Geometrijska progresija

U matematici, geometrijska progresija je niz takvih brojeva da je količnik bilo koja dva uzastopna člana konstanta poznata kao odnos(količnik).

Geometrijski niz može biti zapisan kao:

aq0=a, aq1=aq, aq2, aq3...
gde je q ≠ 0, q odnos(količnik), dok je a prvi član niza.

Primeri

Geometrijska progresija sa količnikom 2 i prvim članom 1 je
1, 2, 4, 8, 16, 32...

Geometrijska progresija sa količnikom 4 i prvim članom 3 je:
4, 12, 36, 108, 324...

Geometrijska progresija sa količnikom -1 i prvim članom 5 je
5, -5, 5, -5, 5, -5...

Formule

Formule za n-ti član mogu biti definisane kao:

an = an-1⋅q
an = a1⋅qn-1

Odnos je:

q =
ak
ak-1

Ako je zajednički odnos:

  • Negativan, rezultat će alterirati između pozitivnog i negativnog.
    Primer:
    1, -2, 4, -8, 16, -32... - geometrijska progresija sa količnikom -2 i prvim članom 1.
  • Veći od 1, postojaće eksponencijalni rast prema beskonačnosti(pozitivno).
    Primer:
    1, 5, 25, 125, 625 ... - geometrijska progresija sa količnikom 5.
  • Manji od -1, postojaće eksponencijalni rast prema beskonačnosti (pozitivno i negativno).
    Primer:
    1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 390625, -1953125 ... - geometrijska progresija sa količnikom -5.
  • Između 1 i -1, postojaće eksponencijalno opadanje prema nuli.
    Primer:
    4; 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 ... - geometrijska progresija sa količnikom $\frac{1}{2}$
    4; -2; 1; -0,5; 0,25; -0,125; 0,0625 ... - geometrijska progresija sa količnikom $-\frac{1}{2}$.
  • Nula, rezultat će ostati nula.
    Primer:
    4, 0, 0, 0, 0 ... - geometrijska progresija sa količnikom 0 prvim članom 4.

Svojstva geometrijske progresije

a2k = ak-1⋅ak+1
a1⋅an = a2⋅an-1 =...= ak⋅an-k+1

Formula za sumu prvih n brojeva geometrijske serije

Sn = a1 - anq 1  -  q  = a1. 1 - qn 1 - q

Beskonačni geometrisjki redovi |q| < 1

Ako je |q| < 1 onda an -> 0, kada n -> ∞.
Suma S takvih beskonačnih geometrijskih nizova je data formulom:

S = a1
1
1 - q
što je tačno samo kada je |q| < 1.
a1 je prvi član.

Kalkulator geometrijske progresije

Prvi član
Međusobni odnos
Broj člana(n=?)

Geometrisjka progresija - zadaci

Zadatak 1
Da li je niz 2, 4, 6, 8... geometrijska progresija?
Rešenje: Ne, nije. (2, 4, 8 je geometrijska progresija)


Zadatak 2
Ako je 2, 4, 8... forma geometrijske progresije. Šta je 10-ti izraz?
Rešenje: Možemo koristiti formulu an = a1 ⋅ qn-1
a10 = 2 ⋅ 210-1 = 2 ⋅ 512 = 1024


Zadatak 3
Nađi prvi član i odnos geometrijske progresije ako je
a5 - a1 = 15
a4 - a2 = 6
Rešenje: postoje dve geometrijske progresije. Prva ima prvi član 1 i odnos 2
drugi mogućnost je -16, 1/2

Zadaci sa rešenjima

Zadaci u vezi sa geometrisjkom progresijom

Zadaci sa progresijom


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2019