Apsolutne vrednosti

U ovom predavanju ćemo raspravljati o:

Apsolutnim vrednostima
Nejednačinama sa apsolutnim vrednostima
Teoremi (√a²=|a|)
Teoremi o nejednakosti

Definicija

Apsolutna vrednost ili moduo realnog broja a označava se |a| i definisana je sa
Definicija apsolutne vrednosti

Primer
|5| = 5 jer je 5 > 0
$|-\frac{4}{7}| = -(-\frac{4}{7}) = \frac{4}{7}$ jer je $-\frac{4}{7} < 0$
|0| = 0 jer je 0 ≥ 0

Primedba
|a| je ne-negativan broj za sve vrednosti a i
-|a| ≤ a ≤ |a|
Ako je samo a negativno, onda je -a pozitivno a +a je negativno!!!

Primer
Reši |x-3| = 4
Rešenje

x-3 = 4
x = 7

ili

-(x-3) = 4
x-3 = -4
x= -1

Jednačina ima 2 rešenja: -1 i 7.

Primer
Reši |3x-2| = |5x+4|

3x - 2 = 5x + 4
3x - 5x = 4 + 2
-2x = 6
x = -3

ili

3x - 2 = -(5x + 4)
$x = -\frac{1}{4}$

Jednačina ima 2 rešenja: -3 i $-\frac{1}{4}$.

KVADRATNI KORENI I APSOLUTNE VREDNOSTI
b² = a
(3)² = 9
ili b = 3
ali!!!
(-3)² = 9 znači b = -3

Pozitivan kvadratni koren kvadrata nekog broja jednak je tom broju.

TEOREMA
Za bilo koji realan broj a
√a² = |a|
npr
√(-4)² = √16 = 4 = |-4|

TEOREMA
Ako su a i b realni brojevi onda,

|-a| = |a| broj a i njegov negativ imaju iste apsolutne vrednosti.
|ab| = |a||b| Apsolutna vrednost proizvoda jednaka je proizvodu apsolutnih vrednosti.
|a/b| = |a|/|b| Apsolutna vrednost količnika jednaka je količniku apsolutnih vrednosti.

Dokaz
Iz teoreme 1.2.2

(a) |-a| = √(-a)² = √a² = |a|

(b) |ab| = √(ab)² = √a²b² = √a²√b² = |a||b|

Primeri

(a) |-4| = |4|

(b) |2⋅(-3)| = |-6| = 6 = |2|⋅|3| = 6

(c) |5/4| = 5/4 = |5|/|4| = 5/4

Rezultat (b) iz gornje teoreme može se proširiti na tri ili više činioca.
Za n realnih brojeva
a₁, a₂, a₃,...a_n
(a) |a₁ a₂ ...a_n| = |a₁| |a₂| ...|a_n|
(b) |aⁿ| = |a|ⁿ

Geometrijska interpretacija apsolutne vrednosti

Gde su A i B tačke sa koordinatama a i b. Rastojanje između A i B je

Teorema (Formula udaljenosti)
Ako su A i B tačke na koordinatnoj pravi sa koordinatama a i b respektivno, onda je udaljenost d između A i B
d = |b - a|

TABELA 1.2.2 (a)
|x - a| < k (k>0)

Alternativna formula -k < x-a < k
Skup rešenja (a-k, a+k)

Primer
Nejednačina
|x-3| < 4
napisana u obliku
-4 < x-3 < 4
dodavanjem 3 svakoj strani dobija se
-1 < x < 7
skup rešenja (-1,7)

Na realnoj pravoj

Primer
Rešiti |x+4| ≥ 2

x+4 ≤ -2
x ≤ -6

x+4 ≥ 2
x ≥ -2

Spajajući ova dva skupa
(-∞ , -6] ∪ [-2 , +∞ )

Na realnoj pravoj

NEJEDNAKOST TROUGLA

Nije uvek tačno da je
|a + b| = |a| + |b|
npr
ako je a = 2 i b = -3, onda je a + b = -1 tako da je |a + b| = |-1| = 1
dok je
|a| + |b| = |2| + |-3| = 2 + 3 = 5 znači |a + b| &le |a| + |b|

TEOREMA - (Nejednakost trougla)
Ako su a b onda je |a+b| ≤ |a|+|b|
Dokaz
Pošto za bilo koje realane brojeve a i b, znamo da
-|a| ≤ a ≤ |a| and -|b| ≤ b ≤ |b|
-|a| ≤ a ≤ |a|
+
-|b| ≤ b ≤ |b|
______________
= -|a| + -|b| ≤ a+b ≤ |a|+|b|
______________________________________________
Sada imamo dva slučaja:

Slučaj 1 gde je a+b ≥ 0
svakako je a + b=|a + b|
i zbog toga
|a + b| ≤ |a| + |b|

I

Slučaj 2 gde je a+b < 0
|a + b| = -(a + b)
ili
(a + b) = -|a + b|

Upoređujući sa početnom nejednačinom
-(|a| + |b|) ≤ -|a + b|
Sledi rezultat