Formule za prvi izvod

y je funkcija y = y(x)
C = const, izvod(y') konstante je 0

y = C => y' = 0

primer: y = 5, y' = 0

Ako je y funkcija oblika y = xn formula za izvod je:

y = xn => y' = nxn-1

primer: y = x3 y' = 3x3-1 = 3x2
y = x-3 y' = -3x-4

Iz gornje formule možemo reći za izvod y' funkcije y = x = x1 da:

ako je y = x onda je y'=1
y = f1(x) + f2(x) + f3(x) ...=>
y' = f'1(x) + f'2(x) + f'3(x) ...

Ova formula predstavlja izvod funkcije koja je suma funkcija.
primer: Ako imamo dve funkcije f(x) = x2 + x + 1 i g(x) = x5 + 7 i y = f(x) + g(x) onda je y' = f'(x) + g'(x) => y' = (x2 + x + 1)' + (x5 + 7)' = 2x1 + 1 + 0 + 5x4 + 0 = 5x4 + 2x + 1

Ako je funkcija proizvod dve funkcije formula za izvod je:

y = f(x)⋅g(x) => y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Ako je f(x) = C(C je konstanta), i y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y'=C'⋅g(x) + C⋅g'(x) = 0 + C⋅g'(x) = C⋅g'(x)

y = Cf(x) => y' = C⋅f'(x)

Primeri sledećih formula se nalaze u odeljku sa zadacima.

y =
f(x)
g(x)
   y' =
f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
g2(x)
y = ln x => y' = 1/x
y = ex => y' = ex
y = sin x => y' = cos x
y = cos x => y' = -sin x
y = tg x => y' = 1/cos2x
y = ctg x => y' = -1/sin2x
y = arcsin x  =>  y' =
1
1 - x.x
y = arccos x  =>  y' =
-1
1 - x⋅x
y = arctg x  =>  y' =
1
1 + x2
y = arcctg x  =>  y' =
-1
1 + x2

Ako je funkcija kompozicija funkcija (funkcija od funkcije): u = u(x)

y = f(u) => y' = f'(u)⋅u'

primer: pogledajmo funkciju y = sin(x2)
u ovoj situaciji u = x2, f(u) = sin(u), izvodi su f'(u) = cos(u), u' = 2x
y' = (sin(u))'⋅u' = cos(x2)⋅2x = 2⋅x⋅cos(x2)

Zadaci u vezi sa izvodima

1) f(x) = 10x + 4y, šta je prvi izvod f'(x) = ?
REŠENJE: Možemo koristiti formulu za izvod funkcije koja je suma funkcija f(x) = f1(x) + f2(x), f1(x) = 10x, f2(x) = 4y za funkciju f2(x) = 4y, y je konstanta zato što je x argument funkcije f2(x) pa je f'2(x) = (4y)' = 0. Zbog toga je izvod funkcije f(x) : f'(x) = 10 + 0 = 10.


     2) Izračunaj izvod od f(x) =
x10
4,15 + cosx

REŠENJE: Imamo dve funkcije h(x) = x10 i g(x) = 4,15 + cos x
funkcija f(x) je h(x) podeljena sa g(x). h'(x) = 10x9 g'(x) = 0 - sin x = -sin x

f'(x) =
h'(x)⋅g(x) - h(x)⋅g'(x)
(g(x))2
f'(x) =
10x9(4,15 + cos x) - x10(-sin x)
(4.15 + cosx)2
=
x10sin x + 10(60 + cos x)x9
(60 + cosx)2

3) f(x) = ln(sinx). Šta je izvod funkcije f(x)?
REŠENJE: Da bismo rešili zadatak moramo koristiti poslednju formulu. Kao što mozemo videti funkcija f(x) je kompozicija funkcija f(x) = h(g(x)) gde je h = ln, i g = sin x

f'(x) =
1
g(x)
g'(x) =
1
sin x
cos x =
cos x
sin x

Kalkulator Izvoda


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2019