Geometrijska progresija

U matematici, geometrijska progresija je niz takvih brojeva da je količnik bilo koja dva uzastopna člana konstanta poznata kao odnos(količnik).

Geometrijski niz može biti zapisan kao:

$aq^0=a,\ aq^1=aq,\ aq^2,\ aq^3,\ aq^4,...$
gde je $q \ne 0$, $q$ odnos(količnik), dok je $a$ prvi član niza.

Primeri

Geometrijska progresija sa količnikom 2 i prvim članom 1 je
1, 2, 4, 8, 16, 32...

Geometrijska progresija sa količnikom 4 i prvim članom 3 je:
4, 12, 36, 108, 324...

Geometrijska progresija sa količnikom -1 i prvim članom 5 je
5, -5, 5, -5, 5, -5...

Formule

Formule za n-ti član mogu biti definisane kao:

$a_n = a_{n-1} \cdot q$
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Odnos je:

$q = \frac{a_k}{a_{k-1}}$

Ako je zajednički odnos:

Negativan, rezultat će alterirati između pozitivnog i negativnog.
Primer:
1, -2, 4, -8, 16, -32... - geometrijska progresija sa količnikom -2 i prvim članom 1.
Veći od 1, postojaće eksponencijalni rast prema beskonačnosti(pozitivno).
Primer:
1, 5, 25, 125, 625 ... - geometrijska progresija sa količnikom 5.
Manji od -1, postojaće eksponencijalni rast prema beskonačnosti (pozitivno i negativno).
Primer:
1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 390625, -1953125 ... - geometrijska progresija sa količnikom -5.
Između 1 i -1, postojaće eksponencijalno opadanje prema nuli.
Primer:
4; 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 ... - geometrijska progresija sa količnikom $\frac{1}{2}$
4; -2; 1; -0,5; 0,25; -0,125; 0,0625 ... - geometrijska progresija sa količnikom $-\frac{1}{2}$.
Nula, rezultat će ostati nula.
Primer:
4, 0, 0, 0, 0 ... - geometrijska progresija sa količnikom 0 prvim članom 4.

Svojstva geometrijske progresije

$a^2_k = a_{k-1} \cdot a_{k+1}$
$a_1 \cdot a_n = a_{2} \cdot a_{n-1} = ... = a_k \cdot a_{n-k+1}$

Formula za sumu prvih n brojeva geometrijske serije

$a + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}= \frac{ a_1-a_n q}{1-q} = a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

ili
$a + aq + aq^2 + \cdots + aq^{n-1}= a\frac{1-q^n}{1-q}$

Beskonačni geometrisjki redovi |q| < 1

Ako je |q| < 1 onda a_n -> 0, kada n -> ∞.
Suma takvih beskonačnih geometrijskih nizova je data formulom:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \cdots = a_1\frac{1}{1-q}$

ili
$a + aq + aq^2 + aq^3 + \cdots = a\frac{1}{1-q}$

što je tačno samo kada je |q| < 1.

Kalkulator geometrijske progresije

Geometrisjka progresija - zadaci

Zadatak 1
Da li je niz 2, 4, 6, 8... geometrijska progresija?
Rešenje: Ne, nije. (2, 4, 8 je geometrijska progresija)

Zadatak 2
Ako je 2, 4, 8... forma geometrijske progresije. Šta je 10-ti izraz?
Rešenje: Možemo koristiti formulu a_n = a₁ ⋅ q^n-1
a₁₀ = 2 ⋅ 2^10-1 = 2 ⋅ 512 = 1024

Zadatak 3
Nađi prvi član i odnos geometrijske progresije ako je
a₅ - a₁ = 15
a₄ - a₂ = 6
Rešenje: postoje dve geometrijske progresije. Prva ima prvi član 1 i odnos 2
drugi mogućnost je -16, 1/2

Zadaci sa rešenjima

Zadaci u vezi sa geometrisjkom progresijom

Zadaci sa progresijom

Prvi član
Međusobni odnos
Broj člana(n=?)