Formule za prvi izvod

Izvod funkcije ${y=f(x)}$ označava se sa $y'$ ili $f'(x).$ On pokazuje koliko brzo se funkcija menja: $f'(x)$ je koeficijent pravca tangente na grafik u tački sa apscisom $x.$ Po definiciji

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Računati ovu graničnu vrednost svaki put bilo bi sporo. U praksi koristimo nekoliko pravila diferenciranja i tablicu izvoda osnovnih funkcija. Pomoću njih nalazimo izvod svake funkcije sastavljene od osnovnih. Kalkulator na vrhu stranice nalazi izvod funkcije koju upišete i prikazuje rešenje korak po korak.

Na ovoj stranici: Pravila diferenciranja · Tablica izvoda · Rešeni zadaci · Vežbe

Pravila diferenciranja

U pravilima ispod $f$ i $g$ su funkcije od $x$ koje imaju izvode, a $C$ je konstanta, tj. broj koji ne zavisi od $x.$

Izvod konstante

Konstanta se ne menja, pa je brzina njene promene nula. Na primer, ako je ${y=5},$ onda je ${y'=0}.$ Takođe ${(\pi)'=0}$ i ${(\ln 3)'=0},$ jer su $\pi$ i $\ln 3$ brojevi.

Izvod stepena

Eksponent postaje činilac ispred stepena, a novi eksponent je za jedan manji. Pravilo važi za svaki realan eksponent $n,$ ne samo za cele brojeve (za razlomljeno $n$ uzimamo ${x\gt 0}$).

${(x^3)'}={3x^{3-1}}={3x^2},$   ${(x^{-3})'}={-3x^{-3-1}}={-3x^{-4}}$

Za ${n=1}$ pravilo daje ${(x)'=1}.$ Koren ili razlomak sa stepenom od $x$ u imeniocu prvo zapisujemo kao stepen:

${(\sqrt{x})'}={\left(x^{\frac12}\right)'}={\frac12x^{-\frac12}}={\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

${\left(\frac1x\right)'}={(x^{-1})'}={-x^{-2}}={-\frac{1}{x^2}}$

Konstantni činilac

Konstantni činilac se izvlači ispred izvoda. Primer: ${(7x^3)'}={7\cdot 3x^2}={{21x^2}.}$

Izvod zbira i razlike

Izvod zbira jednak je zbiru izvoda. To važi za bilo koji broj sabiraka, pa se polinom diferencira član po član.

Primer. Neka je ${f(x)=x^2+x+1},$ ${g(x)=x^5+7}$ i ${y=f(x)+g(x)}.$ Tada je

${y'}={(x^2+x+1)'}+{(x^5+7)'}={2x+1+0+5x^4+0}={5x^4+2x+1}$

Izvod proizvoda

Primer.

${(x^2\sin x)'}={(x^2)'\sin x+x^2(\sin x)'}={2x\sin x+x^2\cos x}$

Pravilo za konstantni činilac je poseban slučaj pravila za proizvod. Ako je ${f=C},$ onda je

${(C\cdot g)'}={C'\cdot g+C\cdot g'}={0\cdot g+C\cdot g'}={C\cdot g'}$

Izvod količnika

Pazite na redosled u brojiocu: prvo ${f'\cdot g},$ pa minus ${f\cdot g'}.$ Za ${f=1}$ pravilo daje ${\left(\frac1g\right)'=-\frac{g'}{g^2}}.$

Primer.

${\left(\frac{x}{x+1}\right)'}={\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}}={\frac{1}{(x+1)^2}}$

Izvod složene funkcije

Neka je ${y=f(u)},$ gde je ${u=u(x)}$ takođe funkcija od $x$ (funkcija od funkcije). Tada je

Prvo diferenciramo spoljašnju funkciju kao da je $u$ promenljiva, a zatim množimo izvodom unutrašnje funkcije $u.$

Primer 1. ${y=\sin(x^2)}.$ Ovde je ${u=x^2}$ i ${f(u)=\sin u},$ pa je ${f'(u)=\cos u}$ i ${u'=2x}$:

${y'}={\cos(x^2)\cdot 2x}={2x\cos(x^2)}$

Primer 2. ${y=(3x+1)^5}.$ Spoljašnja funkcija je peti stepen, a unutrašnja je ${u=3x+1},$ pri čemu je ${u'=3}$:

${y'}={5(3x+1)^4\cdot 3}={15(3x+1)^4}$

Primer 3. Kada su tri funkcije ugnežđene jedna u drugu, pravilo primenjujemo dva puta:

${\left(e^{\sin 2x}\right)'}={e^{\sin 2x}\cdot(\sin 2x)'}={e^{\sin 2x}\cdot\cos 2x\cdot 2}={2\cos 2x\cdot e^{\sin 2x}}$

Tablica izvoda

Izvodi osnovnih (elementarnih) funkcija.

Izvod
$(x^n)'=n\,x^{n-1}$
$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^2}$
$(e^x)'=e^x$
$(a^x)'=a^x\ln a$
$(\ln x)'=\frac1x$
$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$
$(\sin x)'=\cos x$
$(\cos x)'=-\sin x$
$(\tg x)'=\frac{1}{\cos^2x}$
$(\ctg x)'=-\frac{1}{\sin^2x}$
$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctg x)'=\frac{1}{1+x^2}$
$(\arcctg x)'=-\frac{1}{1+x^2}$

Formule važe tamo gde su funkcije definisane: ${x\gt 0}$ za $\ln x$ i $\log_a x,$ kao i za izvod od $\sqrt{x};$ ${a\gt 0}$ i ${a\ne 1}$ za $a^x$ i $\log_a x;$ ${\cos x\ne 0}$ za $\tg x;$ ${\sin x\ne 0}$ za $\ctg x;$ ${-1\lt x\lt 1}$ za izvode od $\arcsin x$ i $\arccos x.$ Osim toga, ${(\ln|x|)'=\frac1x}$ za svako ${x\ne 0}.$ Pošto je ${\frac{1}{\cos^2x}=1+\tg^2x},$ izvod od $\tg x$ može se zapisati i kao ${1+\tg^2x}.$

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Nađite izvod funkcije ${{f(x)=3x^4-5x^2+7x-2}.}$

Rešenje: Diferenciramo član po član, pomoću pravila za stepen i pravila za konstantni činilac:

${f'(x)}={3\cdot 4x^3-5\cdot 2x+7-0}={12x^3-10x+7}$

Zadatak 2. ${f(x)=10x+4y},$ gde $y$ ne zavisi od $x.$ Nađite $f'(x).$

Rešenje: Diferenciramo po $x.$ Broj $y$ se ne menja kada se $x$ menja, pa je $4y$ konstanta i ${(4y)'=0}.$ Po pravilu za zbir

${f'(x)}={(10x)'+(4y)'}={10+0}={10}$

Zadatak 3. Nađite izvod funkcije ${y=\sqrt[3]{x^2}+\frac{2}{x^3}}.$

Rešenje: Prvo zapisujemo oba sabirka kao stepene od $x$: ${y=x^{\frac23}+2x^{-3}}.$ Po pravilu za stepen

${y'}={\frac23x^{-\frac13}+2\cdot(-3)x^{-4}}={\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{6}{x^4}}$

Zadatak 4. Nađite izvod funkcije ${y=x^3e^x}.$

Rešenje: Primenjujemo pravilo za proizvod sa ${f=x^3}$ i ${g=e^x}$:

${y'}={3x^2\cdot e^x+x^3\cdot e^x}={x^2e^x(x+3)}$

Zadatak 5. Nađite izvod funkcije ${f(x)=\frac{x^{10}}{4{,}15+\cos x}}.$

Rešenje: $f$ je količnik funkcija ${h(x)=x^{10}}$ i ${g(x)=4{,}15+\cos x}.$ Njihovi izvodi su ${h'(x)=10x^9}$ i ${g'(x)=0-\sin x=-\sin x}.$ Imenilac nikad nije 0, jer je ${\cos x\ge -1}.$ Po pravilu za količnik

${f'(x)}={\frac{h'(x)\cdot g(x)-h(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}}={\frac{10x^9(4{,}15+\cos x)-x^{10}(-\sin x)}{(4{,}15+\cos x)^2}}={\frac{10x^9(4{,}15+\cos x)+x^{10}\sin x}{(4{,}15+\cos x)^2}}$

Zadatak 6. Izvedite formulu ${(\tg x)'=\frac{1}{\cos^2x}}$ pomoću pravila za količnik.

Rešenje: ${\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}},$ pa je

${(\tg x)'}={\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2x}}={\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}}={\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}}={\frac{1}{\cos^2x}}$

U poslednjem koraku smo iskoristili ${\sin^2x+\cos^2x=1}.$

Zadatak 7. Nađite izvod funkcije ${f(x)=\ln(\sin x)}.$

Rešenje: Ovo je složena funkcija: spoljašnja funkcija je logaritam, a unutrašnja je ${u=\sin x},$ pri čemu je ${u'=\cos x}.$ Po formuli ${(\ln u)'=\frac{u'}{u}}$ iz tablice:

${f'(x)}={\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x}={\frac{\cos x}{\sin x}}={\ctg x}$

Funkcija je definisana samo tamo gde je ${\sin x\gt 0}.$

Zadatak 8. Nađite izvod funkcije ${y=\sqrt{x^2+1}}.$

Rešenje: Primenjujemo pravilo za složenu funkciju sa ${u=x^2+1}$ i ${(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}}$:

${y'}={\frac{(x^2+1)'}{2\sqrt{x^2+1}}}={\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}={\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$

Zadatak 9. Nađite izvod funkcije ${y=\sin^2 3x}.$

Rešenje: ${\sin^2 3x=(\sin 3x)^2},$ pa su ovde ugnežđene tri funkcije: kvadrat, sinus i $3x.$ Pravilo za složenu funkciju primenjujemo dva puta:

${y'}={2\sin 3x\cdot(\sin 3x)'}={2\sin 3x\cdot\cos 3x\cdot 3}={6\sin 3x\cos 3x}={3\sin 6x}$

U poslednjem koraku smo iskoristili ${2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha}.$

Zadatak 10. ${f(x)=x^3-2x}.$ Nađite $f'(2)$ i jednačinu tangente na grafik funkcije $f$ u tački sa apscisom ${x=2}.$

Rešenje: ${f'(x)=3x^2-2},$ pa je ${f'(2)}={3\cdot 4-2}={10}.$ To je koeficijent pravca tangente. Pošto je ${f(2)}={8-4}={4},$ tačka dodira je ${(2;\ 4)}.$ Jednačina tangente je

${y}={f(2)+f'(2)(x-2)}={4+10(x-2)}={10x-16}$

Vežbe

Nađite izvode. Prvo pokušajte sami, a zatim otvorite odgovor.

1. ${y=4x^3-6x+1}$

${y'=12x^2-6}$

2. ${y=\frac{1}{x^2}}$

${y'}={(x^{-2})'}={-2x^{-3}}={-\frac{2}{x^3}}$

3. ${y=x\ln x}$

${y'}={1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x}={\ln x+1}$

4. ${y=\frac{x^2}{x-1}}$

${y'}={\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}}={\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}}$

5. ${y=e^{-x^2}}$

${y'}={e^{-x^2}\cdot(-2x)}={-2x\,e^{-x^2}}$

6. ${y=\cos(5x+1)}$

${y'}={-\sin(5x+1)\cdot 5}={-5\sin(5x+1)}$

7. ${y=\ln(x^2+4)}$

${y'}={\frac{(x^2+4)'}{x^2+4}}={\frac{2x}{x^2+4}}$

8. ${y=\arctg 2x}$

${y'}={\frac{1}{1+(2x)^2}\cdot 2}={\frac{2}{1+4x^2}}$

9. ${y=x^2\cos x}$

${y'}={2x\cos x+x^2\cdot(-\sin x)}={2x\cos x-x^2\sin x}$

10. ${f(x)=x^4-3x^2}.$ Nađite $f'(1).$

${f'(x)=4x^3-6x},$ pa je ${f'(1)}={4-6}={-2}$

Odgovore možete proveriti kalkulatorom na vrhu stranice, koji prikazuje rešenje korak po korak.