Slični trouglovi - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Simetrala ugla deli naspramnu stranicu u odnosu naleglih stranica: [tex]\frac{CL}{BL}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}[/tex].

Rešenje:
Odnos obima jednak je koeficijentu sličnosti: [tex]k=\frac{60}{36}=\frac{5}{3}[/tex]. Treća stranica prvog trougla je [tex]36-9-15=12[/tex].
Dakle, stranice drugog trougla su [tex]9 \cdot \frac{5}{3}=15;\ 12 \cdot \frac{5}{3}=20;\ 15 \cdot \frac{5}{3}=25[/tex].

Rešenje:
Odnos površina sličnih trouglova jednak je kvadratu koeficijenta sličnosti: [tex]\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{6}{5}\right)^2=\frac{36}{25}[/tex].
Dakle, [tex]S_2=108 \cdot \frac{25}{36}=75[/tex].

Rešenje:
Uglovi sa redom paralelnim kracima su ili jednaki ili suplementni. Kada bi dva para odgovarajućih uglova bila suplementna, zbir ta četiri ugla bio bi pun ugao, što je nemoguće, jer je zbir dva ugla trougla manji od opruženog ugla.
Dakle, bar dva para uglova su jednaka, na primer [tex]\angle A=\angle A_1[/tex] i [tex]\angle B=\angle B_1[/tex], i po stavu UU [tex]\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1[/tex].

Rešenje:
Pravougli trouglovi imaju zajednički ugao kod [tex]B[/tex], pa je [tex]\triangle CBD \sim \triangle ABC[/tex], odakle [tex]\frac{BD}{CB}=\frac{CB}{AB}[/tex].
Dakle, [tex]BD=\frac{CB^2}{AB}=\frac{144}{18}=8[/tex] i [tex]AD=18-8=10[/tex].

Rešenje:
Kako je [tex]AB \parallel CD[/tex], [tex]\triangle EDC \sim \triangle EAB[/tex], pa je [tex]\frac{ED}{EA}=\frac{EC}{EB}=\frac{DC}{AB}=\frac{5}{13}[/tex].
Iz [tex]\frac{ED}{ED+8}=\frac{5}{13}[/tex] dobijamo [tex]ED=5[/tex], a iz [tex]\frac{EC}{EC+10}=\frac{5}{13}[/tex] [tex]EC=\frac{25}{4}[/tex].

Rešenje:
Gornja stranica kvadrata odseca trougao sličan datom, sa osnovicom [tex]x[/tex] i visinom [tex]9-x[/tex], pa je [tex]\frac{x}{18}=\frac{9-x}{9}[/tex], tj. [tex]9x=162-18x[/tex] i [tex]x=6[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]M[/tex] središte [tex]AB[/tex], [tex]CH[/tex] visina, a [tex]K[/tex] podnožje normale iz [tex]G[/tex] na [tex]AB[/tex]. Težište leži na težišnoj duži [tex]CM[/tex] i [tex]MG=\frac{1}{3}MC[/tex]. Kako je [tex]GK \parallel CH[/tex], pravougli trouglovi sa temenom [tex]M[/tex] su slični, pa je [tex]\frac{GK}{CH}=\frac{MG}{MC}=\frac{1}{3}[/tex].
Prema tome, [tex]GK=\frac{12}{3}=4[/tex].

Rešenje:
Kako je [tex]PQ \parallel AC[/tex], [tex]\triangle PBQ \sim \triangle ABC[/tex] sa koeficijentom [tex]\frac{BQ}{BC}=\frac{3}{5}[/tex]. Obimi sličnih trouglova odnose se sa istim koeficijentom, pa je [tex]P_{PBQ}=\frac{3}{5} \cdot 35=21[/tex].

Rešenje:
Dvostruka površina jednaka je proizvodu svake stranice i visine na nju: [tex]a \cdot h_a=b \cdot h_b=2S[/tex], pa je [tex]\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}=\frac{5}{3}[/tex].
Prema tome, [tex]a=\frac{5}{8} \cdot 40=25[/tex].

Rešenje:
Stranice [tex]\triangle A_1B_1C_1[/tex] su srednje linije [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]B_1C_1=\frac{BC}{2};\ C_1A_1=\frac{CA}{2};\ A_1B_1=\frac{AB}{2}[/tex]. Dakle, [tex]\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC[/tex] sa koeficijentom [tex]k=\frac{1}{2}[/tex], i [tex]S_{A_1B_1C_1}=\frac{1}{4} \cdot 120=30[/tex].

Rešenje:
Odnos površina jednak je kvadratu koeficijenta sličnosti: [tex]\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{16}{25}[/tex]. Neka je [tex]S_1=16t;\ S_2=25t[/tex]; tada je [tex]41t=82[/tex], [tex]t=2[/tex] i [tex]S_1=32;\ S_2=50[/tex].

Rešenje:
Težište deli težišnu duž u odnosu [tex]2:1[/tex] računajući od temena, pa je [tex]CG=\frac{2}{3}CM[/tex]; takođe [tex]CP=\frac{1}{2}CM[/tex].
Prema tome, [tex]PG=CG-CP=\frac{1}{6}CM[/tex], pa je [tex]CM=30[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]M[/tex] središte hipotenuze. Težišna duž na hipotenuzu jednaka je njenoj polovini: [tex]CM=\frac{AB}{2}=9[/tex]. Težište deli težišnu duž u odnosu [tex]2:1[/tex] računajući od temena, pa je [tex]GC=\frac{2}{3}CM=6[/tex].

Rešenje:
Po svojstvu simetrale ugla [tex]\frac{AB}{BC}=\frac{AL}{LC}=2[/tex]. U pravouglom trouglu [tex]\cos\angle ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}[/tex], pa je [tex]\angle ABC=60^\circ[/tex].

Rešenje:
Neka su [tex]K[/tex] i [tex]H[/tex] podnožja normala iz [tex]D[/tex] i [tex]B[/tex] na [tex]AC[/tex]. Tada je [tex]DK \parallel BH[/tex], pa je [tex]\triangle ADK \sim \triangle ABH[/tex] i [tex]\frac{DK}{BH}=\frac{AD}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}[/tex].

Rešenje:
Neka su srednje linije paralelne odgovarajućim stranicama takve da je [tex]m_1=n_1;\ m_2=n_2;\ m_3=n_3[/tex]. Svaka srednja linija jednaka je polovini stranice kojoj je paralelna, pa je [tex]BC=2m_1=2n_1=B_1C_1[/tex] i analogno [tex]CA=C_1A_1;\ AB=A_1B_1[/tex].
Po stavu SSS [tex]\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1[/tex].