Kvadratne nejednačine - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
$x^{2}+2x-15>0$
Razložite levu stranu na faktore.
$\left( x+5\right) \left(x-3\right) >0$

Nule su $x=-5\qquad x=3$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-5\right) & -5 & \left( -5,3\right) & 3 & \left( 3,+\infty \right) \\ \left( x+5\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 8 & \left( +\right) \\ \left( x-3\right) & \left( -\right) & -8 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+5\right) \left( x-3\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Rešenje: $x\in \left( -\infty ,-5\right) \cup \left( 3,+\infty \right)$

Rešenje:
$x^{2}-2x-3\leq 0$

$\left( x+1\right) \left(x-3\right) \leq 0$

Koreni su $x=-1\qquad x=3$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-1\right) & -1 & \left( -1,3\right) & 3 & \left( 3,+\infty \right) \\ \left( x+1\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 4 & \left( +\right) \\ \left( x-3\right) & \left( -\right) & -4 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+1\right) \left( x-3\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Odgovor: $x\in \left[ -1,3\right]$

Rešenje:
$3x^{2}-x-2\leq 0$

Koreni kvadratne jednačine su:
$x=\frac{1\pm \sqrt{1-4\left( 3\right) \left( -2\right) }}{6}=\frac{1\pm \sqrt{25}}{6}$

$x=\frac{1\pm 5}{6}$

$x=1\qquad x=-\frac{2}{3}$

tada
$3x^{2}-x-2=3\left( x-1\right) \left( x+\frac{2}{3}\right) \leq 0$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-\frac{2}{3}\right) & -\frac{2}{3} & \left( -\frac{2}{3},1\right) & 1 & \left( 1,+\infty \right) \\ \left( x-1\right) & \left( -\right) & -\frac{5}{3} & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+\frac{2}{3}\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & \frac{1}{3} & \left( +\right) \\ 3\left( x-1\right) \left( x+\frac{2}{3}\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Odgovor: $x\in \left[ -\frac{2}{3},1\right] $

Rešenje:
$x^{2}-8x+12=\left( x-2\right) \left( x-6\right) <0$

$x=2$
$x=6$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,2\right) & 2 & \left( 2,6\right) & 6 & \left( 6,+\infty \right) \\ \left( x-2\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 4 & \left( +\right) \\ \left( x-6\right) & \left( -\right) & -4 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x-2\right) \left( x-6\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Odgovor: $x\in \left( 2,6\right) $

Rešenje:
Treba rešiti $x^{2}-5x=0$

$x^{2}-5x=x\left( x-5\right)$
Dakle, koreni jednačine su:
$x=0\qquad x=5$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,0\right) & 0 & \left( 0,5\right) & 5 & \left( 5,+\infty \right) \\ x & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 5 & \left( +\right) \\ \left( x-5\right) & \left( -\right) & -5 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ x\left( x-5\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Odgovor: $x\in \left( -\infty ,0\right] \cup \left[ 5,+\infty \right) $

Rešenje:
Treba naći nule izraza $3x^{2}-27=0$

$3x^{2}-27=3\left( x-3\right) \left( x+3\right)$
Dakle, koreni su:
$x=-3\qquad x=3$

Posmatrajmo $3x^{2}-27<0$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-3\right) & -3 & \left( -3,3\right) & 3 & \left( 3,+\infty \right) \\ \left( x-3\right) & \left( -\right) & -6 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+3\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 6 & \left( +\right) \\ 3\left( x-3\right) \left( x+3\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Odgovor: $x\in \left( -3,3\right) $

Rešenje:
[tex]x^2-2x+1+x^2-4x+3\gt 0 \Leftrightarrow 2x^2-6x+4\gt 0 \Leftrightarrow x^2-3x+2\gt 0[/tex]
[tex](x-1)(x-2)\gt 0[/tex]
Parabola je okrenuta naviše, pa je trinom pozitivan van intervala između nula.
Odgovor: [tex]x\in(-\infty; 1)\cup(2; +\infty)[/tex].

Rešenje:
$9x>2x^{2}-18\Longrightarrow 2x^{2}-9x-18<0$

Koreni su:
$x=\frac{9\pm \sqrt{81-4\left( 2\right) \left( -18\right) }}{4}=\frac{9\pm \sqrt{225}}{4}=$ $\frac{9\pm 15}{4}$

$x=6\qquad x=-\frac{3}{2}$
Levu stranu možemo zapisati kao proizvod dva linearna činioca:
$2\left( x-6\right) \left( x+\frac{3}{2}\right)$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-\frac{3}{2}\right) & -\frac{3}{2} & \left( -\frac{3}{2}% ,6\right) & 6 & \left( 6,+\infty \right) \\ \left( x-6\right) & \left( -\right) & -\frac{15}{2} & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+\frac{3}{2}\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & \frac{% 15}{2} & \left( +\right) \\ 2\left( x-6\right) \left( x+\frac{3}{2}\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Odgovor: $x\in \left( -\frac{3}{2},6\right) $

Rešenje:
Nule činilaca: [tex]\frac{3}{4}[/tex] i [tex]2[/tex].
Koeficijent uz [tex]x^2[/tex] je [tex]4\cdot (-0{,} 5)=-2\lt 0[/tex], pa je parabola okrenuta naniže i proizvod je nenegativan između nula.
Odgovor: [tex]x\in\left[\frac{3}{4}; 2\right][/tex].

Rešenje:
[tex]D=3^2-4(-2)(-7)=9-56=-47\lt 0[/tex]
Trinom nema nula, a vodeći koeficijent [tex]-2[/tex] je negativan, pa parabola leži cela ispod [tex]x[/tex]-ose: trinom je negativan za svako [tex]x[/tex].
Odgovor: [tex]x\in(-\infty; +\infty)[/tex].

Rešenje:
Rešimo jednačinu
$9x^{2}+30x+25=0$

$x=\frac{-30\pm \sqrt{900-4\left( 9\right) \left( 25\right) }}{18}=\frac{-30\pm \sqrt{900-900}}{18}=-\frac{5}{3}$ tada
$9x^{2}+30x+25=9\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}$

Ali $\left( x+\frac{5}{3}\right) ^{2}>0$ za svako $x\neq -\frac{5}{3}$
Odgovor: $x\in \left( -\infty ,-\frac{5}{3}\right) \cup \left( -\frac{5}{3},+\infty \right)$

Rešenje:
Koreni jednačine
$4x^{2}-4x+1=0$

su $x=\frac{4\pm \sqrt{16-4(4)1}}{8}=\frac{1}{2}$

$4x^{2}-4x+1=4\left( x-\frac{1}{2}\right)^{2}<0$

Kvadratna nejednačina $4x^{2}-4x+1<0$ nema realnih rešenja jer je

$\left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}\geq 0$ za svako $x\in \mathbb{R}$

Odgovor: $x\in \varnothing$

Rešenje:
$x^{2}+6x\leq -9\Longrightarrow x^{2}+6x+9\leq 0$
Tada $\left( x+3\right)^{2}\leq 0$

Pošto je $\left( x+3\right) ^{2}=0$ samo ako $x+3=0\Longrightarrow x=-3$ je rešenje.

Rešenje:
Za [tex]t=x-7[/tex]: [tex]t^2-2t+1=(t-1)^2=(x-8)^2[/tex].
[tex](x-8)^2\geq 0[/tex] važi za svako [tex]x[/tex], jer kvadrat ne može biti negativan.
Odgovor: [tex]x\in(-\infty; +\infty)[/tex].

Rešenje:
[tex]x^2-5\lt 0 \Leftrightarrow x^2\lt 5 \Leftrightarrow -\sqrt{5}\lt x\lt \sqrt{5}[/tex]
Pošto je [tex]4\lt 5\lt 9[/tex], važi [tex]2\lt\sqrt{5}\lt 3[/tex].
Celobrojna rešenja su [tex]-2; -1; 0; 1; 2[/tex], tj. [tex]5[/tex] brojeva.

Rešenje:
[tex]A=4x^2-12x+9-5\left(x^2-3\right)-24=-x^2-12x[/tex]
[tex]-x^2-12x\geq 0 \Leftrightarrow x(x+12)\leq 0 \Leftrightarrow -12\leq x\leq 0[/tex]
Odgovor: [tex]x\in[-12; 0][/tex].

Rešenje:
[tex]x^2-25\lt 0 \Leftrightarrow -5\lt x\lt 5[/tex]
[tex]x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\gt 0 \Leftrightarrow x\lt 1[/tex] ili [tex]x\gt 2[/tex]
Rešenje sistema je presek (zajednički deo) ova dva skupa:
Odgovor: [tex]x\in(-5; 1)\cup(2; 5)[/tex].

Rešenje:
Nađimo korene jednačine

$\left( x+1\right) \left( x+2\right) \left( x+3\right) =0$

$x=-1\qquad x=-2\qquad x=-3$

Dobijamo sledeću tabelu:

$\begin{array}{cccccccc} & \left( -\infty ,-3\right) & -3 & \left( -3,-2\right) & -2 & \left( -2,-1\right) & -1 & \left( -1,\infty \right) \\ \left( x+1\right) & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+2\right) & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) \\ \left( x+3\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) & 2 & (+) \\ \left( x+1\right) \left( x+2\right) \left( x+3\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

i pošto je $-\left( x+1\right) \left( x+2\right) \left( x+3\right) <0\Longrightarrow \left( x+1\right) \left( x+2\right) \left( x+3\right) >0$

Odgovor: $x\in \left( -3,-2\right) \cup \left( -1,\infty \right)$

Rešenje:
$-2\left( x-1\right) \left( x+\frac{1}{2}\right) \left( x-3\right) \leq 0$

Nađimo korene jednačine

$\left( x-1\right) \left( x+\frac{1}{2}\right) \left( x-3\right) =0$

$x=-\frac{1}{2}\qquad x=1\qquad x=3$

Dobijamo sledeću tabelu

$\begin{array}{cccccccc} & \left( -\infty ,-\frac{1}{2}\right) & -\frac{1}{2} & \left( -\frac{1}{2},1\right) & 1 & \left( 1,3\right) & 3 & \left( 3,\infty \right) \\ \left( x-1\right) & \left( -\right) & -\frac{3}{2} & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 2 & \left( +\right) \\ \left( x+\frac{1}{2}\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & \frac{3}{2} & \left( +\right) & \frac{7}{2} & \left( +\right) \\ \left( x-3\right) & \left( -\right) & -\frac{7}{2} & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & 0 & (+) \\ \left( x-1\right) \left( x+\frac{1}{2}\right) \left( x-3\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 0 & \left( +\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Pošto je $-2\left( x-1\right) \left( x+\frac{1}{2}\right) \left( x-3\right) \leq 0$ kada $\left( x-1\right) \left( x+\frac{1}{2}\right) \left( x-3\right) \geq 0$

Odgovor: $x\in \left[ -\frac{1}{2},1\right] \cup \left[ 3,+\infty \right) $

Rešenje:
$\left( x^{2}-1\right) \left( x^{2}-4\right) =0\Longrightarrow \left( x-1\right) \left( x+1\right) \left( x-2\right) \left( x+2\right) =0$

Koreni su $x=1\qquad x=-1\qquad x=2\qquad x=-2$

Tada tabela znakova izgleda ovako

$\begin{array}{cccccccccc} & \left( -\infty ,-2\right) & -2 & \left( -2,-1\right) & -1 & \left( -1,1\right) & 1 & \left( 1,2\right) & 2 & \left( 2,+\infty \right) \\ \left( x-1\right) & \left( -\right) & -3 & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) \\ \left( x+1\right) & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 2 & \left( +\right) & 3 & \left( +\right) \\ \left( x-2\right) & \left( -\right) & -4 & \left( -\right) & -3 & \left( -\right) & -1 & (-) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+2\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) & 3 & \left( +\right) & 4 & \left( +\right) \\ \left( x-1\right) \left( x+1\right) \left( x-2\right) \left( x+2\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Dakle, $\left( x^{2}-1\right) \left( x^{2}-4\right) \leq 0$ kada $x\in \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] $

Rešenje:
Neka je [tex]t=x^2\geq 0[/tex]: [tex]t^2-2t-15=(t-5)(t+3)\gt 0[/tex].
Pošto je [tex]t+3\gt 0[/tex], dobijamo [tex]t\gt 5[/tex], tj. [tex]x^2\gt 5[/tex].
Odgovor: [tex]x\in\left(-\infty; -\sqrt{5}\right)\cup\left(\sqrt{5}; +\infty\right)[/tex].

Rešenje:
Nađimo nule izraza $\left( x-1\right) ^{2}\left( x+3\right) \left(x+5\right) =0$

One su $x=1\qquad x=-3\qquad x=-5$
Tabela znakova izgleda ovako

$\begin{array}{cccccccc} & \left( -\infty ,-5\right) & -5 & \left( -5,-3\right) & -3 & \left( -3,1\right) & 1 & \left( 1,+\infty \right) \\ \left( x-1\right) ^{2} & \left( +\right) & 36 & \left( +\right) & 16 & \left( +\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+3\right) & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 4 & \left( +\right) \\ \left( x+5\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 2 & \left( +\right) & 6 & \left( +\right) \\ \left( x-1\right) ^{2}\left( x+3\right) \left( x+5\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Odgovor: $x\in \left( -\infty ,-5\right) \cup \left( -3,1\right) \cup \left( 1,+\infty \right) $

Rešenje:
Nađimo nule izraza
$\left( x+3\right) ^{2}\left( x+4\right) \left( x-5\right) ^{3}=0$

One su $x=-3\qquad x=-4\qquad x=5$

Tabela znakova izgleda ovako

$\begin{array}{cccccccc} & \left( -\infty ,-4\right) & -4 & \left( -4,-3\right) & -3 & \left( -3,5\right) & 5 & \left( 5,+\infty \right) \\ \left( x+3\right) ^{2} & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) & 0 & \left( +\right) & 64 & \left( +\right) \\ \left( x+4\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) & 9 & \left( +\right) \\ \left( x-5\right) ^{3} & \left( -\right) & -729 & \left( -\right) & -512 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+3\right) ^{2}\left( x+4\right) \left( x-5\right) ^{3} & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Odgovor: $x\in \left( -\infty ,-4\right) \cup \left( 5,+\infty \right) $

Rešenje:
$7x^{2}-3>60\Longrightarrow 7x^{2}-63>0\Longrightarrow 7\left( x-3\right) \left( x+3\right) >0$

Dobijamo sledeću tabelu

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-3\right) & -3 & \left( -3,3\right) & 3 & \left( 3,+\infty \right) \\ \left( x-3\right) & \left( -\right) & -6 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+3\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 6 & \left( +\right) \\ \left( x-3\right) \left( x+3\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Rešenje nejednačine je $x\in \left( -\infty ,-3\right) \cup \left( 3,+\infty \right) $

Ali pošto je $x>0$ tada $x\in \left( 3,+\infty \right)$
Dakle, $x>3$ je odgovor zadatka.

Rešenje:
$d=\frac{1}{2}\left( n-1\right) n-n$

$d>35\qquad \frac{1}{2}\left(n-1\right) n-n>35$

$n^{2}-n-2n>70\qquad n^{2}-3n>70\qquad n^{2}-3n-70>0$

$\left( n-10\right) \left( n+7\right) >0$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-7\right) & -7 & \left( -7,10\right) & 10 & \left( 10,+\infty \right) \\ \left( n-10\right) & \left( -\right) & -17 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( n+7\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 17 & \left( +\right) \\ \left( n-10\right) \left( n+7\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Rešenje nejednačine je $n\in \left( -\infty ,-7\right) \cup \left( 10,+\infty \right)$

Pošto je $n$ mora biti veće od $0$ tada $n>10$.

Rešenje:
$t=\frac{n(n+1)}{2}\qquad t<5050$

$\frac{n(n+1)}{2}<5050$

$n^{2}+n<10100$
dakle $n^{2}+n-10100<0\Longrightarrow \left( n+101\right) \left( n-100\right) <0$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-101\right) & -101 & \left( -101,100\right) & 100 & \left( 100,+\infty \right) \\ \left( n+101\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 201 & \left( +\right) \\ \left( n-100\right) & \left( -\right) & -201 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( n+101\right) \left( n-100\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Rešenje nejednačine je $n\in \left( -101,100\right)$

ali pošto je $n\geq 1$ dobijamo da je $n\in \left[ 1,100\right) $
dakle $1\leq n< 100$

Rešenje:
$A=xy$
gde je $x=$ širina, a $y=$ dužina bašte.

Pošto je $x=2y\Longrightarrow y=\frac{1}{2}x$
dakle $A=xy=\frac{1}{2}x^{2}>98$
Tada $x^{2}-196>0$
$\left( x-14\right) \left( x+14\right) >0$

Rešenje nalazimo analizom sledeće tabele

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-14\right) & -14 & \left( -14,14\right) & 14 & \left( 14,+\infty \right) \\ \left( x-14\right) & \left( -\right) & -28 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+14\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 28 & \left( +\right) \\ \left( x-14\right) \left( x+14\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array} $

Rešenje nejednačine je $x\in \left( -\infty ,-14\right) \cup \left( 14,+\infty \right) $

Pošto je $x>0$ dobijamo da je $x\in \left( 14,+\infty \right) $ dakle
$x>14$ metara