Geometrijska progresija

Brojevi 3, 6, 12, 24, 48 čine niz u kome je svaki broj dva puta veći od prethodnog. Niz u kome se svaki član dobija kada se prethodni pomnoži jednim te istim brojem zove se geometrijska progresija ili geometrijski niz.

Zove se količnik zato što je količnik bilo koja dva susedna člana uvek isti: ${\frac{a_2}{a_1}}={\frac{a_3}{a_2}}={\frac{a_4}{a_3}}=\ldots={q}$. Aritmetička progresija nastaje dodavanjem istog broja, a geometrijska – množenjem.

Sadržaj: Primeri · Opšti član · Uloga količnika · Svojstva · Aritmetička i geometrijska · Zbir n članova · Beskonačni red · Kalkulator · Rešeni zadaci · Zadaci za vežbanje

Primeri

• $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ \ldots$ – prvi član $1$, količnik ${q=2}$.
• $81,\ 27,\ 9,\ 3,\ 1,\ \ldots$ – prvi član $81$, količnik ${q=\frac{1}{3}}$, jer je svaki član tri puta manji od prethodnog.
• $5,\ -5,\ 5,\ -5,\ \ldots$ – prvi član $5$, količnik ${q=-1}$.
• $1,\ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\ \ldots$ – količnik ${q=-2}$: znaci se smenjuju.
• $7,\ 7,\ 7,\ 7,\ \ldots$ – količnik ${q=1}$: svi članovi su jednaki.

Niz $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots$ nije geometrijska progresija: ${\frac{4}{2}}={2}$, ali ${\frac{6}{4}}={1{,}5}$. To je aritmetička progresija, jer je razlika susednih članova stalna (2).

Zašto članovi i količnik moraju biti različiti od nule? Ako je ${q=0}$, niz izgleda ovako: $4,\ 0,\ 0,\ 0,\ \ldots$, a količnik ${\frac{a_3}{a_2}}={\frac{0}{0}}$ nema smisla. Zato se niz $4,\ 0,\ 0,\ \ldots$ ne smatra geometrijskom progresijom.

Formula opšteg člana

Krenimo od $a_1$ i množimo sa $q$:

${a_2}={a_1q},\quad {a_3}={a_2q}={a_1q^2},\quad {a_4}={a_1q^3},\quad \ldots$

Da bismo stigli do $n$-tog člana, množimo sa $q$ ukupno $n-1$ puta. Tako dobijamo formulu opšteg člana:

Primer. Progresija $3,\ 6,\ 12,\ \ldots$ ima ${a_1}={3}$ i ${q}={2}$. Njen osmi član je ${a_8}={3\cdot 2^7}={3\cdot 128}={384}$.

Ako znamo neki član $a_k$, a ne prvi, možemo da krenemo od njega: ${a_n}={a_k\cdot q^{\,n-k}}$. Na primer, ${a_{10}}={a_7\cdot q^3}$.

Kako se nalazi količnik

Količnik je bilo koji član podeljen prethodnim:

${q}={\frac{a_{n+1}}{a_n}}$

Ako su data dva člana koja nisu susedna, koristimo ${a_n}={a_k\cdot q^{\,n-k}}$.

• ${a_3}={12}$ i ${a_6}={96}$: ${a_6}={a_3\cdot q^3}$, tj. ${12q^3}={96}$, ${q^3}={8}$ i ${q}={2}$.
• ${a_2}={6}$ i ${a_4}={54}$: ${6q^2}={54}$, ${q^2}={9}$. Ovde postoje dve mogućnosti: ${q}={3}$ (progresija $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$) ili ${q}={-3}$ (progresija $-2,\ 6,\ -18,\ 54,\ \ldots$).

Kako se progresija ponaša u zavisnosti od količnika

Ponašanje članova zavisi od količnika $q$ i od znaka prvog člana.

Količnik	Šta se dešava sa članovima	Primer
${q\gt 1}$	Za ${a_1\gt 0}$ progresija je rastuća i njeni članovi rastu neograničeno. Za ${a_1\lt 0}$ ona je opadajuća.	$1,\ 5,\ 25,\ 125,\ \ldots$ $-1,\ -2,\ -4,\ -8,\ \ldots$
${q}={1}$	Svi članovi su jednaki (konstantan niz).	$7,\ 7,\ 7,\ \ldots$
${0\lt q\lt 1}$	Za ${a_1\gt 0}$ progresija je opadajuća, za ${a_1\lt 0}$ – rastuća. U oba slučaja članovi teže ka $0$.	$16,\ 8,\ 4,\ 2,\ 1,\ \ldots$
${-1\lt q\lt 0}$	Znaci se smenjuju, a članovi teže ka $0$.	$4;\ -2;\ 1;\ -0{,}5;\ 0{,}25;\ \ldots$
${q}={-1}$	Članovi se smenjuju: $a_1,\ -a_1,\ a_1,\ \ldots$	$5,\ -5,\ 5,\ -5,\ \ldots$
${q\lt -1}$	Znaci se smenjuju, a apsolutne vrednosti članova rastu neograničeno. Članovi na parnim mestima idu ka jednoj beskonačnosti, a oni na neparnim – ka drugoj.	$1,\ -5,\ 25,\ -125,\ \ldots$

Ukratko: za ${|q|\lt 1}$ članovi teže nuli, a za ${|q|\gt 1}$ njihove apsolutne vrednosti rastu neograničeno. Kada je količnik negativan, znaci se uvek smenjuju.

Svojstva

Svojstvo geometrijske sredine

Svaki član osim prvog povezan je sa susedima ovako:

Zašto važi: ${a_{k-1}\cdot a_{k+1}}={\frac{a_k}{q}\cdot a_kq}={a_k^2}$.

Ako su članovi pozitivni, ${a_k}={\sqrt{a_{k-1}\cdot a_{k+1}}}$: svaki član je geometrijska sredina svojih suseda. Odatle i naziv „geometrijska” progresija. Na primer, u $4,\ 6,\ 9$ važi ${6}={\sqrt{4\cdot 9}}$.

Važi i obrnuto: ako su brojevi $a$, $b$, $c$ različiti od nule i ${b^2}={ac}$, onda su $a$, $b$, $c$ uzastopni članovi geometrijske progresije. Na primer, brojevi $2$, $x$, $18$ su uzastopni članovi geometrijske progresije kada je ${x^2}={36}$, tj. za ${x}={6}$ ili ${x}={-6}$.

Članovi jednako udaljeni od krajeva

Proizvod dva člana koji su jednako udaljeni od krajeva je uvek isti:

${a_1\cdot a_n}={a_2\cdot a_{n-1}}={a_3\cdot a_{n-2}}=\ldots={a_k\cdot a_{n-k+1}}$

Opštije: ako je ${m+n}={p+s}$, onda je ${a_m\cdot a_n}={a_p\cdot a_s}$, jer su oba proizvoda jednaka ${a_1^2\,q^{\,m+n-2}}$.

Primer. U geometrijskoj progresiji je ${a_2\cdot a_8}={36}$. Tada je ${a_4\cdot a_6}={36}$ (jer je ${4+6}={2+8}$) i ${a_5^2}={36}$, tj. ${a_5}={6}$ ili ${a_5}={-6}$.

Poređenje sa aritmetičkom progresijom

	Aritmetička progresija	Geometrijska progresija
Pravilo	${a_{n+1}}={a_n+d}$	${a_{n+1}}={a_n\cdot q}$
Opšti član	${a_n}={a_1+(n-1)d}$	${a_n}={a_1\cdot q^{n-1}}$
Srednji član	${a_k}={\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}}$ – aritmetička sredina	${a_k^2}={a_{k-1}\cdot a_{k+1}}$ – geometrijska sredina
Zbir $n$ članova	${S_n}={\frac{(a_1+a_n)\,n}{2}}$	${S_n}={a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}}$

Aritmetička progresija raste „linearno”, svaki put za isti korak, a geometrijska „eksponencijalno”, svaki put isti broj puta. Zato za ${q\gt 1}$ geometrijska progresija pre ili kasnije prestigne svaku aritmetičku.

Zbir prvih n članova

Označimo ${S_n}={a_1+a_2+\ldots+a_n}={a_1+a_1q+a_1q^2+\ldots+a_1q^{n-1}}$. Takav zbir zove se geometrijski red.

Kako se izvodi formula. Pomnožimo zbir sa $q$ i oduzmemo:

${qS_n}={a_1q+a_1q^2+\ldots+a_1q^{n-1}+a_1q^n}$

${qS_n-S_n}={a_1q^n-a_1}$

Svi srednji sabirci se skrate. Ostaje ${S_n(q-1)}={a_1(q^n-1)}$. Ako je ${q\ne 1}$, delimo sa ${q-1}$:

Dva razlomka su jednaka (brojilac i imenilac su pomnoženi sa $-1$). Prvi je zgodniji za ${q\gt 1}$, a drugi za ${q\lt 1}$. Pošto je ${a_1q^n}={a_n q}$, formula može da se zapiše i preko poslednjeg člana: ${S_n}={\frac{a_nq-a_1}{q-1}}$.

Primer 1. ${1+2+4+\ldots+2^9}={1\cdot\frac{2^{10}-1}{2-1}}={1023}$.

Primer 2. ${3-6+12-24+48-96}=\,?$ Ovde je ${a_1}={3}$, ${q}={-2}$, ${n}={6}$: ${S_6}={3\cdot\frac{(-2)^6-1}{-2-1}}={3\cdot\frac{63}{-3}}={-63}$.

Legenda o šahovskoj tabli. Pronalazač šaha tražio je kao nagradu 1 zrno pšenice za prvo polje, 2 za drugo, 4 za treće i tako dalje, svaki put duplo više, sve do 64. polja. Broj zrna je

${1+2+2^2+\ldots+2^{63}}={2^{64}-1}={18.446.744.073.709.551.615}.$

To je mnogo više od sve pšenice koja se u svetu proizvede za godinu dana.

Novac. Ako na početku svake godine uplatite 100.000 dinara na račun sa 4% godišnje složene kamate, na kraju pete godine imaćete

${100.000\cdot 1{,}04}+{100.000\cdot 1{,}04^2}+{\ldots+100.000\cdot 1{,}04^5}={104.000\cdot\frac{1{,}04^5-1}{0{,}04}}\approx{563.298}$ dinara.

Sabirci čine geometrijsku progresiju sa ${a_1}={104.000}$ i ${q}={1{,}04}$. Složenu kamatu možete izračunati kalkulatorom složene kamate. Pomoću istog zbira računa se i mesečna rata kredita: pogledajte odakle dolazi formula za ratu.

Beskonačni geometrijski red

Kada je ${|q|\lt 1}$, apsolutne vrednosti članova se smanjuju i teže nuli. Iako članova ima beskonačno mnogo, njihov zbir je konačan broj. Takva progresija se ponekad zove beskonačna opadajuća geometrijska progresija.

${\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots}={1}$: delovi popunjavaju ceo kvadrat.

Odakle dolazi formula. Znamo da je ${S_n}={a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}}$. Kada je ${|q|\lt 1}$ i $n$ raste, $q^n$ teži ka $0$. Zato $S_n$ teži ka ${\frac{a_1}{1-q}}$.

Primeri.

• ${1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots}={\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}={2}$.
• ${1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\ldots}={\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}}={\frac{2}{3}}$.
• Beskonačni periodični decimalni brojevi su zbirovi takvih redova: ${0{,}(3)}={\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\ldots}={\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}}={\frac{1}{3}}$.
• Na isti način ${0{,}(27)}={\frac{\frac{27}{100}}{1-\frac{1}{100}}}={\frac{27}{99}}={\frac{3}{11}}$, a ${0{,}(9)}={\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}}={1}$.

Formula ${S}={\frac{a_1}{1-q}}$ važi samo za ${|q|\lt 1}$. Zbir ${1+2+4+8+\ldots}$ nema konačnu vrednost, a formula bi dala ${\frac{1}{1-2}}={-1}$, što je besmisleno.

Kalkulator geometrijske progresije

Unesite prvi član, količnik i broj članova. Količnik može biti razlomak, na primer $1/2$, ili decimalni broj, na primer $0{,}5$. Kalkulator prikazuje članove, $n$-ti član, zbir prvih $n$ članova i, kada je ${|q|\lt 1}$, zbir beskonačnog reda.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Da li je niz $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots$ geometrijska progresija?

Rešenje. Nije. ${\frac{4}{2}}={2}$, ali ${\frac{6}{4}}={1{,}5}$: količnici susednih članova nisu jednaki. (To je aritmetička progresija sa razlikom 2.)

Zadatak 2. Brojevi $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$ čine geometrijsku progresiju. Nađite njen deseti član.

Rešenje. ${a_1}={2}$ i ${q}={2}$, pa je ${a_{10}}={a_1q^9}={2\cdot 2^9}={2\cdot 512}={1024}$.

Zadatak 3. Nađite prvi član i količnik geometrijske progresije ako je ${a_5-a_1}={15}$ i ${a_4-a_2}={6}$.

Rešenje. Izrazimo članove preko $a_1$ i $q$:

${a_1q^4-a_1}={15}\ \Rightarrow\ {a_1(q^2-1)(q^2+1)}={15}$

${a_1q^3-a_1q}={6}\ \Rightarrow\ {a_1q(q^2-1)}={6}$

Podelimo prvu jednakost drugom (${q^2-1}\ne{0}$, inače bi prva dala ${0}={15}$): ${\frac{q^2+1}{q}}={\frac{5}{2}}$, tj. ${2q^2-5q+2}={0}$, odakle je ${q}={2}$ ili ${q}={\frac{1}{2}}$.

• Za ${q}={2}$: ${a_1\cdot 2\cdot 3}={6}$, ${a_1}={1}$. Progresija je $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$
• Za ${q}={\frac{1}{2}}$: ${a_1\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)}={6}$, ${a_1}={-16}$. Progresija je $-16,\ -8,\ -4,\ -2,\ -1,\ \ldots$

Odgovor: ${a_1}={1}$, ${q}={2}$ ili ${a_1}={-16}$, ${q}={\frac{1}{2}}$. Provera za drugu: ${-1-(-16)}={15}$ i ${-2-(-8)}={6}$.

Zadatak 4. Za koje vrednosti $x$ su brojevi ${x-1}$, ${x+1}$ i ${2x+5}$ uzastopni članovi geometrijske progresije?

Rešenje. Po svojstvu geometrijske sredine ${(x+1)^2}={(x-1)(2x+5)}$, tj. ${x^2+2x+1}={2x^2+3x-5}$ i ${x^2+x-6}={0}$. Rešenja su ${x}={2}$ i ${x}={-3}$.

• ${x}={2}$: brojevi $1,\ 3,\ 9$, sa količnikom $3$.
• ${x}={-3}$: brojevi $-4,\ -2,\ -1$, sa količnikom $\frac{1}{2}$.

Ni u jednom slučaju nijedan broj nije nula, pa je odgovor ${x}={2}$ ili ${x}={-3}$.

Zadatak 5. Tri broja čine geometrijsku progresiju. Njihov zbir je 21, a proizvod 216. Nađite te brojeve.

Rešenje. Označimo brojeve sa $\frac{b}{q}$, $b$, $bq$. Njihov proizvod je ${b^3}={216}$, pa je ${b}={6}$. Tada je ${\frac{6}{q}+6q}={15}$, tj. ${2q^2-5q+2}={0}$, odakle je ${q}={2}$ ili ${q}={\frac{1}{2}}$. Odgovor: $3,\ 6,\ 12$ ili $12,\ 6,\ 3$.

Zadatak 6. Broj bakterija u koloniji se udvostručuje svakih 20 minuta. Na početku postoji 1 bakterija. Koliko će bakterija biti posle 3 sata?

Rešenje. Za 3 sata ima ${\frac{180}{20}}={9}$ udvostručavanja. Na početku je ${a_1}={1}$, posle prvog udvostručavanja $a_2$, a posle devetog $a_{10}$: ${a_{10}}={1\cdot 2^9}={512}$ bakterija.

Zadatak 7. Lopta pada sa visine od 8 m. Posle svakog udarca o tlo odskoči do $\frac{3}{4}$ prethodne visine. Koliki put pređe lopta dok se ne zaustavi?

Rešenje. Naniže lopta pređe ${8+6+4{,}5+\ldots}$, a naviše ${6+4{,}5+\ldots}$ Zbir ${6+4{,}5+\ldots}$ je beskonačni geometrijski red sa ${a_1}={6}$ i ${q}={\frac{3}{4}}$: ${\frac{6}{1-\frac{3}{4}}}={24}$. Ukupan put je ${8+2\cdot 24}={56}$ m.

Zadatak 8. Zapišite $0{,}(36)$ kao razlomak.

Rešenje. ${0{,}(36)}={\frac{36}{100}+\frac{36}{10.000}+\ldots}={\frac{\frac{36}{100}}{1-\frac{1}{100}}}={\frac{36}{99}}={\frac{4}{11}}$.

Zadaci za vežbanje

Pokušajte sami, pa otvorite rešenje.

1. ${a_1}={5}$, ${q}={3}$. Nađite $a_6$.

${a_6}={5\cdot 3^5}={5\cdot 243}={1215}$.

2. ${a_1}={64}$, ${q}={-\frac{1}{2}}$. Nađite $a_7$.

${a_7}={64\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^6}={64\cdot\frac{1}{64}}={1}$.

3. ${a_2}={6}$ i ${a_5}={162}$. Nađite $a_1$ i $q$.

${a_5}={a_2q^3}$, pa je ${q^3}={\frac{162}{6}}={27}$ i ${q}={3}$. Tada je ${a_1}={\frac{6}{3}}={2}$.

4. ${a_3}={4}$ i ${a_5}={36}$. Nađite $a_4$.

${q^2}={\frac{36}{4}}={9}$, pa je ${q}={3}$ ili ${q}={-3}$. Tada je ${a_4}={12}$ ili ${a_4}={-12}$. To se vidi i iz ${a_4^2}={a_3\cdot a_5}={144}$.

5. Izračunajte ${3+6+12+\ldots+768}$.

${a_1}={3}$, ${q}={2}$. Iz ${3\cdot 2^{n-1}}={768}$ sledi ${2^{n-1}}={256}$, tj. ${n}={9}$. ${S_9}={3\cdot\frac{2^9-1}{2-1}}={3\cdot 511}={1533}$.

6. ${a_1}={2}$, ${q}={3}$ i ${S_n}={242}$. Nađite $n$.

${2\cdot\frac{3^n-1}{3-1}}={242}$, tj. ${3^n-1}={242}$, ${3^n}={243}$ i ${n}={5}$.

7. Izračunajte ${9-3+1-\frac{1}{3}+\ldots}$

${a_1}={9}$, ${q}={-\frac{1}{3}}$ i ${|q|\lt 1}$. ${S}={\frac{9}{1+\frac{1}{3}}}={\frac{9}{\frac{4}{3}}}={\frac{27}{4}}$.

8. Beskonačni geometrijski red ima zbir 12 i prvi član 8. Nađite količnik i treći član.

${\frac{8}{1-q}}={12}$, tj. ${1-q}={\frac{2}{3}}$ i ${q}={\frac{1}{3}}$. ${a_3}={8\cdot\frac{1}{9}}={\frac{8}{9}}$.

9. Zapišite $0{,}1(6)$ kao razlomak.

${0{,}1(6)}={\frac{1}{10}+\frac{6}{100}+\frac{6}{1000}+\ldots}={\frac{1}{10}+\frac{\frac{6}{100}}{1-\frac{1}{10}}}={\frac{1}{10}+\frac{1}{15}}={\frac{1}{6}}$.

10. Grad ima 50.000 stanovnika i broj stanovnika raste 10% godišnje. Koliko će ih biti za 3 godine?

Svake godine broj stanovnika se množi sa $1{,}1$: ${50.000\cdot 1{,}1^3}={50.000\cdot 1{,}331}={66.550}$ stanovnika.

11. Geometrijska progresija ima pozitivne članove i ${a_3\cdot a_9}={144}$. Nađite $a_6$.

${3+9}={6+6}$, pa je ${a_6^2}={a_3\cdot a_9}={144}$. Članovi su pozitivni, pa je ${a_6}={12}$.

Pogledajte i: Aritmetička progresija