Krug - tetive i tangente - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka je [tex]M[/tex] podnožje normale iz [tex]O[/tex] na tetivu: [tex]OM \perp AB[/tex]. Normala iz centra polovi tetivu, pa je [tex]AM=\frac{AB}{2}=8[/tex].
Iz pravouglog [tex]\triangle OAM[/tex]: [tex]OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{100-64}=6[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]AM=3k;\ BM=2k[/tex]. Po teoremi o tetivama koje se seku [tex]AM \cdot BM=CM \cdot DM[/tex], pa je [tex]6k^2=96[/tex] i [tex]k=4[/tex].
Prema tome, [tex]AB=5k=20[/tex].

Rešenje:
[tex]BA=BD+DA=26[/tex]. Po teoremi o tangenti i sečici [tex]BC^2=BD \cdot BA=8 \cdot 26=208[/tex], pa je [tex]BC=\sqrt{208}=4\sqrt{13}[/tex].

Rešenje:
Rastojanje centara je [tex]O_1O_2=50+32=82[/tex]. Poluprečnici ka tačkama dodira normalni su na tangentu; prava kroz centar manjeg kruga paralelna tangenti daje pravougli trougao sa hipotenuzom [tex]O_1O_2[/tex] i katetom jednakom razlici poluprečnika, pa je [tex]T_1T_2=\sqrt{O_1O_2^2-(50-32)^2}=\sqrt{82^2-18^2}=\sqrt{6400}=80[/tex].

Rešenje:
Prava centara je simetrala zajedničke tetive, a polovina tetive je [tex]\frac{24}{2}=12[/tex]. Rastojanja centara od tetive su [tex]d_1=\sqrt{13^2-12^2}=5[/tex] i [tex]d_2=\sqrt{15^2-12^2}=9[/tex].
Centri su sa različitih strana tetive, pa je [tex]O_1O_2=5+9=14[/tex].

Rešenje:
Neka su [tex]M[/tex] i [tex]N[/tex] podnožja normala iz [tex]O[/tex]: [tex]OM \perp AB;\ ON \perp CD[/tex], i [tex]OM=ON[/tex]. Normala iz centra polovi tetivu, pa je [tex]AM=\frac{AB}{2};\ CN=\frac{CD}{2}[/tex].
Pravougli trouglovi imaju [tex]OA=OC[/tex] (poluprečnici) i [tex]OM=ON[/tex], pa je [tex]\triangle OAM \cong \triangle OCN[/tex] i [tex]AM=CN[/tex].
Prema tome, [tex]AB=CD[/tex].

Rešenje:
Ugao nad prečnikom [tex]AB[/tex] je prav: [tex]\angle AMB=90^\circ[/tex], pa je [tex]BM \perp AM[/tex].
Kako je [tex]AM \parallel BN[/tex], važi i [tex]BM \perp BN[/tex], tj. [tex]\angle MBN=90^\circ[/tex].
Dakle, periferijski ugao [tex]\angle MBN=90^\circ[/tex] je nad tetivom [tex]MN[/tex], pa je [tex]MN[/tex] prečnik.

Rešenje:
[tex]O_1A=O_1B[/tex] (poluprečnici [tex]k_1[/tex]), pa [tex]O_1[/tex] leži na simetrali duži [tex]AB[/tex].
Analogno [tex]O_2A=O_2B[/tex], pa i [tex]O_2[/tex] leži na njoj.
Dve različite tačke određuju pravu, pa je [tex]O_1O_2[/tex] simetrala duži [tex]AB[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]R=5k;\ r=3k[/tex]. Kod unutrašnjeg dodira rastojanje centara jednako je razlici poluprečnika: [tex]O_1O_2=R-r=2k[/tex].
Dakle, [tex]2k=14[/tex], [tex]k=7[/tex] i [tex]R=35;\ r=21[/tex].

Rešenje:
Prečnik je [tex]8+3=11[/tex], pa je [tex]R=\frac{11}{2}[/tex].
Tetiva seče prečnik u [tex]M[/tex], koja je na rastojanju [tex]3[/tex] od jednog njegovog kraja, pa je [tex]OM=R-3=\frac{5}{2}[/tex].

Rešenje:
[tex]r_1+r_2=5+3=8[/tex], pa je [tex]O_1O_2=r_1+r_2[/tex]: krugovi se dodiruju spolja.
Dva kruga koji se dodiruju spolja imaju dve zajedničke spoljašnje tangente i jednu zajedničku tangentu u tački dodira — ukupno [tex]3[/tex].

Rešenje:
Spustimo normale [tex]AA_1 \perp a;\ BB_1 \perp a;\ OO_1 \perp a[/tex]. Tada je [tex]AA_1B_1B[/tex] pravougli trapez, a [tex]OO_1[/tex] njegova srednja linija, jer je [tex]O[/tex] središte [tex]AB[/tex].
Prema tome, [tex]OO_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}=\frac{3+11}{2}=7[/tex].

Rešenje:
Kako je [tex]AM \perp MB[/tex], [tex]AB[/tex] je prečnik i [tex]O[/tex] je njegovo središte. Neka su [tex]K[/tex] i [tex]L[/tex] središta [tex]AM[/tex] i [tex]MB[/tex]; [tex]OK;\ OL[/tex] su srednje linije [tex]\triangle AMB[/tex], pa je [tex]OK \parallel MB;\ OL \parallel AM[/tex] i one su normalne na tetive.
Prema tome, [tex]OK=\frac{MB}{2}=2;\ OL=\frac{AM}{2}=\frac{3}{2}[/tex].

Rešenje:
Ugao između tangente i tetive jednak je periferijskom uglu nad istim lukom. Za tetivu [tex]BC[/tex]: [tex]\angle PBC=\angle BAC=60^\circ[/tex] i [tex]\angle PCB=\angle BAC=60^\circ[/tex].
Tada je [tex]\angle BPC=60^\circ[/tex], pa su svi uglovi [tex]\triangle BPC[/tex] jednaki i on je jednakostraničan.

Rešenje:
Simetrija u odnosu na pravu centara [tex]O_1O_2[/tex] zamenjuje dve zajedničke spoljašnje tangente, pa zamenjuje tačke dodira na svakom krugu. Zato je [tex]O_1O_2[/tex] simetrala duži koje ih spajaju: [tex]T_1T_1' \perp O_1O_2[/tex] i [tex]T_2T_2' \perp O_1O_2[/tex].
Dakle, [tex]T_1T_1' \parallel T_2T_2'[/tex], a kako su poluprečnici različiti, te duži imaju različite dužine; prema tome, [tex]T_1T_1'T_2'T_2[/tex] je trapez (jednakokraki, jer je [tex]T_1T_2=T_1'T_2'[/tex]).

Rešenje:
Neka je [tex]H[/tex] podnožje normale iz [tex]O[/tex] na [tex]l[/tex]: [tex]OH \perp l[/tex]. Normala iz centra polovi svaku tetivu na [tex]l[/tex], pa je [tex]HA=HB[/tex] i [tex]HC=HD[/tex].
Prema tome, [tex]AC=HA-HC=HB-HD=BD[/tex].

Rešenje:
Upoređujemo poluprečnik sa rastojanjem [tex]d=8[/tex] centra od prave. Za [tex]R=6 \lt d[/tex] prava ne seče krug: [tex]0[/tex] zajedničkih tačaka; za [tex]R=8=d[/tex] ona je tangenta: [tex]1[/tex] zajednička tačka; za [tex]R=10 \gt d[/tex] ona je sečica: [tex]2[/tex] zajedničke tačke.

Rešenje:
Poluprečnik ka tački dodira normalan je na tangentu: [tex]OA \perp CA[/tex], pa je [tex]CA=\sqrt{OC^2-OA^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}[/tex]. Tangentne duži iz jedne tačke su jednake: [tex]CA=CB[/tex].
Takođe [tex]\sin\angle OCA=\frac{OA}{OC}=\frac{1}{2}[/tex], pa je [tex]\angle OCA=30^\circ;\ \angle ACB=60^\circ[/tex]; jednakokraki trougao sa takvim uglom pri vrhu je jednakostraničan: [tex]AB=CA=CB=2\sqrt{3}[/tex].

Rešenje:
Za jedan sat vrh opiše ceo krug poluprečnika [tex]10[/tex] cm: [tex]C=2\pi r=2\pi \cdot 10=20\pi[/tex] cm.
Za [tex]10[/tex] sati: [tex]10 \cdot 20\pi=200\pi[/tex] cm.

Rešenje:
Kako je [tex]AO \lt 6[/tex], tačka [tex]A[/tex] je unutar [tex]k(O;6)[/tex], pa je dodir unutrašnji i rastojanje centara jednako je razlici poluprečnika.
Ako je [tex]k'(A;r)[/tex] unutar [tex]k(O;6)[/tex]: [tex]r=6-3=3[/tex]. Ako je [tex]k(O;6)[/tex] unutar [tex]k'(A;r)[/tex]: [tex]r=6+3=9[/tex].

Rešenje:
Neka su [tex]K;\ L[/tex] podnožja normala iz [tex]O[/tex]: [tex]OK \perp AB;\ OL \perp CD[/tex]. Jednake tetive jednako su udaljene od centra, pa je [tex]OK=OL[/tex].
Pravougli trouglovi sa zajedničkom hipotenuzom [tex]MO[/tex] i katetama [tex]OK=OL[/tex] su podudarni: [tex]\triangle OKM \cong \triangle OLM[/tex], pa je [tex]\angle OMK=\angle OML[/tex].