Koren, šta je koren

Koji pozitivan broj pomnožen samim sobom daje 9? To je broj 3, jer je ${3\cdot 3=3^2=9}.$ Kažemo da je 3 kvadratni koren broja 9 i pišemo ${\sqrt9=3}.$ Koji broj, uzet tri puta kao činilac, daje 27? Opet 3, jer je ${3\cdot 3\cdot 3=3^3=27}.$ Dakle, 3 je kubni koren broja 27 i pišemo ${\sqrt[3]{27}=3}.$

Stranica kvadrata površine 9 je ${\sqrt9=3}.$ Ivica kocke zapremine 27 je ${\sqrt[3]{27}=3}.$

Korenovanje je operacija inverzna stepenovanju: ono poništava stepenovanje. Stepen $3^2$ vodi nas od 3 do 9, a koren $\sqrt9$ vraća nas od 9 do 3. Znak $\sqrt{\phantom{0}}$ naziva se znak korena, a izraz zapisan pomoću njega, na primer $\sqrt9,$ $\sqrt[3]{27}$ ili ${2\sqrt{x+1}},$ naziva se koren ili radikal. Reč „radikal“ potiče od latinske reči radix, što znači „koren“.

Broj $n$ je izložilac korena, a broj $a$ pod znakom korena je potkorena veličina. Kod kvadratnog korena izložilac 2 se ne piše: $\sqrt[2]{a}$ je jednostavno $\sqrt a.$ Koren sa izložiocem 3 je kubni koren; zatim dolaze četvrti koren, peti koren i tako dalje.

Primeri

• ${\sqrt{25}=5},$ jer je ${5^2=25}.$
• ${\sqrt{\frac14}=\frac12},$ jer je ${\left(\frac12\right)^2=\frac14}.$
• ${\sqrt{0{,}09}=0{,}3},$ jer je ${0{,}3^2=0{,}09}.$
• ${\sqrt[3]{8}=2},$ jer je ${2^3=8}.$
• ${\sqrt[3]{-8}=-2},$ jer je ${(-2)^3=-8}.$
• ${\sqrt[4]{81}=3},$ jer je ${3^4=81}.$
• ${\sqrt[5]{32}=2},$ jer je ${2^5=32}.$
• ${\sqrt[n]{0}=0}$ i ${\sqrt[n]{1}=1}$ za svaki izložilac $n,$ jer je ${0^n=0}$ i ${1^n=1}.$

Na ovoj stranici: Koreni · Racionalni izložioci · Osobine korena · Uprošćavanje · Sabiranje i oduzimanje · Množenje · Deljenje · Racionalisanje imenioca · Stepenovanje i korenovanje korena · Upoređivanje · Grafici · Zadaci

Kvadratni koren, kubni koren i n-ti koren

Potpuni kvadrati i potpuni kubovi

Prirodan broj čiji je kvadratni koren takođe prirodan broj naziva se potpun kvadrat: 1, 4, 9, 16, 25, … Broj čiji je kubni koren prirodan broj je potpun kub: 1, 8, 27, 64, … Prvih nekoliko vredi naučiti napamet, jer korene nalazimo tako što prepoznajemo ove brojeve.

$x$	$x^2$	$x^3$	$x^4$
1	1	1	1
2	4	8	16
3	9	27	81
4	16	64	256
5	25	125	625
6	36	216	1296
7	49	343	2401
8	64	512	4096
9	81	729	6561
10	100	1000	10000

Čitajući tabelu zdesna nalevo, nalazimo korene: ${\sqrt{49}=7},$ ${\sqrt[3]{216}=6},$ ${\sqrt[4]{625}=5}.$ Sledeći potpuni kvadrati su ${11^2=121},$ ${12^2=144},$ ${13^2=169},$ ${14^2=196}$ i ${15^2=225}.$

Dva kvadratna korena, jedan znak korena

Jednačina ${x^2=9}$ ima dva rešenja, 3 i $-3,$ jer je ${3^2=9}$ i ${(-3)^2=9}.$ Oba broja su kvadratni koreni broja 9. Ali simbol $\sqrt9$ označava samo jedan od njih, onaj koji nije negativan: ${\sqrt9=3}.$ On se naziva aritmetički kvadratni koren. Negativan koren zapisujemo ${-\sqrt9=-3},$ a oba zajedno ${\pm\sqrt9=\pm 3}.$

Na primer, iz ${x^2=7}$ dobijamo ${x=\pm\sqrt7},$ a iz ${x^3=-125}$ dobijamo ${x=\sqrt[3]{-125}=-5}.$ Tako se rešavaju najjednostavnije kvadratne i kubne jednačine.

Paran i neparan izložilac korena

Svaki koren sa parnim izložiocem (kraće: paran koren) ponaša se kao kvadratni koren, a svaki koren sa neparnim izložiocem (neparan koren) ponaša se kao kubni koren.

	$n$ je paran: $\sqrt a,$ $\sqrt[4]{a},$ $\sqrt[6]{a},$ …	$n$ je neparan: $\sqrt[3]{a},$ $\sqrt[5]{a},$ …
${a\gt 0}$	Koren je pozitivan: ${\sqrt[4]{16}=2}$	Koren je pozitivan: ${\sqrt[3]{8}=2}$
${a=0}$	${\sqrt[4]{0}=0}$	${\sqrt[3]{0}=0}$
${a\lt 0}$	Nema realnog korena: $\sqrt[4]{-16}$ ne postoji	Koren je negativan: ${\sqrt[3]{-8}=-2}$
Jednačina ${x^n=a}$	Dva rešenja $\pm\sqrt[n]{a}$ za ${a\gt 0},$ jedno (${x=0}$) za ${a=0},$ nijedno za ${a\lt 0}$	Tačno jedno rešenje, $\sqrt[n]{a}$

Zašto $\sqrt{-4}$ ne postoji? Kvadrat nikada nije negativan: ${2\cdot 2=4}$ i ${(-2)\cdot(-2)=4},$ pa nijedan realan broj pomnožen samim sobom ne daje $-4.$ (Kvadratni koreni negativnih brojeva vode do imaginarnih brojeva, što je tema naprednije algebre.) Neparan koren negativnog broja postoji, a znak minus jednostavno izlazi ispred korena:

Na primer, ${\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3}$ i ${\sqrt[5]{-32}=-\sqrt[5]{32}=-2}.$

Ne mešajte $\sqrt{-a}$ i $-\sqrt a.$ Broj ${-\sqrt{16}=-4}$ postoji, dok $\sqrt{-16}$ nije realan broj.

Iz istog razloga izraz sa parnim korenom definisan je samo kada mu potkorena veličina nije negativna: $\sqrt{x-3}$ je definisan za ${x\ge 3},$ dok je $\sqrt[3]{x-3}$ definisan za svako $x.$

Koren negativnog broja može pokazati da zadatak nema rešenja. Pretpostavimo da broj 14 treba rastaviti na dva sabirka čiji je proizvod 60. Ako je jedan sabirak $x,$ drugi je ${14-x},$ pa je ${x(14-x)=60},$ to jest ${x^2-14x+60=0}.$ Formula za rešenja kvadratne jednačine dala bi ${x=7\pm\sqrt{-11}}.$ Realan broj $\sqrt{-11}$ ne postoji, pa se 14 ne može rastaviti na ovaj način. Zaista, proizvod je najveći kada su oba sabirka jednaka, a tada iznosi samo ${7\cdot 7=49}.$

Koreni koji nisu celi brojevi

Većina korena nisu celi brojevi. Uzmimo $\sqrt2.$ Pošto je ${1^2=1}$ i ${2^2=4},$ koren se nalazi između 1 i 2. Probajmo sa decimalnim brojevima:

${1{,}4^2=1{,}96}$ i ${1{,}5^2=2{,}25},$ pa je ${1{,}4\lt\sqrt2\lt 1{,}5}$

${1{,}41^2=1{,}9881}$ i ${1{,}42^2=2{,}0164},$ pa je ${1{,}41\lt\sqrt2\lt 1{,}42}$

Ovako možemo nastaviti bez kraja: ${\sqrt2=1{,}41421356\ldots}$ Decimalni zapis se nikada ne završava i nije periodičan. Broj $\sqrt2$ je iracionalan: ne može se zapisati kao razlomak čiji su brojilac i imenilac celi brojevi.

Tako su $\sqrt4$ i $\sqrt[3]{27}$ prirodni brojevi, dok su $\sqrt2,$ $\sqrt3,$ $\sqrt5,$ $\sqrt6,$ $\sqrt[3]{2}$ i $\sqrt[3]{10}$ iracionalni. Nekoliko vrednosti koristi se veoma često:

${\sqrt2\approx 1{,}414},$   ${\sqrt3\approx 1{,}732},$   ${\sqrt5\approx 2{,}236},$   ${\sqrt{10}\approx 3{,}162}$

Iracionalan koren je ipak tačno određen broj. U računu ga ostavljamo u obliku $\sqrt2,$ a decimalnim brojem ga zamenjujemo tek na samom kraju, ako je to uopšte potrebno.

Da bismo procenili koren bez kalkulatora, nalazimo najbliže potpune kvadrate, manji i veći od potkorene veličine. Na primer, ${49\lt 50\lt 64},$ pa je ${7\lt\sqrt{50}\lt 8},$ a pošto je 50 veoma blizu 49, koren je tek malo veći od 7. Zaista, ${\sqrt{50}\approx 7{,}07}.$

Zašto se $\sqrt2$ ne može zapisati kao razlomak

Pretpostavimo da je ${\sqrt2=\frac pq},$ gde su $p$ i $q$ prirodni brojevi, a razlomak je neskrativ. Kvadriranjem dobijamo ${p^2=2q^2},$ pa je $p^2$ paran broj, a tada je i sam $p$ paran: ${p=2k}.$ Sada je ${4k^2=2q^2},$ to jest ${q^2=2k^2},$ pa je i $q$ paran. Ali tada se razlomak $\frac pq$ može skratiti sa 2, a rekli smo da je neskrativ. Ova protivrečnost pokazuje da takav razlomak ne postoji.

Koren kao stepen: racionalni izložioci

Koren se može zapisati kao stepen. Da bismo videli kako, uzmimo pozitivan broj $a$ i posmatrajmo $a^6.$ Njegov kvadratni koren je $a^3,$ jer je ${a^3\cdot a^3=a^6}$: izložilac 6 je podeljen sa 2. Njegov kubni koren je $a^2,$ jer je ${a^2\cdot a^2\cdot a^2=a^6}$: izložilac 6 je podeljen sa 3. Uradimo sada isto sa ${a=a^1}.$ Njegov kvadratni koren trebalo bi da ima izložilac $\frac12.$ I zaista, ako izložioce sabiramo na uobičajeni način, onda je

${a^{\frac12}\cdot a^{\frac12}=a^{\frac12+\frac12}=a^1=a}$

Dakle, $a^{\frac12}$ pomnožen samim sobom daje $a,$ isto kao $\sqrt a.$ Na isti način je ${a^{\frac13}\cdot a^{\frac13}\cdot a^{\frac13}=a},$ kao kod $\sqrt[3]{a}.$ Takvi izložioci nazivaju se racionalni (ili razlomljeni) izložioci.

Druga formula kaže da je stepen korena jednak korenu stepena. Na primer, četvrti stepen kubnog korena broja $a$ isti je broj kao kubni koren broja $a^4.$

Negativan racionalan izložilac znači „jedan kroz“, kao i kod celih izložilaca: ${a^{-\frac mn}=\frac{1}{a^{\frac mn}}}.$

Primeri

• ${9^{\frac12}=\sqrt9=3}$
• ${8^{\frac13}=\sqrt[3]{8}=2}$
• ${8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4}$
• ${16^{\frac34}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8}$
• ${27^{\frac43}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^4=3^4=81}$
• ${4^{-\frac12}=\frac{1}{4^{\frac12}}=\frac{1}{\sqrt4}=\frac12}$
• ${100^{1{,}5}}={100^{\frac32}}={\left(\sqrt{100}\right)^3}={10^3}={1000}$
• ${32^{0{,}4}}={32^{\frac25}}={\left(\sqrt[5]{32}\right)^2}={2^2}={4}$

Prvo korenujemo, pa tek onda stepenujemo: tako brojevi ostaju mali. Ako $16^{\frac34}$ računamo kao ${\sqrt[4]{16^3}=\sqrt[4]{4096}},$ dobijamo isti rezultat 8, ali uz mnogo više posla.

Jednaki razlomci daju jednake stepene: ${a^{\frac23}=a^{\frac46}=a^{\frac69}},$ to jest ${\sqrt[3]{a^2}=\sqrt[6]{a^4}=\sqrt[9]{a^6}}.$ Izložilac se može zapisati i kao decimalan broj: ${a^{0{,}5}=\sqrt a},$ ${a^{0{,}25}=\sqrt[4]{a}},$ ${a^{1{,}5}=\sqrt{a^3}}.$ Tako kalkulator nalazi korene: $\sqrt[5]{7}$ se unosi kao $7^{0{,}2},$ a ${7^{0{,}2}\approx 1{,}476}.$

Sva pravila za računanje sa stepenima važe i za racionalne izložioce. Ovde je ${a\gt 0}$ i ${b\gt 0},$ a $p$ i $q$ su proizvoljni racionalni brojevi:

Pravilo	Primer
${a^p\cdot a^q=a^{p+q}}$	${a^{\frac12}\cdot a^{\frac13}=a^{\frac12+\frac13}=a^{\frac56}}$
${\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}}$	${\frac{a^{\frac12}}{a^{\frac16}}=a^{\frac12-\frac16}=a^{\frac13}}$
${\left(a^p\right)^q=a^{pq}}$	${\left(a^{\frac13}\right)^2=a^{\frac23}}$
${(ab)^p=a^pb^p}$	${(8a)^{\frac13}=8^{\frac13}a^{\frac13}=2a^{\frac13}}$
${\left(\frac ab\right)^p=\frac{a^p}{b^p}}$	${\left(\frac{a}{9}\right)^{\frac12}=\frac{a^{\frac12}}{3}}$

Još nekoliko primera:

• ${a^{\frac27}\cdot a^{\frac37}=a^{\frac57}}$
• ${y^3\cdot y^{\frac16}=y^{3+\frac16}=y^{\frac{19}{6}}}$
• ${a^3\cdot a^{\frac13}\cdot a^{\frac23}}={a^{3+\frac13+\frac23}}={a^4}$
• ${\left(a^{\frac23}x^{\frac34}\right)^2=a^{\frac43}x^{\frac32}}$

Samo pozitivne osnove. Stepen sa racionalnim izložiocem definisan je samo za pozitivnu osnovu. Koren ${\sqrt[3]{-8}=-2}$ postoji, ali $(-8)^{\frac13}$ ostaje nedefinisano. U suprotnom bi jednaki izložioci $\frac13$ i $\frac26$ dali dva različita rezultata: $-2$ i ${\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2}.$

Osobine korena

Pravila za računanje sa korenima su pravila za stepene zapisana pomoću znaka korena. U tabeli su $n,$ $m$ i $k$ prirodni brojevi (svaki izložilac korena je najmanje 2), dok brojevi $a$ i $b$ nisu negativni. U pravilu za količnik je ${b\gt 0}.$

Pravilo	Formula	Primer
Koren proizvoda	${\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$	${\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt4\cdot\sqrt{25}=10}$
Koren količnika	${\sqrt[n]{\frac ab}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$	${\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt9}{\sqrt{16}}=\frac34}$
Stepen korena	${\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}}$	${\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=\sqrt[3]{64}=4}$
Koren korena	${\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}}$	${\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2}$
Proširivanje i skraćivanje korena	${\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}}$	${\sqrt[6]{5^3}=\sqrt5}$
Koren stepenovan svojim izložiocem	${\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a}$	${\left(\sqrt7\right)^2=7}$
Koren $n$-tog stepena, $n$ neparan	${\sqrt[n]{x^n}=x}$ za svako realno $x$	${\sqrt[3]{(-5)^3}=-5}$
Koren $n$-tog stepena, $n$ paran	${\sqrt[n]{x^n}=|x|}$ za svako realno $x$	${\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5}$

Poslednja dva pravila lako se pomešaju: ${\sqrt[3]{x^3}=x},$ ali ${\sqrt[4]{x^4}=|x|},$ apsolutna vrednost broja $x.$ Razlog je to što paran koren nikada nije negativan: ${\sqrt[2n]{x}\ge 0}$ za svako ${x\ge 0}$ i svaki prirodan broj $n.$ Za ${x=-5}$ dobijamo ${\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5},$ što je $|{-5}|,$ a ne $-5.$ Uporedimo i ${\left(\sqrt x\right)^2=x},$ što ima smisla samo za ${x\ge 0},$ sa ${\sqrt{x^2}=|x|},$ što je definisano za svako $x.$

Zašto formule važe

Zapisane kao stepeni sa racionalnim izložiocima, formule se svode na pravila za stepene (za ${a=0}$ obe strane svake formule jednake su 0).

Koren proizvoda.

${\sqrt[n]{ab}}={(ab)^{\frac1n}}={a^{\frac1n}\cdot b^{\frac1n}}={\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$

Koren količnika.

${\sqrt[n]{\frac ab}=\left(\frac ab\right)^{\frac1n}=\frac{a^{\frac1n}}{b^{\frac1n}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$

Stepen korena.

${\left(\sqrt[n]{a}\right)^m}={\left(a^{\frac1n}\right)^m}={a^{\frac mn}}={\sqrt[n]{a^m}}$

Koren korena.

${\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\left(a^{\frac1m}\right)^{\frac1n}=a^{\frac{1}{mn}}=\sqrt[nm]{a}}$

Proširivanje i skraćivanje korena.

${\sqrt[nk]{a^{mk}}=a^{\frac{mk}{nk}}=a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}}$

Pravila za racionalne izložioce prihvatili smo bez dokaza, pa potpun dokaz mora da pođe od definicije korena. Evo ga za pravilo o korenu proizvoda. Broj ${\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}}$ nije negativan, a njegov $n$-ti stepen je ${\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\cdot\left(\sqrt[n]{b}\right)^n=ab}.$ Dakle, to je $n$-ti koren broja $ab.$ Ostale formule proveravaju se na isti način. Na primer, ${\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\right)^n}={\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\right)^m}={a^m},$ pa je ${\left(\sqrt[n]{a}\right)^m}$ $n$-ti koren broja $a^m.$

Pravilo o korenu proizvoda važi za proizvoljan broj činilaca: ${\sqrt[n]{abc}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\cdot\sqrt[n]{c}}.$

Kada je izložilac korena neparan, pravila o korenu proizvoda i korenu količnika važe i za negativne brojeve: ${\sqrt[3]{(-8)\cdot 27}}={\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{27}}={-6}.$ Kada je izložilac paran, ona ne važe: ${\sqrt{(-4)\cdot(-9)}}={\sqrt{36}}={6},$ ali $\sqrt{-4}$ i $\sqrt{-9}$ ne postoje. Ako su i $a$ i $b$ negativni, koristimo ${\sqrt{ab}=\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}}$: na primer, ${\sqrt{(-4)\cdot(-9)}}={\sqrt4\cdot\sqrt9}={6}.$

Za zbir i razliku nema pravila. U opštem slučaju je ${\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b}$ i ${\sqrt{a-b}\ne\sqrt a-\sqrt b}.$ Na primer, ${\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5},$ ali ${\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7}.$ Za pozitivne $a$ i $b$ koren zbira je uvek manji: ${\sqrt{a+b}\lt\sqrt a+\sqrt b}.$

Slova pod korenom. Odavde pa nadalje, ako ne kažemo drugačije, slova označavaju brojeve koji nisu negativni, a za svaki izraz pod parnim korenom pretpostavljamo da nije negativan (a u imeniocu da je pozitivan). Tada je ${\sqrt{a^2}=a}$ i znak apsolutne vrednosti nije potreban.

Uprošćavanje korena

Koren je u najjednostavnijem obliku kada

• potkorena veličina nema činilac veći od 1 koji je potpun $n$-ti stepen (kod kvadratnog korena: nema činilac koji je potpun kvadrat);
• pod znakom korena nema razlomka, a u imeniocu nema korena;
• izložilac korena je najmanji mogući.

Izvlačenje činioca ispred korena

Primer. Uprostimo $\sqrt8.$ Najveći potpun kvadrat kojim je deljiv broj 8 je 4, pa je

${\sqrt8}={\sqrt{4\cdot 2}}={\sqrt4\cdot\sqrt2}={2\sqrt2}$

Ovde $2\sqrt2$ znači ${2\cdot\sqrt2}.$ Broj zapisan ispred korena množi se tim korenom i naziva se njegov koeficijent. Kada koeficijent nije zapisan, on je jednak 1. Ne treba mešati koeficijent i izložilac korena: $3\sqrt2$ je 3 puta $\sqrt2,$ dok je $\sqrt[3]{2}$ kubni koren broja 2.

• ${\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt2}$
• ${\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt2}$
• ${\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3}$
• ${\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt2}$
• ${\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}}$
• ${\sqrt[4]{32}=\sqrt[4]{16\cdot 2}=2\sqrt[4]{2}}$

Tražimo najveći činilac koji je potpun kvadrat. Kod $\sqrt{72}$ može se uzeti i činilac 4, što daje ${\sqrt{72}=2\sqrt{18}},$ ali 18 još sadrži potpun kvadrat 9, pa je potreban još jedan korak: ${2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt2=6\sqrt2}.$

Kada je potkorena veličina velika, rastavljamo je na proste činioce. Svaki par jednakih činilaca daje jedan činilac ispred kvadratnog korena (a svaka trojka jedan činilac ispred kubnog korena):

${\sqrt{360}}={\sqrt{2^3\cdot 3^2\cdot 5}}={\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 10}}={2\cdot 3\sqrt{10}}={6\sqrt{10}}$

Sa slovima postupamo na isti način. Izložilac stepena podelimo izložiocem korena: količnik je izložilac ispred korena, a ostatak ostaje pod korenom.

• ${\sqrt{a^2x}=a\sqrt x}$
• ${\sqrt{x^5}=\sqrt{x^4\cdot x}=x^2\sqrt x}$
• ${\sqrt{98a^2x}}={\sqrt{49a^2\cdot 2x}}={7a\sqrt{2x}}$
• ${\sqrt[3]{54a^6b}}={\sqrt[3]{27a^6\cdot 2b}}={3a^2\sqrt[3]{2b}}$
• ${\sqrt[3]{a^3+a^3b^2}}={\sqrt[3]{a^3\left(1+b^2\right)}}={a\sqrt[3]{1+b^2}}$

Ako znak broja $a$ nije poznat, kod parnog korena potrebna je apsolutna vrednost: ${\sqrt{a^2x}=|a|\sqrt x}.$ Koreni kao što su $\sqrt{10},$ $\sqrt{15}$ i $\sqrt[3]{4}$ nemaju činilac koji je potpun stepen, pa su već u najjednostavnijem obliku.

Unošenje činioca pod koren

Ista formula, pročitana zdesna nalevo, unosi koeficijent pod znak korena. Koeficijent stepenujemo izložiocem korena i zapišemo ga kao činilac potkorene veličine.

• ${3\sqrt2=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}}$
• ${2\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{2^3\cdot 5}=\sqrt[3]{40}}$
• ${a\sqrt[3]{x-b}=\sqrt[3]{a^3(x-b)}}$
• ${2ab\sqrt[3]{2ab^2}}={\sqrt[3]{8a^3b^3\cdot 2ab^2}}={\sqrt[3]{16a^4b^5}}$

Na ovaj način svaki pozitivan broj može se zapisati kao koren sa bilo kojim izložiocem: ${3=\sqrt9=\sqrt[3]{27}=\sqrt[4]{81}},$ ${3a=\sqrt[4]{81a^4}}$ i ${a^2=\sqrt[3]{a^6}}.$

Negativan koeficijent ostaje ispred parnog korena. ${-3\sqrt2=-\sqrt{18}}.$ Kvadriranjem broja $-3$ izgubili bismo znak minus i dobili pozitivan broj $\sqrt{18}.$ Isto važi i za slovo: ako je ${a\lt 0},$ onda je ${a\sqrt x=-\sqrt{a^2x}}.$

Proširivanje i skraćivanje korena. Zajednički izložilac

Prema formuli za proširivanje i skraćivanje korena, izložilac korena i izložilac potkorene veličine mogu se pomnožiti ili podeliti istim brojem:

• ${\sqrt[6]{a^3}=\sqrt a}$
• ${\sqrt[4]{9}=\sqrt[4]{3^2}=\sqrt3}$
• ${\sqrt[6]{8}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt2}$
• ${\sqrt[6]{a^4}=\sqrt[3]{a^2}}$

To je isto što i skraćivanje razlomka u izložiocu: ${a^{\frac36}=a^{\frac12}}.$

Samo kada potkorena veličina nije negativna. ${\sqrt[3]{-8}=-2},$ ali ${\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2}.$ Ako je potkorena veličina negativna, prvo izvučemo znak minus ispred korena: ${\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-\sqrt[6]{8^2}}.$

Koreni sa različitim izložiocima mogu se svesti na zajednički izložilac. Uzimamo najmanji zajednički sadržalac izložilaca, isto kao kada tražimo zajednički imenilac razlomaka.

• $\sqrt a$ i $\sqrt[3]{b}$: najmanji zajednički sadržalac brojeva 2 i 3 je 6, pa je ${\sqrt a=\sqrt[6]{a^3}}$ i ${\sqrt[3]{b}=\sqrt[6]{b^2}}.$
• $\sqrt2$ i $\sqrt[3]{3}$ postaju ${\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}}$ i ${\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}}.$
• $\sqrt[4]{a}$ i $\sqrt[6]{b}$ postaju $\sqrt[12]{a^3}$ i $\sqrt[12]{b^2}.$
• $\sqrt[3]{4}$ i $\sqrt[4]{5}$ postaju ${\sqrt[12]{4^4}=\sqrt[12]{256}}$ i ${\sqrt[12]{5^3}=\sqrt[12]{125}}.$

Koren potpunog kvadrata

Kada je potkorena veličina kvadrat zbira ili kvadrat razlike, koren se može tačno izračunati. Ovde slova mogu biti bilo koji realni brojevi, pozitivni ili negativni, pa je potrebna apsolutna vrednost. Podsetimo se formula za kvadrat binoma ${(x+y)^2=x^2+2xy+y^2}$ i ${(x-y)^2=x^2-2xy+y^2}.$

• ${\sqrt{x^2+2x+1}}={\sqrt{(x+1)^2}}={|x+1|}$
• ${\sqrt{a^2+a+\frac14}}={\sqrt{\left(a+\frac12\right)^2}}={\left|a+\frac12\right|}$
• ${\sqrt{x^2-6bx+9b^2}}={\sqrt{(x-3b)^2}}={|x-3b|}$

Na primer, ${x+1}$ može biti negativno. Za ${x=-4}$ potkorena veličina je ${16-8+1=9},$ a koren je 3, što je $|{-3}|.$

Na isti način uklanjamo koren koji se nalazi pod drugim korenom. Tražimo dva broja čiji je zbir jednak članu bez korena, a proizvod broju pod unutrašnjim korenom, pošto taj koren zapišemo sa koeficijentom 2. Za ${3+2\sqrt2}$ to su brojevi 1 i 2. Za ${7-4\sqrt3=7-2\sqrt{12}}$ to su 4 i 3.

${\sqrt{3+2\sqrt2}}={\sqrt{1+2\sqrt2+2}}={\sqrt{\left(1+\sqrt2\right)^2}}={1+\sqrt2}$

${\sqrt{7-4\sqrt3}}={\sqrt{4-4\sqrt3+3}}={\sqrt{\left(2-\sqrt3\right)^2}}={\left|2-\sqrt3\right|}={2-\sqrt3}$

U poslednjem koraku ${2-\sqrt3}$ je pozitivno, jer je ${2=\sqrt4\gt\sqrt3}.$ Kvadratni koren nikada nije negativan, pa je redosled važan: ${\sqrt{\left(1-\sqrt2\right)^2}=\sqrt2-1}.$

Sabiranje i oduzimanje korena

Koreni sa istim izložiocem i istom potkorenom veličinom nazivaju se slični koreni. Na primer, $2\sqrt3$ i $5\sqrt3$ su slični koreni, kao i $\sqrt[3]{x}$ i $-4\sqrt[3]{x}.$ Koreni $\sqrt3$ i $\sqrt5$ nisu slični (različite potkorene veličine), a nisu ni $\sqrt a$ i $\sqrt[3]{a}$ (različiti izložioci).

Dva korena iz $a$ i tri korena iz $a$ daju pet korena iz $a,$ isto kao što je ${2x+3x=5x}$:

${2\sqrt a+3\sqrt a=5\sqrt a}$

• ${2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3}$
• ${7\sqrt[3]{2}-4\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}}$
• ${\sqrt5+\sqrt5=2\sqrt5}$
• ${\sqrt{ay}-3\sqrt{ay}=-2\sqrt{ay}}$
• ${3\sqrt[3]{h}-\left(-5\sqrt[3]{h}\right)=8\sqrt[3]{h}}$
• ${a\sqrt{b-h}+y\sqrt{b-h}}={(a+y)\sqrt{b-h}}$
• ${5\sqrt2+3\sqrt7-2\sqrt2+\sqrt7}={3\sqrt2+4\sqrt7}$

Prvo uprostimo

Koreni koji izgledaju različito mogu se pokazati kao slični kada ih uprostimo.

• ${\sqrt8+\sqrt{50}}={2\sqrt2+5\sqrt2}={7\sqrt2}$
• ${\sqrt{50}-\sqrt8}={5\sqrt2-2\sqrt2}={3\sqrt2}$
• ${\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}}={2\sqrt3+3\sqrt3-4\sqrt3}={\sqrt3}$
• ${\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54}}={2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2}}={5\sqrt[3]{2}}$
• ${\sqrt{16b}+\sqrt{4b}}={4\sqrt b+2\sqrt b}={6\sqrt b}$
• ${\sqrt{a^2x}+\sqrt{b^4x}}={a\sqrt x+b^2\sqrt x}={\left(a+b^2\right)\sqrt x}$
• ${\sqrt[3]{b^4y}-\sqrt[3]{by^4}}={b\sqrt[3]{by}-y\sqrt[3]{by}}={(b-y)\sqrt[3]{by}}$

Koreni koji nisu slični ne mogu se sabrati u jedan koren. Zbir ${3\sqrt b+2\sqrt a}$ ostaje takav kakav jeste: to nije ni $5\sqrt a,$ ni $5\sqrt b,$ ni $5\sqrt{a+b}.$ Ni zbir ${\sqrt a+\sqrt[3]{a}}$ ne može se uprostiti. Posebno, ${\sqrt2+\sqrt3\ne\sqrt5}$: leva strana je približno ${1{,}414+1{,}732=3{,}146},$ a ${\sqrt5\approx 2{,}236}.$

Množenje korena

• ${\sqrt3\cdot\sqrt5=\sqrt{15}}$
• ${\sqrt2\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6}$
• ${\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{27}=3}$
• ${\sqrt{8xb}\cdot\sqrt{2xb}}={\sqrt{16x^2b^2}}={4xb}$
• ${\sqrt{a+m}\cdot\sqrt{a-m}}={\sqrt{a^2-m^2}}$
• ${5\sqrt5\cdot 3\sqrt8}={15\sqrt{40}}={15\cdot 2\sqrt{10}}={30\sqrt{10}}$
• ${a\sqrt x\cdot b\sqrt x=ab\sqrt{x^2}=abx}$
• ${x\sqrt[3]{3}\cdot y\sqrt[3]{9}}={xy\sqrt[3]{27}}={3xy}$

Kao što pokazuju drugi i treći primer, proizvod dva iracionalna broja može biti ceo broj. Posebno, ${\sqrt a\cdot\sqrt a=a}$: na primer, ${\sqrt7\cdot\sqrt7=7}.$

Koreni sa različitim izložiocima

Prvo korene svedemo na zajednički izložilac, a zatim pomnožimo potkorene veličine.

• ${\sqrt x\cdot\sqrt[3]{y}}={\sqrt[6]{x^3}\cdot\sqrt[6]{y^2}}={\sqrt[6]{x^3y^2}}$
• ${2\sqrt3\cdot 3\sqrt[3]{4}}={6\sqrt[6]{3^3}\cdot\sqrt[6]{4^2}}={6\sqrt[6]{27\cdot 16}}={6\sqrt[6]{432}}$
• ${\sqrt d\cdot\sqrt[3]{ab}}={\sqrt[6]{d^3}\cdot\sqrt[6]{a^2b^2}}={\sqrt[6]{a^2b^2d^3}}$

Korene istog broja najlakše je množiti kao stepene: izložioce saberemo.

• ${\sqrt a\cdot\sqrt[3]{a}}={a^{\frac12}\cdot a^{\frac13}}={a^{\frac56}}={\sqrt[6]{a^5}}$
• ${\sqrt2\cdot\sqrt[4]{2}}={2^{\frac12+\frac14}}={2^{\frac34}}={\sqrt[4]{8}}$
• ${x\cdot\sqrt[n]{x}=x^{1+\frac1n}=x^{\frac{n+1}{n}}}$

Zbirovi sa korenima. Konjugovani izrazi

Zagrada se oslobađamo na uobičajeni način: svaki član množimo svakim članom.

${\sqrt2\left(\sqrt6+\sqrt8\right)}={\sqrt{12}+\sqrt{16}}={2\sqrt3+4}$

${\left(2+\sqrt3\right)\left(5-\sqrt3\right)}={10-2\sqrt3+5\sqrt3-3}={7+3\sqrt3}$

Važe i formule za kvadrat zbira i kvadrat razlike:

${\left(a+\sqrt y\right)^2=a^2+2a\sqrt y+y}$

${\left(a-\sqrt y\right)^2=a^2-2a\sqrt y+y}$

${\left(\sqrt5+\sqrt2\right)^2}={5+2\sqrt{10}+2}={7+2\sqrt{10}}$

Najkorisnija je formula za razliku kvadrata. Izrazi ${\sqrt a+\sqrt b}$ i ${\sqrt a-\sqrt b}$ nazivaju se konjugovani izrazi, kao i ${a+\sqrt b}$ i ${a-\sqrt b}.$ Proizvod dva konjugovana izraza ne sadrži korene:

• ${\left(1+\sqrt2\right)\left(1-\sqrt2\right)}={1-2}={-1}$
• ${\left(3-2\sqrt2\right)\left(3+2\sqrt2\right)}={9-8}={1}$
• ${\left(\sqrt7+\sqrt3\right)\left(\sqrt7-\sqrt3\right)}={7-3}={4}$

Deljenje korena

• ${\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}=\sqrt{25}=5}$
• ${\frac{\sqrt{6a^3x}}{\sqrt{3x}}=\sqrt{2a^3}=a\sqrt{2a}}$
• ${\frac{10\sqrt{27}}{2\sqrt3}=5\sqrt9=15}$
• ${\frac{10\sqrt[3]{108}}{5\sqrt[3]{4}}=2\sqrt[3]{27}=6}$
• ${\frac{8\sqrt{108}}{2\sqrt6}=4\sqrt{18}=12\sqrt2}$
• ${\frac{24x\sqrt{ay}}{6\sqrt a}=4x\sqrt y}$

Koreni sa različitim izložiocima prvo se svode na zajednički izložilac:

• ${\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt b}=\frac{\sqrt[6]{a^2}}{\sqrt[6]{b^3}}=\sqrt[6]{\frac{a^2}{b^3}}}$
• ${\frac{2\sqrt[3]{bc}}{3\sqrt{ac}}}={\frac23\sqrt[6]{\frac{b^2c^2}{a^3c^3}}}={\frac23\sqrt[6]{\frac{b^2}{a^3c}}}$
• ${\frac{\sqrt[6]{x^3y^2}}{\sqrt[3]{y}}}={\frac{\sqrt[6]{x^3y^2}}{\sqrt[6]{y^2}}}={\sqrt[6]{x^3}}={\sqrt x}$

Korene istog broja najlakše je deliti kao stepene: izložioce oduzmemo.

• ${\frac{\sqrt a}{\sqrt[6]{a}}=a^{\frac12-\frac16}=a^{\frac13}=\sqrt[3]{a}}$
• ${\frac{a^2}{\sqrt[3]{a}}=a^{2-\frac13}=a^{\frac53}=a\sqrt[3]{a^2}}$

Racionalisanje imenioca

Sa razlomkom se lakše računa kada u njegovom imeniocu nema korena. Na primer, ${\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}},$ a deliti 1,414… sa 2 mnogo je lakše nego deliti 1 sa 1,414… Uklanjanje korena iz imenioca naziva se racionalisanje imenioca. Brojilac i imenilac množimo istim brojem, pa se vrednost razlomka ne menja.

1. Imenilac je kvadratni koren. Brojilac i imenilac pomnožimo tim korenom.

${\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\cdot\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}}$

${\frac{6}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2}$

${\frac{\sqrt a}{\sqrt x}=\frac{\sqrt a\cdot\sqrt x}{\sqrt x\cdot\sqrt x}=\frac{\sqrt{ax}}{x}}$

${\sqrt{\frac37}}={\frac{\sqrt3}{\sqrt7}}={\frac{\sqrt3\cdot\sqrt7}{\sqrt7\cdot\sqrt7}}={\frac{\sqrt{21}}{7}}$

2. Imenilac je koren sa većim izložiocem. Množimo korenom koji potkorenu veličinu dopunjuje do potpunog $n$-tog stepena, jer je ${\sqrt[n]{x}\cdot\sqrt[n]{x^{n-1}}=\sqrt[n]{x^n}=x}.$

${\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2^2}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

${\frac{6}{\sqrt[4]{5}}=\frac{6\sqrt[4]{5^3}}{\sqrt[4]{5}\cdot\sqrt[4]{5^3}}=\frac{6\sqrt[4]{125}}{5}}$

3. Imenilac je zbir ili razlika koja sadrži kvadratne korene. Množimo konjugovanim izrazom. U imeniocu dobijamo razliku kvadrata i koreni nestaju.

${\frac{\sqrt2}{3-\sqrt2}}={\frac{\sqrt2\left(3+\sqrt2\right)}{\left(3-\sqrt2\right)\left(3+\sqrt2\right)}}={\frac{3\sqrt2+2}{9-2}}={\frac{2+3\sqrt2}{7}}$

${\frac{4}{\sqrt7-\sqrt3}}={\frac{4\left(\sqrt7+\sqrt3\right)}{7-3}}={\sqrt7+\sqrt3}$

${\frac{a-\sqrt b}{a+\sqrt b}}={\frac{\left(a-\sqrt b\right)^2}{\left(a+\sqrt b\right)\left(a-\sqrt b\right)}}={\frac{a^2-2a\sqrt b+b}{a^2-b}}$   (za ${a^2\ne b}$)

Teži primer. Za imenilac sa tri korena potrebna su dva koraka. Kod razlomka $\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt2-\sqrt3}$ prvo grupišemo poslednja dva korena i množimo sa ${\sqrt{10}+\left(\sqrt2+\sqrt3\right)}$:

${\left(\sqrt{10}-\sqrt2-\sqrt3\right)}\cdot {\left(\sqrt{10}+\sqrt2+\sqrt3\right)}={10-\left(\sqrt2+\sqrt3\right)^2}={5-2\sqrt6}$

Zatim množimo konjugovanim izrazom ${5+2\sqrt6},$ jer je ${\left(5-2\sqrt6\right)\left(5+2\sqrt6\right)}={25-24}={1}.$ Dakle,

${\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt2-\sqrt3}}={\left(\sqrt{10}+\sqrt2+\sqrt3\right)\left(5+2\sqrt6\right)}$

Ponekad je potrebno obrnuto, pa se na isti način racionališe brojilac: ${\frac{\sqrt a}{\sqrt x}=\frac{\sqrt a\cdot\sqrt a}{\sqrt x\cdot\sqrt a}=\frac{a}{\sqrt{ax}}}.$

Stepenovanje i korenovanje korena

Stepenovanje

• ${\left(\sqrt[3]{2}\right)^2=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}}$
• ${\left(\sqrt3\right)^4=\sqrt{3^4}=3^2=9}$
• ${\left(2\sqrt3\right)^2=2^2\cdot 3=12}$
• ${\left(2\sqrt5\right)^3}={8\sqrt{5^3}}={8\cdot 5\sqrt5}={40\sqrt5}$
• ${\left(\sqrt[3]{b+x}\right)^3=b+x}$
• ${\left(3a\sqrt[3]{y}\right)^3=27a^3y}$
• ${\left(a\sqrt[n]{x}\right)^2=a^2\sqrt[n]{x^2}}$
• ${\left(\sqrt[6]{a}\right)^2=\sqrt[6]{a^2}=\sqrt[3]{a}}$

Korenovanje

• ${\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[6]{a}}$
• ${\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[6]{64}=2}$
• ${\sqrt{\sqrt x}=\sqrt[4]{x}}$ i ${\sqrt{\sqrt{\sqrt x}}=\sqrt[8]{x}}$
• ${\sqrt[3]{a\sqrt{xy}}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[6]{xy}}$

Kada se ispred unutrašnjeg korena nalazi koeficijent, prvo ga unesemo pod taj koren:

${\sqrt{2\sqrt2}}={\sqrt{\sqrt{2^2\cdot 2}}}={\sqrt{\sqrt8}}={\sqrt[4]{8}}$

Racionalni izložioci obavljaju isti posao bez ijednog znaka korena:

${\sqrt{a\sqrt[3]{a}}}={\left(a\cdot a^{\frac13}\right)^{\frac12}}={\left(a^{\frac43}\right)^{\frac12}}={a^{\frac23}}={\sqrt[3]{a^2}}$

Upoređivanje korena

• Isti izložilac. ${\sqrt7\lt\sqrt{10}}$ i ${\sqrt[3]{5}\gt\sqrt[3]{4}}.$
• Broj i koren. Šta je veće, 4 ili $\sqrt{15}?$ Pošto je ${4=\sqrt{16}},$ dobijamo ${4\gt\sqrt{15}}.$
• Koeficijenti. Šta je veće, $3\sqrt2$ ili $2\sqrt5?$ Unesemo koeficijente pod korene: ${3\sqrt2=\sqrt{18}}$ i ${2\sqrt5=\sqrt{20}}.$ Dakle, ${3\sqrt2\lt 2\sqrt5}.$
• Različiti izložioci. Šta je veće, $\sqrt2$ ili $\sqrt[3]{3}?$ Koristimo zajednički izložilac 6: ${\sqrt2=\sqrt[6]{8}}$ i ${\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}}.$ Dakle, ${\sqrt2\lt\sqrt[3]{3}}.$
• Procena. ${16\lt 20\lt 25},$ pa je ${4\lt\sqrt{20}\lt 5}.$ Na isti način je ${27\lt 50\lt 64},$ pa je ${3\lt\sqrt[3]{50}\lt 4}.$

Kod broja većeg od 1 koren je manji od samog broja, i što je izložilac korena veći, koren je manji: ${\sqrt{64}=8},$ ${\sqrt[3]{64}=4},$ ${\sqrt[6]{64}=2}.$ Kod broja između 0 i 1 je obrnuto, pa je koren veći od samog broja: ${\sqrt{0{,}25}=0{,}5}.$

Grafici korenih funkcija

Grafik kvadratnog korena

Funkcija ${y=\sqrt x}$ definisana je samo za ${x\ge 0},$ a njene vrednosti nisu negativne: ${y\ge 0}.$ Grafik počinje u tački ${(0;\ 0)}$ i stalno se penje, pa je funkcija rastuća. Ali penje se sve sporije: da bi se popeo od 0 do 1, potrebna mu je 1 jedinica po $x,$ od 1 do 2 još 3 jedinice, a od 2 do 3 još 5.

Grafik funkcije ${y=\sqrt x}$ prolazi kroz tačke ${(0;\ 0)},$ ${(1;\ 1)},$ ${(4;\ 2)}$ i ${(9;\ 3)}.$

Grafik je polovina parabole položene na bok. Funkcija ${y=\sqrt x}$ je inverzna funkciji ${y=x^2}$ za ${x\ge 0}$: ako je ${y=x^2},$ onda je ${x=\sqrt y}.$ Zato su ova dva grafika simetrična u odnosu na pravu ${y=x}.$

Grafici funkcija ${y=x^2}$ za ${x\ge 0}$ i ${y=\sqrt x}$ simetrični su u odnosu na pravu ${y=x}.$

Grafik kubnog korena

Funkcija ${y=\sqrt[3]{x}}$ definisana je za svaki realan broj $x$ i uzima svaku realnu vrednost. Svuda je rastuća i inverzna je funkciji ${y=x^3}.$ Pošto je ${\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}},$ grafik je simetričan u odnosu na koordinatni početak.

Grafik funkcije ${y=\sqrt[3]{x}}$ prolazi kroz tačke ${(-8;\ -2)},$ ${(-1;\ -1)},$ ${(0;\ 0)},$ ${(1;\ 1)}$ i ${(8;\ 2)}.$

Grafici svih korena sa parnim izložiocem liče na grafik funkcije $\sqrt x,$ a grafici korena sa neparnim izložiocem na grafik funkcije $\sqrt[3]{x}.$ Svaki grafik ${y=\sqrt[n]{x}}$ prolazi kroz tačke ${(0;\ 0)}$ i ${(1;\ 1)}.$

Zadaci za vežbu

Pokušajte prvo sami, a zatim otvorite rešenje. Sva slova označavaju pozitivne brojeve, osim u zadatku 15, gde je $x$ bilo koji realan broj.

1. Izračunajte: a) $\sqrt{121};$ b) $\sqrt[3]{-64};$ c) $\sqrt[4]{81};$ d) $\sqrt[5]{\frac{1}{32}}.$

a) 11, jer je ${11^2=121};$ b) $-4,$ jer je ${(-4)^3=-64};$ c) 3, jer je ${3^4=81};$ d) $\frac12,$ jer je ${\left(\frac12\right)^5=\frac{1}{32}}.$

2. Izračunajte: a) $27^{\frac23};$ b) $16^{-\frac34};$ c) $0{,}04^{0{,}5};$ d) $32^{\frac35}.$

a) ${\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9};$ b) ${\frac{1}{\left(\sqrt[4]{16}\right)^3}=\frac{1}{2^3}=\frac18};$ c) ${\sqrt{0{,}04}=0{,}2};$ d) ${\left(\sqrt[5]{32}\right)^3=2^3=8}.$

3. Između koja dva uzastopna cela broja se nalazi svaki od ovih korena? a) $\sqrt{75};$ b) $\sqrt[3]{100}.$

a) ${64\lt 75\lt 81},$ pa je ${8\lt\sqrt{75}\lt 9}.$ b) ${64\lt 100\lt 125},$ pa je ${4\lt\sqrt[3]{100}\lt 5}.$

4. Zapišite pomoću znaka korena: a) $a^{\frac35};$ b) $x^{-\frac12}.$ Zapišite u obliku stepena: c) $\sqrt[4]{b^3};$ d) $\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}};$ e) $\sqrt[6]{(a+b)^{-3}}.$

a) $\sqrt[5]{a^3};$ b) $\frac{1}{\sqrt x};$ c) $b^{\frac34};$ d) $y^{-\frac23};$ e) ${(a+b)^{-\frac36}=(a+b)^{-\frac12}}.$

5. Uprostite: a) $\sqrt{72};$ b) $\sqrt{300};$ c) $\sqrt[3]{250};$ d) $\sqrt[4]{162}.$

a) ${\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt2};$ b) ${\sqrt{100\cdot 3}=10\sqrt3};$ c) ${\sqrt[3]{125\cdot 2}=5\sqrt[3]{2}};$ d) ${\sqrt[4]{81\cdot 2}=3\sqrt[4]{2}}.$

6. Uprostite: a) $\sqrt{75a^4b^3};$ b) $\sqrt[3]{-125a^3x^6};$ c) $\sqrt{\frac{4a^4}{9x^2y^2}};$ d) $\sqrt[5]{\frac{32a^5x^{10}}{243}}.$

a) ${\sqrt{25a^4b^2\cdot 3b}=5a^2b\sqrt{3b}};$ b) $-5ax^2;$ c) $\frac{2a^2}{3xy};$ d) $\frac{2ax^2}{3}.$

7. Unesite koeficijent pod koren: a) $5\sqrt3;$ b) $2\sqrt[3]{7};$ c) $-2\sqrt6.$ d) Zapišite $ax^2$ kao šesti koren.

a) ${\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}};$ b) ${\sqrt[3]{8\cdot 7}=\sqrt[3]{56}};$ c) ${-\sqrt{4\cdot 6}=-\sqrt{24}};$ d) $\sqrt[6]{a^6x^{12}}.$

8. Saberite ili oduzmite: a) ${\sqrt{18a}+3\sqrt{2a}};$ b) ${3\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{80}};$ c) ${\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{24}};$ d) ${\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}}.$

a) ${3\sqrt{2a}+3\sqrt{2a}=6\sqrt{2a}};$ b) ${6\sqrt5-3\sqrt5+4\sqrt5=7\sqrt5};$ c) ${3\sqrt[3]{3}-2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{3}};$ d) ${2\sqrt3+3\sqrt3-5\sqrt3=0}.$

9. Pomnožite: a) ${\sqrt6\cdot\sqrt{15}};$ b) ${2\sqrt3\cdot 5\sqrt{12}};$ c) ${\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{10}};$ d) ${\sqrt2\cdot\sqrt[3]{4}}.$

a) ${\sqrt{90}=3\sqrt{10}};$ b) ${10\sqrt{36}=60};$ c) ${\sqrt[3]{40}=2\sqrt[3]{5}};$ d) ${\sqrt[6]{2^3}\cdot\sqrt[6]{4^2}=\sqrt[6]{128}=2\sqrt[6]{2}}.$

10. Oslobodite se zagrada: a) ${\left(3+\sqrt5\right)\left(3-\sqrt5\right)};$ b) ${\left(\sqrt7-2\right)^2};$ c) ${\left(\sqrt3+\sqrt2\right)\left(2\sqrt3-\sqrt2\right)};$ d) ${\left(a-\sqrt b\right)^3}.$

a) ${9-5=4};$ b) ${7-4\sqrt7+4=11-4\sqrt7};$ c) ${6-\sqrt6+2\sqrt6-2=4+\sqrt6};$ d) ${a^3-3a^2\sqrt b+3ab-b\sqrt b}.$

11. Podelite: a) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt2};$ b) $\frac{12\sqrt{30}}{4\sqrt6};$ c) $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}};$ d) $\frac{\sqrt[6]{a^2b^2d^3}}{\sqrt d}.$

a) ${\sqrt{49}=7};$ b) $3\sqrt5;$ c) ${\sqrt[3]{27}=3};$ d) ${\frac{\sqrt[6]{a^2b^2d^3}}{\sqrt[6]{d^3}}=\sqrt[6]{a^2b^2}=\sqrt[3]{ab}}.$

12. Racionališite imenilac: a) $\frac{10}{\sqrt5};$ b) $\frac{3}{\sqrt[3]{9}};$ c) $\frac{1}{\sqrt5+\sqrt3};$ d) $\frac{1+\sqrt2}{1-\sqrt2}.$

a) ${\frac{10\sqrt5}{5}=2\sqrt5};$ b) ${\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{9}\cdot\sqrt[3]{3}}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{3}=\sqrt[3]{3}};$ c) ${\frac{\sqrt5-\sqrt3}{5-3}=\frac{\sqrt5-\sqrt3}{2}};$ d) ${\frac{\left(1+\sqrt2\right)^2}{1-2}=-3-2\sqrt2}.$

13. Uprostite: a) ${\left(2\sqrt3\right)^4};$ b) $\sqrt{\sqrt[3]{x^{12}}};$ c) $\sqrt[3]{\sqrt{27}};$ d) $\sqrt{x\sqrt x}.$

a) ${16\cdot 9=144};$ b) ${\sqrt[6]{x^{12}}=x^2};$ c) ${\sqrt[6]{3^3}=\sqrt3};$ d) ${\sqrt{\sqrt{x^3}}=\sqrt[4]{x^3}}.$

14. Koji broj je veći? a) $2\sqrt7$ ili $3\sqrt3;$ b) $\sqrt[3]{3}$ ili $\sqrt2;$ c) 5 ili $\sqrt[3]{120}.$

a) ${2\sqrt7=\sqrt{28}}$ i ${3\sqrt3=\sqrt{27}},$ pa je veći broj $2\sqrt7.$ b) ${\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}}$ i ${\sqrt2=\sqrt[6]{8}},$ pa je veći broj $\sqrt[3]{3}.$ c) ${5=\sqrt[3]{125}},$ pa je veći broj 5.

15. Uprostite: a) $\sqrt{x^2-10x+25};$ b) $\sqrt{11-6\sqrt2}.$

a) ${\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|};$ b) ${\sqrt{9-6\sqrt2+2}}={\sqrt{\left(3-\sqrt2\right)^2}}={3-\sqrt2}.$ Razlika ${3-\sqrt2}$ je pozitivna, jer je ${3\gt\sqrt2}.$

16. Rešite jednačine: a) ${x^2=48};$ b) ${x^3=-54};$ c) ${x^4=81};$ d) ${x^2=-9}.$

a) ${x=\pm\sqrt{48}=\pm 4\sqrt3};$ b) ${x=\sqrt[3]{-54}=-3\sqrt[3]{2}};$ c) ${x=\pm\sqrt[4]{81}=\pm 3};$ d) nema realnih rešenja, jer kvadrat nikada nije negativan.

17. Površina kvadrata je 50 kvadratnih centimetara. Zapremina kocke je 54 kubna centimetra. Odredite stranicu kvadrata i ivicu kocke.

Stranica je ${\sqrt{50}=5\sqrt2\approx 7{,}07}$ centimetara. Ivica je ${\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}\approx 3{,}78}$ centimetara.

18. Katete pravouglog trougla su 2 i 4. Odredite hipotenuzu.

Po Pitagorinoj teoremi, hipotenuza je ${\sqrt{2^2+4^2}}={\sqrt{20}}={2\sqrt5}\approx{4{,}47}.$

19. Dokažite da je ${\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2}.$

${4+2\sqrt3=\left(\sqrt3+1\right)^2}$ i ${4-2\sqrt3=\left(\sqrt3-1\right)^2}.$ Brojevi ${\sqrt3+1}$ i ${\sqrt3-1}$ su pozitivni, pa je razlika jednaka ${\left(\sqrt3+1\right)-\left(\sqrt3-1\right)=2}.$

20. Rešite jednačine: a) ${\sqrt x=5};$ b) ${\sqrt x=-5};$ c) ${\sqrt[3]{x}=-2}.$

a) ${x=5^2=25};$ b) nema rešenja, jer kvadratni koren nikada nije negativan; c) ${x=(-2)^3=-8}.$

Pogledajte i: Stepeni (eksponenti) · Apsolutne vrednosti