Parametarska linearna jednačina - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Koeficijent uz [tex]x[/tex] jednak je [tex]1[/tex] i nikada nije nula, pa za svaku vrednost parametra jednačina ima tačno jedno rešenje.
Oduzimamo [tex]a[/tex] sa obe strane:
[tex]x=2a+1-a[/tex]
[tex]x=a+1[/tex]
Dakle, za svako realno [tex]a[/tex] jednačina ima jedinstveno rešenje [tex]x=a+1[/tex].

Rešenje:
Ako je [tex]x=2[/tex] rešenje, onda zamenom mora da se dobije tačna jednakost. Zamenjujemo [tex]x=2[/tex] u jednačinu:
[tex]a\cdot 2=a+3[/tex]
Sada imamo običnu linearnu jednačinu, ali je nepoznata parametar [tex]a[/tex]:
[tex]2a-a=3[/tex]
[tex]a=3[/tex]
Provera: za [tex]a=3[/tex] jednačina je [tex]3x=6[/tex], čije je rešenje zaista [tex]x=2[/tex].
Odgovor: [tex]a=3[/tex]

Rešenje:
Ako možemo da podelimo sa [tex]a[/tex], uvek postoji rešenje [tex]x=\frac{1}{a}[/tex]. Hajde da proverimo slučaj gde ne možemo da podelimo sa [tex]a[/tex], drugim rečima [tex]a=0[/tex]. Dobijamo jednačinu [tex]0x=1[/tex], koja nema rešenja. Stoga je odgovor na problem [tex]a=0[/tex].

Rešenje:
Jednačina oblika [tex]mx=b[/tex] nema rešenje samo kada je koeficijent [tex]m[/tex] jednak nuli, a [tex]b[/tex] nije. Zato prvo izjednačavamo koeficijent sa nulom:
[tex]a^3+1=0[/tex]
[tex]a^3=-1[/tex]
[tex]a=-1[/tex]
Proveravamo desnu stranu za [tex]a=-1[/tex]: [tex]109+(-1)=108[/tex], što nije nula. Jednačina postaje [tex]0x=108[/tex] i zaista nema rešenje.
Odgovor: [tex]a=-1[/tex].

Rešenje:
Jednačina može biti bez rešenja samo kada je koeficijent uz [tex]x[/tex] jednak nuli:
[tex]a^2-1=0[/tex], odnosno [tex]a=1[/tex] ili [tex]a=-1[/tex].
Moramo proveriti obe vrednosti, jer nula u koeficijentu nije dovoljna — i desna strana mora biti različita od nule.
Za [tex]a=1[/tex]: [tex]0x=2[/tex] — nema rešenja.
Za [tex]a=-1[/tex]: [tex]0x=0[/tex] — svako [tex]x[/tex] je rešenje.
Dakle, tražena vrednost je samo [tex]a=1[/tex].

Rešenje:
Ovde se nepoznata pojavljuje sa obe strane, pa najpre prebacujemo članove sa [tex]x[/tex] levo, a ostale desno:
[tex]ax-2x=a-4[/tex]
[tex](a-2)x=a-4[/tex]
Tek sada možemo da posmatramo koeficijent. On je nula za [tex]a=2[/tex], a tada je desna strana [tex]2-4=-2[/tex], što nije nula.
Jednačina postaje [tex]0x=-2[/tex] i nema rešenje.
Odgovor: [tex]a=2[/tex]

Rešenje:
Za bilo koji [tex]x[/tex], vrednost leve strane je nula. Dobijamo [tex]b-7=0[/tex], ili [tex]b=7[/tex]. Zamenom dobijamo [tex]0x=0[/tex], što ima beskonačno mnogo rešenja.

Rešenje:
Da bi jednačina imala bilo koji [tex]x[/tex] kao rešenje, mora biti u obliku [tex]0x=0[/tex]. Što znači da [tex](a-2)=(a-2)^2=0[/tex], ili [tex]a=2[/tex].

Rešenje:
Svako [tex]x[/tex] je rešenje samo ako jednačina ima oblik [tex]0x=0[/tex]. To znači da i koeficijent i desna strana moraju biti nula:
[tex]a-4=0[/tex] i [tex]a^2-16=0[/tex]
Iz prve jednačine [tex]a=4[/tex]. Proveravamo u drugoj: [tex]4^2-16=0[/tex] — zadovoljeno je.
Za [tex]a=4[/tex] jednačina postaje [tex]0x=0[/tex], pa je svaki realan broj rešenje.
(Za [tex]a\neq 4[/tex] možemo podeliti sa [tex]a-4[/tex] i dobijamo jedinstveno rešenje [tex]x=a+4[/tex].)
Odgovor: [tex]a=4[/tex].

Rešenje:
Jednačina ima beskonačno mnogo rešenja samo kada ima oblik [tex]0x=0[/tex]. Zato i koeficijent i desna strana moraju biti nula.
Iz [tex]a+1=0[/tex] dobijamo [tex]a=-1[/tex]. Proveravamo desnu stranu: [tex](-1)^2-1=0[/tex] — i ona je nula.
Za [tex]a=-1[/tex] jednačina je [tex]0x=0[/tex] i svaki realan broj je rešenje.
(Za [tex]a\neq -1[/tex] rastavljamo [tex]a^2-1=(a-1)(a+1)[/tex] i delimo, što daje jedinstveno rešenje [tex]x=a-1[/tex].)
Odgovor: [tex]a=-1[/tex]

Rešenje:
Sve zavisi od koeficijenta [tex]a[/tex].
Prvi slučaj: [tex]a\neq 0[/tex]. Delimo obe strane sa [tex]a[/tex] i dobijamo jedinstveno rešenje [tex]x=4[/tex]. Primetimo da to rešenje ne zavisi od parametra.
Drugi slučaj: [tex]a=0[/tex]. Jednačina postaje [tex]0x=0[/tex], što je tačno za svako [tex]x[/tex], pa je svaki realan broj rešenje.

Rešenje:
Rastavimo desnu stranu na činioce:
[tex](a-3)x=(a-3)(a+3)[/tex]
Sve zavisi od koeficijenta [tex]a-3[/tex].
Prvi slučaj: [tex]a\neq 3[/tex]. Tada je [tex]a-3\neq 0[/tex] pa možemo podeliti obe strane njime i dobijamo jedinstveno rešenje [tex]x=a+3[/tex].
Drugi slučaj: [tex]a=3[/tex]. Jednačina postaje [tex]0x=0[/tex], što je tačno za svako [tex]x[/tex], pa je svaki realan broj rešenje.
Primetimo da ne postoji vrednost [tex]a[/tex] za koju ova jednačina nema rešenje.

Rešenje:
Desna strana je [tex]5[/tex] i nikada nije nula, pa jednačina ne može imati oblik [tex]0x=0[/tex] — beskonačno mnogo rešenja ovde nije moguće.
Prvi slučaj: [tex]a\neq 1[/tex]. Tada je [tex]a-1\neq 0[/tex] pa delimo njime: [tex]x=\frac{5}{a-1}[/tex].
Drugi slučaj: [tex]a=1[/tex]. Jednačina postaje [tex]0x=5[/tex], što nije tačno ni za jedno [tex]x[/tex], pa nema rešenja.

Rešenje:
Ako jednačina nije definisana, onda imenilac mora biti nula. Jedini imenilac je [tex]a+5[/tex], pa dobijamo [tex]a=-5[/tex]

Rešenje:
Presečna tačka leži na prvom grafiku: [tex]x=2 \Rightarrow 3y=-1-2=-3 \Rightarrow y=-1[/tex].
Tačka [tex](2; -1)[/tex] leži i na drugom grafiku:
[tex]-1=7-2a \Rightarrow 2a=8 \Rightarrow a=4[/tex]

Rešenje:
[tex]10-2x=5a-10x \Rightarrow 8x=5a-10 \Rightarrow x=\frac{5a-10}{8}[/tex]
[tex]\frac{5a-10}{8}\ge 0 \Rightarrow 5a-10\ge 0 \Rightarrow a\ge 2[/tex]

Rešenje:
Dve jednačine su ekvivalentne ako imaju iste skupove rešenja.
Druga jednačina ima jedinstveno rešenje [tex]x=5[/tex], pa [tex]x=5[/tex] mora biti jedino rešenje i prve:
[tex]5a-2=a \Rightarrow 4a=2 \Rightarrow a=\frac{1}{2}[/tex]
Za [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] prva jednačina glasi [tex]\frac{1}{2}x=\frac{5}{2}[/tex], tj. [tex]x=5[/tex] – jedino rešenje.

Rešenje:
[tex]mx-2x=3n-9 \Rightarrow (m-2)x=3n-9[/tex]
Svako [tex]x[/tex] je rešenje samo kada jednačina postane [tex]0\cdot x=0[/tex]:
[tex]m-2=0[/tex] i [tex]3n-9=0 \Rightarrow m=2; n=3[/tex]