Recipročne jednačine - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Kako vidimo da je u pitanju recipročna jednačina, podelimo je sa 2 [tex]x^2[/tex]: [tex]\frac{x^4}{x^2}-3\frac{x^3}{x^2}+4\frac{x^2}{x^2}-3\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}=0[/tex]
[tex]x^2+\frac{1}{x^2}-3(x+\frac{1}{x})+4=0[/tex]. Sada ćemo zameniti [tex]x+\frac{1}{x}=u[/tex]. Kvadriranjem dobijemo [tex]x^2+2x \cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=u^2[/tex], odnosno [tex]x^2+\frac{1}{x^2}=u^2-2[/tex]. Uvrstimo nazad u jednačinu
[tex]u^2-2-3u+4=0[/tex], ili [tex]u^2-3u+2=0[/tex]. Rešenja su [tex]u_1=1[/tex] i [tex]u_2=2[/tex]. Tako da je ili [tex]x+\frac{1}{x}=1[/tex] ili [tex]x+\frac{1}{x}=2[/tex]. Iz prvog rešenja dobijemo [tex]x^2-x+1=0[/tex], što nema rešenja. Iz drugog dobijemo [tex]x^2-2x+1=0[/tex], odnosno [tex]x=1[/tex].

Rešenje:
S obzirom da je u pitanju recipročna jednačina sa naizmeničnim koeficijentima, [tex]x=1[/tex] je rešenje. Pregrupišemo: [tex]x^5-1+3x^4-3x+2x^3-2x^2=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)+3x(x^3-1)+2x^2(x-1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1)+(x-1)3x(x^2+x+1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1+3x(x^2+x+1))=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1+3x^3+3x^2+3x)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x+1)^4=0[/tex], pa su rešenja [tex]x=1[/tex] i [tex]x=-1[/tex].

Rešenje:
[tex]\left(x^3+1\right)-4x(x+1)=(x+1)\left(x^2-x+1-4x\right)=(x+1)\left(x^2-5x+1\right)=0[/tex]
[tex]x_1=-1; x_{2,3}=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2}[/tex]

Rešenje:
Delimo sa [tex]x^2\ne 0[/tex] i uvodimo smenu [tex]t=x+\dfrac{1}{x}[/tex] [tex]\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\right)[/tex]:
[tex]t^2-6t+5=0 \Rightarrow t=1; t=5[/tex]
Za realno [tex]x[/tex]: [tex]\left|x+\dfrac{1}{x}\right|\ge 2[/tex]. [tex]t=1[/tex] — nema realnih korena.
[tex]t=5:\ x^2-5x+1=0 \Rightarrow x=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2}[/tex]

Rešenje:
Delimo sa [tex]x^2\ne 0[/tex] i uvodimo smenu [tex]t=x+\dfrac{1}{x}[/tex] [tex]\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\right)[/tex]:
[tex]t^2-7t+12=0 \Rightarrow t=3; t=4[/tex]
[tex]t=3:\ x^2-3x+1=0 \Rightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]t=4:\ x^2-4x+1=0 \Rightarrow x=2\pm\sqrt{3}[/tex]

Rešenje:
Delimo sa [tex]x^2\ne 0[/tex] i uvodimo smenu [tex]t=x+\dfrac{1}{x}[/tex] [tex]\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\right)[/tex]:
[tex]2\left(t^2-2\right)+3t+5=0 \iff 2t^2+3t+1=0 \Rightarrow t=-1; t=-\dfrac{1}{2}[/tex]
Za realno [tex]x[/tex]: [tex]\left|x+\dfrac{1}{x}\right|\ge 2[/tex]. [tex]|t|\lt 2[/tex] — nema realnih korena.