Procenti

Kalkulator procenta

Upišite dva broja u bilo koji red. Odgovor i račun pojavljuju se dok kucate.

Šta je procenat?

Procenat znači „na sto”. Reč potiče od latinskog per centum, „na stotinu”, a znak % znači „od 100”. Tako 25% znači 25 od svakih 100. Jedan procenat je jedan stoti deo, ${1\%=\frac{1}{100}=0{,}01}$, a 25% nečega je $\frac{25}{100}$ toga.

Obojeno je 25 od 100 malih kvadrata: ${25\%}={\frac{25}{100}}={\frac{1}{4}}$

Pretpostavimo da su u sobi 4 osobe. Tada su 100% od njih sve 4 osobe, 50% je polovina (2 osobe), 25% je četvrtina (1 osoba), a 0% je niko. Ako uđu još 4 osobe, u sobi će biti 8 osoba, što je 200% od početnog broja. Procenat može biti i veći od 100%.

Na ovoj stranici naučićete kako da procente pretvorite u decimalne brojeve i razlomke i kako da rešite tri osnovna zadatka sa procentima: da nađete procenat od broja, da nađete koliko procenata je jedan broj od drugog i da nađete celinu kada znate njen deo. Zatim slede procentualno povećanje i smanjenje, obrnuti zadaci i promene koje slede jedna za drugom. Ako vam treba samo brz odgovor, upotrebite kalkulator procenta.

Procenti, decimalni brojevi i razlomci

Procenat, decimalni broj i razlomak su tri načina da se zapiše isti broj: ${50\%}={0{,}5}={\frac{1}{2}}$.

Neki procenti se javljaju toliko često da se isplati znati ih napamet:

Procenat	Decimalni broj	Razlomak
$1\%$	$0{,}01$	$\frac{1}{100}$
$5\%$	$0{,}05$	$\frac{1}{20}$
$10\%$	$0{,}1$	$\frac{1}{10}$
$12{,}5\%$	$0{,}125$	$\frac{1}{8}$
$20\%$	$0{,}2$	$\frac{1}{5}$
$25\%$	$0{,}25$	$\frac{1}{4}$
$33\tfrac{1}{3}\%$	$0{,}333\ldots$	$\frac{1}{3}$
$50\%$	$0{,}5$	$\frac{1}{2}$
$75\%$	$0{,}75$	$\frac{3}{4}$
$100\%$	$1$	$1$
$150\%$	$1{,}5$	$\frac{3}{2}$

Pažnja kod malih procenata: ${8\%=0{,}08}$, a ne $0{,}8$. A ${0{,}5\%=0{,}005}$ je pola procenta, a ne polovina: polovina je 50%.

Kako se računa procenat od broja

Primer 1. Izračunajte 20% od 40.

${20\%\ \text{od}\ 40}={0{,}2\cdot 40}=8$

Reč „od” ovde znači množenje.

Primer 2. Škola ima 600 učenika, a 45% njih dolazi u školu autobusom. Koliko je to učenika?

${0{,}45\cdot 600}=270$

Primer 3. Procenat može biti veći od 100% ili manji od 1%:

${120\%\ \text{od}\ 50}={1{,}2\cdot 50}=60$

${0{,}5\%\ \text{od}\ 3000}={0{,}005\cdot 3000}=15$

Primer 4. Sandri treba 8 m creva za baštu. U prodavnici imaju kotur sa 30 m creva, ali na njemu piše da je 60% creva već prodato. Da li je ostatak dovoljan za Sandru?

Rešenje: Prodato je ${{0{,}6\cdot 30}=18}$ m, pa je ostalo ${{30-18}=12}$ m. To je dovoljno. Brže: ostalo je ${{100\%-60\%}={40\%}}$ kotura, a to je ${{0{,}4\cdot 30}=12}$ m.

Procenti napamet

• 10%: podelite sa 10. 10% od 360 je 36.
• 5%: uzmite polovinu od 10%. 5% od 360 je 18.
• 1%: podelite sa 100. 1% od 360 je 3,6.
• 50%, 25% i 20% su polovina, četvrtina i petina. 25% od 360 je 90.
• Druge procente sastavite od ovih: 15% je 10% plus 5%, pa je 15% od 360 jednako ${{36+18}=54}$.
• Zamenite brojeve: $p\%$ od $a$ je isto što i $a\%$ od $p$, jer je ${\frac{p}{100}\cdot a}={\frac{a}{100}\cdot p}$. 8% od 50 je teško izračunati napamet, ali 50% od 8 je lako. Oba su jednaka 4.

Na primer, popust od 15% na kupovinu od 3600 dinara: 10% je 360 dinara, a 5% je 180 dinara, pa je popust 540 dinara.

Koliko procenata je jedan broj od drugog

Primer 1. Koliko procenata je 80 od 160?

${\frac{80}{160}\cdot 100\%}={0{,}5\cdot 100\%}={50\%}$

Primer 2. Na kontrolnom ste osvojili 45 poena od 60. Koliko je to procenata?

${\frac{45}{60}\cdot 100\%}={0{,}75\cdot 100\%}={75\%}$

Primer 3. Test ima 5 pitanja: tri vrede po 3 poena, a dva po 4 poena. Tačno ste odgovorili na dva pitanja od 3 poena i na jedno pitanje od 4 poena. Koliko procenata poena ste osvojili?

Rešenje: Test ukupno vredi ${{3\cdot 3+2\cdot 4}=17}$ poena, a vi ste osvojili ${{2\cdot 3+4}=10}$ poena:

${\frac{10}{17}\cdot 100\%}\approx{58{,}8\%}$

Deljenje nije bez ostatka, pa je odgovor zaokružen, i umesto znaka = piše se znak ≈ („približno jednako”).

Primer 4. Radovan skuplja sportske sličice: ima 32 sličice bejzbol igrača, 25 sličica fudbalera i 47 sličica košarkaša. Koliko procenata kolekcije čini svaki sport?

Rešenje: Celina je broj svih sličica, ${{32+25+47}=104}$.

Bejzbol: ${\frac{32}{104}\cdot 100\%}\approx{30{,}8\%}$

Fudbal: ${\frac{25}{104}\cdot 100\%}\approx{24{,}0\%}$

Košarka: ${\frac{47}{104}\cdot 100\%}\approx{45{,}2\%}$

Tri dela zajedno čine celu kolekciju, pa je zbir njihovih procenata 100%. Zbir zaokruženih procenata može da bude malo veći ili malo manji, na primer 99,9% ili 100,1%.

Primer 5. Deo može biti veći od celine. Koliko procenata je 45 od 40?

${\frac{45}{40}\cdot 100\%}={1{,}125\cdot 100\%}={112{,}5\%}$

Kako se nalazi celina kada se zna njen deo

Primer 1. 12 je 30% od kog broja?

${12\div 0{,}3}=40$

Provera: ${{0{,}3\cdot 40}=12}$ ✓

Primer 2. U jednom odeljenju 6 učenika nosi naočare. To je 20% odeljenja. Koliko učenika ima u odeljenju?

${6\div 0{,}2}=30$

Možete da razmišljate i preko 10%: ako je 20% odeljenja 6 učenika, onda je 10% 3 učenika, a 100% je ${{10\cdot 3}=30}$ učenika.

Primer 3. Uštedeli ste 15.000 dinara. To je 60% cene bicikla. Koliko košta bicikl?

${15.000\div 0{,}6}={25.000}$ dinara

Jedna formula za sva tri zadatka

Sva tri zadatka proizlaze iz jedne formule, koja povezuje deo, procenat i celinu:

Dva od tri broja znate, a treći tražite. Tri pitanja ispod koriste iste brojeve, jer je 8 jednako 20% od 40:

Pitanje	Rešenje
Koliko je 20% od 40? (deo)	${0{,}2\cdot 40}=8$
Koliko procenata je 8 od 40? (procenat)	${\frac{8}{40}\cdot 100\%}={20\%}$
8 je 20% od kog broja? (celina)	${8\div 0{,}2}=40$

Procentualno povećanje i smanjenje

Kada se veličina promeni, procentualna promena poredi promenu sa početnom (starom) vrednošću:

Primer 1. Imali ste 80 markica i skupljali ste još dok ih nije bilo 120. Za koliko procenata je porasla kolekcija?

${\frac{120-80}{80}\cdot 100\%}={\frac{40}{80}\cdot 100\%}={50\%}$

Primer 2. Zatim ste deo od tih 120 markica zamenili za prijateljevu igru i ostalo vam je 100 markica. Za koliko procenata se smanjio broj markica?

${\frac{100-120}{120}\cdot 100\%}={-\frac{20}{120}\cdot 100\%}\approx{-16{,}7\%}$

Broj markica se smanjio za oko 16,7%. Promena od 20 markica poredi se sa 120, brojem markica pre promene.

Primer 3. Broj stanovnika jednog grada porastao je sa 12.000 na 12.600, odnosno za 600:

${\frac{600}{12.000}\cdot 100\%}={5\%}$

Kako se broj poveća ili smanji za procenat

Kada broj povećavate za $p\%$, dodajete mu $p\%$ od njega samog, pa dobijate ${100\%+p\%}$ tog broja. Kada ga smanjujete za $p\%$, dobijate ${100\%-p\%}$ tog broja. Zato to možete da uradite u jednom koraku, množenjem množiocem:

Primer 4. Video-igra je koštala 4000 dinara. Zatim joj je cena porasla za 20%. Kolika je nova cena?

U dva koraka: cena je porasla za ${{0{,}2\cdot 4000}=800}$ dinara, pa je nova cena ${{4000+800}=4800}$ dinara. U jednom koraku: ${{4000\cdot 1{,}2}=4800}$ dinara.

Primer 5. Jakna košta 5000 dinara. Na sniženju je 30% jeftinija, pa košta ${{5000\cdot 0{,}7}=3500}$ dinara.

„Veće za” i „manje za”

Procenat se uvek računa od broja sa kojim se poredi. Zato su obe tvrdnje tačne:

• 50 je za 25% veće od 40, jer je ${\frac{10}{40}}={25\%}$;
• 40 je za 20% manje od 50, jer je ${\frac{10}{50}}={20\%}$.

Razlika je u oba slučaja 10, ali se poredi sa različitim brojevima.

Kako se nalazi početna vrednost

Ponekad znate vrednost posle procentualne promene, a treba vam vrednost pre nje. Tada podelite množiocem:

Primer 1. Sa popustom od 20% jakna košta 6400 dinara. Koliko je koštala pre popusta?

Rešenje: Cena sa popustom je ${{100\%-20\%}={80\%}}$ početne cene, pa je

${\text{početna cena}}={6400\div 0{,}8}=8000$ dinara

Provera: 20% od 8000 dinara je 1600 dinara, i ${{8000-1600}=6400}$ ✓. Isto pokazuje i model sa trakom:

80% cene je 6400 dinara, pa je 10% jednako 800 dinara, a 100% je 8000 dinara.

Pažnja: ne dodajte 20% od cene sa popustom. Odgovor ${{6400+0{,}2\cdot 6400}=7680}$ dinara je pogrešan, jer je popust bio 20% od početne cene, a ne 20% od 6400 dinara.

Primer 2. Cena sa PDV-om od 20% iznosi 5400 dinara. Cena bez PDV-a je ${{5400\div 1{,}2}=4500}$ dinara.

Primer 3. Posle povećanja od 25% plata iznosi 50.000 dinara mesečno. Pre povećanja iznosila je ${{50.000\div 1{,}25}=40.000}$ dinara.

Nekoliko promena zaredom

Kada jedna procentualna promena sledi za drugom, drugi procenat se računa od nove vrednosti, a ne od početne. Zato se procenti ne mogu prosto sabrati: treba pomnožiti množioce.

Primer 1. Cena poraste za 10%, a zatim opadne za 10%. Ona se ne vraća na početnu:

${1{,}1\cdot 0{,}9}={0{,}99}$

Konačna cena je 99% početne, dakle niža je za 1%. Na primer, 1000 dinara postaje 1100 dinara, a zatim 990 dinara.

Primer 2. Popust od 20%, a zatim još 10% nije popust od 30%:

${0{,}8\cdot 0{,}9}={0{,}72}$

Plaćate 72% cene, pa je ukupan popust 28%.

Primer 3. Cena akcije padne za 50%. Da bi se vratila na prethodni nivo, mora da poraste za 100%, jer je ${{0{,}5\cdot 2}=1}$.

Primer 4. Grad raste za 5% godišnje tokom 3 godine:

${1{,}05\cdot 1{,}05\cdot 1{,}05}={1{,}05^3}\approx{1{,}158}$

Ukupno grad poraste za oko 15,8%, a ne za 15%, jer se svake godine 5% računa od većeg broja. Štednja sa složenom kamatom raste na isti način. Kalkulator složene kamate ispod izračunaće to umesto vas.

Procenti ili procentni poeni?

Kada se menja veličina koja je i sama izražena u procentima, promena se može opisati na dva načina. Pretpostavimo da banka podigne kamatnu stopu sa 4% na 5%:

• stopa je porasla za 1 procentni poen, jer je ${{5-4}=1}$;
• stopa je porasla za 25%, jer je ${\frac{5-4}{4}\cdot 100\%}={25\%}$.

Obe tvrdnje su tačne, ali govore različite stvari, pa rečenica „stopa je porasla za 1%” zbunjuje. Kada jedan procenat oduzimate od drugog, govorite o „procentnim poenima”.

Procenti u svakodnevnom životu

Procenti omogućavaju da se delovi različitih celina porede na istoj skali, od 100. Zato ih srećemo svuda:

• kupovina: popusti i porezi;
• novac: kamate na štednju i kredite, poskupljenja;
• škola: rezultati testova i ocene;
• vesti: rezultati izbora, ankete, rast broja stanovnika;
• nauka: koncentracija rastvora, vlažnost vazduha, sastav namirnica na deklaraciji.

Primer 1. U odeljenju A test je položilo 18 od 24 učenika, a u odeljenju B 21 od 30 učenika. Koje odeljenje je bilo uspešnije?

Rešenje: U odeljenju B test je položilo više učenika, ali je i odeljenje B veće. Uporedimo procente:

Odeljenje A: ${\frac{18}{24}\cdot 100\%}={75\%}$

Odeljenje B: ${\frac{21}{30}\cdot 100\%}={70\%}$

Odeljenje A je bilo uspešnije.

Primer 2. Tom ima malu prodavnicu namirnica. Prvog meseca kupio je robu za 65.000 dinara i prodao je za 80.000 dinara. Drugog meseca kupio je robu za 80.000 dinara i prodao je za 120.000 dinara. Da li je prodavnica drugog meseca poslovala bolje?

Rešenje: Zarada je porasla sa ${{80.000-65.000}=15.000}$ na ${{120.000-80.000}=40.000}$ dinara, ali je Tom i potrošio više. Da bismo videli koliko je dobro njegov novac radio, uporedićemo zaradu svakog meseca sa potrošenim novcem:

${\frac{15.000}{65.000}\cdot 100\%}\approx{23{,}1\%}$

${\frac{40.000}{80.000}\cdot 100\%}={50\%}$

Prvog meseca svakih potrošenih 100 dinara donelo je Tomu oko 23 dinara zarade, a drugog meseca 50 dinara. Dakle, njegova prodavnica nije samo porasla, već je postala i isplativija.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Cena laptopa smanjena je sa 90.000 na 76.500 dinara. Za koliko procenata je smanjena cena?

Rešenje: Cena je smanjena za ${{90.000-76.500}=13.500}$ dinara. Uporedimo to sa starom cenom:

${\frac{13.500}{90.000}\cdot 100\%}={15\%}$

Zadatak 2. 200 g slane vode sadrži 15% soli. Koliko ima soli? Koliko procenata soli će biti ako dodate 100 g vode?

Rešenje: Soli ima ${{0{,}15\cdot 200}=30}$ g. Kada dodate vodu, biće ${{200+100}=300}$ g slane vode, a soli je i dalje 30 g:

${\frac{30}{300}\cdot 100\%}={10\%}$

Zadatak 3. Na izborima sa dva kandidata glasalo je 2400 ljudi. Kandidat A je dobio 55% glasova. Koliko je glasova više dobio A nego B?

Rešenje: B je dobio ${{100\%-55\%}={45\%}}$ glasova. Razlika je ${{55\%-45\%}={10\%}}$ glasova:

${0{,}1\cdot 2400}=240$

Provera: A je dobio ${{0{,}55\cdot 2400}=1320}$ glasova, a B ${{0{,}45\cdot 2400}=1080}$ glasova, i ${{1320-1080}=240}$.

Zadatak 4. Sa popustom od 25% košulja košta 1800 dinara. Koliko je koštala pre popusta?

Rešenje: 1800 dinara je ${{100\%-25\%}={75\%}}$ stare cene:

${1800\div 0{,}75}=2400$ dinara

Zadatak 5. Grad od 50.000 stanovnika smanjio se za 10% tokom jedne godine, a sledeće godine porastao je za 10%. Koliko ljudi sada živi u gradu?

${50.000\cdot 0{,}9\cdot 1{,}1}={49.500}$

To je 500 ljudi manje nego na početku, odnosno smanjenje za 1%.

Zadatak 6. Prodavnica je povećala sve cene za 25%. Kasnije je pokrenula rasprodaju sa popustom od 20%. Da li su cene na rasprodaji više ili niže od cena pre poskupljenja?

Rešenje: ${{1{,}25\cdot 0{,}8}=1}$, pa su cene na rasprodaji potpuno iste kao pre poskupljenja.

Zadatak 7. Nezaposlenost je pala sa 8% na 6%. Opišite promenu u procentnim poenima i u procentima.

Rešenje: Nezaposlenost je pala za ${{8-6}=2}$ procentna poena. Kao procentualna promena:

${\frac{6-8}{8}\cdot 100\%}={-25\%}$

odnosno nezaposlenost je pala za 25%.

Vežbanje

Rešite svaki zadatak, a zatim ga otvorite da proverite odgovor.

1. Zapišite 45% kao decimalni broj i kao neskrativ razlomak.

${45\%}={0{,}45}={\frac{45}{100}}={\frac{9}{20}}$

2. Zapišite $\frac{7}{8}$ u procentima.

${7\div 8}={0{,}875}={87{,}5\%}$

3. Izračunajte 35% od 240.

${0{,}35\cdot 240}=84$

4. Koliko procenata je 27 od 36?

${\frac{27}{36}\cdot 100\%}={75\%}$

5. 18 je 45% od kog broja?

${18\div 0{,}45}=40$

6. Patike koštaju 6000 dinara i na popustu su 15%. Kolika je cena sa popustom?

${6000\cdot 0{,}85}=5100$ dinara

7. Vrednost automobila pala je sa 2.500.000 na 2.100.000 dinara. Za koliko procenata je pala?

${\frac{2.500.000-2.100.000}{2.500.000}\cdot 100\%}={\frac{400.000}{2.500.000}\cdot 100\%}={16\%}$

8. Posle poskupljenja od 10% karta za autobus košta 110 dinara. Koliko je koštala ranije?

${{110\div 1{,}1}=100}$ dinara

9. Cena poraste za 30%, a zatim opadne za 30%. Kolika je ukupna promena?

${{1{,}3\cdot 0{,}7}=0{,}91}$, pa je cena na kraju za 9% niža nego na početku.

10. Šta je veće: 40% od 70 ili 70% od 40?

Jednaki su: ${{0{,}4\cdot 70}=28}$ i ${{0{,}7\cdot 40}=28}$.