Diferencijalne jednačine - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Primenjujemo metodu razdvajanja promenljivih.
$dx+e^{3x}dy=0\Longrightarrow dx=-e^{3x}dy$

Tada je $e^{-3x}dx=-dy$ i sada možemo da integralimo.

$\int e^{-3x}dx=-\int dy\Longrightarrow -\frac{1}{3}e^{-3x}=-y+C$ i posle preuređivanja

$y=\frac{1}{3}e^{-3x}+C$

Rešenje:
Primenjujemo metodu razdvajanja promenljivih.
Dakle, $dy-(y-1)^{2}dx=0\Longrightarrow dy=(y-1)^{2}dx $

Tada je $(y-1)^{-2}dy=dx$ i sada možemo da integralimo:

$\int (y-1)^{-2}dy=\int dx$ — u prvom integralu uvodimo smenu

$u=y-1\Longrightarrow du=dy$, pa je $\int u^{-2}du=\int dx\Longrightarrow -\frac{1}{u}=x+C$

Kako je $u=y-1$, dobijamo $-\frac{1}{y-1}=x+C$

Rešenje:
$\dfrac{dy}{dx}+2xy^{2}=0\Longrightarrow \dfrac{dy}{dx}=-2xy^{2}$, pa je $\frac{1}{y^{2}}dy=-2xdx$

i integralimo $\int \frac{1}{y^{2}}dy=-2\int xdx\Longrightarrow -\frac{1}{y}=-x^{2}+C$
$\Longrightarrow y=\frac{1}{x^{2}+C}$

Rešenje:
Primetimo da je leva strana upravo izvod proizvoda:

[tex]xy'+y=\left( xy\right) '[/tex]

Dakle, jednačina se može zapisati kao [tex]\left( xy\right) '=e^{x}[/tex] i integralimo obe strane

[tex]xy=\int e^{x}dx=e^{x}+C[/tex]

Tada je [tex]y=\dfrac{e^{x}+C}{x}[/tex] opšte rešenje.

Sada koristimo početni uslov [tex]y(1)=2[/tex]

[tex]2=\dfrac{e^{1}+C}{1}\Longrightarrow C=2-e[/tex]

Partikularno rešenje je [tex]y=\dfrac{e^{x}+2-e}{x}[/tex]

Rešenje:
$\dfrac{dy}{dx}=e^{3x+2y}$
Primenom osobina eksponencijalne funkcije dobijamo

$\dfrac{dy}{dx}=e^{3x+2y}=e^{3x}e^{2y}$
Treba da razdvojimo promenljive
$e^{-2y}dy=e^{3x}dx$ i integralimo $\int e^{-2y}dy=\int e^{3x}dx$
$-\frac{1}{2}e^{-2y}=\frac{1}{3}e^{3x}+C\Longrightarrow \frac{1}{3}e^{3x}+\frac{1}{2}e^{-2y}=C$
Tada $2e^{3x}+3e^{-2y}=C$ (a). Koristimo početni uslov i tako nalazimo vrednost konstante $C$:
$y(0)=1\Longrightarrow 2e^{0}+3e^{-2}=C=\frac{3}{e^{2}}+2=C$
Posle zamene u (a) dobijamo
$2e^{3x}+3e^{-2y}=\frac{3}{e^{2}}+2$

Rešenje:
$e^{x}y\dfrac{dy}{dx}=e^{-y}+e^{-2x-y}\Longrightarrow e^{x}y\dfrac{dy}{dx}=e^{-y}(1+e^{-2x})$
Primenjujemo metod razdvajanja promenljivih, prebacujući svako [tex]y[/tex] levo, a svako [tex]x[/tex] desno.
$ye^{y}dy=e^{-x}(1+e^{-2x})dx$

$ye^{y}dy=(e^{-x}+e^{-3x})dx$ pa možemo da integralimo

$\int ye^{y}dy=\int (e^{-x}+e^{-3x})dx$ levi integral se rešava parcijalnom integracijom
a desni integral je neposredan.
Tada $\int ye^{y}dy=e^{y}\left( y-1\right)$ (parcijalna integracija)
i $\int (e^{-x}+e^{-3x})dx=-e^{-x}-\frac{1}{3}e^{-3x}+C$
Dakle
$e^{y}\left( y-1\right) =-e^{-x}-\frac{1}{3}e^{-3x}+C$

Rešenje:
Primenjujemo metod razdvajanja promenljivih.
$y\ln x\dfrac{dx}{dy}=(\dfrac{y+1}{x})^{2}$
$x^{2}\ln xdx=\frac{1}{y}(y+1)^{2}dy\Longrightarrow x^{2}\ln xdx=\left( y+2+\frac{1}{y}\right) dy$
Zatim integralimo, pa je $\int x^{2}\ln xdx=\int \left( y+2+\frac{1}{y}\right) dy$
levi integral se rešava parcijalnom integracijom.

$\int x^{2}\ln xdx=\allowbreak \frac{1}{3}x^{3}\ln x-\frac{1}{9}x^{3}$ (parcijalna integracija) i $\int \left( y+2+\frac{1}{y}\right) dy=\frac{y^{2}}{2}+2y+\ln y+C$

Rešenje je $\frac{1}{3}x^{3}\ln x-\frac{1}{9}x^{3}=\frac{y^{2}}{2}+2y+\ln y+C,$
sada nalazimo vrednost konstante $C$

Koristimo početni uslov $y(1)=1$, $y=1$ kada je $x=1$
$\frac{1}{3}1^{3}\ln 1-\frac{1}{9}1^{3}=\frac{1^{2}}{2}+2(1)+\ln 1+C\Longrightarrow -\frac{1}{9}=\frac{1}{2}+2+C$

Dakle $C=-\frac{1}{9}-\frac{1}{2}-2=-\frac{47}{18}$ i zamenom u opšte rešenje dobijamo $\frac{1}{3}x^{3}\ln x-\frac{1}{9}x^{3}=\frac{y^{2}}{2}+2y+\ln y-\frac{47}{18}$

Rešenje:
$\sqrt{1-y^{2}}dx-\sqrt{1-x^{2}}dy=0$
Primenjujemo metod razdvajanja promenljivih.

$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}dy$
Koristimo formulu za integraciju
$\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\arcsin \frac{u}{a}+C$ pa je $\arcsin x=\arcsin y+C$ rešenje.
Koristimo početni uslov, $\arcsin 0=\arcsin \dfrac{\sqrt{3}}{2}+C$

Tada $0=\frac{1}{3}\pi +C\Longrightarrow C=-\frac{\pi }{3}$ i zamenom
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}dy \Longrightarrow \arcsin x=\arcsin y-\frac{\pi }{3}$

Rešenje:
$\csc y dx+\sec^{2}x$ $dy=0$
Korak 1: Razdvajamo promenljive.

$\csc y$ $dx=-\sec ^{2}x$ $dy\Longrightarrow \cos^{2}xdx=-\sin ydy$
Korak 2: Primenjujemo trigonometrijski identitet.
$\frac{1}{2}\left( 1+cos2x\right) dx=-\sin ydy$

Korak 3: Integralimo, $\frac{1}{2}\int \left( 1+cos2x\right) dx=-\int \sin ydy$
Rezultat:
$\frac{1}{2}\left[ x+\frac{1}{2}\sin 2x\right] =\cos y+C$

Rešenje:
$\sin 3x$ $dx+2y$ $\cos ^{3}3x$ $dy=0$
Razdvajamo promenljive $\frac{\sin 3x}{\cos^{3}3x} dx=-2ydy$
$\int \frac{\sin 3x}{\cos^{3}3x} dx=-2\int ydy$
U levom integralu primenjujemo smenu $u=\cos 3x\Longrightarrow du=-3\sin 3xdx$
Dakle
$-\frac{1}{3}\int u^{-3}du=-y^{2}+C\Longrightarrow \frac{1}{6}u^{-2}=-y^{2}+C $
i pošto je
$u=\cos 3x$ tada je $\frac{1}{6\cos^{2}3x}=-y^{2}+C$ opšte rešenje Dato je da je $y(\pi )=0$, pa je

$\frac{1}{6\cos^{2}\left( 3\pi \right) }=0+C\Longrightarrow \frac{1}{6}=C$

Rešenje je
$\frac{1}{6}\sec^{2}3x=-y^{2}+\frac{1}{6}$

Rešenje:
Nakon razdvajanja promenljivih dobijamo
$(e^{y}+1)^{2}e^{-y}dx=-(e^{x}+1)^{3}e^{-x}dy\Longrightarrow \frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{3}}dx=-\frac{e^{y}}{(e^{y}+1)^{2}}dy$

Tada $\int \frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{3}}dx=-\int \frac{e^{y}}{(e^{y}+1)^{2}}dy$

Oba integrala rešavamo smenom
$u=e^{x}+1$
$du=e^{x}dx$ i

$v=e^{y}+1$
$dv=e^{y}dy$ pa je,
$\int u^{-3}du=-\int v^{-2}dv$
$-\frac{1}{2}u^{-2}=\frac{1}{v}+C$ i pošto je
$u=e^{x}+1,v=e^{y}+1$

Dobijamo
$-\frac{1}{2\left( e^{x}+1\right) ^{2}}=\frac{1}{e^{y}+1}+C\Longrightarrow \frac{1}{e^{y}+1}+\frac{1}{2\left( e^{x}+1\right) ^{2}}=C$

Rešenje:
Razdvajamo promenljive $x(1+x^{2})^{-1/2}dx=y(1+y^{2})^{-1/2}dy$

i integralimo $\int x(1+x^{2})^{-1/2}dx=\int y(1+y^{2})^{-1/2}dy$

Oba integrala rešavamo smenom
$u=1+x^{2}$
$du=2xdx$ i $v=1+y^{2}$
$dv=2ydy$ pa dobijamo
$\frac{1}{2}\int (u)^{-1/2}du=\frac{1}{2}\int (v)^{-1/2}dv\Longrightarrow 2.\frac{1}{2}\sqrt{u}=2.\frac{1}{2}\sqrt{v}+C$
Dakle
$\sqrt{1+x^{2}}=\sqrt{1+y^{2}}+C$ je rešenje.

Rešenje:
Ovo je linearna diferencijalna jednačina oblika

[tex]\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)[/tex]

pa primenjujemo formulu

[tex]y=e^{-\int P(x)dx}\left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right][/tex]

gde je [tex]P(x)=1[/tex] i [tex]Q(x)=e^{3x}[/tex].

[tex]\int P(x)dx=\int dx=x[/tex] i [tex]\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int e^{3x}e^{x}dx=\int e^{4x}dx=\dfrac{1}{4}e^{4x}[/tex]

Opšte rešenje je

[tex]y=e^{-x}\left[ \dfrac{1}{4}e^{4x}+C\right] =\dfrac{1}{4}e^{3x}+Ce^{-x}[/tex]

Član [tex]Ce^{-x}[/tex] je rešenje odgovarajuće homogene jednačine [tex]y'+y=0[/tex]; ako se izostavi, dobija se samo jedno partikularno rešenje, a ne opšte.

Rešenje:
Primenjujemo formulu

[tex]y=e^{-\int P(x)dx}\left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right][/tex]

[tex]y'+3x^{2}y=x^{2}\Longrightarrow P(x)=3x^{2}\qquad Q(x)=x^{2}[/tex]

tada je [tex]\int P(x)dx=\int 3x^{2}dx=x^{3}[/tex] i, uz smenu [tex]u=x^{3},\ du=3x^{2}dx[/tex],

[tex]\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int x^{2}e^{x^{3}}dx=\dfrac{1}{3}\int e^{u}du=\dfrac{1}{3}e^{u}=\dfrac{1}{3}e^{x^{3}}[/tex]

Opšte rešenje je

[tex]y=e^{-x^{3}}\left[ \dfrac{1}{3}e^{x^{3}}+C\right] =\dfrac{1}{3}+Ce^{-x^{3}}[/tex]

Konstanta [tex]y=\dfrac{1}{3}[/tex] sama za sebe je samo jedno partikularno rešenje; član [tex]Ce^{-x^{3}}[/tex] potiče od konstante integracije i mora se zadržati.

Rešenje:
Prvo primenjujemo formulu: $y=e^{-\int P(x)dx}\left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx\right] $

$y'+2xy=x^{3}$,
$P(x)=2x\qquad Q(x)=x^{3}$

Tada
$\int P(x)dx=\int 2xdx=x^{2}$ i $\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int x^{3}e^{x^{2}}dx$

Da bismo rešili ovaj integral, uvodimo smenu $u=x^{2}\Longrightarrow du=2xdx\Longrightarrow \frac{1}{2}du=xdx$

$\int x^{3}e^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int ue^{u}du$ $=$ $\frac{1}{2}e^{u}\left( u-1\right) $

i nakon parcijalne integracije dobijamo

$\int x^{3}e^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}e^{x^{2}}\left( x^{2}-1\right)+C$

Vraćamo se u formulu za y:
$y=e^{−x^2}\left[\frac{1}{2}​e^{x^2}(x^2−1)+C\right]$

Sređujemo:
$y=\frac12(x^2−1)+Ce^{−x^2}$

Rešenje:
Podelimo sa [tex]x^{2}[/tex] da bismo jednačinu doveli na standardni oblik

[tex]x^{2}y'+xy=1\Longrightarrow y'+\dfrac{1}{x}y=\dfrac{1}{x^{2}}[/tex]

Tada je [tex]P(x)=\dfrac{1}{x}[/tex] i [tex]Q(x)=\dfrac{1}{x^{2}}[/tex], pa primenjujemo

[tex]y=e^{-\int P(x)dx}\left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right][/tex]

[tex]\int P(x)dx=\int \dfrac{1}{x}dx=\ln x[/tex] i [tex]\int \dfrac{1}{x^{2}}e^{\ln x}dx=\int \dfrac{1}{x}dx=\ln x[/tex]

Dakle, opšte rešenje je

[tex]y=e^{-\ln x}\left[ \ln x+C\right] =\dfrac{1}{x}\left( \ln x+C\right) =\dfrac{\ln x+C}{x}[/tex]

Konstanta je unutar zagrada, pa se i ona deli sa [tex]x[/tex].

Brza provera: [tex]y=\dfrac{\ln x+C}{x}[/tex] daje [tex]xy=\ln x+C[/tex], pa je [tex]\left( xy\right) '=\dfrac{1}{x}[/tex], a množenjem sa [tex]x[/tex] vraćamo [tex]x^{2}y'+xy=1[/tex].

Rešenje:
Primenjujemo formulu [tex]y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right][/tex]

[tex]y'=2y+x^{2}+5\Longrightarrow y'-2y=x^{2}+5\Longrightarrow P(x)=-2\qquad Q(x)=x^{2}+5[/tex]

i [tex]\int P(x)dx=-2x[/tex] pa je [tex]\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int \left( x^{2}+5\right) e^{-2x}dx[/tex]

Poslednji integral se rešava parcijalnom integracijom, pa je

[tex]\int \left( x^{2}+5\right) e^{-2x}dx=-\dfrac{1}{4}e^{-2x}\left( 2x^{2}+2x+11\right)[/tex]

Tada je rešenje diferencijalne jednačine

[tex]y=e^{2x}\left[ -\dfrac{1}{4}e^{-2x}\left( 2x^{2}+2x+11\right) +C\right] =-\dfrac{1}{4}\left( 2x^{2}+2x+11\right) +Ce^{2x}[/tex]

Obratite pažnju na dve stvari koje se lako izgube: znak minus ispred [tex]\dfrac{1}{4}[/tex] ostaje, a konstanta [tex]C[/tex] je unutar zagrada, pa se i ona množi sa [tex]e^{2x}[/tex].

Rešenje:
[tex]x\dfrac{dy}{dx}-y=x^{2}\sin (x)\Longrightarrow \dfrac{dy}{dx}-\dfrac{1}{x}y=x\sin (x)[/tex]

Tada je [tex]P(x)=-\dfrac{1}{x}[/tex] i [tex]Q(x)=x\sin (x)[/tex], pa primenjujemo

[tex]y=e^{-\int P(x)dx}\left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right][/tex]

Dakle [tex]\int P(x)dx=\int -\dfrac{1}{x}dx=-\ln x[/tex] i

[tex]\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int x\sin (x)e^{-\ln x}dx=\int \sin x\,dx=-\cos x[/tex]

Tada je rešenje diferencijalne jednačine

[tex]y=e^{\ln x}\left[ -\cos x+C\right] =x\left( C-\cos x\right) =-x\cos x+Cx[/tex]

Konstanta mora ostati unutar zagrada, pa se množi sa [tex]x[/tex] zajedno sa ostatkom. Ako napišemo [tex]-x\cos x+C[/tex], jednačina neće biti zadovoljena.

Rešenje:
[tex](1+x)\dfrac{dy}{dx}-xy=x+x^{2}\Longrightarrow \dfrac{dy}{dx}-\dfrac{x}{1+x}y=\dfrac{x(1+x)}{1+x}=x[/tex]

Tada je [tex]P(x)=-\dfrac{x}{1+x}\qquad Q(x)=x[/tex] pa primenjujemo

[tex]y=e^{-\int P(x)dx}\left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right][/tex]

[tex]\int P(x)dx=-\int \dfrac{x}{1+x}dx=-\int \left( 1-\dfrac{1}{1+x}\right) dx=\ln \left( x+1\right) -x[/tex]

Sada [tex]\int xe^{\ln \left( x+1\right) -x}dx=\int x\left( x+1\right) e^{-x}dx[/tex] i nakon parcijalne integracije

[tex]\int x\left( x+1\right) e^{-x}dx=-e^{-x}\left( x^{2}+3x+3\right)[/tex]

Pošto je [tex]e^{-\int P(x)dx}=e^{x-\ln \left( x+1\right) }=\dfrac{e^{x}}{x+1}[/tex], opšte rešenje je

[tex]y=\dfrac{e^{x}}{x+1}\left[ -e^{-x}\left( x^{2}+3x+3\right) +C\right] =\dfrac{Ce^{x}-\left( x^{2}+3x+3\right) }{x+1}[/tex]

Za [tex]C=0[/tex] dobijamo partikularno rešenje [tex]y=-\dfrac{x^{2}+3x+3}{x+1}[/tex], ali član [tex]\dfrac{Ce^{x}}{x+1}[/tex] je rešenje homogene jednačine i pripada opštem odgovoru.

Rešenje:
Podelimo sa [tex]x^{2}[/tex]

[tex]x^{2}y'+x(x+2)y=e^{x}\Longrightarrow y'+\dfrac{x+2}{x}y=\dfrac{1}{x^{2}}e^{x}[/tex]

pa je [tex]P(x)=\dfrac{x+2}{x}=1+\dfrac{2}{x}\qquad Q(x)=\dfrac{1}{x^{2}}e^{x}[/tex] i primenjujemo

[tex]y=e^{-\int P(x)dx}\left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right][/tex]

[tex]\int P(x)dx=\int \left( 1+\dfrac{2}{x}\right) dx=x+2\ln x=x+\ln x^{2}[/tex]

[tex]\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int \dfrac{1}{x^{2}}e^{x}\,e^{x+\ln x^{2}}dx=\int e^{2x}dx=\dfrac{1}{2}e^{2x}[/tex]

Pošto je [tex]e^{-\left( x+\ln x^{2}\right) }=\dfrac{e^{-x}}{x^{2}}[/tex], opšte rešenje je

[tex]y=\dfrac{e^{-x}}{x^{2}}\left[ \dfrac{1}{2}e^{2x}+C\right] =\dfrac{e^{x}}{2x^{2}}+\dfrac{Ce^{-x}}{x^{2}}[/tex]

Drugi član je rešenje homogene jednačine, a konstanta se deli sa [tex]x^{2}[/tex] jer se nalazi unutar zagrada.

Rešenje:
[tex](x+1)\dfrac{dy}{dx}+y=\ln x\Longrightarrow \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{x+1}y=\dfrac{\ln x}{x+1}[/tex]

Ovde je [tex]P(x)=\dfrac{1}{x+1},\qquad Q(x)=\dfrac{\ln x}{x+1}[/tex] pa primenjujemo

[tex]y=e^{-\int P(x)dx}\left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right][/tex]

Pošto je [tex]\int P(x)dx=\int \dfrac{1}{x+1}dx=\ln \left( x+1\right)[/tex] i

[tex]\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int \dfrac{\ln x}{x+1}e^{\ln \left( x+1\right) }dx=\int \ln x\,dx=x\left( \ln x-1\right)[/tex]

Nakon zamene dobijamo opšte rešenje

[tex]y=e^{-\ln \left( x+1\right) }\left[ x\left( \ln x-1\right) +C\right] =\dfrac{x\left( \ln x-1\right) +C}{x+1}[/tex]

Konstanta ostaje unutar zagrada, pa se i ona deli sa [tex]x+1[/tex]. Sada koristimo početni uslov [tex]y(1)=10[/tex]

[tex]10=\dfrac{1\left( \ln 1-1\right) +C}{1+1}=\dfrac{C-1}{2}\Longrightarrow C=21[/tex]

Partikularno rešenje je [tex]y=\dfrac{x\left( \ln x-1\right) +21}{x+1}[/tex]

Brza provera: za [tex]x=1[/tex] dobijamo [tex]\dfrac{-1+21}{2}=10[/tex], kako se i tražilo.

Rešenje:
[tex]y'+(\tan x)y=\cos ^{2}x\Longrightarrow P(x)=\tan x,\qquad Q(x)=\cos ^{2}x[/tex] pa primenjujemo

[tex]y=e^{-\int P(x)dx}\left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right][/tex]

pošto je [tex]\int P(x)dx=\int \tan x\,dx=-\ln \left( \cos x\right) =\ln \left( \sec x\right)[/tex]

i [tex]\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int \cos ^{2}x\,e^{\ln \left( \sec x\right) }dx=\int \cos ^{2}x\sec x\,dx=\int \cos x\,dx=\sin x[/tex]

Primenom formule dobijamo

[tex]y=e^{-\ln \left( \sec x\right) }\left[ \sin x+C\right] =\cos x\left( \sin x+C\right) =\sin x\cos x+C\cos x[/tex]

Konstanta je unutar zagrada, pa se i ona množi sa [tex]\cos x[/tex] - upravo bi ovde samostalno [tex]+C[/tex] dalo funkciju koja ne zadovoljava jednačinu.

Sada koristimo početni uslov

[tex]y(0)=-1\Longrightarrow -1=\sin 0\cos 0+C\cos 0=C\Longrightarrow C=-1[/tex]

Partikularno rešenje je [tex]y=\sin x\cos x-\cos x=\cos x\left( \sin x-1\right)[/tex]

Rešenje:
Jednačina je linearna sa [tex]P(x)=2x[/tex], pa je [tex]\int P(x)dx=x^{2}[/tex] i integracioni faktor je [tex]e^{x^{2}}[/tex]. Pošto je desna strana data sa dve različite formule, rešavamo na svakom intervalu posebno.

Za [tex]0\leq x<1[/tex] imamo [tex]f(x)=x[/tex], pa je

[tex]\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int xe^{x^{2}}dx=\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}[/tex]

[tex]y=e^{-x^{2}}\left[ \dfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C\right] =\dfrac{1}{2}+Ce^{-x^{2}}[/tex]

Iz početnog uslova [tex]y(0)=2[/tex] sledi [tex]2=\dfrac{1}{2}+C\Longrightarrow C=\dfrac{3}{2}[/tex], pa je

[tex]y=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}e^{-x^{2}}[/tex]

Za [tex]x\geq 1[/tex] imamo [tex]f(x)=0[/tex], pa jednačina postaje [tex]y'+2xy=0[/tex] i

[tex]y=Ke^{-x^{2}}[/tex]

Konstanta [tex]K[/tex] se određuje iz uslova da rešenje bude neprekidno u [tex]x=1[/tex]

[tex]\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}e^{-1}=Ke^{-1}\Longrightarrow K=\dfrac{1}{2}e+\dfrac{3}{2}=\dfrac{e+3}{2}[/tex]

Dakle, partikularno rešenje je

[tex]y=\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}e^{-x^{2}} , & 0\leq x<1 \\ \dfrac{e+3}{2}e^{-x^{2}} , & x\geq 1 \end{array} \right.[/tex]

Upozorenje na čestu grešku: integral [tex]\int xe^{x^{2}}dx[/tex] mora ostati neodređen. Ako ga zamenimo određenim integralom [tex]\int_{0}^{1}xe^{x^{2}}dx=\dfrac{1}{2}\left( e-1\right)[/tex], on postaje broj, a tako dobijena funkcija ne zadovoljava jednačinu.

Rešenje:
Primetimo najpre da je leva strana već izvod proizvoda:

[tex]\left( 1+x^{2}\right) \dfrac{dy}{dx}+2xy=\dfrac{d}{dx}\left[ \left( 1+x^{2}\right) y\right][/tex]

(to bi nam i integracioni faktor [tex]e^{\int \frac{2x}{1+x^{2}}dx}=e^{\ln \left( 1+x^{2}\right) }=1+x^{2}[/tex] ionako dao). Tada jednačina postaje

[tex]\dfrac{d}{dx}\left[ \left( 1+x^{2}\right) y\right] =f(x)[/tex]

Pošto je [tex]f[/tex] data sa dve različite formule, radimo na svakom intervalu posebno.

Za [tex]0\leq x<1[/tex] imamo [tex]f(x)=x[/tex], pa je

[tex]\left( 1+x^{2}\right) y=\int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}+C[/tex]

Iz početnog uslova [tex]y(0)=0[/tex] sledi [tex]1\cdot 0=0+C\Longrightarrow C=0[/tex], pa je

[tex]y=\dfrac{x^{2}}{2\left( 1+x^{2}\right) }[/tex]

Za [tex]x\geq 1[/tex] imamo [tex]f(x)=0[/tex], pa je

[tex]\left( 1+x^{2}\right) y=K\Longrightarrow y=\dfrac{K}{1+x^{2}}[/tex]

Konstanta [tex]K[/tex] se određuje iz neprekidnosti u [tex]x=1[/tex]. Iz prve grane [tex]y(1)=\dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac{1}{4}[/tex], a iz druge [tex]y(1)=\dfrac{K}{2}[/tex], pa je [tex]K=\dfrac{1}{2}[/tex] i

[tex]y=\dfrac{1}{2\left( 1+x^{2}\right) }[/tex]

Partikularno rešenje je dakle

[tex]y=\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{x^{2}}{2\left( 1+x^{2}\right) } , & 0\leq x<1 \\ \dfrac{1}{2\left( 1+x^{2}\right) } , & x\geq 1 \end{array} \right.[/tex]

Dve stvari na koje treba paziti: proizvoljna konstanta je unutar zagrade zajedno sa [tex]\int f(x)dx[/tex], pa se deli sa [tex]1+x^{2}[/tex], a ne dodaje se prosto na kraju; i partikularno rešenje više ne sadrži [tex]C[/tex] kada su uslovi iskorišćeni.