Primena izvoda - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
$y=\frac{x^{3}}{4}-3x\Longrightarrow y'=\frac{3}{4}x^{2}-3$

Rešavamo $y'=0$:

$\frac{3}{4}x^{2}=3\Longrightarrow x^{2}=4\Longrightarrow x=\pm 2$

Intervali monotonosti su $\left( -\infty ,-2\right),\ \left( -2,2\right),\ \left( 2,\infty \right)$

Ispitujemo znak izvoda u po jednoj tački svakog intervala:

$y'(-3)=\frac{3}{4}(-3)^{2}-3=\frac{27}{4}-3>0$, pa funkcija raste na $\left( -\infty ,-2\right)$

$y'(0)=\frac{3}{4}(0)^{2}-3=-3<0$, pa funkcija opada na $\left( -2,2\right)$

$y'(3)=\frac{3}{4}(3)^{2}-3=\frac{27}{4}-3>0$, pa funkcija raste na $\left( 2,\infty \right)$

Odgovor: raste na $\left( -\infty ,-2\right)$ i $\left( 2,\infty \right)$, opada na $\left( -2,2\right)$

Rešenje:
$f(x)=x^{4}-2x^{2}\Longrightarrow f'(x)=4x^{3}-4x=0$
Rešavamo jednačinu:

$4x^{3}-4x=4x(x^{2}-1)=0\Longrightarrow x=0,\ -1,\ 1$

Intervali monotonosti su $(-\infty ,-1),\ (-1,0),\ (0,1),\ (1,\infty )$

Računamo $f'(a)$ za po jednu vrednost $a$ iz svakog intervala:

$f'(-2)=4(-2)^{3}-4(-2)=-32+8<0$, pa $f$ opada na $(-\infty ,-1)$

$f'(-\frac{1}{2})=4\left( -\frac{1}{2}\right)^{3}-4\left( -\frac{1}{2}\right) =-\frac{1}{2}+2>0$, pa $f$ raste na $(-1,0)$

$f'(\frac{1}{2})=4\left( \frac{1}{2}\right)^{3}-4\left( \frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2}-2<0$, pa $f$ opada na $(0,1)$

$f'(2)=4(2)^{3}-4(2)=32-8>0$, pa $f$ raste na $(1,\infty )$

Tvrdnja (i) je netačna, jer u tački $x=0$ rastenje prelazi u opadanje.

Odgovor: (ii), (iii), (iv) su tačne.

Rešenje:
$h(x)=27x-x^{3}\Longrightarrow h'(x)=27-3x^{2}=0\Longrightarrow x=\pm 3$

Intervali monotonosti su $\left( -\infty ,-3\right),\ \left( -3,3\right),\ \left( 3,\infty \right)$

$h'(-4)=27-3\left( -4\right)^{2}=27-48<0\Longrightarrow$ funkcija opada na $\left( -\infty ,-3\right)$

$h'(0)=27-3\left( 0\right)^{2}=27>0\Longrightarrow$ funkcija raste na $\left( -3,3\right)$

$h'(4)=27-3\left( 4\right)^{2}=27-48<0\Longrightarrow$ funkcija opada na $\left( 3,\infty \right)$

Odgovor: raste na $\left( -3,3\right)$ i opada na $\left( -\infty ,-3\right) \cup \left( 3,\infty \right)$

Rešenje:
$y=x+\frac{4}{x}\Longrightarrow y'=1-\frac{4}{x^{2}}=\frac{x^{2}-4}{x^{2}}$

$y'=0$ kada je $x^{2}-4=0$, tj. $x=\pm 2$. Tačka $x=0$ nije u domenu funkcije, ali takođe deli brojevnu pravu.

Intervali monotonosti su $\left( -\infty ,-2\right),\ \left( -2,0\right),\ \left( 0,2\right),\ \left( 2,\infty \right)$

$y'(-3)=\frac{9-4}{9}>0$, pa funkcija raste na $\left( -\infty ,-2\right)$

$y'(-1)=\frac{1-4}{1}<0$, pa funkcija opada na $\left( -2,0\right)$

$y'(1)=\frac{1-4}{1}<0$, pa funkcija opada na $\left( 0,2\right)$

$y'(3)=\frac{9-4}{9}>0$, pa funkcija raste na $\left( 2,\infty \right)$

Odgovor: raste na $\left( -\infty ,-2\right) \cup \left( 2,\infty \right)$, a opada na $\left( -2,0\right) \cup \left( 0,2\right)$

Rešenje:
Najpre nalazimo kritične tačke:

$f'(x)=2\left( x-1\right) \left( x+3\right) +\left( x-1\right)^{2}$

$f'(x)=2x^{2}+4x-6+x^{2}-2x+1=3x^{2}+2x-5=0$

$x=\frac{-2\pm \sqrt{4+60}}{6}=\frac{-2\pm 8}{6}\Longrightarrow x=1$ i $x=-\frac{5}{3}$

$f(1)=0$ i $f\left( -\frac{5}{3}\right) =\left( -\frac{8}{3}\right)^{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{256}{27}$, pa su kritične tačke $\left( 1,0\right)$ i $\left( -\frac{5}{3},\frac{256}{27}\right)$, tj. tvrdnja a) je tačna.

Sada ispitujemo znak $f'$ na svakom intervalu:

$f'(-2)=12-4-5=3>0$, pa $f$ raste na $\left( -\infty ,-\frac{5}{3}\right)$

$f'(0)=-5<0$, pa $f$ opada na $\left( -\frac{5}{3},1\right)$

$f'(2)=12+4-5=11>0$, pa $f$ raste na $\left( 1,\infty \right)$

Time je dokazana tvrdnja b). Izvod menja znak sa $+$ na $-$ u $x=-\frac{5}{3}$ i sa $-$ na $+$ u $x=1$, pa je u $\left( -\frac{5}{3},\frac{256}{27}\right)$ maksimum, a u $\left( 1,0\right)$ minimum, čime je dokazana i c).

Odgovor: sve su tačne.

Rešenje:
$f(x)=x^{4}-32x+4\Longrightarrow f'(x)=4x^{3}-32=0$

$4x^{3}=32\Longrightarrow x^{3}=8\Longrightarrow x=2$

Dakle jedina kritična tačka je $x=2$, a ne $x=4$: tvrdnja a) je netačna.

$f'(0)=-32<0$, pa funkcija opada na $\left( -\infty ,2\right)$ i tvrdnja b) je netačna.

$f'(3)=108-32>0$, pa funkcija raste na $\left( 2,\infty \right)$. Izvod menja znak sa $-$ na $+$ u $x=2$, pa je tu minimum i tvrdnja c) je tačna.

Odgovor: tačna je samo c).

Rešenje:
$f(x)=\left( x+2\right)^{2/3}\Longrightarrow f'(x)=\frac{2}{3}\left( x+2\right)^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x+2}}$

Izvod nigde nije jednak nuli, ali ne postoji u $x=-2$. Kako je $f(-2)=0$, jedina kritična tačka je $\left( -2,0\right)$, pa je tvrdnja a) netačna.

Za $x<-2$ je $\sqrt[3]{x+2}<0$, pa je $f'(x)<0$ i funkcija opada na $\left( -\infty ,-2\right)$

Za $x>-2$ je $\sqrt[3]{x+2}>0$, pa je $f'(x)>0$ i funkcija raste na $\left( -2,\infty \right)$

To je upravo suprotno od tvrdnje b), pa je b) netačna.

Izvod menja znak sa $-$ na $+$ u $x=-2$, pa je tačka $\left( -2,0\right)$ minimum, a ne maksimum, i tvrdnja c) je netačna.

Odgovor: nijedna nije tačna.

Rešenje:
Dvaput diferenciramo:

$f(x)=\frac{1}{4}x^{4}-2x^{2}\Longrightarrow f'(x)=x^{3}-4x\Longrightarrow f''(x)=3x^{2}-4$

$f''(x)=0\Longrightarrow x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Intervali konveksnosti su $\left( -\infty ,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right),\ \left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right),\ \left( \frac{2\sqrt{3}}{3},\infty \right)$

Računamo $f''(c)$ u po jednoj tački $c$ svakog intervala:

$f''(-2)=3\cdot 4-4=8>0\Longrightarrow f$ je konveksna na $\left( -\infty ,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

$f''(0)=-4<0\Longrightarrow f$ je konkavna na $\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

$f''(2)=8>0\Longrightarrow f$ je konveksna na $\left( \frac{2\sqrt{3}}{3},\infty \right)$

$f\left( \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\right) =\frac{1}{4}\cdot \frac{16}{9}-2\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{9}-\frac{8}{3}=-\frac{20}{9}$

U obe tačke drugi izvod menja znak, pa su prevojne tačke $\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},-\frac{20}{9}\right)$ i $\left( \frac{2\sqrt{3}}{3},-\frac{20}{9}\right)$

Odgovor: C

Rešenje:
Dvaput diferenciramo:

$f(x)=2x^{4}-8x+3\Longrightarrow f'(x)=8x^{3}-8\Longrightarrow f''(x)=24x^{2}$

Drugi izvod je jednak nuli samo u $x=0$, ali tu ne menja znak, pa prevojne tačke nema.

$f''(x)=24x^{2}\geq 0$ pa je funkcija konveksna na $\left( -\infty ,\infty \right)$.

Odgovor: A

Rešenje:
Dvaput diferenciramo:

$y=-x^{3}+3x^{2}-2\Longrightarrow y'=-3x^{2}+6x\Longrightarrow y''=-6x+6$

$y''=0\Longrightarrow x=1$

Intervali konveksnosti su $\left( -\infty ,1\right)$, $\left( 1,\infty \right)$

Ispitujemo znak drugog izvoda:

$y''(0)=6>0$, pa je funkcija konveksna na $\left( -\infty ,1\right)$

$y''(2)=-6<0$, pa je funkcija konkavna na $\left( 1,\infty \right)$

Drugi izvod menja znak u $x=1$.

Odgovor: B

Rešenje:
Dvaput diferenciramo:

$f(x)=-x^{3}+6x^{2}-9x-1\Longrightarrow f'(x)=-3x^{2}+12x-9\Longrightarrow f''(x)=-6x+12$

$f''(x)=0\Longrightarrow x=2$

Intervali konveksnosti su $\left( -\infty ,2\right)$, $\left( 2,\infty \right)$

Ispitujemo znak drugog izvoda:

$f''(0)=12>0$, pa je funkcija konveksna na $\left( -\infty ,2\right)$

$f''(3)=-6<0$, pa je funkcija konkavna na $\left( 2,\infty \right)$

Drugi izvod menja znak u $x=2$.

Odgovor: D

Rešenje:
Nalazimo kritične tačke:

$f'(x)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3)=0$ pa je $x=0$ i $x=3$

Drugi izvod je $f''(x)=12x^{2}-24x=12x(x-2)$

Za $x=3$ je $f''(3)=36>0$, pa je u $\left( 3,-25\right)$ minimum.

Za $x=0$ izvod $f'(x)=4x^{2}(x-3)$ ne menja znak, pa tu nema ekstremuma.

$f(3)=81-108+2=-25$

$f''$ menja znak u $x=0$ i u $x=2$, pa su prevojne tačke $\left( 0,2\right)$ i $\left( 2,-14\right)$.

$f''(-1)=36>0,\ f''(1)=-12<0,\ f''(3)=36>0$, pa je $f$ konveksna na $\left( -\infty ,0\right) \cup \left( 2,\infty \right)$, a konkavna na $\left( 0,2\right)$.

Odgovor: A

Rešenje:
Izvod je $f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

Nikada nije jednak nuli i ne postoji u $x=0$, pa je jedina kritična tačka $\left( 0,-3\right)$.

Za $x<0$ je $f'(x)<0$, a za $x>0$ je $f'(x)>0$, pa funkcija najpre opada, a zatim raste: u $\left( 0,-3\right)$ je minimum.

Drugi izvod je $f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-4/3}=-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^{4}}}$

Negativan je za svako $x\neq 0$, pa je grafik konkavan na $\left( -\infty ,0\right)$ i na $\left( 0,\infty \right)$, i nema prevojnih tačaka.

Odgovor: C

Rešenje:
Po pravilu za izvod složene funkcije:

$f'(x)=2\left( \left( x^{2}+3\right)^{5}+x\right) \cdot \left( 5\left( x^{2}+3\right)^{4}\cdot 2x+1\right)$

$f'(x)=2\left( \left( x^{2}+3\right)^{5}+x\right) \left( 10x\left( x^{2}+3\right)^{4}+1\right)$

Zamenjujemo $x=-1$:

$\left( -1\right)^{2}+3=4,\ 4^{5}=1024,\ 4^{4}=256$

$f'(-1)=2\left( 1024-1\right) \left( 10\cdot \left( -1\right) \cdot 256+1\right) =2\cdot 1023\cdot \left( -2559\right)$

$f'(-1)=-5235714$

Odgovor: $f'(-1)=-5235714$

Rešenje:
Po pravilu za izvod složene funkcije:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{x}}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{x}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Zamenjujemo $x=4$:

$\sqrt{4}=2,\ \sqrt{2+2}=2,\ \sqrt{2+2}=2$

$f'(4)=\frac{1}{2\cdot 2}\cdot \frac{1}{2\cdot 2}\cdot \frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{64}$

Odgovor: $f'(4)=\frac{1}{64}$

Rešenje:
Diferenciramo:

$f(x)=\sqrt{25-x^{2}}\Longrightarrow f'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^{2}}}=\frac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}}$

Koeficijent pravca tangente u $x=3$ je $f'(3)=\frac{-3}{\sqrt{25-9}}=\frac{-3}{4}$

Jednačina tangente kroz tačku $(3,4)$ je:

$y-4=-\frac{3}{4}\left( x-3\right)$

$4y-16=-3x+9$

$4y+3x=25$

Odgovor: A

Rešenje:
Za $t=\frac{\pi }{8}$ je $12t=\frac{3\pi }{2}$, pa je $\cos \frac{3\pi }{2}=0$, $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$

Položaj je $y=\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{1}{4}\cdot \left( -1\right) =\frac{1}{4}$ m

Diferenciramo da bismo dobili brzinu:

$y'=-\frac{12}{3}\sin 12t-\frac{12}{4}\cos 12t=-4\sin 12t-3\cos 12t$

$y'\left( \frac{\pi }{8}\right) =-4\cdot \left( -1\right) -3\cdot 0=4$, pa je brzina $4$ m/s

Odgovor: A

Rešenje:
Kako je $\left\vert \cos 8t\right\vert \leq 1$, najveća vrednost veličine $\theta $ je $0{,}2$ radijana, i dostiže se kada je $\cos 8t=1$.

Diferenciramo po vremenu: $\theta =0{,}2\cos 8t\Longrightarrow \frac{d\theta }{dt}=-1{,}6\sin 8t$

Brzina promene za $t=3$ sekunde je:

$\frac{d\theta }{dt}(3)=-1{,}6\sin \left( 8\cdot 3\right) =-1{,}6\sin 24\approx -1{,}6\cdot \left( -0{,}9056\right) \approx 1{,}449$ rad/s

(ugao $8\cdot 3=24$ meri se u radijanima, a ne u stepenima)

Odgovor: C