Kako nacrtati grafik kvadratne funkcije (parabolu)?

autor Catalin David

Da bismo nacrtali grafik funkcije u Dekartovom koordinatnom sistemu, potrebne su nam dve normalne prave xOy (gde je O tačka preseka pravih x i y) koje se nazivaju "koordinatne ose" i jedinična duž.

Tačka u ovom sistemu ima dve koordinate.
M(x, y): M je naziv tačke, x je abscisa izmerena na Ox a y je ordinata izmerena na Oy.
Te dve koordinate predstavljaju udaljenost od tačke do dveju osa.

Ako razmatramo funkciju f: A -> B (A - domen oblasti definisanosti, B - kodomen), onda je tačka grafika funkcije u obliku P(x, f(x)).

Primer
f:A -> B, f(x) = 3x - 1
Ako je x = 2 => f(2) = 3×2 - 1 = 5 => P(2, 5) ∈ Gf(gde je Gf grafik funkcije).

Kvadratna funkcija - Parabola

Generalni oblik: f(x) = ax² + bx + c

Temenski oblik: $f(x)=(a+\frac{b}{2a})^2-\frac{D}{4a}$
gde Δ = b² - 4ac

Ako je a > 0, minimalna vrednost f(x) će biti $-\frac{D}{4a}$ što dobijemo ako je $x=-\frac{b}{2a}$. Grafik će biti konveksna parabola čije teme (tačka u kojoj parabola menja smer) je $T(-\frac{b}{2a};-\frac{D}{4a})$.

Ako je a < 0, maksimalna vrednost f(x) će biti $-\frac{D}{4a}$ što je dobijeno ako $x=-\frac{b}{2a}$. Grafik će biti konkavna parabola čije teme je $T(-\frac{b}{2a};-\frac{D}{4a})$.

Parabola je simetrična u odnosu na pravu $x=-\frac{b}{2a}$, koja se naziva "osa simetrije".
To je razlog zbog kog kada dodeljujemo vrednostix, biramo vrednosti simetrične sa $-\frac{b}{2a}$.
Kada crtamo grafik, tačke preseka sa koordinatnim osama su veoma važne.

|. Tačka koja se nalazi na Ox osi je u oblikuP(x, 0) zato sto je njena udaljenost odOx ose 0. Ako se tačka nalazi i na Ox i na grafiku funkcije, ona je takodje u obliku P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.

Znači, da pronadjemo koordinate tačaka preseka sa Ox osom, moramo rešiti jednačinu f(x)=0. Dolazimo do jednačinea² + bx + c = 0.

Rešenje jednačine zavisi od znaka Δ = b² - 4ac.

Imamo sledeće situacije:

1) Δ < 0
jednačina nema rešenja u R (skupu realnih brojeva) grafik ne seče Ox. Oblik grafika će biti:

ili

2) Δ = 0
jednačina ima dva jednaka rešenja $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$
Grafik je tangentan na Ox osu u temenu parabole. Oblik grafika je:

ili

3) Δ > 0
jednačina će imati dva različita rešenja.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ i $x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$

Grafik funkcije će seći Ox osu u tačkama M(x¹ i Ox. Oblik grafika će biti:

ili

||. Tačka koja se nalazi na Oy osi je u obliku R(0, y) zato sto je udaljenost od nje do Oy ose 0. Ako se tačka nalazi i na Oy i na grafiku funkcije, takodje je u obliku R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).

U slučaju kvadratne funkcije,
f(0) = a×0² + b×0 + c ⇒ R(0, c).

Neophodni koraci u crtanju grafika kvadratne funkcije

f: R → R
f(x) = ax² + bx + c

1. Crtamo tabelu promenjivih u koju upisujemo značajne vrednosti za x.

2. Pronalazimo koordinate temena $T(-\frac{b}{2a};-\frac{D}{4a})$.

3. Takođe upisujemo 0 u tabelu i simetrično za 0 u odnosu na $-\frac{b}{2a}$.

ili

4. Utvrđujemo tačku preseka sa Ox osom rešavanjem jednačine f(x)=0 i upisujemo x₁ i x₂ u tabelu
Δ > 0 ⇒

Δ < 0 ⇒ nema tačaka preseka.U ovom slučaju izabraćemo dve pogodne vrednosti simetrične u odnosu na $-\frac{b}{2a}$

Δ = 0 ⇒ grafik je tangentan na Ox baš u temenu. Ponovo ćemo izabrati dve pogodne vrednosti simetrične u odnosu na $-\frac{b}{2a}$. Da bismo bolje odredili oblik grafika takođe možemo izabrati druge parove vrednosti za x, ali i oni moraju biti simetrični u odnosu na $-\frac{b}{2a}$.

5. Upisujemo sve ove vrednosti u koordinatni sistem i crtamo grafik spajajući tačke.

Primer 1
f: R → R
f(x) = x² - 2x - 3
a = 1, b = -2, c = -3
Δ = b² - 4×a×c = (-2)² - 4×1×(-3) = 16
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac{D}{4a}=-\frac{16}{4}=-4$

2. f(0) = -3
Simetrično za 0 u odnosu na 1 je 2.
f(2) = -3

$x_1=\frac{2+4}{2}=3$

Pronašli smo tačke:
A(-1; 0)
B(0; -3)
T(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)

Grafik će biti:

Primer 2
f: R → R
f(x) = -x² - 2x + 8
a = -1, b = -2, c = 8
Δ = b² - 4×a×c = (-2)² - 4×(-1)×8 = 36
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{-2}=-1$ ⇒ V(-1; 9)

1. $-\frac{D}{4a}=-\frac{-36}{-4}=9$

2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (simetrično za 0 u odnosu na -1 je -2)

3. f(x) = 0 ⇒ -x² - 2x + 8 = 0
Δ = 36
x₁ = 2 i x₂ = -4

A(-4; 0)
B(-2; 8)
T(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)

Primer 3
f: R → R
f(x) = x² - 4x + 4
a = 1, b = -4, c = 4
Δ = b² - 4×a×c = (-4)² - 4×1×4 = 0
$-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$ ⇒ V(2; 0)

1. $-\frac{D}{4a}=0$

2. f(0) = 4
f(4) = 4 (simetrično za 0 u odnosu na 2 je 4)

3. f(x) = 0 ⇒ x² - 4x + 4 = 0
Δ = 0
x₁ = x₂ = $-\frac{b}{2a}$ = 2

A(-2; 9)
B(0; 4)
T(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)

Primer 4
f: R → R
f(x) = -x² + 4x - 5
a = -1, b = 4, c = -5
Δ = b² - 4×a×c = 4² - 4×(-1)×(-5) = 16 - 20 = -4
$-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$ ⇒ V(2; -1)

1. $-\frac{D}{4a}=-\frac{-4}{-4}=-1$

2. f(0) = -5
f(4) = -5 (simetrično za 0 u odnosu na 2 je 4)

3. f(x) = 0 ⇒ -x² + 4x - 5 = 0, Δ < 0
Jednačina nema ni jedno rešenje. Moramo da izaberemo vrednosti simetrične u odnosu na 2

A(-1; -10)
B(0; 5)
T(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)

Ako oblast definisanosti nije R (skup realnih brojeva), već jedan interval, brišemo deo grafika koji odgovara vrednostima za x koji se ne nalaze u tom intervalu. Neophodno je upisati krajnje tačke u tabelu.

Primer 5
f: [0; +∞) → R
f(x) = x² - 2x - 3
a = 1, b = -2, c = -3
Δ = b² - 4×a×c = (-2)² - 4×1×(-3) = 16
$-\frac{b}{2a}=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac{D}{4a}=-4$

2. f(0) = -3
f(2) = -3 (simetrično za 0 u odnosu na 1 je 2)

3. f(x) = 0 ⇒ x² - 2x - 3 = 0, Δ = 16
x₁ = -1 ∉ [0; ∞)
x₂ = 3

A(0; -3)
T(1; -4)
B(2; -3)
C(3; 0)

Kako kreirati parabolu - animacija