Kako nacrtati grafik kvadratne funkcije (parabolu)

Kvadratna funkcija je funkcija oblika ${f(x)=ax^2+bx+c},$ gde su $a,$ $b$ i $c$ brojevi i ${a\ne0}.$ Njen grafik je kriva koja se naziva parabola. U ovoj lekciji naučićete da taj grafik nacrtate brzo i tačno: na koju stranu su okrenute grane parabole, gde je njeno teme, gde seče koordinatne ose i koje tačke treba upisati u tablicu vrednosti. Zatim slede rešeni primeri sa graficima, a na kraju zadaci za vežbu sa odgovorima.

Na ovoj stranici: Parabola · Koeficijent a · Teme i osa simetrije · Presečne tačke sa osama · Koraci za crtanje grafika · Rešeni primeri · Kanonski oblik · Osobine · Jednačina sa grafika · Žiža i direktrisa · Zadaci za vežbu

Kvadratna funkcija – parabola

Grafik funkcije $f$ je skup svih tačaka ${(x;\ f(x))}$ koordinatne ravni: za svako $x$ pomerimo se za $x$ jedinica duž $x$-ose i za $f(x)$ jedinica duž $y$-ose (pogledajte lekciju Koordinatna ravan i grafici). Na primer, ako je ${f(x)=3x-1},$ onda je ${f(2)=3\cdot2-1=5},$ pa tačka $(2;\ 5)$ pripada grafiku funkcije $f.$

Najjednostavnija kvadratna funkcija je ${f(x)=x^2}.$ Sastavimo tablicu vrednosti:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Ucrtamo ovih sedam tačaka i spojimo ih glatkom krivom linijom (a ne dužima):

Na ovoj slici vide se glavne osobine svake parabole:

• Grafik ima najnižu tačku, $(0;\ 0).$ Ona se naziva teme parabole.
• Grafik je simetričan u odnosu na $y$-osu: za $x$ i $-x$ dobijamo istu vrednost, na primer ${f(-2)=f(2)=4}.$ Prava u odnosu na koju je parabola simetrična naziva se osa simetrije parabole.
• Što smo dalje od temena, grafik se penje sve brže: od ${x=0}$ do ${x=1}$ vrednost se poveća za 1, a od ${x=2}$ do ${x=3}$ za 5.

Koeficijent a: smer grana i širina parabole

Uporedimo sada ${y=x^2}$ sa ${y=ax^2}$ za druge vrednosti koeficijenta $a.$ Svaka vrednost $x^2$ množi se sa $a\text{:}$

${y=x^2}$ (crna), ${\textcolor{#c0392b}{y=2x^2}}$ (crvena), ${\textcolor{#2b7a2b}{y=\frac{1}{2}x^2}}$ (zelena) i ${\textcolor{#1b64a8}{y=-x^2}}$ (plava).

Brojevi $b$ i $c$ ne menjaju oblik parabole. Kao što ćemo videti u nastavku, grafik funkcije ${y=ax^2+bx+c}$ je parabola ${y=ax^2}$ pomerena na drugo mesto.

Teme i osa simetrije

Da bismo našli teme, dopunjujemo izraz do potpunog kvadrata. U zagradi dodajemo $\frac{b^2}{4a^2},$ a izvan nje oduzimamo ${a\cdot\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a}}\text{:}$

${ax^2+bx+c}={a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c}$

$={a\left(x^2+2\cdot\frac{b}{2a}\cdot x+\frac{b^2}{4a^2}\right)}-{\frac{b^2}{4a}+c}$

$={a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}.}$

Pomoću diskriminante ${D=b^2-4ac}$ (označava se i sa $\Delta$) dobijamo kanonski oblik kvadratne funkcije:

$$f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{D}{4a}.$$

Kvadrat ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}$ nikada nije negativan, a jednak je $0$ samo za ${x=-\frac{b}{2a}}.$ Zato:

• ako je ${a\gt0},$ najmanja vrednost funkcije $f$ je ${-\frac{D}{4a}}$ i $f$ je dostiže za ${x=-\frac{b}{2a}};$
• ako je ${a\lt0},$ najveća vrednost funkcije $f$ je ${-\frac{D}{4a}}$ i $f$ je dostiže za ${x=-\frac{b}{2a}}.$

U praksi je često lakše da ordinatu temena nađemo zamenom: ${y_V=f(x_V)},$ gde je ${x_V=-\frac{b}{2a}}.$ Oba načina daju isti broj.

Za ${a\gt0}$ teme je najniža tačka (minimum), a za ${a\lt0}$ najviša tačka (maksimum).

Zašto je prava ${x=-\frac{b}{2a}}$ osa simetrije? U kanonskom obliku $f(x)$ zavisi samo od rastojanja broja $x$ od broja ${-\frac{b}{2a}}.$ Dva broja koja su jednako udaljena od ${-\frac{b}{2a}},$ jedan levo, a drugi desno od njega, daju istu vrednost funkcije $f,$ pa tačke grafika čine parove koji su simetrični u odnosu na ovu pravu. Zato, kada sastavljamo tablicu vrednosti, biramo vrednosti $x$ koje su simetrične u odnosu na ${-\frac{b}{2a}}\text{:}$ svaka izračunata vrednost daje nam dve tačke grafika.

Presečne tačke sa koordinatnim osama

Tačke u kojima grafik seče koordinatne ose najvažnije su tačke za njegovo crtanje.

I. Presek sa $y$-osom. Svaka tačka $y$-ose ima apscisu $0.$ Zato grafik seče $y$-osu u tački ${(0;\ f(0))},$ a za kvadratnu funkciju je ${f(0)}={a\cdot0^2+b\cdot0+c}={c\text{:}}$

Parabola ${y=ax^2+bx+c}$ seče $y$-osu u tački ${(0;\ c)}.$

Tačka simetrična tački ${(0;\ c)}$ u odnosu na osu ${x=-\frac{b}{2a}}$ je ${\left(-\frac{b}{a};\ c\right)}$ i ona takođe pripada grafiku. Provera: ${f\left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{b^2}{a}-\frac{b^2}{a}+c=c}.$

II. Preseci sa $x$-osom. Svaka tačka $x$-ose ima ordinatu $0.$ Zato grafik seče $x$-osu u tačkama ${(x;\ 0)}$ za koje je ${f(x)=0}\text{:}$

Da bismo našli zajedničke tačke parabole i $x$-ose, rešavamo kvadratnu jednačinu ${ax^2+bx+c=0}.$

Broj rešenja zavisi od znaka diskriminante ${D=b^2-4ac}$ (pogledajte lekciju Kvadratne jednačine):

• ${D\gt0}\text{:}$ dva različita rešenja ${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}};$ manje označavamo sa $x_1,$ a veće sa $x_2.$ Parabola seče $x$-osu u dve tačke, ${(x_1;\ 0)}$ i ${(x_2;\ 0)}.$
• ${D=0}\text{:}$ jedno dvostruko rešenje, ${x_1=x_2=-\frac{b}{2a}}.$ Parabola dodiruje $x$-osu u svom temenu.
• ${D\lt0}\text{:}$ nema realnih rešenja. Parabola nema zajedničkih tačaka sa $x$-osom: cela leži iznad nje (ako je ${a\gt0}$) ili cela ispod nje (ako je ${a\lt0}$).

Šest mogućih položaja parabole u odnosu na $x$-osu.

Neophodni koraci za crtanje grafika kvadratne funkcije

Grafik funkcije ${f(x)=ax^2+bx+c}$ crtamo ovim redom:

1. Smer grana. Pogledamo znak broja $a\text{:}$ za ${a\gt0}$ grane parabole su okrenute naviše, a za ${a\lt0}$ naniže.
2. Teme. Izračunamo ${x_V=-\frac{b}{2a}}$ i ${y_V=f(x_V)}$ (ili ${y_V=-\frac{D}{4a}}$). Osu simetrije ${x=x_V}$ nacrtamo isprekidanom linijom.
3. Presek sa $y$-osom. Ucrtamo tačku ${(0;\ c)}$ i njoj simetričnu tačku ${\left(-\frac{b}{a};\ c\right)}.$
4. Preseci sa $x$-osom. Rešimo jednačinu ${f(x)=0}.$ Ako je ${D\lt0},$ presečnih tačaka nema, a ako je ${D=0},$ jedina takva tačka je teme. U oba slučaja izaberemo još jedan ili dva para vrednosti $x$ koje su simetrične u odnosu na $x_V$ i za njih izračunamo vrednosti funkcije $f.$
5. Tablica vrednosti. Sve ove tačke upišemo u tablicu, poređane po rastućim vrednostima $x.$
6. Crtanje. Ucrtamo tačke i spojimo ih glatkom krivom linijom. Kriva je simetrična u odnosu na osu simetrije, u temenu je zaobljena (a ne šiljata) i nastavlja se i iza krajnjih tačaka.

Kada je ${D\gt0},$ tablica obično ima ovih pet kolona:

$x$	$x_1$	$0$	$-\frac{b}{2a}$	$-\frac{b}{a}$	$x_2$
$f(x)$	$0$	$c$	$-\frac{D}{4a}$	$c$	$0$

Kolone moraju biti poređane po rastućim vrednostima $x,$ a taj poredak zavisi od funkcije: na primer, ako je ${-\frac{b}{2a}\lt0},$ simetrična vrednost ${-\frac{b}{a}}$ nalazi se levo od $0.$ Ako je ${b=0},$ teme je upravo tačka ${(0;\ c)};$ ako je ${c=0},$ koordinatni početak je jedna od presečnih tačaka sa $x$-osom. U takvim slučajevima uzmemo još jedan par vrednosti $x$ simetričnih u odnosu na $x_V.$

Rešeni primeri

Primer 1. Nacrtajte grafik funkcije ${f(x)=x^2-2x-3}.$

1) ${a=1\gt0},$ pa su grane parabole okrenute naviše.

2) ${x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot1}=1}$ i ${y_V}={f(1)}={1-2-3}={-4.}$ Teme je ${V(1;\ -4)},$ a osa simetrije je prava ${x=1}.$ (Pomoću formule: ${D}={(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}={16}$ i ${-\frac{D}{4a}=-\frac{16}{4}=-4}.$)

3) ${f(0)=-3}$ daje tačku ${(0;\ -3)}.$ Broj simetričan broju $0$ u odnosu na $1$ je $2,$ pa i tačka ${(2;\ -3)}$ pripada grafiku.

4) ${x^2-2x-3=0}\text{:}$ ${x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}},$ pa je ${x_1=-1}$ i ${x_2=3}.$ Tačke su ${(-1;\ 0)}$ i ${(3;\ 0)}.$

5) Da bi se oblik bolje video, dodajemo simetričan par ${x=-2}$ i ${x=4}\text{:}$ ${f(-2)=f(4)=5}.$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$

Primer 2. Nacrtajte grafik funkcije ${f(x)=-x^2-2x+8}.$

1) ${a=-1\lt0},$ pa su grane parabole okrenute naniže.

2) ${x_V=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1}$ i ${y_V}={f(-1)}={-1+2+8}={9.}$ Teme je ${V(-1;\ 9)},$ a osa simetrije je ${x=-1}.$ (I pomoću formule: ${D}={(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot8}={36}$ i ${-\frac{D}{4a}=-\frac{36}{-4}=9}.$)

3) ${f(0)=8}\text{:}$ tačka ${(0;\ 8)}.$ Broj simetričan broju $0$ u odnosu na $-1$ je $-2,$ pa je i ${f(-2)=8}.$

4) Jednačina ${-x^2-2x+8=0}$ je isto što i ${x^2+2x-8=0},$ pa je ${x_1=-4}$ i ${x_2=2}.$

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$0$	$2$
$f(x)$	$0$	$8$	$9$	$8$	$0$

Primer 3. Nacrtajte grafik funkcije ${f(x)=x^2-4x+4}.$

1) ${a=1\gt0}\text{:}$ grane parabole su okrenute naviše.

2) ${x_V=-\frac{-4}{2\cdot1}=2}$ i ${y_V=4-8+4=0}.$ Teme je ${V(2;\ 0)};$ ono leži na $x$-osi.

3) ${f(0)=4},$ a broj simetričan broju $0$ u odnosu na $2$ je $4\text{:}$ tačke ${(0;\ 4)}$ i ${(4;\ 4)}.$

4) ${{D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=0}\text{:}}$ jednačina ${x^2-4x+4=0}$ ima dvostruko rešenje ${x_1=x_2=2},$ pa parabola dodiruje $x$-osu u svom temenu. Zaista, ${x^2-4x+4=(x-2)^2}.$ Dodajemo još dva simetrična para: ${f(1)=f(3)=1}$ i ${f(-1)=f(5)=9}.$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Primer 4. Nacrtajte grafik funkcije ${f(x)=-x^2+4x-5}.$

1) ${a=-1\lt0}\text{:}$ grane parabole su okrenute naniže.

2) ${x_V=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2}$ i ${y_V=-4+8-5=-1}.$ Teme je ${V(2;\ -1)}.$

3) ${f(0)=-5},$ a broj simetričan broju $0$ u odnosu na $2$ je $4\text{:}$ tačke ${(0;\ -5)}$ i ${(4;\ -5)}.$

4) ${D}={4^2-4\cdot(-1)\cdot(-5)}={16-20}={-4}\lt{0\text{:}}$ jednačina ${-x^2+4x-5=0}$ nema realnih rešenja i parabola nema zajedničkih tačaka sa $x$-osom. Njene grane idu naniže od temena ${(2;\ -1)},$ pa cela parabola leži ispod $x$-ose. Biramo još vrednosti simetričnih u odnosu na $2\text{:}$ ${f(1)=f(3)=-2}$ i ${f(-1)=f(5)=-10}.$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$-10$	$-5$	$-2$	$-1$	$-2$	$-5$	$-10$

Primer 5. Nacrtajte grafik funkcije ${f(x)=2x^2-6x+3}.$ Ovde teme i rešenja nisu celi brojevi.

1) ${a=2\gt0}\text{:}$ grane parabole su okrenute naviše, a parabola je uža od parabole ${y=x^2}.$

2) ${x_V=-\frac{-6}{2\cdot2}=\frac{3}{2}}$ i ${y_V}={2\cdot\frac{9}{4}-6\cdot\frac{3}{2}+3}={\frac{9}{2}-9+3}={-\frac{3}{2}.}$ Teme je ${V\left(\frac{3}{2};\ -\frac{3}{2}\right)},$ tj. ${(1{,}5;\ -1{,}5)}.$

3) ${f(0)=3};$ broj simetričan broju $0$ je ${-\frac{b}{a}=3},$ pa je ${f(3)=3}.$

4) ${D=36-24=12}$ i ${x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}}.$ Da bismo ucrtali ove tačke, zaokružimo rešenja: ${x_1\approx0{,}63}$ i ${x_2\approx2{,}37}.$

5) Još jedan simetričan par: ${f(1)=f(2)=-1}.$

$x$	$0$	$\approx0{,}63$	$1$	$1{,}5$	$2$	$\approx2{,}37$	$3$
$f(x)$	$3$	$0$	$-1$	$-1{,}5$	$-1$	$0$	$3$

Ako domen funkcije nije skup svih realnih brojeva, nego neki interval, crtamo samo onaj deo parabole čije tačke imaju apscisu $x$ iz tog intervala. Krajevi intervala moraju biti u tablici.

Primer 6. Nacrtajte grafik funkcije ${f(x)=x^2-2x-3}$ za ${x\ge0},$ tj. ${f\colon[0,\ +\infty)\to\mathbb{R}}.$

Ovo je funkcija iz primera 1: teme je ${V(1;\ -4)},$ ${f(0)=-3}$ i ${f(2)=-3}.$ Od rešenja $-1$ i $3$ samo ${x=3}$ pripada domenu, jer je ${-1\lt0}.$ Kraj intervala ${x=0}$ pripada domenu, pa tačku ${(0;\ -3)}$ crtamo kao popunjen kružić.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$

Grafik je deo parabole nacrtan punom linijom. Isprekidani deo, za ${x\lt0},$ ne pripada grafiku.

Kako se parabola menja u zavisnosti od $a,$ $b$ i $c,$ možete da pratite u alatu „Program za crtanje grafika i ispitivanje toka funkcija“: pomerajte klizače, a teme, presečne tačke sa osama i tablica vrednosti odmah se menjaju.

Crtanje grafika pomoću kanonskog oblika

Označimo koordinate temena sa ${h=-\frac{b}{2a}}$ i ${k=-\frac{D}{4a}}.$ Tada kanonski oblik kvadratne funkcije glasi

$$y=a(x-h)^2+k.$$

Primer 7. Nacrtajte grafik funkcije ${y=x^2+2x-3}$ pomeranjem grafika funkcije ${y=x^2}.$

Dopunjujemo do potpunog kvadrata: ${x^2+2x-3}={(x^2+2x+1)-1-3}={(x+1)^2-4.}$ Dakle, ${h=-1}$ i ${k=-4}\text{:}$ grafik je parabola ${y=x^2}$ pomerena za $1$ jedinicu ulevo i za $4$ jedinice naniže, a njeno teme je ${(-1;\ -4)}.$ Presečne tačke sa $x$-osom dobijamo iz ${(x+1)^2=4},$ tj. ${x+1=\pm2}\text{:}$ ${x=-3}$ i ${x=1}.$ Presečna tačka sa $y$-osom je ${(0;\ -3)}.$

Ako je ${D\ge0},$ kvadratna funkcija može da se zapiše i u faktorisanom obliku ${y=a(x-x_1)(x-x_2)}.$ Tada se rešenja $x_1$ i $x_2$ odmah vide, a osa simetrije je tačno na sredini između njih: ${x_V=\frac{x_1+x_2}{2}}.$ Na primer, parabola ${y=-(x-1)(x+3)}$ seče $x$-osu u tačkama sa apscisama $1$ i $-3,$ pa je ${x_V=\frac{1+(-3)}{2}=-1}$ i ${y_V}={-(-1-1)(-1+3)}={4.}$ Njeno teme je ${(-1;\ 4)}.$ Sva tri oblika upoređena su u tabeli Tri oblika kvadratne funkcije.

Osobine kvadratne funkcije

Na grafiku se odmah vide glavne osobine funkcije ${f(x)=ax^2+bx+c}.$ U tabeli su ${x_V=-\frac{b}{2a}}$ i ${y_V=-\frac{D}{4a}}$ koordinate temena, a ${x_1\lt x_2}$ su nule funkcije kada je ${D\gt0}.$

Osobina	${a\gt0}$	${a\lt0}$
Domen	svi realni brojevi	svi realni brojevi
Skup vrednosti	${[y_V,\ +\infty)}$	${(-\infty,\ y_V]}$
Ekstremna vrednost	minimum $y_V$ za ${x=x_V},$ maksimuma nema	maksimum $y_V$ za ${x=x_V},$ minimuma nema
Rašćenje i opadanje	opada na ${(-\infty,\ x_V]},$ raste na ${[x_V,\ +\infty)}$	raste na ${(-\infty,\ x_V]},$ opada na ${[x_V,\ +\infty)}$
Znak za ${D\gt0}$	${f(x)\lt0}$ između nula, ${f(x)\gt0}$ za ${x\lt x_1}$ i za ${x\gt x_2}$	${f(x)\gt0}$ između nula, ${f(x)\lt0}$ za ${x\lt x_1}$ i za ${x\gt x_2}$
Znak za ${D=0}$	${f(x)\gt0}$ za svako ${x\ne x_V}$	${f(x)\lt0}$ za svako ${x\ne x_V}$
Znak za ${D\lt0}$	${f(x)\gt0}$ za svako $x$	${f(x)\lt0}$ za svako $x$

Primer 8. Pročitajte osobine funkcije ${f(x)=x^2-2x-3}$ sa njenog grafika iz primera 1.

Teme je ${(1;\ -4)},$ a grane parabole su okrenute naviše, pa je najmanja vrednost funkcije $f$ jednaka $-4$ (za ${x=1}$), a skup vrednosti je ${[-4,\ +\infty)}.$ Funkcija opada na ${(-\infty,\ 1]}$ i raste na ${[1,\ +\infty)}.$ Njene nule su $-1$ i $3;$ ${f(x)\lt0}$ za ${-1\lt x\lt3}$ (tu je grafik ispod $x$-ose), a ${f(x)\gt0}$ za ${x\lt-1}$ i za ${x\gt3}.$ Tako se rešavaju kvadratne nejednačine: nejednačina ${x^2-2x-3\lt0}$ je zadovoljena tačno za ${-1\lt x\lt3}.$

Određivanje jednačine parabole sa grafika

Primer 9. Odredite kvadratnu funkciju čiji je grafik prikazan na slici.

Rešenje 1 (faktorisani oblik). Parabola seče $x$-osu u tačkama sa apscisama $-1$ i $3,$ pa je ${y=a(x+1)(x-3)}.$ Ona prolazi kroz tačku ${(0;\ 3)}\text{:}$ ${3=a\cdot1\cdot(-3)},$ pa je ${a=-1}$ i

${y}={-(x+1)(x-3)}={-x^2+2x+3.}$

Rešenje 2 (kanonski oblik). Teme je ${(1;\ 4)},$ pa je ${y=a(x-1)^2+4}.$ Tačka ${(3;\ 0)}$ pripada grafiku: ${0=a\cdot2^2+4},$ pa je ${a=-1}$ i ${y}={-(x-1)^2+4}={-x^2+2x+3.}$

Ako znamo samo tri tačke grafika, a među njima nisu ni teme ni nule funkcije, zamenimo njihove koordinate u ${y=ax^2+bx+c}$ i rešimo sistem od tri linearne jednačine sa nepoznatima $a,$ $b$ i $c.$

Kako nastaje parabola: žiža i direktrisa (animacija)

Parabola može da se definiše i geometrijski, bez formule. Uzmimo pravu $d,$ koja se naziva direktrisa, i tačku $F$ van nje, koja se naziva žiža (fokus). Parabola je skup svih tačaka $M$ koje su jednako udaljene od žiže i od direktrise: ${MF=MH},$ gde je $H$ podnožje normale iz tačke $M$ na pravu $d.$

Tačka $M$ kreće se po paraboli ${y=\frac{x^2}{4}}.$ Njeno rastojanje od žiže ${F(0;\ 1)}$ uvek je jednako njenom rastojanju od direktrise ${y=-1}.$

Proverimo to za parabolu ${y=\frac{x^2}{4}}.$ Za tačku ${M\left(x;\ \frac{x^2}{4}\right)}$ rastojanje od direktrise je ${MH=\frac{x^2}{4}+1},$ a

${MF^2}={x^2+\left(\frac{x^2}{4}-1\right)^2}={\frac{x^4}{16}+\frac{x^2}{2}+1}={\left(\frac{x^2}{4}+1\right)^2,}$

pa je ${MF=MH}.$ Uopšte, parabola ${y=ax^2}$ ima žižu ${\left(0;\ \frac{1}{4a}\right)}$ i direktrisu ${y=-\frac{1}{4a}}.$ Ogledalo u obliku parabole odbija sve zrake paralelne njegovoj osi u žižu, a svetlost sijalice postavljene u žižu pretvara u paralelan snop. Zato satelitske antene i solarni šporeti (zraci se skupljaju u žiži) i automobilski farovi (svetlost izlazi iz žiže) imaju paraboličan oblik. Više o ovoj krivoj: Elipsa, parabola, hiperbola.

Zadaci za vežbu

1. Bez crtanja odredite smer grana, teme i osu simetrije parabole: a) ${y=x^2+6x+5};$ b) ${y=-2x^2+8x-3};$ v) ${y=3x^2-12}.$

Odgovor

a) ${a=1\gt0},$ grane naviše; ${x_V=-\frac{6}{2}=-3},$ ${y_V=9-18+5=-4};$ teme ${(-3;\ -4)},$ osa ${x=-3}.$

b) ${a=-2\lt0},$ grane naniže; ${x_V=-\frac{8}{-4}=2},$ ${y_V=-8+16-3=5};$ teme ${(2;\ 5)},$ osa ${x=2}.$

v) ${a=3\gt0},$ grane naviše; ${b=0},$ pa je ${x_V=0}$ i ${y_V=-12};$ teme ${(0;\ -12)},$ osa simetrije je $y$-osa (${x=0}$).

2. Odredite zajedničke tačke grafika i koordinatnih osa: a) ${y=x^2-x-6};$ b) ${y=x^2+4x+4};$ v) ${y=2x^2-x+3}.$

Odgovor

a) $y$-osa: ${(0;\ -6)}.$ ${x^2-x-6=0}$ daje ${x=-2}$ i ${x=3}\text{:}$ tačke ${(-2;\ 0)}$ i ${(3;\ 0)}.$

b) $y$-osa: ${(0;\ 4)}.$ ${x^2+4x+4=(x+2)^2=0}$ daje ${x=-2}\text{:}$ parabola dodiruje $x$-osu u tački ${(-2;\ 0)}.$

v) $y$-osa: ${(0;\ 3)}.$ ${D=1-24=-23\lt0}\text{:}$ grafik nema zajedničkih tačaka sa $x$-osom.

3. Nacrtajte grafik funkcije ${y=x^2+2x-8}.$

Odgovor

Grane naviše; ${x_V=-1},$ ${y_V=1-2-8=-9};$ presek sa $y$-osom ${(0;\ -8)}$ i njemu simetrična tačka ${(-2;\ -8)};$ nule ${x=-4}$ i ${x=2}.$ Još jedan par: ${f(-5)=f(3)=7}.$

$x$	$-5$	$-4$	$-2$	$-1$	$0$	$2$	$3$
$y$	$7$	$0$	$-8$	$-9$	$-8$	$0$	$7$

4. Nacrtajte grafik funkcije ${y=-x^2+6x-9}.$

Odgovor

${-x^2+6x-9}={-(x-3)^2.}$ Grane naniže; teme ${(3;\ 0)}$ leži na $x$-osi (${D=0}$), osa je ${x=3}.$ Presek sa $y$-osom ${(0;\ -9)}$ i njemu simetrična tačka ${(6;\ -9)};$ još jedan par: ${f(2)=f(4)=-1}.$

$x$	$0$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y$	$-9$	$-1$	$0$	$-1$	$-9$

5. a) Koja parabola je šira: ${y=3x^2}$ ili ${y=\frac{1}{3}x^2}?$ b) Koje od parabola ${y=-2x^2+1},$ ${y=5-x+x^2}$ i ${y=4-3x^2}$ imaju grane okrenute naniže?

Odgovor

a) ${y=\frac{1}{3}x^2},$ jer je $\frac{1}{3}$ bliže broju $0$ nego broj $3.$ b) ${y=-2x^2+1}$ (${a=-2}$) i ${y=4-3x^2}$ (${a=-3}$). Za ${y=5-x+x^2}$ koeficijent uz $x^2$ je ${a=1\gt0},$ pa su grane okrenute naviše.

6. Zapišite u kanonskom obliku i odredite teme: a) ${y=x^2-6x+11};$ b) ${y=2x^2+4x-1}.$

Odgovor

a) ${x^2-6x+11}={(x^2-6x+9)+2}={(x-3)^2+2;}$ teme ${(3;\ 2)}.$

b) ${2x^2+4x-1}={2(x^2+2x+1)-2-1}={2(x+1)^2-3;}$ teme ${(-1;\ -3)}.$

7. Za funkciju ${f(x)=-x^2+4x+1}$ odredite najveću vrednost, skup vrednosti i intervale na kojima $f$ raste i opada.

Odgovor

${x_V=-\frac{4}{-2}=2},$ ${y_V=-4+8+1=5}$ i ${a\lt0}.$ Najveća vrednost je $5$ (za ${x=2}$), skup vrednosti je ${(-\infty,\ 5]};$ $f$ raste na ${(-\infty,\ 2]}$ i opada na ${[2,\ +\infty)}.$

8. Odredite najmanju i najveću vrednost funkcije ${f(x)=x^2-4x}$ za ${1\le x\le5}.$

Odgovor

${x_V=2}$ pripada intervalu ${[1,\ 5]},$ pa je najmanja vrednost ${f(2)=-4}.$ Najveću vrednost funkcija dostiže u jednom od krajeva intervala: ${f(1)=-3},$ ${f(5)=5},$ pa je ona jednaka $5.$ Skup vrednosti funkcije $f$ na ovom intervalu je ${[-4,\ 5]}.$

9. Odredite kvadratnu funkciju čiji grafik ima teme ${(2;\ -3)}$ i prolazi kroz tačku ${(0;\ 1)}.$

Odgovor

${y=a(x-2)^2-3}$ i ${1=4a-3},$ pa je ${a=1}\text{:}$ ${y}={(x-2)^2-3}={x^2-4x+1.}$

10. Parabola ${y=x^2+bx+c}$ ima teme ${(-2;\ 1)}.$ Odredite $b$ i $c.$

Odgovor

${x_V=-\frac{b}{2}=-2},$ pa je ${b=4}.$ Tada je ${y_V=4-8+c=1},$ pa je ${c=5}\text{:}$ ${y}={x^2+4x+5}={(x+2)^2+1.}$

11. Za koje vrednosti $m$ parabola ${y=x^2-4x+m}$ nema zajedničkih tačaka sa $x$-osom?

Odgovor

Potrebno je da bude ${D\lt0}\text{:}$ ${16-4m\lt0},$ pa je ${m\gt4}.$

12. Lopta je bačena uvis. Njena visina posle $t$ sekundi je ${h(t)=-5t^2+20t+1}$ metara. Kada lopta dostiže najveću visinu i kolika je ta visina?

Odgovor

Grafik funkcije $h$ je parabola čije su grane okrenute naniže, pa je najveća visina u temenu: ${t_V=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2}$ sekunde i ${h(2)}={-20+40+1}={21}$ metar.