Svojstva trouglova - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
30 + 40 < 80 stoga 30, 40, 80 ne mogu da budu stranice trougla.

Rešenje:
Svaka stranica mora biti manja od zbira druge dve:
[tex]70+60=130\gt 100; 70+100=170\gt 60; 60+100=160\gt 70[/tex]
Odgovor: da.

Rešenje:
Zbir uglova trougla je [tex]180^\circ[/tex].
[tex]30^\circ+40^\circ+100^\circ=170^\circ\ne 180^\circ[/tex]
Odgovor: ne.

Rešenje:
Zbir uglova trougla je [tex]180^\circ[/tex].
[tex]20^\circ+60^\circ+95^\circ=175^\circ\ne 180^\circ[/tex]
Odgovor: ne.

Rešenje:
Zbir uglova trougla je [tex]180^\circ[/tex].
[tex]50^\circ+53^\circ+77^\circ=180^\circ[/tex]
Odgovor: da.

Rešenje:
Zbir uglova trougla je 180°.
Neka nepoznati ugao bude 'x' => 31 + 60 + x = 180
=> 91 + x = 180
=> x = 180 - 91
=> x = 89
Treći ugao je 89°

Rešenje:
Unutrašnji ugao uporedan sa spoljašnjim uglom od [tex]82^\circ[/tex] je [tex]180^\circ-82^\circ=98^\circ[/tex]. On je tup, a trougao ima najviše jedan tup ugao, pa on ne može biti jedan od dva jednaka ugla na osnovici. Dakle, ugao pri vrhu je [tex]98^\circ[/tex], a svaki ugao na osnovici je:
[tex]\dfrac{180^\circ-98^\circ}{2}=41^\circ[/tex]
[tex]98^\circ-41^\circ=57^\circ[/tex]

Rešenje:
Zbir spoljašnjih uglova (po jedan kod svakog temena) je [tex]360^\circ[/tex]:
[tex]4k+3k+2k=360^\circ \Rightarrow k=40^\circ[/tex]
Spoljašnji uglovi su [tex]160^\circ[/tex], [tex]120^\circ[/tex] i [tex]80^\circ[/tex], pa su unutrašnji:
[tex]180^\circ-160^\circ=20^\circ; 180^\circ-120^\circ=60^\circ; 180^\circ-80^\circ=100^\circ[/tex]

Rešenje:
[tex]\angle B+(\angle B+40^\circ)+(\angle B+20^\circ)=180^\circ \Rightarrow \angle B=40^\circ; \angle A=80^\circ; \angle C=60^\circ[/tex]
U trouglu naspram većeg ugla leži veća stranica. Pošto je [tex]\angle A\gt \angle C\gt \angle B[/tex]:
[tex]BC\gt AB\gt AC[/tex]

Rešenje:
Ako je osnovica [tex]x[/tex], a kraci [tex]x+6[/tex]:
[tex]x+2(x+6)=24 \Rightarrow x=4[/tex]
Stranice su [tex]10; 10; 4[/tex] i [tex]4+10\gt 10[/tex], pa takav trougao postoji.
Ako su kraci [tex]y[/tex], a osnovica [tex]y+6[/tex]:
[tex]2y+y+6=24 \Rightarrow y=6[/tex]
Stranice bi bile [tex]6; 6; 12[/tex], ali [tex]6+6=12[/tex], pa takav trougao ne postoji.

Rešenje:
Neka je krak [tex]b[/tex]; tada je osnovica [tex]b+5[/tex]. Prema nejednakosti trougla:
[tex]b+b\gt b+5 \Rightarrow b\gt 5 \Rightarrow b\ge 6[/tex]
Najmanja osnovica je [tex]6+5=11[/tex] (trougao [tex]6; 6; 11[/tex]).

Rešenje:
U pravouglom trouglu [tex]AHC[/tex] kateta [tex]CH[/tex] leži naspram ugla od [tex]30^\circ[/tex], pa je jednaka polovini hipotenuze [tex]AC[/tex]:
[tex]AC=2CH=8[/tex]
[tex]O=AB+BC+AC=20+8=28[/tex]

Rešenje:
Tačka podjednako udaljena od krakova ugla leži na njegovoj simetrali, pa je [tex]CN[/tex] simetrala [tex]\angle ACB[/tex]. Neka je [tex]P[/tex] podnožje normale iz [tex]N[/tex] na [tex]CA[/tex]. U pravouglom trouglu [tex]CPN[/tex] kateta [tex]NP=13[/tex] je polovina hipotenuze [tex]CN=26[/tex], pa je:
[tex]\angle NCP=30^\circ \Rightarrow \angle ACB=2\cdot 30^\circ=60^\circ[/tex]

Rešenje:
Trougao [tex]AMC[/tex] je jednakokraki, a njegov spoljašnji ugao kod [tex]A[/tex] je [tex]\angle BAC=60^\circ[/tex]. On je jednak zbiru dva jednaka ugla na osnovici, pa je [tex]\angle ACM=30^\circ[/tex]. Analogno, [tex]\angle BCN=\frac{50^\circ}{2}=25^\circ[/tex]. Osim toga, [tex]\angle ACB=180^\circ-60^\circ-50^\circ=70^\circ[/tex]:
[tex]\angle MCN=30^\circ+70^\circ+25^\circ=125^\circ[/tex]
U opštem slučaju [tex]\angle MCN=90^\circ+\frac{\angle C}{2}[/tex].

Rešenje:
[tex]\angle BAC+2\angle BAC=90^\circ \Rightarrow \angle BAC=30^\circ; \angle ACB=60^\circ[/tex]
Kateta [tex]BC[/tex] leži naspram ugla od [tex]30^\circ[/tex], pa je [tex]AC=2BC=20[/tex]. Težišna duž ka hipotenuzi jednaka je polovini hipotenuze:
[tex]BM=\dfrac{AC}{2}=10[/tex]

Rešenje:
[tex]CB=CA=CM[/tex], pa su trouglovi [tex]ABC[/tex] i [tex]CBM[/tex] jednakokraki. Neka je [tex]\angle CAB=\angle CBA=x[/tex] i [tex]\angle CBM=\angle CMB=y[/tex]. Pošto [tex]C[/tex] leži na duži [tex]AM[/tex], [tex]\angle ABM=x+y[/tex]. U trouglu [tex]ABM[/tex]:
[tex]x+(x+y)+y=180^\circ \Rightarrow x+y=90^\circ \Rightarrow \angle ABM=90^\circ[/tex]