Upisani i opisani krugovi, periferijski uglovi - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
[tex]\angle AOB[/tex] je centralni ugao, a [tex]\angle ACB=70^\circ[/tex] je periferijski ugao nad istim lukom [tex]AB[/tex].
Centralni ugao je dva puta veći od periferijskog ugla nad istim lukom, pa je [tex]\angle AOB=2\angle ACB=140^\circ[/tex].

Rešenje:
Ugao od [tex]120^\circ[/tex] može biti samo ugao pri vrhu: [tex]AC=BC=6[/tex], [tex]\angle ACB=120^\circ[/tex]. Tada je [tex]\angle A=\angle B=30^\circ[/tex].
Po sinusnoj teoremi [tex]BC=2R\sin\angle A[/tex], tj. [tex]6=2R \cdot \frac{1}{2}[/tex], odakle je [tex]R=6[/tex].

Rešenje:
U četvorougao se može upisati krug tačno kada su zbirovi naspramnih stranica jednaki: [tex]AB+CD=AD+BC[/tex], pa je [tex]AD=BC=\frac{32+18}{2}=25[/tex].
Projekcija kraka na veću osnovicu je [tex]\frac{32-18}{2}=7[/tex], pa je visina [tex]h=\sqrt{25^2-7^2}=24[/tex].
Visina trapeza jednaka je prečniku kruga, pa je [tex]r=\frac{h}{2}=12[/tex].

Rešenje:
Tangentne duži iz jedne tačke do kruga su jednake: [tex]AP=AM=6;\ BM=BN=8;\ CN=CP=9[/tex].
Tada je [tex]AB=6+8=14;\ BC=8+9=17;\ AC=9+6=15[/tex].

Rešenje:
U tetivnom četvorouglu zbir naspramnih uglova je [tex]180^\circ[/tex]: [tex]\angle A+\angle C=180^\circ[/tex].
[tex]3k+7k=180^\circ[/tex], pa je [tex]k=18^\circ[/tex].
Tada je [tex]\angle A=54^\circ;\ \angle B=72^\circ;\ \angle C=126^\circ[/tex] i [tex]\angle D=180^\circ-\angle B=108^\circ[/tex].

Rešenje:
Poluobim je [tex]p=\frac{13+14+15}{2}=21[/tex].
Po Heronovom obrascu [tex]S=\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}=84[/tex].
[tex]r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]AC=3[/tex], [tex]BC=4[/tex], pa je [tex]AB=5[/tex]. Centar [tex]O[/tex] opisanog kruga je središte hipotenuze [tex]AB[/tex] i [tex]R=\frac{5}{2}[/tex].
Poluprečnik upisanog kruga pravouglog trougla je [tex]r=\frac{3+4-5}{2}=1[/tex]. Neka upisani krug (sa centrom [tex]I[/tex]) dodiruje [tex]AB[/tex] u tački [tex]T[/tex]; tada je [tex]AT=p-BC=6-4=2[/tex].
Prema tome, [tex]OT=AO-AT=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}[/tex], a kako je [tex]IT \perp AB[/tex]: [tex]OI^2=OT^2+IT^2=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}[/tex], tj. [tex]OI=\frac{\sqrt{5}}{2}[/tex].

Rešenje:
Dijagonala kvadrata je prečnik kruga: [tex]d=a\sqrt{2}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=2[/tex].
Tada je [tex]R=\frac{d}{2}=1[/tex] i [tex]C=2\pi R=2\pi[/tex].

Rešenje:
Periferijski ugao [tex]\angle AMB[/tex] je nad lukom [tex]AB[/tex] koji ne sadrži [tex]M[/tex]; njegova mera je [tex]360^\circ-108^\circ=252^\circ[/tex].
Periferijski ugao jednak je polovini luka nad kojim leži, pa je [tex]\angle AMB=\frac{252^\circ}{2}=126^\circ[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]AB=6[/tex], [tex]AC=BC[/tex], i neka upisani krug dodiruje [tex]AC[/tex] u tački [tex]M[/tex], tj. [tex]CM=7[/tex].
Upisani krug dodiruje osnovicu u njenom središtu, a tangentne duži iz [tex]A[/tex] su jednake, pa je [tex]AM=\frac{AB}{2}=3[/tex].
Prema tome, [tex]AC=CM+AM=7+3=10[/tex].

Rešenje:
Trapez upisan u krug je jednakokraki.
Projekcija svakog kraka na veću osnovicu je [tex]\frac{40-14}{2}=13[/tex].
Po Pitagorinoj teoremi [tex]AD=BC=\sqrt{13^2+39^2}=\sqrt{1690}=13\sqrt{10}[/tex].

Rešenje:
Tri jednaka luka čine polukrug, pa je [tex]\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}=60^\circ[/tex] i [tex]R=1[/tex].
Tetiva nad lukom od [tex]60^\circ[/tex] jednaka je poluprečniku (to je stranica upisanog pravilnog šestougla), pa je [tex]AD=DC=CB=R=1[/tex].
[tex]\angle A[/tex] je nad lukom [tex]\overset{\frown}{DCB}=120^\circ[/tex], pa je [tex]\angle A=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ[/tex]; analogno [tex]\angle B=60^\circ[/tex], a kako je četvorougao tetivni, [tex]\angle C=\angle D=120^\circ[/tex].

Rešenje:
Pravilan šestougao sastoji se od šest jednakostraničnih trouglova stranice [tex]6[/tex]; poluprečnik upisanog kruga je visina jednog od njih: [tex]r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}[/tex].

Rešenje:
Visina romba jednaka je prečniku upisanog kruga: [tex]h=2r=14[/tex].
[tex]\angle A=180^\circ-150^\circ=30^\circ[/tex], pa je stranica [tex]a=\frac{h}{\sin 30^\circ}=28[/tex].
[tex]S=a \cdot h=28 \cdot 14=392[/tex].

Rešenje:
U tangentnom četvorouglu zbirovi naspramnih stranica su jednaki: [tex]a+b=c+d[/tex], pa je zbir osnovica polovina obima: [tex]a+b=\frac{32}{2}=16[/tex].
Srednja linija je [tex]m=\frac{a+b}{2}=8[/tex].

Rešenje:
Za pravougli trougao sa katetama [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] i hipotenuzom [tex]c[/tex] važi [tex]r=\frac{a+b-c}{2}[/tex], jer su tangentne duži iz temena pravog ugla jednake poluprečniku.
Prema tome, [tex]a+b=2r+c=4+13=17[/tex].

Rešenje:
[tex]AJ[/tex] i [tex]BJ[/tex] su simetrale uglova, pa je [tex]\angle AJB=180^\circ-\frac{\angle A+\angle B}{2}=90^\circ+\frac{\angle C}{2}[/tex].
Tada je [tex]\frac{\angle C}{2}=25^\circ[/tex] i [tex]\angle ACB=50^\circ[/tex].

Rešenje:
[tex]\triangle AOB[/tex] ima tri jednake stranice, pa je jednakostraničan i [tex]\angle AOB=60^\circ[/tex].
Periferijski ugao je polovina centralnog ugla nad istim lukom: [tex]\angle ACB=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ[/tex].

Rešenje:
[tex]OA=OB=OC[/tex], pa su [tex]\triangle AOC[/tex] i [tex]\triangle BOC[/tex] jednakokraki: [tex]\angle OAC=\angle OCA[/tex] i [tex]\angle OBC=\angle OCB[/tex].
Iz zbira uglova [tex]\triangle ABC[/tex] dobijamo [tex]2\angle OCA+2\angle OCB=180^\circ[/tex].
Prema tome, [tex]\angle ACB=\angle OCA+\angle OCB=90^\circ[/tex].

Rešenje:
Poluprečnici spolja upisanih krugova su [tex]r_a=\frac{S}{p-a}[/tex], [tex]r_b=\frac{S}{p-b}[/tex] i [tex]r_c=\frac{S}{p-c}[/tex], gde je [tex]S[/tex] površina, a [tex]p[/tex] poluobim.
U jednakostraničnom trouglu [tex]a=b=c[/tex], pa je [tex]p-a=p-b=p-c[/tex] i zato [tex]r_a=r_b=r_c[/tex].

Rešenje:
Neka je stranica [tex]a[/tex]. Tada je [tex]r=\frac{S}{p}[/tex] i [tex]r_a=\frac{S}{p-a}[/tex].
[tex]p=\frac{3a}{2}[/tex], pa je [tex]p-a=\frac{a}{2}=\frac{p}{3}[/tex].
Prema tome, [tex]r_a=3r=12[/tex].

Rešenje:
Krug je upisan u kvadrat, pa je njegov prečnik jednak stranici: [tex]r=\frac{14}{2}=7[/tex].
[tex]S=\pi r^2=49\pi[/tex].

Rešenje:
U jednakostraničnom trouglu centri oba kruga poklapaju se sa težištem, koje deli svaku visinu u odnosu [tex]2:1[/tex] računajući od temena.
Prema tome, [tex]R=\frac{2}{3}h=10[/tex] i [tex]r=\frac{1}{3}h=5[/tex].

Rešenje:
Periferijski ugao nad prečnikom je prav: [tex]\angle CAD=90^\circ[/tex].
[tex]\angle ADC=\angle ABC=60^\circ[/tex], jer su oba periferijska ugla nad lukom [tex]AC[/tex].
[tex]\angle ACD=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ[/tex].

Rešenje:
Hipotenuza pravouglog trougla upisanog u krug je prečnik: [tex]c=13[/tex].
Druga kateta je [tex]b=\sqrt{13^2-5^2}=12[/tex], pa je [tex]S=\frac{5 \cdot 12}{2}=30[/tex].

Rešenje:
Visina polovi osnovicu, pa je krak [tex]b=\sqrt{8^2+6^2}=10[/tex].
[tex]S=\frac{16 \cdot 6}{2}=48[/tex], [tex]p=\frac{16+10+10}{2}=18[/tex].
[tex]r=\frac{S}{p}=\frac{48}{18}=\frac{8}{3}[/tex].

Rešenje:
[tex]2\pi R=\pi R^2[/tex], pa je [tex]R=2[/tex].
Dijagonala kvadrata je prečnik, pa je [tex]a=R\sqrt{2}=2\sqrt{2}[/tex].

Rešenje:
Trapez upisan u krug je jednakokraki: [tex]AD=BC[/tex].
Projekcija kraka na veću osnovicu je [tex]\frac{AB-CD}{2}=1[/tex], pa je [tex]AD=\frac{1}{\cos 60^\circ}=2[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]ABCD[/tex] romb. Njegovi naspramni uglovi su jednaki: [tex]\angle A=\angle C[/tex].
On je tetivni, pa je [tex]\angle A+\angle C=180^\circ[/tex]. Prema tome, [tex]\angle A=\angle C=90^\circ[/tex] i analogno [tex]\angle B=\angle D=90^\circ[/tex].
Romb sa pravim uglovima je kvadrat.

Rešenje:
Ugao nad prečnikom je prav: [tex]\angle ADB=90^\circ[/tex], pa je [tex]\angle DAB=90^\circ-40^\circ=50^\circ[/tex].
Trapez upisan u krug je jednakokraki, pa je [tex]\angle A=\angle B=50^\circ[/tex] i [tex]\angle C=\angle D=130^\circ[/tex].

Rešenje:
Periferijski ugao je polovina centralnog ugla nad istim lukom: [tex]\angle ABC=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ[/tex].
[tex]AJ[/tex] i [tex]CJ[/tex] su simetrale uglova, pa je [tex]\angle AJC=180^\circ-\frac{\angle A+\angle C}{2}=90^\circ+\frac{\angle ABC}{2}=105^\circ[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]O[/tex] centar, a [tex]P[/tex] presek tangenti. Centralni ugao je [tex]\angle AOB=47^\circ 20'[/tex], a poluprečnici su normalni na tangente: [tex]\angle OAP=\angle OBP=90^\circ[/tex].
U četvorouglu [tex]OAPB[/tex]: [tex]\angle APB=180^\circ-47^\circ 20'=132^\circ 40'[/tex].

Rešenje:
Trapez je tangentni, pa je [tex]a+b=2 \cdot 14=28[/tex]. Iz [tex]5k+2k=28[/tex]: [tex]k=4[/tex], tj. [tex]a=20[/tex] i [tex]b=8[/tex].
Projekcija kraka na veću osnovicu je [tex]\frac{20-8}{2}=6[/tex], pa je [tex]h=\sqrt{14^2-6^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}[/tex].
[tex]r=\frac{h}{2}=2\sqrt{10}[/tex].

Rešenje:
Neka je stranica [tex]a[/tex]. Poluprečnik opisanog kruga je polovina dijagonale: [tex]R=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex]; poluprečnik upisanog kruga je polovina stranice: [tex]r=\frac{a}{2}[/tex].
[tex]\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi R^2}{\pi r^2}=\left(\frac{R}{r}\right)^2=(\sqrt{2})^2=2[/tex].

Rešenje:
[tex]9x=360^\circ[/tex], pa je [tex]\overset{\frown}{AB}=80^\circ;\ \overset{\frown}{CA}=160^\circ[/tex].
Ugao između tangente i tetive jednak je polovini luka koji tetiva odseca, pa tangenta gradi [tex]\frac{80^\circ}{2}=40^\circ[/tex] sa [tex]AB[/tex] i [tex]\frac{160^\circ}{2}=80^\circ[/tex] sa [tex]AC[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]r[/tex] poluprečnik upisanog kruga. Tangentne duži iz temena pravog ugla [tex]C[/tex] jednake su [tex]r[/tex], pa je hipotenuza [tex]AB=4+6=10[/tex], a katete [tex]AC=r+4;\ BC=r+6[/tex].
Po Pitagorinoj teoremi [tex](r+4)^2+(r+6)^2=10^2[/tex], tj. [tex]r^2+10r-24=0[/tex], pa je [tex]r=2[/tex] i [tex]AC=6;\ BC=8[/tex].
[tex]S=\frac{6 \cdot 8}{2}=24[/tex].

Rešenje:
Tangentne duži iz svakog temena su jednake, pa su u tangentnom četvorouglu zbirovi naspramnih stranica jednaki: [tex]AB+CD=BC+DA[/tex].
Prema tome, [tex]DA=5+9-7=7[/tex].

Rešenje:
Neka su kraci [tex]c[/tex]. Trapez je tangentni, pa je [tex]a+b=2c[/tex], tj. [tex]c=\frac{a+b}{2}[/tex].
Projekcija kraka na veću osnovicu jednaka je polovini razlike osnovica, pa za visinu [tex]h[/tex] važi [tex]h^2=c^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}=ab[/tex].
Visina je jednaka prečniku: [tex]h=2r[/tex], pa je [tex](2r)^2=ab[/tex], tj. [tex]2r=\sqrt{ab}[/tex].

Rešenje:
Kako je [tex]\angle ADC=\angle BDC=90^\circ[/tex], hipotenuze [tex]\triangle ACD[/tex] i [tex]\triangle BCD[/tex] su [tex]AC[/tex] i [tex]BC[/tex], pa su centri [tex]O_1[/tex] i [tex]O_2[/tex] središta duži [tex]AC[/tex] i [tex]BC[/tex].
Tada je [tex]O_1O_2[/tex] srednja linija [tex]\triangle ABC[/tex], pa je [tex]O_1O_2 \parallel AB[/tex] i ona polovi svaku duž koja spaja [tex]C[/tex] sa tačkom prave [tex]AB[/tex], posebno [tex]CD[/tex].

Rešenje:
[tex]O[/tex] leži na simetralama uglova, pa je [tex]\angle AOB=90^\circ+\frac{\angle ACB}{2}=150^\circ[/tex].
[tex]S=\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \sin 150^\circ=3\sqrt{2}[/tex].

Rešenje:
[tex]I[/tex] leži na simetrali ugla kod [tex]C[/tex] i na [tex]CH[/tex], pa je visina [tex]CH[/tex] i simetrala ugla: [tex]\angle ACI=\angle BCI[/tex].
U pravouglim [tex]\triangle ACH[/tex] i [tex]\triangle BCH[/tex]: [tex]\angle CAH=90^\circ-\angle ACH=90^\circ-\angle BCH=\angle CBH[/tex].
Uglovi na osnovici su jednaki, pa je [tex]AC=BC[/tex].

Rešenje:
Neka je trapez [tex]ABCD[/tex] sa dijagonalom [tex]BD[/tex]. Krug opisan oko trapeza opisan je i oko [tex]\triangle ABD[/tex], u kome je [tex]\angle A=45^\circ[/tex] naspram [tex]BD[/tex].
Po sinusnoj teoremi [tex]R=\frac{BD}{2\sin 45^\circ}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]\angle A=\angle B=\alpha[/tex]. Po sinusnoj teoremi [tex]BC=2R\sin\alpha[/tex], pa je [tex]\sin\alpha=\frac{1}{2}[/tex].
Uglovi na osnovici su oštri, pa je [tex]\alpha=30^\circ[/tex] i [tex]\angle C=180^\circ-2 \cdot 30^\circ=120^\circ[/tex].

Rešenje:
Odgovarajući uglovi podudarnih trouglova su jednaki: [tex]\angle ACB=\angle BDA[/tex].
Dakle, duž [tex]AB[/tex] vidi se iz [tex]C[/tex] i [tex]D[/tex], koje leže sa iste strane prave [tex]AB[/tex], pod jednakim uglovima. Zato [tex]C[/tex] i [tex]D[/tex] leže na istom luku nad [tex]AB[/tex], tj. [tex]ABCD[/tex] je tetivni.

Rešenje:
Upisani krug dodiruje osnovicu [tex]AB[/tex] u njenom središtu [tex]M[/tex], pa je [tex]AM=2\sqrt{3}[/tex], a njegov centar [tex]I[/tex] leži na simetrali ugla kod [tex]A[/tex]: [tex]\operatorname{tg}\angle IAM=\frac{IM}{AM}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex], pa je [tex]\angle IAM=30^\circ[/tex] i [tex]\angle BAC=60^\circ[/tex].
Uglovi na osnovici su jednaki, pa je [tex]\angle ABC=\angle BAC=60^\circ[/tex] i [tex]\angle ACB=60^\circ[/tex]: trougao je jednakostraničan.

Rešenje:
Produžimo visinu [tex]CH[/tex] do prečnika [tex]CD[/tex]; tada je [tex]\angle CAD=90^\circ[/tex] (nad prečnikom) i [tex]CD=2R=25[/tex].
U pravouglom [tex]\triangle ACD[/tex] kateta je geometrijska sredina svoje projekcije i hipotenuze: [tex]AC^2=CH \cdot CD=16 \cdot 25=400[/tex], pa je [tex]AC=20[/tex].
Tada je [tex]AH=\sqrt{400-256}=12[/tex] i [tex]AB=24[/tex].

Rešenje:
Postavimo [tex]C(0;0),\ A(12;0),\ B(0;9)[/tex]; tada je [tex]c=15[/tex] i [tex]r=\frac{9+12-15}{2}=3[/tex], pa je [tex]I(3;3)[/tex].
Težište je [tex]G\left(\frac{0+12+0}{3};\frac{0+0+9}{3}\right)=G(4;3)[/tex].
Obe tačke imaju istu ordinatu, pa je [tex]GI=4-3=1[/tex].

Rešenje:
Jednake tetive odgovaraju jednakim lukovima: [tex]\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}[/tex].
Periferijski uglovi nad tim lukovima su jednaki: [tex]\angle ABD=\angle BDC[/tex]. To su naizmenični uglovi kod transverzale [tex]BD[/tex], pa je [tex]AB \parallel CD[/tex].

Rešenje:
Dijagonale romba su normalne i polove se: [tex]AC \perp BD[/tex], [tex]BP=PD[/tex]. Zato [tex]M[/tex] leži na simetrali duži [tex]BD[/tex] i [tex]MB=MD[/tex]; takođe [tex]AB=AD[/tex].
Tada je [tex]AB+MD=AD+MB[/tex], a u konveksni četvorougao sa jednakim zbirovima naspramnih stranica može se upisati krug.

Rešenje:
Neka je [tex]K[/tex] tačka dodira na [tex]AB[/tex]; tada je [tex]OK=r[/tex] i [tex]\triangle AOK[/tex] je pravougli. [tex]O[/tex] leži na simetrali ugla kod [tex]A[/tex], pa je [tex]\angle OAK=\frac{\alpha}{2}[/tex] i [tex]OA=\frac{OK}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}[/tex].
Analogno [tex]OB=\frac{r}{\sin\frac{\beta}{2}};\ OC=\frac{r}{\sin\frac{\gamma}{2}}[/tex].

Rešenje:
Periferijski ugao je polovina centralnog ugla nad istim lukom: [tex]\angle BAC=\frac{\angle BOC}{2}=45^\circ[/tex], pa je [tex]\angle ABC=\angle BAC=45^\circ[/tex] i [tex]\angle ACB=90^\circ[/tex].
Tada je [tex]AB=2R[/tex] prečnik, a visina na njega je [tex]CH=R[/tex] (to je poluprečnik [tex]OC[/tex]).
[tex]S=\frac{AB \cdot CH}{2}=\frac{2R \cdot R}{2}=R^2[/tex].

Rešenje:
Spojimo [tex]O[/tex] sa temenom pravog ugla; poluprečnici ka tačkama dodira su visine [tex]\triangle AOC[/tex] i [tex]\triangle BOC[/tex] na katete. Površina trougla je [tex]S=\frac{5 \cdot 12}{2}=30[/tex], a takođe [tex]S=\frac{r \cdot 12}{2}+\frac{r \cdot 5}{2}=\frac{17r}{2}[/tex].
Dakle, [tex]\frac{17r}{2}=30[/tex] i [tex]r=\frac{60}{17}[/tex].

Rešenje:
Upisani krug dodiruje osnovicu u njenom središtu [tex]M[/tex], pa je [tex]AM=a[/tex], a njegov centar [tex]I[/tex] leži na simetrali ugla kod [tex]A[/tex]: [tex]\angle IAM=\frac{\alpha}{2}[/tex]. Iz pravouglog [tex]\triangle AIM[/tex]: [tex]r=a\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}[/tex].
[tex]\angle ACB=180^\circ-2\alpha[/tex], i po sinusnoj teoremi [tex]R=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac{2a}{2\sin 2\alpha}=\frac{a}{\sin 2\alpha}[/tex].

Rešenje:
Unutrašnji i spoljašnji ugao kod [tex]C[/tex] su uporedni, pa su njihove simetrale [tex]CP[/tex] i [tex]CQ[/tex] normalne: [tex]\angle PCQ=90^\circ[/tex].
Periferijski prav ugao je nad prečnikom, pa je [tex]PQ[/tex] prečnik.

Rešenje:
Produžimo [tex]AP[/tex] preko tačke [tex]P[/tex] do preseka sa krugom u [tex]Q[/tex]. Ugao nad prečnikom je prav: [tex]\angle AQB=90^\circ[/tex].
[tex]\angle APB[/tex] je spoljašnji ugao [tex]\triangle PQB[/tex], pa je [tex]\angle APB=\angle AQB+\angle QBP>90^\circ[/tex].

Rešenje:
S jedne strane [tex]S=\frac{ch}{2}[/tex]; s druge strane, uz poluobim [tex]p=\frac{2b+c}{2}[/tex], [tex]S=pr[/tex].
Dakle, [tex]\frac{ch}{2}=\frac{2b+c}{2}r[/tex], odakle je [tex]r=\frac{ch}{2b+c}[/tex].

Rešenje:
Dijagonale romba polove njegove uglove, pa [tex]O[/tex] leži na simetralama sva četiri ugla.
Tačka simetrale ugla jednako je udaljena od krakova ugla, pa su rastojanja od [tex]O[/tex] do sve četiri stranice jednaka rastojanju do [tex]AB[/tex], tj. [tex]r[/tex]. Prema tome, [tex]k[/tex] dodiruje i [tex]BC;\ CD;\ DA[/tex].