Apsolutna vrednost

Apsolutna vrednost broja je njegovo rastojanje od $0$ na brojevnoj pravoj. Apsolutna vrednost broja $a$ zapisuje se $\lvert a\rvert $ i čita se „apsolutna vrednost od $a$“; zove se još i moduo broja $a.$ Brojevi $-4$ i $4$ udaljeni su po $4$ jedinice od $0,$ pa je ${\lvert -4\rvert =4}$ i ${\lvert 4\rvert =4}.$

Rastojanje nikada nije negativno, pa ni apsolutna vrednost nikada nije negativna. Apsolutna vrednost pozitivnog broja je sam taj broj, a apsolutna vrednost negativnog broja, kao što je $-7,$ jeste isti broj bez znaka minus: ${\lvert 7\rvert =7},$ ${\lvert -7\rvert =7},$ ${\lvert -2{,}5\rvert =2{,}5}.$

Na ovoj stranici: Definicija · Grafik funkcije y = |x| · Osobine · Kvadratni koren · Rastojanje · Jednačine · Nejednačine · Nejednakost trougla · Zadaci za vežbu

Definicija apsolutne vrednosti

Za pozitivan broj i za nulu apsolutna vrednost je sam taj broj. Za negativan broj apsolutna vrednost je njemu suprotan broj $-a.$ Neka vas ne zbuni znak minus u $-a\text{:}$ kada je $a$ negativan broj, broj $-a$ je pozitivan. Na primer, za ${a=-7}$ dobijamo ${\lvert -7\rvert =-(-7)=7}.$

Primer 1. Izračunajte apsolutne vrednosti.

• ${\lvert 5\rvert =5},$ jer je ${5\gt0};$
• ${\left|-\frac{4}{7}\right|=-\left(-\frac{4}{7}\right)=\frac{4}{7}},$ jer je ${-\frac{4}{7}\lt0};$
• ${\lvert 0\rvert =0},$ jer je ${0\ge0};$
• ${\lvert 3-8\rvert =\lvert -5\rvert =5}\text{:}$ najpre izračunamo vrednost izraza pod znakom apsolutne vrednosti;
• ${-\lvert -6\rvert =-6}\text{:}$ minus ispred znaka apsolutne vrednosti ostaje.

Iz definicije neposredno slede dve činjenice. Za svaki realan broj $a$ važi:

Druga činjenica kaže da svaki broj leži između svoje apsolutne vrednosti i broja suprotnog njoj. Ako je ${a\ge0},$ onda je $a$ jednako $\lvert a\rvert ;$ ako je ${a\lt0},$ onda je $a$ jednako $-\lvert a\rvert .$ Na primer, za ${a=-3}$ dobijamo ${-3\le-3\le3}.$ Ovu činjenicu ćemo koristiti u dokazu nejednakosti trougla.

Apsolutna vrednost izraza

Da bismo izraz zapisali bez znaka apsolutne vrednosti, moramo da znamo njegov znak. Ako je izraz pozitivan ili jednak nuli, znak apsolutne vrednosti jednostavno izostavimo. Ako je negativan, zapišemo ga u zagradi sa minusom ispred, pa svaki sabirak menja znak: na primer, ${-(x-3)=3-x}.$

Primer 2. Zapišite bez znaka apsolutne vrednosti: a) $\lvert \pi-4\rvert ;$ b) $\lvert \sqrt{2}-1\rvert ;$ v) $\lvert x^2+1\rvert ;$ g) $\lvert x-3\rvert .$

a) ${\pi\approx3{,}14},$ pa je ${\pi-4\lt0}$ i ${\lvert \pi-4\rvert }={-(\pi-4)}={4-\pi.}$

b) ${\sqrt{2}\approx1{,}41},$ pa je ${\sqrt{2}-1\gt0}$ i ${\lvert \sqrt{2}-1\rvert =\sqrt{2}-1}.$

v) ${x^2\ge0},$ pa je ${x^2+1\gt0}$ za svako $x$ i ${\lvert x^2+1\rvert =x^2+1}.$

g) Znak izraza ${x-3}$ zavisi od $x,$ pa odgovor ima dva slučaja:

$$\lvert x-3\rvert =\begin{cases}x-3, & \text{ako je } x\ge3,\\ 3-x, & \text{ako je } x\lt3.\end{cases}$$

Na primer, za ${x=10}$ dobijamo ${\lvert 10-3\rvert =7=10-3},$ a za ${x=1}$ dobijamo ${\lvert 1-3\rvert =2=3-1}.$

Grafik funkcije y = |x|

Po definiciji, ${y=\lvert x\rvert }$ je isto što i ${y=x}$ za ${x\ge0}$ i ${y=-x}$ za ${x\lt0}.$ Zato se grafik sastoji od dve poluprave koje polaze iz koordinatnog početka i zajedno imaju oblik slova V. Grafik nikada nije ispod $x$-ose, jer je ${\lvert x\rvert \ge0}.$ Simetričan je u odnosu na $y$-osu, jer $x$ i $-x$ imaju istu apsolutnu vrednost.

Osobine apsolutne vrednosti

Za sve realne brojeve $a$ i $b$ i svaki prirodan broj $n$ važi:

Osobina	Primer
${\lvert -a\rvert =\lvert a\rvert }$	${\lvert -9\rvert =\lvert 9\rvert =9}$
${\lvert ab\rvert =\lvert a\rvert \cdot\lvert b\rvert }$	${\lvert (-2)\cdot3\rvert =\lvert -6\rvert =6}$ i ${\lvert -2\rvert \cdot\lvert 3\rvert =2\cdot3=6}$
${\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{\lvert a\rvert }{\lvert b\rvert }},$ ${b\ne0}$	${\left|\frac{-12}{4}\right|=\lvert -3\rvert =3}$ i ${\frac{\lvert -12\rvert }{\lvert 4\rvert }=\frac{12}{4}=3}$
${\lvert a^n\rvert =\lvert a\rvert ^n}$	${\lvert (-2)^3\rvert =\lvert -8\rvert =8}$ i ${\lvert -2\rvert ^3=2^3=8}$
${\lvert a\rvert ^2=a^2}$	${\lvert -5\rvert ^2}={5^2}={25}={(-5)^2}$

Rečima: broj i njemu suprotan broj imaju istu apsolutnu vrednost; apsolutna vrednost proizvoda jednaka je proizvodu apsolutnih vrednosti; apsolutna vrednost količnika jednaka je količniku apsolutnih vrednosti. Pravilo za proizvod važi i za tri ili više činilaca: ${\lvert a_1a_2\cdots a_n\rvert }={\lvert a_1\rvert \cdot\lvert a_2\rvert \cdots\lvert a_n\rvert .}$ Kada je svih $n$ činilaca jednako $a,$ iz njega dobijamo pravilo ${\lvert a^n\rvert =\lvert a\rvert ^n}.$ Poslednje pravilo, ${\lvert a\rvert ^2=a^2},$ važi zato što je $\lvert a\rvert $ jednako $a$ ili $-a,$ a kvadrat oba ta broja je $a^2.$

Za zbir takvo pravilo ne postoji: $\lvert a+b\rvert $ nije uvek jednako ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert }.$ Na primer, ${\lvert 2+(-3)\rvert =\lvert -1\rvert =1},$ a ${\lvert 2\rvert +\lvert -3\rvert =2+3=5}.$ Za zbir važi samo nejednakost, nejednakost trougla.

Kvadratni koren i apsolutna vrednost

Jednačina ${b^2=9}$ ima dva rešenja, ${b=3}$ i ${b=-3},$ jer je ${3^2=9}$ i ${(-3)^2=9}.$ Ali simbol $\sqrt{9}$ označava samo ono od njih koje nije negativno: ${\sqrt{9}=3}.$ Dakle, $\sqrt{a^2}$ je nenegativan broj čiji je kvadrat $a^2,$ a to je upravo $\lvert a\rvert \text{:}$ on nikada nije negativan i ${\lvert a\rvert ^2=a^2}.$

Na primer, ${\sqrt{(-4)^2}}={\sqrt{16}}={4}={\lvert -4\rvert .}$ Zapis ${\sqrt{a^2}=a}$ je pogrešan za negativno $a\text{:}$ dao bi ${\sqrt{(-4)^2}=-4},$ a kvadratni koren nikada nije negativan. Isto tako je ${\sqrt{(x-5)^2}=\lvert x-5\rvert }$ i ${\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}}={\lvert 1-\sqrt{2}\rvert }={\sqrt{2}-1.}$

Pomoću ove teoreme prve tri osobine dokazuju se vrlo kratko. Koristimo ${\sqrt{a^2}=\lvert a\rvert }$ i pravila ${\sqrt{uv}=\sqrt{u}\cdot\sqrt{v}}$ (za ${u\ge0},$ ${v\ge0}$) i ${\sqrt{\frac{u}{v}}=\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{v}}}$ (za ${u\ge0},$ ${v\gt0}$):

${\lvert -a\rvert }={\sqrt{(-a)^2}}={\sqrt{a^2}}={\lvert a\rvert }$

${\lvert ab\rvert }={\sqrt{(ab)^2}}={\sqrt{a^2b^2}}={\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b^2}}={\lvert a\rvert \cdot\lvert b\rvert }$

${\left|\frac{a}{b}\right|}={\sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)^2}}={\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}}={\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}}={\frac{\lvert a\rvert }{\lvert b\rvert }}$ ${b\ne0}$

Apsolutna vrednost i rastojanje

Neka su $A$ i $B$ tačke brojevne prave sa koordinatama $a$ i $b.$ Ako je ${a\lt b},$ rastojanje između njih je ${b-a};$ ako je ${a\gt b},$ ono je ${a-b};$ a ako je ${a=b},$ ono je $0.$ U sva tri slučaja rastojanje je jednako apsolutnoj vrednosti razlike koordinata:

Primer 3. Rastojanje između $-3$ i $5$ je ${\lvert 5-(-3)\rvert =\lvert 8\rvert =8}.$ Redosled nije bitan: takođe je ${\lvert -3-5\rvert =\lvert -8\rvert =8}.$ Rastojanje između $-6$ i $-2$ je ${\lvert -2-(-6)\rvert =\lvert 4\rvert =4}.$

Posebno, ${\lvert x\rvert =\lvert x-0\rvert }$ je rastojanje od $x$ do $0,$ kao na početku ove lekcije, a $\lvert x-c\rvert $ je rastojanje od $x$ do broja $c.$ I izraz sa znakom plus je rastojanje: ${\lvert x+2\rvert =\lvert x-(-2)\rvert }$ je rastojanje od $x$ do $-2.$ Kada apsolutnu vrednost čitamo kao rastojanje, jednačine i nejednačine koje slede lako možemo da predstavimo na brojevnoj pravoj.

Jednačine sa apsolutnom vrednošću

Ako je ${\lvert X\rvert =5},$ onda je $X$ udaljeno $5$ jedinica od $0,$ pa je ${X=5}$ ili ${X=-5}.$ Uopšte:

Ovde $X$ može biti bilo koji izraz, na primer ${x-3}$ ili ${2x+1}.$ Pre nego što primenite pravilo, ostavite apsolutnu vrednost samu na jednoj strani jednačine.

Primer 4. Rešite ${\lvert x-3\rvert =4}.$

${x-3=4}$ ili ${x-3=-4}$

${x=7}$ ili ${x=-1}$ dodajemo $3$

Jednačina ima dva rešenja, $7$ i $-1.$ Na brojevnoj pravoj $\lvert x-3\rvert $ je rastojanje od $x$ do $3,$ a dva broja koja su $4$ jedinice udaljena od $3$ jesu ${3+4=7}$ i ${3-4=-1}.$

Provera: ${\lvert 7-3\rvert =\lvert 4\rvert =4}$ i ${\lvert -1-3\rvert =\lvert -4\rvert =4}.$

Primer 5. Rešite ${3\lvert 2x+1\rvert -5=10}.$

Najpre ostavimo apsolutnu vrednost samu na levoj strani:

$3\lvert 2x+1\rvert =15$ dodajemo $5$

$\lvert 2x+1\rvert =5$ delimo sa $3$

${2x+1=5}$ ili ${2x+1=-5}$

${2x=4}$ ili ${2x=-6}$ oduzimamo $1$

${x=2}$ ili ${x=-3}$ delimo sa $2$

Provera: za ${x=2}$ dobijamo ${3\cdot\lvert 2\cdot2+1\rvert -5}={3\cdot5-5}={10;}$ za ${x=-3}$ dobijamo ${3\cdot\lvert 2\cdot(-3)+1\rvert -5}={3\cdot\lvert -5\rvert -5}={10.}$

Primer 6. Rešite: a) ${\lvert 4x-1\rvert +6=2};$ b) ${\lvert x+2\rvert =0}.$

a) Oduzimamo $6\text{:}$ ${\lvert 4x-1\rvert =-4}.$ Apsolutna vrednost ne može biti negativna, pa jednačina nema rešenja.

b) ${x+2=0},$ pa je ${x=-2}$ jedino rešenje.

Jednačine oblika |X| = |Y|

Dva broja imaju istu apsolutnu vrednost tačno onda kada su jednaka ili suprotna, kao $5$ i $-5.$ Zato:

Primer 7. Rešite ${\lvert 3x-2\rvert =\lvert 5x+4\rvert }.$

Prvi slučaj, ${3x-2=5x+4}\text{:}$

$3x-5x=4+2$ prebacujemo $5x$ na levu stranu, a $-2$ na desnu

$-2x=6$

$x=-3$ delimo sa $-2$

Drugi slučaj, ${3x-2=-(5x+4)}\text{:}$

$3x-2=-5x-4$ oslobađamo se zagrade

$3x+5x=-4+2$

$8x=-2$

$x=-\frac{1}{4}$ delimo sa $8$

Jednačina ima dva rešenja, $-3$ i ${-\frac{1}{4}}.$ Provera: za ${x=-3}$ obe strane su jednake ${\lvert -11\rvert =11};$ za ${x=-\frac{1}{4}}$ dobijamo ${\left|-\frac{11}{4}\right|=\left|\frac{11}{4}\right|}.$

Kada i druga strana sadrži nepoznatu

U jednačini kao što je ${\lvert x-3\rvert =2x}$ desna strana je za neke vrednosti $x$ negativna, a leva strana nikada nije negativna. Dva slučaja rešavamo kao i do sada, a zatim svaki dobijeni broj proverimo u polaznoj jednačini. Broj za koji je desna strana negativna nije rešenje.

Primer 8. Rešite ${\lvert x-3\rvert =2x}.$

${x-3=2x}$ ili ${x-3=-2x}$

${-x=3}$ ili ${3x=3}$ članove sa $x$ skupljamo na levoj strani

${x=-3}$ ili ${x=1}$

Provera za ${x=-3}\text{:}$ leva strana je ${\lvert -3-3\rvert =6},$ a desna strana je ${2\cdot(-3)=-6}.$ One nisu jednake, pa $-3$ nije rešenje. Provera za ${x=1}\text{:}$ ${\lvert 1-3\rvert =2}$ i ${2\cdot1=2}.$ Jedino rešenje je ${x=1}.$

Dve apsolutne vrednosti: metoda intervala

Primer 9. Rešite ${\lvert x-1\rvert +\lvert x+2\rvert =5}.$

Izraz ${x-1}$ menja znak u tački ${x=1},$ a izraz ${x+2}$ u tački ${x=-2}.$ Ova dva broja dele brojevnu pravu na tri intervala. Na svakom intervalu znamo znakove oba izraza, pa se možemo osloboditi apsolutnih vrednosti i rešiti običnu linearnu jednačinu. Dobijeni broj je rešenje samo ako pripada intervalu na kojem radimo.

	${x\lt-2}$	${-2\le x\lt1}$	${x\ge1}$
${x-1}$	$-$	$-$	$+$
${x+2}$	$-$	$+$	$+$

1) ${x\lt-2}\text{:}$ oba izraza su negativna.

$-(x-1)-(x+2)=5$

$-2x-1=5$

$-2x=6$

$x=-3$ ${-3\lt-2},$ pa je to rešenje

2) ${-2\le x\lt1}\text{:}$ izraz ${x-1}$ je negativan, a ${x+2}$ nije.

$-(x-1)+(x+2)=5$

$3=5$ netačno: na ovom intervalu nema rešenja

3) ${x\ge1}\text{:}$ nijedan izraz nije negativan.

$(x-1)+(x+2)=5$

$2x+1=5$

$2x=4$

$x=2$ ${2\ge1},$ pa je to rešenje

Jednačina ima dva rešenja, $-3$ i $2.$

Isti odgovor dobijamo i pomoću rastojanja: ${\lvert x-1\rvert +\lvert x+2\rvert }$ je zbir rastojanja od $x$ do $1$ i od $x$ do $-2.$ Za svako $x$ između $-2$ i $1$ taj zbir je jednak dužini duži od $-2$ do $1,$ a to je $3,$ nikada $5.$ Kada se $x$ pomeri za $1$ jedinicu izvan jednog kraja duži, oba rastojanja se povećaju za $1,$ pa se zbir poveća za $2$ i postane $5.$ Dakle, ${x=-3}$ ili ${x=2}.$

Nejednačine sa apsolutnom vrednošću

Čitajmo $\lvert x-a\rvert $ kao rastojanje od $x$ do $a$ i neka je ${k\gt0}.$ Tada ${\lvert x-a\rvert \lt k}$ znači da je $x$ manje od $k$ jedinica udaljeno od $a,$ pa je ${-k\lt x-a\lt k}$ i $x$ leži između ${a-k}$ i ${a+k},$ u intervalu ${(a-k,\ a+k)}.$ A ${\lvert x-a\rvert \gt k}$ znači da je $x$ više od $k$ jedinica udaljeno od $a\text{:}$ levo od ${a-k}$ ili desno od ${a+k}.$

Primer 10. Rešite ${\lvert x-3\rvert \lt4}.$

$-4\lt x-3\lt4$

$-1\lt x\lt7$ dodajemo $3$ svakom od tri dela

Skup rešenja je interval ${(-1,\ 7)}\text{:}$ to su brojevi koji su manje od $4$ jedinice udaljeni od $3.$

Primer 11. Rešite ${\lvert x+4\rvert \ge2}.$

${x+4\le-2}$ ili ${x+4\ge2}$

${x\le-6}$ ili ${x\ge-2}$ oduzimamo $4$

Skup rešenja je ${{(-\infty,\ -6]\cup[-2,\ +\infty)}\text{:}}$ to su brojevi koji su najmanje $2$ jedinice udaljeni od $-4.$

Primer 12. Rešite ${\lvert 5-2x\rvert \le3}.$

$-3\le5-2x\le3$

$-8\le-2x\le-2$ oduzimamo $5$ od sva tri dela

$4\ge x\ge1$ delimo sa $-2$ i menjamo oba znaka

Dakle, ${1\le x\le4},$ a skup rešenja je ${[1,\ 4]}.$

Kada je broj na desnoj strani negativan ili nula, setite se da apsolutna vrednost nikada nije negativna: ${\lvert 2x-1\rvert \lt-3}$ nema rešenja, ${\lvert 2x-1\rvert \ge-3}$ važi za svako $x,$ a ${\lvert x-2\rvert \le0}$ važi samo za ${x=2}.$ Još primera naći ćete u lekciji Linearne nejednačine.

Nejednakost trougla

Videli smo da $\lvert a+b\rvert $ nije uvek jednako ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert }.$ Za ${a=2}$ i ${b=-3}$ dobijamo ${a+b=-1}$ i ${\lvert a+b\rvert =1},$ dok je ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert =2+3=5}.$ Na brojevnoj pravoj: krenite od $0,$ pomerite se za $2$ jedinice udesno, a zatim za $3$ jedinice ulevo. Prešli ste ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert =5}$ jedinica, ali ste udaljeni samo ${\lvert a+b\rvert =1}$ jedinicu od $0.$

Dokaz. Za sve realne brojeve $a$ i $b$ znamo da je ${-\lvert a\rvert \le a\le\lvert a\rvert }$ i ${-\lvert b\rvert \le b\le\lvert b\rvert }.$ Saberimo ove dve dvostruke nejednakosti deo po deo:

$$-(\lvert a\rvert +\lvert b\rvert )\le a+b\le\lvert a\rvert +\lvert b\rvert .$$

Sada imamo dva slučaja.

1. slučaj: ${a+b\ge0}.$ Tada je ${\lvert a+b\rvert =a+b},$ pa desni deo daje ${\lvert a+b\rvert \le\lvert a\rvert +\lvert b\rvert }.$

2. slučaj: ${a+b\lt0}.$ Tada je ${\lvert a+b\rvert =-(a+b)}.$ Levi deo, ${-(\lvert a\rvert +\lvert b\rvert )\le a+b},$ pomnožimo sa $-1$ i promenimo znak nejednakosti: ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert \ge-(a+b)},$ tj. ${\lvert a+b\rvert \le\lvert a\rvert +\lvert b\rvert }.$

Naziv potiče iz geometrije: u trouglu je svaka stranica kraća od zbira druge dve stranice. Nejednakost važi i za više brojeva: ${\lvert a_1+a_2+\cdots+a_n\rvert }\le{\lvert a_1\rvert +\lvert a_2\rvert +\cdots+\lvert a_n\rvert .}$ Iz nje se dobija i nejednakost za razliku, ${\lvert a-b\rvert \ge\lvert a\rvert -\lvert b\rvert }\text{:}$ zapišemo $a$ kao ${(a-b)+b},$ pa je ${\lvert a\rvert \le\lvert a-b\rvert +\lvert b\rvert },$ a zatim od obe strane oduzmemo $\lvert b\rvert .$

Zadaci za vežbu

1. Izračunajte: a) $\lvert -12\rvert ;$ b) $\lvert 7-15\rvert ;$ v) $-\lvert -9\rvert ;$ g) ${\lvert -3\rvert \cdot\lvert 4\rvert -\lvert -20\rvert };$ d) ${\left|-\frac{2}{3}\right|+\left|\frac{1}{3}-1\right|}.$

Odgovor

a) ${\lvert -12\rvert =12}.$ b) ${\lvert 7-15\rvert =\lvert -8\rvert =8}.$ v) ${-\lvert -9\rvert =-9}.$ g) ${3\cdot4-20=-8}.$ d) ${\frac{2}{3}+\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}}.$

2. Uprostite izraze: a) $\lvert \pi-3\rvert ;$ b) $\lvert 2-\sqrt{5}\rvert ;$ v) $\lvert x^2+4\rvert ;$ g) $\lvert x-7\rvert ,$ ako je ${x\lt7};$ d) $\sqrt{(3-\pi)^2}.$

Odgovor

a) ${\pi-3\gt0},$ pa je ${\lvert \pi-3\rvert =\pi-3}.$

b) ${\sqrt{5}\approx2{,}24},$ pa je ${2-\sqrt{5}\lt0}$ i ${\lvert 2-\sqrt{5}\rvert =\sqrt{5}-2}.$

v) ${x^2+4\gt0},$ pa je ${\lvert x^2+4\rvert =x^2+4}.$

g) ${x-7\lt0},$ pa je ${\lvert x-7\rvert =7-x}.$

d) ${\sqrt{(3-\pi)^2}}={\lvert 3-\pi\rvert }={\pi-3.}$

3. Nađite rastojanje između brojeva: a) $-7$ i $2;$ b) $-8$ i $-3;$ v) $1{,}5$ i $-2{,}5.$

Odgovor

a) ${\lvert 2-(-7)\rvert =9}.$ b) ${\lvert -3-(-8)\rvert =5}.$ v) ${\lvert -2{,}5-1{,}5\rvert }={\lvert -4\rvert }={4.}$

4. Rešite: a) ${\lvert x+2\rvert =6};$ b) ${\lvert 3x-1\rvert =8};$ v) ${\lvert 2-x\rvert =0};$ g) ${\lvert 4x+3\rvert =-1}.$

Odgovor

a) ${x+2=6}$ ili ${x+2=-6},$ pa je ${x=4}$ ili ${x=-8}.$

b) ${3x-1=8}$ ili ${3x-1=-8},$ pa je ${x=3}$ ili ${x=-\frac{7}{3}}.$

v) ${2-x=0},$ pa je ${x=2}.$

g) Apsolutna vrednost nikada nije negativna: nema rešenja.

5. Rešite: a) ${4\lvert x-1\rvert +3=11};$ b) ${5-\lvert 2x+1\rvert =2}.$

Odgovor

a) ${4\lvert x-1\rvert =8},$ pa je ${\lvert x-1\rvert =2}\text{:}$ ${x=3}$ ili ${x=-1}.$

b) ${\lvert 2x+1\rvert =5-2=3},$ pa je ${2x+1=3}$ ili ${2x+1=-3}\text{:}$ ${x=1}$ ili ${x=-2}.$

6. Rešite ${\lvert 2x-3\rvert =\lvert x+6\rvert }.$

Odgovor

${2x-3=x+6}$ daje ${x=9};$ ${2x-3=-(x+6)}$ daje ${3x=-3},$ pa je ${x=-1}.$ Provera: ${\lvert 15\rvert =\lvert 15\rvert }$ i ${\lvert -5\rvert =\lvert 5\rvert }.$ Rešenja su $9$ i $-1.$

7. Rešite ${\lvert x+4\rvert =3x}.$

Odgovor

${x+4=3x}$ daje ${x=2};$ ${x+4=-3x}$ daje ${x=-1}.$ Provera: za ${x=2}$ je ${\lvert 6\rvert =6=3\cdot2}.$ Za ${x=-1}$ desna strana ${3x=-3}$ je negativna, pa $-1$ nije rešenje. Jedino rešenje je ${x=2}.$

8. Rešite ${\lvert x\rvert +\lvert x-4\rvert =6}.$

Odgovor

Izrazi pod znakom apsolutne vrednosti menjaju znak u $0$ i $4.$

Za ${x\lt0}\text{:}$ ${-x-(x-4)=6},$ pa je ${-2x+4=6}$ i ${x=-1}.$ Taj broj je manji od $0,$ pa je rešenje.

Za ${0\le x\lt4}\text{:}$ ${x-(x-4)=6}$ daje ${4=6},$ što nije tačno: ovde nema rešenja.

Za ${x\ge4}\text{:}$ ${x+x-4=6},$ pa je ${2x=10}$ i ${x=5}\text{:}$ to je rešenje.

Rešenja su $-1$ i $5.$

9. Rešite i zapišite odgovor pomoću intervala: a) ${\lvert x-5\rvert \le3};$ b) ${\lvert 2x+3\rvert \gt7};$ v) ${\lvert x+1\rvert \lt-2};$ g) ${\lvert 3-x\rvert \ge0}.$

Odgovor

a) ${-3\le x-5\le3},$ pa je ${2\le x\le8}\text{:}$ ${[2,\ 8]}.$

b) ${2x+3\lt-7}$ ili ${2x+3\gt7},$ pa je ${x\lt-5}$ ili ${x\gt2}\text{:}$ ${(-\infty,\ -5)\cup(2,\ +\infty)}.$

v) Nema rešenja: apsolutna vrednost nikada nije negativna.

g) Apsolutna vrednost nikada nije negativna, pa je svaki realan broj rešenje: ${(-\infty,\ +\infty)}.$

10. Zapišite interval ${[-1,\ 5]}$ kao nejednačinu sa apsolutnom vrednošću.

Odgovor

Središte intervala je ${\frac{-1+5}{2}=2},$ a krajevi su od njega udaljeni $3$ jedinice. Dakle, interval je skup rešenja nejednačine ${\lvert x-2\rvert \le3}.$

11. Proverite nejednakost trougla za a) ${a=-4},$ ${b=7};$ b) ${a=-4},$ ${b=-7}.$

Odgovor

a) ${\lvert a+b\rvert =\lvert 3\rvert =3}$ i ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert =4+7=11}\text{:}$ ${3\lt11}.$

b) ${\lvert a+b\rvert =\lvert -11\rvert =11}$ i ${\lvert a\rvert +\lvert b\rvert =4+7=11}\text{:}$ obe strane su jednake, jer su i $a$ i $b$ negativni.

Sledeća lekcija: Linearne nejednačine. Svoje odgovore možete da proverite programom za rešavanje zadataka.