Stepeni i stepenovanje - detaljno

Kada se neka veličina množi sa samom sobom,rezultat zovemo stepen.

Stoga je      2.2 = 4, tkvadrat ili drugi stepen broja 2
     2.2.2 = 8, kub ili treći stepen.
     2.2.2.2 = 16, četvrti stepen.

Takođe je      10.10 = 100, drugi stepen broja 10.
     10.10.10 = 1000, treći stepen.
    10.10.10.10 = 10000 četvrti stepen.

I      a.a = aa, drugi stepen od a
     a.a.a = aaa, treći stepen
     a.a.a.a = aaaa, četvrti stepen.

Originalna veličina se naziva prvi stepen, iako nije nastala množenjem, nasuprot stepenima koji iz nje proističu. Takođe se naziva iosnovom stepena, jer su od nje svi izvedeni.

Obzirom da je nezgodno, posebno u slučaju visokih stepena, zapisivati sve promenljive ili činioce od kojih je stepen sastavljen, usvojen je metod skraćenog zapisivanja. Osnova se zapisuje samo jednom; a potom se broj ili promenljiva postavljaju s desne strane, blago uzdignuto, da naznače koliko je puta osnovaupotrebljen kao činilac, kako bi proizveo stepen. Taj broj ili promenljiva naziva se eksponent stepena. Stoga a² se piše umesto a.a ili aa, zato što se osnova stepena a, ponavlja dva puta kao činilac, da bi se dobio stepen aa. I za a³ važi aaa; jer je a ovde ponovljeno tri puta kao činilac.

Indeks prvog stepena je 1; ali se to često izostavlja. Stoga a¹ je isto što i a.

Eksponenti se ne smeju mešati sa koeficijentima. Koeficijent pokazuje koliko se puta a ponavlja kao deo celine, odnosno sabirak. Eksponent pokazuje koliko se puta a ponavlja kao činilac proizvoda.
Stoga 4a = a + a + a + a. Ali a⁴ = a.a.a.a

Naročita prednost šeme zapisvanja eskponenata je u tome što nam omogućuje da izrazimo nepoznati stepen. U tom slučaju, indeks je izražen promenljivom, umesto brojnom vrednošću. U rešavanju problema, može se pojaviti veličina, za koju znamo da je neki stepen neke druge veličine. Ali, da još uvek ne može biti određeno da li je to kvadrat, kub, ili neki viši stepen. Stoga, u izrazu a^x, eksponent x označava da je a deo nekog stepena, ali nije određeno kog tačno stepena. Pa, b^m i dⁿ su stepeni od b i d; i čitaju se kao m-ti stepen od b, i n-ti stepen od d. Kada je vrednost eksponenta utvrđena, broj se zapisuje umesto promenljive. Stoga, ako je m = 3 onda je b^m = b³; ali ako je m = 5, onda je b^m=b⁵.

Metoda izražavanja u stepenima je od velike prednosti u slučaju složenih veličina. Stoga (a + b + d)³ je(a + b + d).(a + b + d).(a + b + d) to je, kub od (a+b+d). Ali izvedeni izraz toga bio bi
a³ + 3a²b + 3a²d + 3ab² + 6abd + 3ad² + b³ + d³.

Ukoliko uzmemo niz stepena čiji se eksponenti povećavaju ili smanjuju za jedan, uvidećemo da su sami stepeni povećavaju onoliko puta kolika je vrednost zajedničkog činioca, ili se smanjuju onoliko puta kolika je vrednost zajedničkog delioca; i da je taj činilac ili delilac upravo osnova koju stepenujemo.

Neka je dat niz aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
ili a⁵, a⁴, a³, a², a¹;
gde su eksponenti gledajući sa desne na levo 1, 2, 3, 4, 5, redom; a razlika između dva uzastopna eksponenta je jedan. Ako počnemo sa desne strane i množimo sa a, dobićemo niz uzastopnih stepena broja a.

Prema tome a.a = a² je drugi član niza stepena broja a, dok je a².a = a³ treći član niza,
a³.a = a⁴ četvrti član niza, a⁴.a = a⁵ peti član niza.

Ako krenemo sa leve strane i delimo sa a,
dobijamo a⁵:a = a⁴ a³:a = a².
a⁴:a = a³ a²:a = a¹

Ovaj postupak može se produžiti čime bismo dobili nove jednakosti tj. naredne članove niza.

$a:a = \frac{a}{a} = 1$
$\frac{1}{a}:a = \frac{1}{aa}$
$1:a = \frac{1}{a}$ $\frac{1}{aa}:a = \frac{1}{aaa}$

Tada niz izgleda ovako aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, $\frac{1}{a}, \frac{1}{aa}, \frac{1}{aaa}$.

Ili a⁵, a⁴, a³, a², a, 1, $\frac{1}{a}, \frac{1}{a^2}, \frac{1}{a^3}$.

U navedenom nizu članovi sa desne strane od 1, su recipročni odgovarajućim članovima niza sa leve strane od 1. Oni se, prema tome, zovu recipročni stepeni broja a; dok se članovi niza sa leve strane od 1 zovu, direktni stepeni broja a. Treba napomenuti i to da su i članovi sa leve strane broja 1 recipročni članovim niza sa desne strane broja 1.

Za $1:\frac{1}{a} = 1.\frac{a}{1} = a$.
I $1:\frac{1}{a^3} = a^3$.

Ista notacija važi i za složene vrednosti. Na primer, za a + b, imamo niz
(a + b)³, (a + b)², (a + b), 1, $\frac{1}{a + b}, \frac{1}{(a + b)^2}, \frac{1}{(a + b)^3}$.

Navešćemo i kraći zapis recipročnih vrednosti nekog broja a .

$\frac1a$ ili $\frac{1}{a^1} = a^{-1}$
a $\frac{1}{aaa}$ ili $\frac{1}{a^3} = a^{-3}$.
$\frac{1}{aa}$ ili $\frac{1}{a^2} = a^{-2}$.
$\frac{1}{aaaa}$ ili $\frac{1}{a^4} = a^{-4}$.

Da niz stepena broja a učinimo komplentnim, zapisaćemo i 1 koristeći istu notaciju tj. $\frac{a}{a}$ ili 1 zapisujemo kao a⁰.

Umesto direktnih i recipročnih stepena
aaaa, aaa, aa, a, $\frac{a}{a}$, $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{aa}$, $\frac{1}{aaa}$, $\frac{1}{aaaa}$.
pisaćemo a⁴, a³, a², a¹, a⁰, a^-1, a^-2, a^-3, a^-4.
ili a⁺⁴, a⁺³, a⁺², a⁺¹, a⁰, a^-1, a^-2, a^-3, a^-4.

gde su eksponenti redom
+4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.

Osnova stepena može se izraziti i pomoću više od jedne promenljive.

aa.aa, ili (aa)² je drugi stepen od aa.
aa.aa.aa, ili (aa)³ je treći stepen od aa.

Odavde sledi da određen stepen jedne vrednosti može biti različiti stepen neke druge vrednosti. Na primer, a⁴ je drugi stepen osnove aa i četvrti stepen osnove a.

Svi stepeni broja 1 su jednaki. 1.1 ili 1.1.1. je 1.

Stepenovanje predstavlja postupak određivanja stepena nekog broja (osnove) i podrazumeva množenje te osnove samom sobom onoliko puta kolika je vrednost eksponenta.

Ovo pravilo se odnosi na sve vrednosti koje mogu da se pojave kao osnova. Daćemo objašnjenje o načinu na koje se navedeno pravilo primenjuje u specijalnim slučajevima.

Ako u osnovi imamo jednu vrednost (promenljivu), navodimo eksponent ili tu osnovu navodimo kao činilac onoliko puta kolika je vrednost eksponenta.

Četvrti stepen osnove a je a⁴ ili aaaa.
Šesti stepen osnove y, je y⁶ ili yyyyyy.
n-ti stepen osnove x je xⁿ ili xxx..... gde se x ponavlja n puta kao činilac.

Ako u osnovi imamo vrednost koja sadrži više činilaca, tada je stepen proizvoda jednak proizvodu stepena njegovih činioca.

Prema tome (ay)² =a²y² Prema (ay)² = ay.ay.
Tj. ay.ay = ayay = aayy = a²y².
Ili (bmx)³ = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b³m³x³.

Prema tome, određivanje stepena proizvoda može da se izvrši na dva načina: prvi je da odredimo vrednost proizvoda koji je osnova a zatim i vrednost njegovog stepena ili, na drugi način, da odredimo stepen svakog činioca a zatim da ih pomnožimo.

Pr. 1. Četvrti stepen od dhy je (dhy)⁴, ili d⁴h⁴y⁴.

2. Treći stepen od 4b je (4b)³ ili 4³b³ ili 64b³.

3. n-ti stepen od 6ad je (6ad)ⁿ ili 6ⁿaⁿdⁿ.

4. Treći stepen od 3m.2y je (3m.2y)³ ili 27m³.8y³.

Određivanje vrednosti stepena čija je osnova polinom, uključuje međusobno množenje svih članova (monoma). Na primer

(a + b)¹ = a + b, je prvi stepen od (a+b).
(a + b)¹ = a² + 2ab + b², je drugi stepen od (a + b).
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, je treći stepen.
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴, je četvrti stepen.

2. Stepen od a - b, je a² - 2ab + b².

3 + 3a² + 3a + 1.

4. Kvadrat od a + b + h je a² + 2ab + 2ah + b² + 2bh + h²

5. Odrediti treći stepen polinoma a + 2d + 3

6. Odrediti četvrti stepen polinoma b + 2.

7. Odrediti peti stepen polinoma x + 1.

8. Odrediti šesti stepen polinoma 1 - b.

Određivanje kvadrata zbira i razlike, kao što vidimo, zahteva poznavanje nekih algebarskih zakona, pa je važno da ih upoznamo.

Ako pomnožimo binom a + h samim sobom, a takođe i a - h,
dobijamo (a + h)(a + h) = a² + 2ah + h², dok je (a - h)(a - h) = a² - 2ah + h².

Iz navedenog vidimo da je u oba slučaja prvi i poslednji član ovog polinoma sa desne strane, kvadrat od a tj. h, a drugi član je dvostruka vrednost proizvoda ah. Tako se kvadrat zbira i razlike može odrediti bez množenja sledećim pravilom.

Kvadrat zbira, (binom kod koga su oba člana pozitivna), jednak je kvadratu prvog člana + dvostruka vrednost proizvoda prvog i drugog člana + kvadrat drugog člana.

Kvadrat razlike jednak je kvadratu prvog člana - dvostruka vrednost proizvoda prvog i drugog člana + kvadrat drugog člana.

Pr. 1. Kvadrat zbira 2a + b je 4a² + 4ab + b².

2. Kvadrat zbira ab + cd je a²b² + 2abcd + c²d².

3. Kvadrat razlike 3d - h je 9d₂ + 6dh + h².

4. Kvadrat razlike a - 1 je a² - 2a + 1.

Za pronalaženje većih stepena binoma pogledajmo sledeće.

U mnogim situacijama dovoljno je stepen izraziti samo zapisom sa eksponentima, bez konkretnog množenja.

Na primer, kvadrat od a + b je (a + b)².
n-ti stepen od bc + 8 + x je (bc + 8 + x)ⁿ.

Ali ako osnova sadrži više činilaca, ovakav način zapisa stepena primenjivaće se na celu osnovu ili na svaki činilac pojedinačno, u zavisnosti koji zapis je pogodniji u konkretnom zadatku.

Prema tome, kvadrat od (a + b)(c + d) je [(a + b).(c + d)]² ili (a + b)².(c + d)².

U prvom zapisu imamo kvadrat proizvoda dva činioca, dok u drugom zapisu imamo proizvod kvadrata dva činioca.

Kub od a.(b + d) je [a.(b + d)]³ ili a³.(b + d)³.

Kada vrednost stepena odredimo konkretnim množenjem kaže se da je onda zapis stepena proširen.

Važno je napomenuti da je stepen pozitivan, za bilo koji izbor eksponenta, ukoliko je njegova osnova pozitivna. Međutim, ako je osnova negativna, vrednost stepena je pozitivna kada je eksponent paran i negativna kada je eksponent neparan.

Drugi stepen od - a is +a²
Treći stepen od -a is -a³
Četvrti stepen od +a⁴
Peti stepen od -a⁵.

Odavde sledi da svaki stepen čiji je eksponent neparan će biti istog znaka kao i njegova osnova. Stepen čiji je eksponent paran biće uvek pozitivan, i za pozitivnu i za negativnu osnovu.
Tako +a.+a = +a²
I -a.-a = +a²

Stepen nekog stepena određuje se tako što se eksponent stepena pomnoži eksponentom u osnovi.

1. Treći stepen od a² je a^2.3 = a⁶.

Na primer a² = aa:,a kub od aa je aa.aa.aa = aaaaaa = a⁶; što je šesti stepen od a, ali treći stepen od a².

2. Četvrti stepen od a³b² je a^3.4b^2.4 = a¹²b⁸

3. Treći stepen od 4 a²x je 64a⁶x³.

4. Peti stepen od (a + b)² je (a + b)¹⁰.

5. n-ti stepen od a³ je a³ⁿ

6. n-ti stepen od (x - y)^m je (x - y)^mn

7.(a³.b³)² = a⁶.b⁶

8. (a³b²h⁴)³ = a⁹b⁶h¹²

Ovo pravilo se primenjuje na isti način i kada je eksponent negativan.

Pr. 1. Treći stepen od a^-2 je a^-3.3=a^-6.

Odredićemo treći stepen od $a^{-2} = \frac{1}{aa}$
$\frac{1}{aa}.\frac{1}{aa}.\frac{1}{aa} = \frac{1}{aaaaaa} = \frac{1}{a^6} = a^{-6}$

2. Četvrti stepen od a²b^-3 je a⁸b^-12 ili a⁸/b¹².

3. Kvadrat od b³x^-1 je b⁶x^-2.

4. n-ti stepen od ax^-m je x^-mn ili 1/x^mn.

Treba primetiti, ako je u osnovi stepena sa parnim eksponentom stepen, čija je osnova negativna, nova osnova nakon množenja eksponenta biće pozitivna.

Pr. 1. Kvadrat od -a³ je +a⁶. Kvadrat -a³ je -a³.-a³ što je na osnovu pravila o množenju dva negativna broja +a⁶.

2. Međutim, kub od -a³ je -a⁹ tj. -a³.-a³.-a³ = -a⁹.

3. n-ti stepen od -a³ je -a³ⁿ.

Ovde će stepen biti pozitivan ili negativan u zavisnosti da li je n paran ili negativan, respektivno.

Ako je osnova stepena razlomak eksponent se odnosi i na brojilac i na imenilac.

1. Kvadrat od $\frac{a}{b}$ je $\frac{a^2}{b^2}$, na osnovu pravila o množenju razlomaka.
$\frac{a}{b}\frac{a}{b} = \frac{aa}{bb} = \frac{a^2}{b^2}$

2. Drugi, treći i n-ti stepen od 1/a je redom 1/a², 1/a³ i 1/aⁿ.

Slede primeri binoma koji sadrže razlomke.

1. Odrediti kvadrat od $x + \frac12$ i $x - \frac12$
$(x + \frac12)^2 = x^2 + 2.x.\frac12 + \frac{1}{2^2} = x^2 + x + \frac14$
$(x - \frac12)^2 = x^2 - 2.x.\frac12 + \frac{1}{2^2} = x^2 - x + \frac14$

2. Kvadrat od $a + \frac23$ je $a^2 + 4\frac{a}{3} + \frac49$.

3. Kvadrat od $x + \frac{b}{2}$ je $x^2 + bx + \frac{b^2}{4}$.

4 Kvadrat od $x - \frac{b}{m}$ je $x^2 - 2b\frac{x}{m} + \frac{b^2}{m^2}$.

Pokazali smo da bilo koji činilac u brojiocu ili imeniocu može da pređe iz brojioca u imenilac ili obrnuto sledeći pravilo o recipročnoj vrednosti stepena, prema tome vidimo da svaki činilac u brojiocu ili imeniocu može da pređe iz brojioca u imenilac, ili obrnuto tako što mu se znak u eksponentu promenii.

1 Prema tome, u razlomku ax^-2/y, x možemo premestiti iz brojioca u imenilac na sledeći način.
ax_-2/y = (a/y).x^-2 = (a/y).(1/x² = a/yx².

2. U razlomku a/by³ možemo da prebacimo y iz imenioca u brojilac na sledeći način.
a/by₂ = (a/b).(1/y³) = (a/b).y^-3 = ay^-3/b.

Na isti način možemo premestiti stepen sa pozitivnim eksponentom iz brojioca u imenilac, ili stepen sa negativnim eksponentom iz imenioca.

1. Tako je ax³/b = a/bx^-3 jer je za x³ njegova recipročna vrednost x^-3 tj. x³ = 1/x^-3.

Prema tome, svaki razlomak se može zapisati kao proizvod stepena, gde smo činioce iz imenioca premestili u brojilac, prema navedenim pravilima. Takođe važi i da se svaki brojilac može svesti na jedinicu, premeštanjem svih činioca u imenilac, takođe pomoću navedenih pravila.

1. Tako je a/b = 1/ba^-1 ili ab^-1.