stepen i stepenovanje

Kada se broj više puta množi samim sobom, proizvod se može zapisati kraće. Umesto ${2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}$ pišemo $2^5$ i čitamo „2 na peti stepen“. Broj koji se množi, ovde $2,$ naziva se osnova. Mali broj napisan gore desno, ovde $5,$ naziva se izložilac (eksponent): on pokazuje koliko ima jednakih činilaca. Ceo izraz $2^5$ naziva se stepen, a njegova vrednost je ${2^5=32}.$

Stepeni znatno skraćuju pisanje: proizvod 45 činilaca od kojih je svaki jednak $a$ zapisuje se jednostavno kao $a^{45}.$ Izračunavanje vrednosti stepena naziva se stepenovanje.

Na ovoj stranici: Definicija · Negativne osnove · Pravila stepenovanja · Nulti izložilac · Negativni izložioci · Razlomljeni izložioci · Uprošćavanje · Eksponencijalna funkcija · Upoređivanje stepena · Jednačine · Zadaci

Definicija stepena

Izložioci $2$ i $3$ imaju posebne nazive: $a^2$ se čita „$a$ na kvadrat“, dok se $a^3$ čita „$a$ na kub“. Nazivi potiču iz geometrije. Kvadrat stranice $a$ ima površinu $a^2,$ a kocka ivice $a$ (na latinskom cubus, otuda „kub“) ima zapreminu $a^3.$

Primer 1. Izračunajte stepene.

• ${5^3=5\cdot5\cdot5=125};$
• ${3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81};$
• ${16^1=16};$
• ${10^3}={10\cdot10\cdot10}={1000\text{:}}$ uopšte, $10^n$ se zapisuje cifrom $1$ iza koje sledi $n$ nula;
• ${\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}};$
• ${0{,}5^2=0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25};$
• ${1^{100}=1}$ i ${0^7=0}\text{:}$ svaki stepen broja $1$ jednak je $1,$ a svaki stepen broja $0$ sa prirodnim izložiocem jednak je $0.$

Stepeni i redosled računskih operacija

Izložilac se odnosi samo na broj ili slovo napisano neposredno ispred njega. Kada se odnosi na ceo izraz, taj izraz se stavlja u zagrade. Stepeni se računaju posle operacija u zagradama, ali pre množenja, deljenja, sabiranja i oduzimanja.

Primer 2.

• ${2\cdot3^2=2\cdot9=18},$ ali ${(2\cdot3)^2=6^2=36};$
• ${5+2^3=5+8=13},$ ali ${(5+2)^3=7^3=343};$
• $3x^2$ znači ${3\cdot x\cdot x}\text{:}$ kvadrira se samo $x,$ dok je ${(3x)^2=3x\cdot3x=9x^2}.$

Stepeni negativnih brojeva

Proizvod negativnih brojeva je pozitivan kada je broj činilaca paran, a negativan kada je neparan. Zato:

Primer 3.

• ${(-2)^2}={(-2)\cdot(-2)}={4;}$
• ${(-2)^3}={(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)}={-8;}$
• ${(-2)^4=16}$ i ${(-2)^5=-32};$
• ${(-1)^{100}=1}$ i ${(-1)^{101}=-1}.$

Uopšte, ${(-a)^n=a^n}$ kada je $n$ paran broj, a ${(-a)^n=-a^n}$ kada je $n$ neparan broj. Paran stepen nekog broja nikada nije negativan: na primer, ${a^2\ge0}$ za svako $a.$

Pazite na zagrade: ${(-3)^2}={(-3)\cdot(-3)}={9,}$ ali ${-3^2=-(3\cdot3)=-9}.$ U izrazu $-3^2$ izložilac se odnosi samo na $3,$ a znak minus se primenjuje posle stepenovanja.

Pravila stepenovanja

Pet pravila znatno olakšava računanje sa stepenima. Svako od njih sledi iz prebrojavanja činilaca. Ovde ih dokazujemo za prirodne izložioce, a kasnije ćemo ih u ovoj lekciji proširiti na nulti, negativne i razlomljene izložioce.

Množenje stepena jednakih osnova

${2^3\cdot2^4}={(2\cdot2\cdot2)}\cdot {(2\cdot2\cdot2\cdot2)}={2^7\text{:}}$ prvi stepen ima $3$ činioca jednaka $2,$ drugi ima $4,$ pa zajedno ima ${3+4=7}$ činilaca. Na isti način, $a^m$ ima $m$ činilaca jednakih $a,$ a $a^n$ ima $n$ takvih činilaca, pa njihov proizvod ima ${m+n}$ činilaca.

Primer 4. ${2^6\cdot2^3=2^{6+3}=2^9=512};$ ${x^5\cdot x=x^{5+1}=x^6};$ ${a^2\cdot a^3\cdot a^4=a^{2+3+4}=a^9}.$

Deljenje stepena jednakih osnova

Kada $5^6$ delimo sa $5^4,$ četiri činioca $5$ u brojiocu skraćuju se sa četiri činioca u imeniocu:

${\frac{5^6}{5^4}}={\frac{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5\cdot5\cdot5}}={5\cdot5}={5^2}$

Ostala su dva činioca, a ${2=6-4}.$ Uopšte, ako je ${a\ne0}$ i ${m\gt n},$ posle skraćivanja $n$ činilaca ostaje ${m-n}$ činilaca.

Primer 5. ${\frac{15^{10}}{15^8}}={15^{10-8}}={15^2}={225;}$ ${\frac{7^{12}}{7^{11}}=7^1=7};$ ${\frac{x^9}{x^4}=x^5}$ za ${x\ne0}.$

Osnova ne sme biti nula, jer se nulom ne može deliti. Šta se dešava kada je ${m=n}$ ili ${m\lt n},$ objašnjeno je u odeljcima Nulti izložilac i Negativni izložioci.

Stepenovanje stepena

${(3^2)^3}={3^2\cdot3^2\cdot3^2}={3^{2+2+2}}={3^6\text{:}}$ imamo $3$ grupe, a u svakoj po $2$ činioca jednaka $3,$ dakle ukupno ${2\cdot3=6}$ činilaca. Uopšte, $(a^m)^n$ ima $n$ grupa od po $m$ činilaca.

Primer 6. ${(5^3)^4=5^{3\cdot4}=5^{12}};$ ${(x^2)^5=x^{10}};$ ${\left((-2)^2\right)^3=(-2)^6=64}.$

Ne mešajte $(a^m)^n$ i ${a^m\cdot a^n}\text{:}$ ${(2^3)^2=2^6=64},$ ali ${2^3\cdot2^2=2^5=32}.$ „Kula“ od izložilaca je nešto drugo: ona se računa odozgo nadole, pa je ${2^{3^2}=2^9=512}.$

Stepen proizvoda

${(2\cdot5)^3}={(2\cdot5)}\cdot {(2\cdot5)\cdot(2\cdot5)}={(2\cdot2\cdot2)\cdot(5\cdot5\cdot5)}={2^3\cdot5^3\text{:}}$ promenili smo redosled činilaca i grupisali jednake. Obe strane su jednake $1000,$ jer je ${10^3=1000}$ i ${8\cdot125=1000}.$

Pravilo važi i zdesna nalevo: stepeni sa jednakim izložiocima množe se tako što se pomnože osnove, a izložilac se prepiše.

Primer 7.

• ${(2\cdot5)^2}={2^2\cdot5^2}={4\cdot25}={100;}$
• ${(3x)^4=3^4x^4=81x^4};$
• ${(-2a^3)^3}={(-2)^3(a^3)^3}={-8a^9;}$
• ${2^{12}\cdot3^{12}}={(2\cdot3)^{12}}={6^{12};}$
• ${4^5\cdot25^5}={(4\cdot25)^5}={100^5}={10^{10}.}$

Pravilo važi i za tri ili više činilaca, a zajedno sa prethodnim pravilom daje ${(a^nb^m)^p=a^{np}b^{mp}}.$ Na primer, ${(x^2y^3)^4=x^8y^{12}}.$

Stepen količnika

${\left(\frac{2}{3}\right)^3}={\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}}={\frac{2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3}}={\frac{2^3}{3^3}}={\frac{8}{27}\text{:}}$ razlomci se množe tako što se pomnože brojioci i pomnože imenioci.

Primer 8. ${\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}};$ ${\left(-\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}};$ ${\left(\frac{x}{3}\right)^3=\frac{x^3}{27}};$ ${\frac{15^4}{5^4}=\left(\frac{15}{5}\right)^4=3^4=81}.$

Evo svih pet pravila zajedno. Ona važe za sve brojeve $a$ i $b$ i prirodne brojeve $m$ i $n,$ uz ${a\ne0}$ i ${m\gt n}$ u pravilu za deljenje i ${b\ne0}$ u poslednjem pravilu.

Pravilo	Primer
${a^m\cdot a^n=a^{m+n}}$	${2^3\cdot2^4=2^7=128}$
${\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$	${\frac{5^6}{5^4}=5^2=25}$
${(a^m)^n=a^{mn}}$	${(3^2)^3=3^6=729}$
${(ab)^n=a^nb^n}$	${(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3=1000}$
${\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}}$	${\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}}$

Za zbir i razliku stepena takvih pravila nema. ${2^3+2^4=8+16=24},$ a to nije ${2^7=128}.$ Takođe, $(a+b)^2$ nije jednako ${a^2+b^2}\text{:}$ ${(1+2)^2=9},$ ali ${1^2+2^2=5}.$ Ni stepeni sa različitim osnovama i različitim izložiocima ne mogu se spojiti pomoću ovih pravila: ${2^3\cdot3^2=8\cdot9=72},$ a ne $6^5.$ Kada su osnove stepeni istog broja, stepeni se mogu spojiti, kao u primeru 15 u nastavku. Kvadrat zbira objašnjen je u lekciji Algebarski izrazi.

Nulti izložilac

Šta bi trebalo da znači $5^0?$ Proizvod bez ijednog činioca nema smisla, pa biramo ono značenje uz koje pravila stepenovanja i dalje važe. Po pravilu za deljenje stepena je ${\frac{5^3}{5^3}=5^{3-3}=5^0}.$ Ali broj različit od nule podeljen samim sobom daje $1.$ Zato definišemo:

Primer 9. ${76^0=1};$ ${(-5)^0=1};$ ${\left(\frac{2}{7}\right)^0=1};$ ${(x^2+1)^0=1},$ jer ${x^2+1}$ nikada nije nula. Ali je ${-5^0=-1},$ jer se izložilac odnosi samo na $5.$

U školskoj matematici izraz $0^0$ nije definisan: gornje rasuđivanje ne važi za osnovu $0,$ jer bismo $0^3$ delili sa $0^3,$ to jest delili bismo nulom.

Negativni izložioci

Posmatrajmo stepene broja $2.$ Svaki put kada se izložilac smanji za $1,$ vrednost se podeli sa $2\text{:}$

$n$	$3$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$	$-3$
$2^n$	$8$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

Ako nastavimo i posle $0,$ dobijamo ${2^{-1}=\frac{1}{2}},$ ${2^{-2}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}}$ i ${2^{-3}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}}.$ Pravila stepenovanja vode do istog značenja: ${a^{-n}\cdot a^n=a^{-n+n}=a^0=1},$ pa je $a^{-n}$ recipročna vrednost broja $a^n.$

Negativan izložilac ne čini broj negativnim: on znači da se $1$ deli stepenom. Na primer, ${2^{-3}=\frac{1}{8}},$ a ne $-8$ i ne $-6.$

Primer 10.

• ${20^{-1}=\frac{1}{20}};$
• ${2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}};$
• ${(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}};$
• ${10^{-3}=\frac{1}{1000}=0{,}001};$
• ${\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}}\text{:}$ razlomak sa negativnim izložiocem se obrne (brojilac i imenilac zamene mesta): ${\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n}$ za ${a\ne0}$ i ${b\ne0};$
• ${\frac{1}{x^{-3}}=\frac{1}{\frac{1}{x^3}}=x^3}$ za ${x\ne0}\text{:}$ činilac može da pređe iz imenioca u brojilac (ili obrnuto) ako mu izložilac promeni znak.

Sa nultim i negativnim izložiocima svih pet pravila stepenovanja važi za sve cele brojeve $m$ i $n,$ ako osnove nisu nula. Sada pravilo za deljenje važi za bilo koja dva izložioca: ${\frac{a^3}{a^5}=a^{3-5}=a^{-2}=\frac{1}{a^2}}.$ Skraćivanje daje isti rezultat, jer je ${\frac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}=\frac{1}{a\cdot a}}.$

Primer 11. Uprostite i zapišite rezultat bez negativnih izložilaca.

${x^5\cdot x^{-8}}={x^{5+(-8)}}={x^{-3}}={\frac{1}{x^3}}$

${(2^{-3})^{-2}}={2^{(-3)\cdot(-2)}}={2^6}={64}$

${\frac{a^{-2}b^3}{a^4b^{-1}}}={a^{-2-4}b^{3-(-1)}}={a^{-6}b^4}={\frac{b^4}{a^6}}$

$3x^{-2}=3\cdot\frac{1}{x^2}=\frac{3}{x^2}$ izložilac se odnosi samo na $x$

Stepeni broja $10$ sa negativnim izložiocima koriste se za zapisivanje malih brojeva: ${10^{-1}=0{,}1},$ ${10^{-2}=0{,}01},$ ${10^{-3}=0{,}001}.$ U broju $10^{-n}$ cifra $1$ stoji na $n$-tom mestu iza decimalnog zareza. Na primer, milimetar je $10^{-3}$ metra.

Razlomljeni izložioci

Izložilac može biti i razlomak. Ponovo biramo značenje uz koje pravila stepenovanja i dalje važe. Po pravilu za stepenovanje stepena je ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^2=9^{\frac{1}{2}\cdot2}=9^1=9}.$ Dakle, kvadrat broja $9^{\frac{1}{2}}$ mora biti $9.$ Tu osobinu imaju dva broja, $3$ i $-3;$ uzimamo pozitivan, da bi stepeni pozitivnog broja ostali pozitivni: ${9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3}.$ Na isti način je ${\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^3=8},$ pa je ${8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2}.$

Ovde je $\sqrt[n]{a},$ $n$-ti koren broja ${a\gt0},$ pozitivan broj čiji je $n$-ti stepen jednak $a\text{:}$ na primer, ${\sqrt[4]{16}=2},$ jer je ${2^4=16}.$ U stepenu $a^{\frac{m}{n}}$ imenilac $n$ je izložilac korena, a brojilac $m$ je izložilac stepena. Pri računanju je obično lakše prvo korenovati, jer brojevi ostaju mali.

Primer 12.

• ${16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4};$
• ${27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3};$
• ${14^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{14}}\text{:}$ ovaj koren nije ceo broj;
• ${8^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4};$
• ${16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8};$
• ${x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^3}}$ za ${x\gt0};$
• ${32^{-\frac{2}{5}}}={\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}}={\frac{1}{\left(\sqrt[5]{32}\right)^2}}={\frac{1}{4};}$
• ${0{,}25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5}.$

Stepeni sa razlomljenim izložiocem definisani su samo za pozitivnu osnovu (i za osnovu $0$ sa pozitivnim izložiocem: ${0^{\frac{m}{n}}=0}$). Kod negativne osnove pravila bi protivrečila jedna drugima. Na primer, ${\frac{1}{3}=\frac{2}{6}},$ ali ${\sqrt[3]{-8}=-2},$ dok je ${\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2}.$ Zato stepene sa razlomljenim izložiocem koristimo samo sa pozitivnim osnovama. Neke knjige i kalkulatori daju izrazu $(-8)^{\frac{1}{3}}$ vrednost $-2,$ ali tada pravila stepenovanja mogu da ne važe. Kubni koren broja $-8$ zapisuje se pomoću znaka korena: ${\sqrt[3]{-8}=-2}.$

Za pozitivne osnove pravila stepenovanja važe i za razlomljene izložioce i često su najkraći put za računanje sa korenima: ${\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{a}}={a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{3}}}={a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}}={a^{\frac{5}{6}}}={\sqrt[6]{a^5}}$ za ${a\gt0}.$ Više primera naći ćete u lekciji Koren.

Za ${a\gt0}$ stepen $a^x$ može se definisati za svaki realan izložilac $x,$ čak i za iracionalan. Brojevi $1{,}4,$ $1{,}41,$ $1{,}414,$ … sve su bliži broju ${\sqrt{2}=1{,}41421\ldots},$ a stepeni $2^{1{,}4},$ $2^{1{,}41},$ $2^{1{,}414},$ … sve su bliži jednom broju, i to broju $2^{\sqrt{2}}\text{:}$ ${2^{\sqrt{2}}\approx2{,}67}.$ Za pozitivne osnove pravila stepenovanja važe za sve realne izložioce. Kod negativne osnove mogu da ne važe: ${\left((-3)^2\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3},$ a ne $-3.$

Uprošćavanje izraza sa stepenima

Izraz uprošćavamo tako što pravila primenjujemo korak po korak: prvo se pomoću pravila za stepen proizvoda, stepen količnika i stepenovanje stepena oslobodimo zagrada, a zatim množimo ili delimo stepene jednakih osnova. Brojevi se množe na uobičajeni način.

Primer 13. Uprostite ${(2x^3y)^2\cdot3xy^4}.$

${(2x^3y)^2\cdot3xy^4}={4x^6y^2\cdot3xy^4}$ stepen proizvoda

$=12x^{6+1}y^{2+4}=12x^7y^6$ množimo brojeve i sabiramo izložioce

Primer 14. Uprostite $\frac{(a^2b^3)^4}{a^5b^{10}}$ za ${a\ne0}$ i ${b\ne0}.$

${\frac{(a^2b^3)^4}{a^5b^{10}}}={\frac{a^8b^{12}}{a^5b^{10}}}={a^{8-5}b^{12-10}}={a^3b^2}$

Primer 15. Izračunajte $\frac{4^5\cdot8^2}{16^3}$ bez kalkulatora.

Sve osnove su stepeni broja $2\text{:}$ ${4=2^2},$ ${8=2^3}$ i ${16=2^4}.$

${\frac{4^5\cdot8^2}{16^3}}={\frac{(2^2)^5\cdot(2^3)^2}{(2^4)^3}}={\frac{2^{10}\cdot2^6}{2^{12}}}={\frac{2^{16}}{2^{12}}}={2^4}={16}$

Primer 16. Izračunajte ${\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}+5^0-27^{\frac{2}{3}}}.$

${\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}+5^0-27^{\frac{2}{3}}}={3^2+1-\left(\sqrt[3]{27}\right)^2}={9+1-9}={1}$

Eksponencijalna funkcija

Ako osnova ${a\gt0}$ ostaje ista, a izložilac se menja, dobijamo eksponencijalnu funkciju ${y=a^x}.$ Za ${a=1}$ dobijamo konstantnu funkciju ${y=1},$ pa uzimamo ${a\ne1}.$ Evo vrednosti funkcija ${y=2^x}$ i ${y=\left(\frac{1}{2}\right)^x}$ za nekoliko vrednosti $x\text{:}$

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$\left(\frac{1}{2}\right)^x$	$8$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

Grafici pokazuju osobine svake eksponencijalne funkcije ${y=a^x}\text{:}$

• definisana je za svaki realan broj $x;$
• njene vrednosti su uvek pozitivne: grafik leži iznad $x$-ose, sa jedne strane joj se sve više približava, ali je nikada ne dodiruje;
• grafik prolazi kroz tačku ${(0;\ 1)},$ jer je ${a^0=1};$
• za ${a\gt1}$ funkcija je rastuća: što je $x$ veće, to je $a^x$ veće;
• za ${0\lt a\lt1}$ funkcija je opadajuća: što je $x$ veće, to je $a^x$ manje.

Ova dva grafika su simetrična u odnosu na $y$-osu, jer je ${\left(\frac{1}{2}\right)^x=2^{-x}}.$ Osnovu možete menjati u programu za crtanje grafika funkcija: pomerajte klizač $a$ i posmatrajte grafik. Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je logaritamska funkcija, objašnjena u lekciji Logaritam.

Primer 17. Kolonija bakterija se udvostručuje svakog sata. Ako sada ima $100$ bakterija, posle $t$ sati biće ih ${100\cdot2^t}\text{:}$ posle $1$ sata ${100\cdot2^1=200},$ posle $3$ sata ${100\cdot2^3=800},$ a posle $5$ sati ${100\cdot2^5=3200}.$ Kada se neka veličina u jednakim vremenskim razmacima množi istim brojem, govorimo o eksponencijalnom rastu; on ubrzo postaje veoma brz.

Upoređivanje stepena

Stepeni jednakih osnova

Pošto je eksponencijalna funkcija rastuća za ${a\gt1},$ a opadajuća za ${0\lt a\lt1},$ važi:

Primer 18. ${4^2\lt4^3},$ jer je ${4\gt1}$ i ${2\lt3};$ zaista, ${16\lt64}.$ Ali ${\left(\frac{1}{2}\right)^2\gt\left(\frac{1}{2}\right)^3},$ jer je ${\frac{1}{4}\gt\frac{1}{8}}\text{:}$ još jedno množenje sa $\frac{1}{2}$ smanjuje broj. Na isti način je ${3^{-5}\lt3^{-2}}$ i ${0{,}7^{10}\lt0{,}7^3}.$

Stepeni jednakih izložilaca

Primer 19. ${3^2\lt5^2},$ jer je ${9\lt25}.$ Ali ${3^{-2}\gt5^{-2}}\text{:}$ ${3^{-2}=\frac{1}{9}}$ i ${5^{-2}=\frac{1}{25}},$ a ${\frac{1}{9}\gt\frac{1}{25}},$ jer je od dva razlomka sa istim brojiocem veći onaj koji ima manji imenilac.

Osnove ovde moraju biti pozitivne: ${-3\lt2},$ ali je ${(-3)^2=9}$ veće od ${2^2=4}.$

Različite osnove i izložioci

Prvo zapišite oba stepena tako da imaju jednake osnove ili jednake izložioce.

Primer 20. Šta je veće, $27^5$ ili $9^7?$ Obe osnove su stepeni broja $3\text{:}$ ${27^5=(3^3)^5=3^{15}}$ i ${9^7=(3^2)^7=3^{14}}.$ Pošto je ${15\gt14},$ dobijamo ${27^5\gt9^7}.$

Primer 21. Šta je veće, $2^{30}$ ili $3^{20}?$ Izložioci imaju zajednički delilac $10\text{:}$ ${2^{30}=(2^3)^{10}=8^{10}}$ i ${3^{20}=(3^2)^{10}=9^{10}}.$ Pošto je ${8\lt9},$ dobijamo ${2^{30}\lt3^{20}}.$

Jednačine sa nepoznatom u izložiocu

Eksponencijalna funkcija je rastuća ili opadajuća, pa su dva stepena sa istom osnovom ${a\gt0},$ ${a\ne1},$ jednaka samo kada su im izložioci jednaki: iz ${a^x=a^y}$ sledi ${x=y}.$ Da biste rešili jednačinu kao što je ${2^x=32},$ zapišite obe strane kao stepene sa istom osnovom.

Primer 22. Rešite jednačine: a) ${2^x=32};$ b) ${3^{x-1}=\frac{1}{9}};$ v) ${4^x=8}.$

a) ${32=2^5},$ pa je ${2^x=2^5}$ i ${x=5}.$

b) ${\frac{1}{9}=3^{-2}},$ pa je ${3^{x-1}=3^{-2}}.$ Tada je ${x-1=-2}$ i ${x=-1}.$

v) ${4^x=(2^2)^x=2^{2x}}$ i ${8=2^3},$ pa je ${2x=3}$ i ${x=\frac{3}{2}}.$ Provera: ${4^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt{4}\right)^3=2^3=8}.$

Jednačina kao što je ${2^x=5}$ ne može se rešiti na ovaj način, jer $2$ i $5$ nisu stepeni istog celog broja. Pošto je ${2^2=4}$ i ${2^3=8},$ rešenje se nalazi između $2$ i $3\text{:}$ to je logaritam ${x=\log_2 5\approx2{,}32}.$

Zadaci za vežbu

1. Izračunajte: a) $3^4;$ b) $(-2)^5;$ v) $-2^4;$ g) $\left(\frac{2}{5}\right)^3;$ d) $0{,}1^3;$ đ) $(-1)^{25}.$

Odgovor

a) ${3^4=81}.$ b) ${(-2)^5=-32}.$ v) ${-2^4}={-(2\cdot2\cdot2\cdot2)}={-16.}$ g) ${\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{8}{125}}.$ d) ${0{,}1^3=0{,}001}.$ đ) ${(-1)^{25}=-1}.$

2. Zapišite kao jedan stepen: a) ${a^4\cdot a^7};$ b) $\frac{x^{12}}{x^5};$ v) $(y^3)^6;$ g) ${5^3\cdot5^{-5}};$ d) $(2^{-2})^{-3};$ đ) $\frac{3^{-4}}{3^2}.$

Odgovor

a) $a^{11}.$ b) $x^7.$ v) $y^{18}.$ g) ${5^{3+(-5)}=5^{-2}}.$ d) ${2^{(-2)\cdot(-3)}=2^6}.$ đ) ${3^{-4-2}=3^{-6}}.$

3. Izračunajte: a) $7^0;$ b) $4^{-2};$ v) $\left(\frac{3}{5}\right)^{-1};$ g) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{-3};$ d) $10^{-4}.$

Odgovor

a) ${7^0=1}.$ b) ${4^{-2}=\frac{1}{16}}.$ v) ${\left(\frac{3}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{3}}.$ g) ${\left(-\frac{1}{2}\right)^{-3}=(-2)^3=-8}.$ d) ${10^{-4}=0{,}0001}.$

4. Izračunajte: a) $25^{\frac{1}{2}};$ b) $64^{\frac{1}{3}};$ v) $81^{\frac{3}{4}};$ g) $8^{-\frac{2}{3}};$ d) $\left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{3}{2}}.$

Odgovor

a) ${\sqrt{25}=5}.$ b) ${\sqrt[3]{64}=4}.$ v) ${\left(\sqrt[4]{81}\right)^3=3^3=27}.$ g) ${\frac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^2}=\frac{1}{4}}.$ d) ${\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}}.$

5. Zapišite kao stepen sa razlomljenim izložiocem (${x\gt0}$): a) $\sqrt{x};$ b) $\sqrt[3]{x^2};$ v) $\frac{1}{\sqrt{x}};$ g) ${\sqrt{x}\cdot\sqrt[4]{x}}.$

Odgovor

a) $x^{\frac{1}{2}}.$ b) $x^{\frac{2}{3}}.$ v) ${\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=x^{-\frac{1}{2}}}.$ g) ${x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=x^{\frac{3}{4}}}.$

6. Uprostite (slova su različita od nule): a) $(3a^2b)^3;$ b) $\frac{12x^7y^3}{4x^2y^5};$ v) ${(-2x^3)^2\cdot5x};$ g) $\left(\frac{a^3}{2b}\right)^4.$

Odgovor

a) $27a^6b^3.$ b) ${3x^5y^{-2}=\frac{3x^5}{y^2}}.$ v) ${4x^6\cdot5x=20x^7}.$ g) $\frac{a^{12}}{16b^4}.$

7. Zapišite bez negativnih izložilaca (slova su različita od nule): a) $x^{-4};$ b) $5a^{-3};$ v) $\frac{2}{y^{-2}};$ g) $(2x)^{-3};$ d) $\frac{a^{-2}}{b^{-5}}.$

Odgovor

a) $\frac{1}{x^4}.$ b) $\frac{5}{a^3}.$ v) $2y^2.$ g) ${\frac{1}{(2x)^3}=\frac{1}{8x^3}}.$ d) $\frac{b^5}{a^2}.$

8. Izračunajte bez kalkulatora: a) $\frac{2^{10}\cdot2^{-3}}{2^5};$ b) $\frac{9^4\cdot3^5}{27^4};$ v) ${5^{12}\cdot0{,}2^{12}};$ g) $\frac{6^8}{2^8\cdot3^7}.$

Odgovor

a) ${2^{10-3-5}=2^2=4}.$

b) ${9^4=(3^2)^4=3^8}$ i ${27^4=(3^3)^4=3^{12}},$ pa je ${\frac{3^8\cdot3^5}{3^{12}}}={3^{8+5-12}}={3^1}={3.}$

v) ${(5\cdot0{,}2)^{12}=1^{12}=1}.$

g) ${\frac{2^8\cdot3^8}{2^8\cdot3^7}=3^1=3}.$

9. Izračunajte ${\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}-3^0+16^{\frac{3}{4}}}.$

Odgovor

${2^3-1+\left(\sqrt[4]{16}\right)^3}={8-1+8}={15.}$

10. Koji je broj veći? a) $\left(\frac{3}{4}\right)^5$ ili $\left(\frac{3}{4}\right)^7;$ b) $5^{-3}$ ili $4^{-3};$ v) $8^6$ ili $16^4;$ g) $2^{60}$ ili $5^{25}.$

Odgovor

a) Osnova je manja od $1,$ pa manji izložilac daje veći stepen: ${\left(\frac{3}{4}\right)^5\gt\left(\frac{3}{4}\right)^7}.$

b) ${5^{-3}=\frac{1}{125}}$ i ${4^{-3}=\frac{1}{64}},$ pa je ${4^{-3}\gt5^{-3}}.$

v) ${8^6=(2^3)^6=2^{18}}$ i ${16^4=(2^4)^4=2^{16}},$ pa je ${8^6\gt16^4}.$

g) ${2^{60}=(2^{12})^5=4096^5}$ i ${5^{25}=(5^5)^5=3125^5},$ pa je ${2^{60}\gt5^{25}}.$

11. Rešite jednačine: a) ${3^x=81};$ b) ${2^{x+3}=\frac{1}{4}};$ v) ${25^x=125};$ g) ${10^{2x-1}=1000}.$

Odgovor

a) ${3^x=3^4},$ pa je ${x=4}.$

b) ${2^{x+3}=2^{-2}},$ pa je ${x+3=-2}$ i ${x=-5}.$

v) ${5^{2x}=5^3},$ pa je ${2x=3}$ i ${x=\frac{3}{2}}.$

g) ${10^{2x-1}=10^3},$ pa je ${2x-1=3}$ i ${x=2}.$