Svojstva trouglova - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
[tex]\angle A+\angle B=160^\circ[/tex]. Pošto je [tex]AC\gt BC[/tex], ugao naspram [tex]AC[/tex] je veći: [tex]\angle B\gt \angle A[/tex], pa je [tex]\angle A\lt 80^\circ[/tex]. Trougao je oštrougli, pa je [tex]\angle B=160^\circ-\angle A\lt 90^\circ[/tex], tj. [tex]\angle A\gt 70^\circ[/tex]:
[tex]70^\circ\lt \angle A\lt 80^\circ \Rightarrow \angle A\in\{71^\circ; 72^\circ; \dots; 79^\circ\}[/tex]
Ima [tex]9[/tex] mogućih vrednosti.

Rešenje:
Neka je [tex]\angle ACB=\gamma[/tex]. Pošto je [tex]MA=MC[/tex], [tex]\angle MAC=\gamma[/tex], a spoljašnji ugao [tex]AMB[/tex] trougla [tex]AMC[/tex] je [tex]2\gamma[/tex]. Pošto je [tex]AM=AB[/tex], [tex]\angle ABM=\angle AMB=2\gamma[/tex]. Dakle, oba ugla na osnovici trougla [tex]ABC[/tex] su [tex]2\gamma[/tex]:
[tex]\gamma+2\gamma+2\gamma=180^\circ \Rightarrow \gamma=36^\circ[/tex]

Rešenje:
Neka se simetrale seku u tački [tex]I[/tex]. U trouglu [tex]BIC[/tex]:
[tex]\angle BIC=180^\circ-\dfrac{\angle B+\angle C}{2}=180^\circ-\dfrac{180^\circ-\angle A}{2}=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}[/tex]
Ovaj ugao je uvek tup, pa je dati ugao od [tex]40^\circ[/tex] njegov uporedni ugao i [tex]\angle BIC=140^\circ[/tex]:
[tex]90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}=140^\circ \Rightarrow \angle A=100^\circ[/tex]

Rešenje:
Neka se simetrale spoljašnjih uglova seku u tački [tex]J[/tex]. Svaka od njih polovi spoljašnji ugao:
[tex]\angle JBC=\dfrac{180^\circ-\angle B}{2}; \angle JCB=\dfrac{180^\circ-\angle C}{2}[/tex]
[tex]\angle BJC=180^\circ-\angle JBC-\angle JCB=\dfrac{\angle B+\angle C}{2}=\dfrac{180^\circ-48^\circ}{2}=66^\circ[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]\angle A=65^\circ[/tex] i [tex]\angle B=87^\circ[/tex]; tada je [tex]\angle C=28^\circ[/tex]. Neka je [tex]CH[/tex] visina, a [tex]CL[/tex] simetrala ugla. Oba ugla [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] su oštra, pa [tex]H[/tex] leži na stranici [tex]AB[/tex]:
[tex]\angle ACH=90^\circ-65^\circ=25^\circ; \angle ACL=\dfrac{28^\circ}{2}=14^\circ[/tex]
[tex]\angle LCH=25^\circ-14^\circ=11^\circ[/tex]

Rešenje:
Svaka tačka simetrale duži [tex]BC[/tex] jednako je udaljena od [tex]B[/tex] i [tex]C[/tex], pa je [tex]PB=PC[/tex]:
[tex]O_{ABP}=AB+BP+PA=AB+PC+PA=AB+AC=13 \Rightarrow AC=8[/tex]
[tex]O_{ABC}=AB+2AC=5+16=21[/tex]

Rešenje:
Težišna duž ka hipotenuzi jednaka je njenoj polovini, pa je [tex]MA=MC[/tex] i [tex]\angle MCA=\angle A[/tex]. Simetrala daje [tex]\angle LCA=45^\circ[/tex]. Dakle:
[tex]|\angle A-45^\circ|=20^\circ[/tex]
Dakle, [tex]\angle A=65^\circ[/tex] ili [tex]\angle A=25^\circ[/tex]; oba slučaja su moguća (razlikuju se samo zamenom [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex]).

Rešenje:
Neka je [tex]\angle ABC=\beta[/tex]. Težišna duž ka hipotenuzi daje [tex]MC=MB[/tex], pa je [tex]\angle MCB=\beta[/tex]. [tex]\angle MOB[/tex] je spoljašnji ugao trougla [tex]OBC[/tex]:
[tex]\angle MOB=\angle OBC+\angle OCB=\dfrac{\beta}{2}+\beta=\dfrac{3\beta}{2}=60^\circ \Rightarrow \beta=40^\circ[/tex]
[tex]\angle BAC=90^\circ-40^\circ=50^\circ[/tex]

Rešenje:
Oštri uglovi su [tex]30^\circ[/tex] i [tex]60^\circ[/tex]. Neka je [tex]\angle C=90^\circ[/tex], [tex]\angle A=60^\circ[/tex], [tex]\angle B=30^\circ[/tex], i neka simetrala [tex]AL[/tex] seče [tex]BC[/tex] u tački [tex]L[/tex]. Pošto je [tex]\angle LAB=30^\circ=\angle B[/tex], [tex]AL=BL[/tex]. U pravouglom trouglu [tex]ACL[/tex] je [tex]\angle LAC=30^\circ[/tex], pa je [tex]CL=\frac{AL}{2}=\frac{BL}{2}[/tex]:
[tex]BL-CL=CL=7 \Rightarrow BL=14; BC=21[/tex]

Rešenje:
Iz pravouglih trouglova [tex]AMC[/tex] i [tex]ADC[/tex]: [tex]\angle HAC=90^\circ-\angle C[/tex] i [tex]\angle HCA=90^\circ-\angle A[/tex]. U trouglu [tex]AHC[/tex]:
[tex]\angle AHC=\angle A+\angle C=180^\circ-\angle B=100^\circ \Rightarrow \angle B=80^\circ[/tex]
[tex]\angle A+\angle C=100^\circ; \angle A:\angle C=2:3 \Rightarrow \angle A=40^\circ; \angle C=60^\circ[/tex]

Rešenje:
U trouglu [tex]ABL[/tex]: [tex]\angle ALB=180^\circ-\angle B-\frac{\angle A}{2}=105^\circ[/tex], pa je:
[tex]\angle B+\dfrac{\angle A}{2}=75^\circ[/tex]
Ne znamo koje su stranice jednake, pa razmatramo sva tri slučaja. Ako je [tex]AC=BC[/tex], onda je [tex]\angle A=\angle B[/tex] i [tex]\frac{3\angle A}{2}=75^\circ[/tex]: [tex]\angle A=\angle B=50^\circ[/tex], [tex]\angle C=80^\circ[/tex].
Ako je [tex]AB=BC[/tex], onda je [tex]\angle A=\angle C[/tex] i [tex]\angle B=180^\circ-2\angle A[/tex]: [tex]180^\circ-2\angle A+\frac{\angle A}{2}=75^\circ[/tex], pa je [tex]\angle A=\angle C=70^\circ[/tex], [tex]\angle B=40^\circ[/tex].
Ako je [tex]AB=AC[/tex], simetrala [tex]AL[/tex] je i visina, pa je [tex]\angle ALB=90^\circ\ne 105^\circ[/tex]. Dakle, [tex]\angle ACB=80^\circ[/tex] ili [tex]\angle ACB=70^\circ[/tex].

Rešenje:
Neka su kraci [tex]b[/tex], a osnovica [tex]a[/tex], tj. [tex]2b+a=30[/tex]. Težišna duž iz temena na osnovici ka sredini kraka deli obim na delove [tex]b+\frac{b}{2}=\frac{3b}{2}[/tex] i [tex]\frac{b}{2}+a[/tex]. Ti delovi su [tex]18[/tex] i [tex]12[/tex], nekim redom:
[tex]\dfrac{3b}{2}=18 \Rightarrow b=12; a=6[/tex]
[tex]\dfrac{3b}{2}=12 \Rightarrow b=8; a=14[/tex]
Oba trougla [tex]12; 12; 6[/tex] i [tex]8; 8; 14[/tex] postoje, pa je osnovica [tex]6[/tex] ili [tex]14[/tex].

Rešenje:
U trouglu [tex]ABM[/tex] simetrala ugla kod [tex]B[/tex] je i visina (dva pravougla trougla koja ona odseca su podudarna), pa je taj trougao jednakokraki: [tex]BA=BM=\frac{BC}{2}[/tex]. Neka je [tex]AB=x[/tex] i [tex]BC=2x[/tex].
[tex]AB=BC[/tex] bi dalo [tex]x=2x[/tex], što je nemoguće. [tex]AC=AB=x[/tex] bi dalo stranice [tex]x; x; 2x[/tex], koje ne zadovoljavaju nejednakost trougla. Dakle, [tex]AC=BC=2x[/tex]:
[tex]x+2x+2x=25 \Rightarrow x=5[/tex]
[tex]AB=5; BC=CA=10[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]P[/tex] tačka duži [tex]BC[/tex] na simetrali stranice [tex]AB[/tex]: [tex]PA=PB[/tex], pa je [tex]\angle PAB=\angle B[/tex]. Pošto je [tex]P[/tex] unutrašnja tačka [tex]BC[/tex], poluprava [tex]AP[/tex] leži u uglu [tex]A[/tex], pa je [tex]\angle B\lt \angle A[/tex], tj. [tex]AC\lt BC[/tex].
Neka je [tex]Q[/tex] tačka duži [tex]AB[/tex] na simetrali stranice [tex]AC[/tex]: [tex]QA=QC[/tex], pa je [tex]\angle QCA=\angle A[/tex]. Analogno je [tex]\angle A\lt \angle C[/tex], tj. [tex]BC\lt AB[/tex].
[tex]AB\gt BC\gt AC[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]\angle C=x[/tex]; tada je [tex]\angle B=x-38^\circ[/tex] i [tex]\angle A=x-88^\circ[/tex]:
[tex]3x-126^\circ=180^\circ \Rightarrow x=102^\circ; \angle B=64^\circ; \angle A=14^\circ[/tex]
Najveća stranica je [tex]AB[/tex] (naspram najvećeg ugla [tex]C[/tex]). Pošto je [tex]BC\cdot h_a=CA\cdot h_b=AB\cdot h_c[/tex] (dvostruka površina), najveća visina je ona ka najmanjoj stranici [tex]BC[/tex], tj. visina [tex]AH[/tex] iz [tex]A[/tex]. Ugao [tex]C[/tex] je tup, pa [tex]H[/tex] leži na produžetku [tex]BC[/tex] preko [tex]C[/tex]. U pravouglom trouglu [tex]ABH[/tex]:
[tex]\angle BAH=90^\circ-\angle B=90^\circ-64^\circ=26^\circ[/tex]

Rešenje:
Uporedimo pravougle trouglove [tex]AQH[/tex] i [tex]BQC[/tex] (prav ugao kod [tex]Q[/tex]). Hipotenuze su im jednake: [tex]AH=BC[/tex]. Osim toga, [tex]\angle QAH=\angle CAD=90^\circ-\angle C[/tex] i [tex]\angle QBC=90^\circ-\angle C[/tex]. Dakle, trouglovi su podudarni i [tex]AQ=BQ[/tex].
Tada je pravougli trougao [tex]ABQ[/tex] jednakokraki, pa je [tex]\angle BAC=\angle BAQ=45^\circ[/tex].

Rešenje:
Na [tex]AC[/tex] uzmimo tačku [tex]E[/tex] tako da je [tex]AE=AB[/tex]. Tada je [tex]EC=AC-AB=BD[/tex]. Trouglovi [tex]ABD[/tex] i [tex]AED[/tex] su podudarni (dve stranice i zahvaćeni ugao), pa je [tex]DE=DB=EC[/tex] i [tex]\angle AED=\angle B[/tex].
Trougao [tex]DEC[/tex] je jednakokraki, pa je [tex]\angle EDC=\angle C[/tex], a njegov spoljašnji ugao kod [tex]E[/tex] je [tex]\angle AED=2\angle C[/tex]. Dakle:
[tex]\angle B=2\angle C; \angle B+\angle C=120^\circ \Rightarrow \angle C=40^\circ[/tex]