Koren, šta je koren

Uzmimo na primer broj 9. Devet podeljeno sa 3 jednako je deliocu 3 => 9/3 = 3, stoga je 3⋅3 = 9 ili 3² = 9. Uzmimo sada drugi broj, 27 na primer, 27 = 3⋅3⋅3 = 3³. Otkrili smo da su 9 i 27 ustvari 3 sa eksponentom 2 i 3.

Uprošćeno, koren je funkcija koja pronalazi delioca argumenta, koji nam stepenovan eksponentom daje argument. Ponekad, ovaj delioc nije racionalan broj. Koren je zapravo funkcija suprotna eksponenciranju. On može biti zapisan pomoću eksponenta.

Stoga, u našem slučaju kvadratni (drugi) koren od 9 je 3, √9 i kubni (treći) koren od 27 je 3 = ³√27

Ako je a pozitivan realan broj, tada jednačina x² = a ima dva rešenja: x = +√a ili x = -√a.

$\sqrt[2]{x}$ je $\sqrt{x}$

Ako je a realan broj, onda jednačina x³ = a ima samo jedno rešenje => x = ³√a. Pomoću jednačine navedene gore, rešavamo kvadratne i kubne jednačine.
Koren možemo zapisati pomoću eksponenta, i primenjuje se sledeće pravilo:

Osobine korena

Ako je n neparno:
$\sqrt[n]{x^n}=x$

Ako je n parno:
$\sqrt[n]{x^n}=|x|$ - apsolutna vrednost x

Primer: $\sqrt[3]{x^3}=x$ ali $\sqrt[4]{x^4}=|x|$

$\sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$

Dokaz: Neka je ⁿ√ab = (ab)^1/n, na osnovu gornje formule o eksponentu, dolazimo do a^1/n⋅b^1/n, ili ⁿ√aⁿ√b

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Dokaz: ⁿ√a/b = (a/b)^1/n i na osnovu bazične jednačine eksponenta, dolazimo do a^1/n/b^1/n, ili ⁿ√a/ⁿ√b

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$

Dokaz: ako imamo ⁿ√^m√a to je jednako sa ⁿ√a^1/m, što je jednako sa (a^1/m)^1/n i na osnovu bazične jednačine eksponenta, dolazimo do a^1/(m⋅n), ili ^n⋅m√a

Monotonija korene funkcije

Grafik kvadratnog korena

Grafik kubnog korena