Svojstva trouglova - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka je [tex]CA=CB[/tex] i neka je ugao pri vrhu [tex]\gamma[/tex]; uglovi na osnovici su [tex]90^\circ-\frac{\gamma}{2}[/tex]. Neka je [tex]AH[/tex] visina ka pravoj [tex]BC[/tex]. U pravouglom trouglu [tex]ABH[/tex] ugao sa osnovicom je [tex]\angle BAH=90^\circ-\angle B=\frac{\gamma}{2}[/tex].
Ako je [tex]\gamma\lt 90^\circ[/tex], [tex]H[/tex] leži na stranici [tex]BC[/tex] i [tex]\angle CAH=90^\circ-\gamma[/tex]:
[tex]90^\circ-\gamma=\dfrac{\gamma}{2}-12^\circ \Rightarrow \gamma=68^\circ[/tex]
Ako je [tex]\gamma\gt 90^\circ[/tex], [tex]H[/tex] leži na produžetku [tex]BC[/tex] preko [tex]C[/tex] i [tex]\angle CAH=\gamma-90^\circ[/tex]:
[tex]\gamma-90^\circ=\dfrac{\gamma}{2}-12^\circ \Rightarrow \gamma=156^\circ[/tex]
(Za [tex]\gamma=90^\circ[/tex] visina se poklapa sa krakom.) Dakle, ugao pri vrhu je [tex]68^\circ[/tex] ili [tex]156^\circ[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]\angle A=\alpha[/tex], [tex]\angle B=\beta[/tex], [tex]\angle C=\gamma[/tex]. Prema teoremi o spoljašnjem uglu:
[tex]\angle AMC=\beta+\dfrac{\alpha}{2}; \angle BPC=\alpha+\dfrac{\beta}{2}[/tex]
Prava sa stranicom zaklapa uglove od [tex]75^\circ[/tex] i [tex]105^\circ[/tex], pa je svaki od ovih uglova [tex]75^\circ[/tex] ili [tex]105^\circ[/tex]. Oba po [tex]75^\circ[/tex]: oduzimanjem dobijamo [tex]\alpha=\beta[/tex], pa je [tex]\alpha=\beta=50^\circ[/tex], [tex]\gamma=80^\circ[/tex]. Oba po [tex]105^\circ[/tex]: [tex]\alpha=\beta=70^\circ[/tex], [tex]\gamma=40^\circ[/tex].
Ako je [tex]\beta+\frac{\alpha}{2}=75^\circ[/tex] i [tex]\alpha+\frac{\beta}{2}=105^\circ[/tex], sabiranjem dobijamo [tex]\alpha+\beta=120^\circ[/tex], a oduzimanjem [tex]\alpha-\beta=60^\circ[/tex], tj. [tex]\alpha=90^\circ[/tex], [tex]\beta=30^\circ[/tex], [tex]\gamma=60^\circ[/tex]. Obrnuti slučaj daje [tex]\alpha=30^\circ[/tex], [tex]\beta=90^\circ[/tex], [tex]\gamma=60^\circ[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]\angle CBD=x[/tex] i [tex]\angle BAC=2x[/tex]. Tada je:
[tex]\angle ADB=140^\circ-2x; \angle C=140^\circ-3x[/tex]
U trouglu [tex]ABD[/tex] stranica [tex]BD[/tex] leži naspram ugla [tex]2x[/tex], a [tex]AB[/tex] naspram [tex]140^\circ-2x[/tex]. U trouglu [tex]BDC[/tex] stranica [tex]BD[/tex] leži naspram [tex]140^\circ-3x[/tex], a [tex]DC[/tex] naspram [tex]x[/tex]. Ako je [tex]x\gt 35^\circ[/tex], onda je [tex]2x\gt 140^\circ-2x[/tex], tj. [tex]BD\gt AB[/tex], i [tex]140^\circ-3x\lt x[/tex], tj. [tex]BD\lt DC=AB[/tex] — kontradikcija. Ako je [tex]x\lt 35^\circ[/tex], obe nejednakosti menjaju smer — opet kontradikcija. Dakle:
[tex]x=35^\circ[/tex]
Provera: uglovi trougla [tex]ABC[/tex] su [tex]70^\circ[/tex], [tex]75^\circ[/tex] i [tex]35^\circ[/tex], a [tex]AB=BD=DC[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]CA=CB[/tex], uglovi na osnovici [tex]\alpha[/tex], a ugao pri vrhu [tex]\gamma=180^\circ-2\alpha[/tex]. Prava kroz [tex]A[/tex] seče [tex]BC[/tex] u tački [tex]D[/tex]; neka je [tex]\angle BAD=x[/tex], [tex]0\lt x\lt \alpha[/tex]. Uglovi trougla [tex]ABD[/tex] su [tex]x; \alpha; 180^\circ-\alpha-x[/tex], a trougla [tex]ADC[/tex] su [tex]\alpha-x; \gamma; \alpha+x[/tex].
Trougao [tex]ABD[/tex] je jednakokraki ako je [tex]180^\circ-\alpha-x=\alpha[/tex], tj. [tex]x=\gamma[/tex], ili ako je [tex]x=180^\circ-\alpha-x[/tex], tj. [tex]x=90^\circ-\frac{\alpha}{2}[/tex]. Trougao [tex]ADC[/tex] je jednakokraki ako je [tex]\alpha-x=\gamma[/tex] ili [tex]\alpha+x=\gamma[/tex].
[tex]x=\gamma[/tex] i [tex]\alpha-x=\gamma[/tex]: [tex]\alpha=2\gamma[/tex], pa je [tex]\gamma=36^\circ[/tex], [tex]\alpha=72^\circ[/tex]. [tex]x=\gamma[/tex] i [tex]\alpha+x=\gamma[/tex]: [tex]\alpha=0[/tex], nemoguće.
[tex]x=90^\circ-\frac{\alpha}{2}[/tex] i [tex]\alpha-x=\gamma[/tex]: [tex]\frac{3\alpha}{2}-90^\circ=180^\circ-2\alpha[/tex], pa je [tex]\alpha=\frac{540^\circ}{7}[/tex], [tex]\gamma=\frac{180^\circ}{7}[/tex] (i [tex]x=\frac{360^\circ}{7}\lt \alpha[/tex]). [tex]x=90^\circ-\frac{\alpha}{2}[/tex] i [tex]\alpha+x=\gamma[/tex]: [tex]\alpha=36^\circ[/tex], ali tada je [tex]x=72^\circ\gt \alpha[/tex], nemoguće.

Rešenje:
Trougao [tex]ADC[/tex] je pravougli sa uglom od [tex]45^\circ[/tex], pa je [tex]AD=CD[/tex]. Pošto [tex]D[/tex] leži na simetrali ugla [tex]AMB[/tex], ona je jednako udaljena od [tex]MA[/tex] i [tex]MB[/tex]: ako je [tex]DP\perp AM[/tex] i [tex]DQ\perp BC[/tex], onda je [tex]DP=DQ[/tex].
Pravougli trouglovi [tex]ADP[/tex] i [tex]CDQ[/tex] imaju jednake hipotenuze ([tex]AD=CD[/tex]) i jednake katete ([tex]DP=DQ[/tex]), pa su podudarni i [tex]\angle DAP=\angle DCQ[/tex]:
[tex]\angle BAM=\angle DCB=90^\circ-\angle B[/tex]
[tex]\angle AMB=180^\circ-\angle B-(90^\circ-\angle B)=90^\circ[/tex]
Dakle, [tex]AM[/tex] je visina iz temena [tex]A[/tex].

Rešenje:
[tex]\angle BAD=60^\circ-45^\circ=15^\circ[/tex] (spoljašnji ugao trougla [tex]ABD[/tex]). Spustimo [tex]CK\perp AD[/tex]. U pravouglom trouglu [tex]DKC[/tex] je [tex]\angle DCK=30^\circ[/tex], pa je [tex]DK=\frac{DC}{2}=BD[/tex]. Pošto je [tex]AD\gt BD[/tex] (u trouglu [tex]ABD[/tex] je [tex]45^\circ\gt 15^\circ[/tex]), [tex]K[/tex] leži na duži [tex]AD[/tex].
Trougao [tex]BDK[/tex] je jednakokraki sa [tex]\angle BDK=120^\circ[/tex], pa je [tex]\angle DBK=\angle DKB=30^\circ[/tex]. Tada je [tex]\angle KBC=30^\circ=\angle KCB[/tex], tj. [tex]KB=KC[/tex]. Takođe, [tex]\angle ABK=45^\circ-30^\circ=15^\circ=\angle BAK[/tex], tj. [tex]KA=KB[/tex]. Dakle, [tex]KA=KC[/tex], pravougli trougao [tex]AKC[/tex] je jednakokraki i [tex]\angle KCA=45^\circ[/tex]:
[tex]\angle ACB=30^\circ+45^\circ=75^\circ[/tex]

Rešenje:
[tex]D[/tex] leži na simetrali ugla [tex]B[/tex], pa je jednako udaljena od pravih [tex]BA[/tex] i [tex]BC[/tex]. [tex]D[/tex] leži na simetrali ugla [tex]AKC[/tex], pa je jednako udaljena od pravih [tex]KA[/tex] i [tex]KC[/tex], a prava [tex]KC[/tex] je prava [tex]BC[/tex]. Dakle, [tex]D[/tex] je jednako udaljena od pravih [tex]AB[/tex] i [tex]AK[/tex], pa je prava [tex]AD[/tex], tj. [tex]AC[/tex], simetrala jednog od uglova između te dve prave.
[tex]AC[/tex] je van ugla [tex]BAK[/tex], pa polovi ugao između [tex]AK[/tex] i produžetka [tex]AB'[/tex] duži [tex]BA[/tex] preko [tex]A[/tex]: [tex]\angle KAC=\angle CAB'[/tex]:
[tex]\dfrac{\angle BAC}{2}=180^\circ-\angle BAC \Rightarrow \angle BAC=120^\circ[/tex]

Rešenje:
Uglovi na osnovici su [tex]50^\circ[/tex]. Neka je [tex]H[/tex] središte [tex]AB[/tex]; [tex]CH[/tex] je osa simetrije trougla. Neka prava [tex]BM[/tex] seče [tex]CH[/tex] u tački [tex]N[/tex] ([tex]M[/tex] je između [tex]B[/tex] i [tex]N[/tex]). Pošto je [tex]NA=NB[/tex], [tex]\angle NAB=30^\circ[/tex], pa je [tex]\angle NAM=20^\circ[/tex] i [tex]\angle NAC=50^\circ-30^\circ=20^\circ[/tex].
[tex]\angle ANB=120^\circ[/tex] i [tex]\angle ANH=60^\circ[/tex], pa je [tex]\angle ANC=120^\circ=\angle ANM[/tex]. Trouglovi [tex]ANC[/tex] i [tex]ANM[/tex] imaju zajedničku stranicu [tex]AN[/tex] i jednake nalegle uglove, pa su podudarni i [tex]AM=AC[/tex]. U jednakokrakom trouglu [tex]ACM[/tex] je [tex]\angle CAM=50^\circ-10^\circ=40^\circ[/tex]:
[tex]\angle AMC=\dfrac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]\angle A=\alpha[/tex] i [tex]\angle B=\beta[/tex]. Pošto je [tex]\alpha\lt \beta[/tex], tačke na [tex]AB[/tex] su poređane redom [tex]A[/tex], [tex]M[/tex], [tex]H[/tex], [tex]B[/tex]. Na polupravoj [tex]HB[/tex] iza [tex]B[/tex] uzmimo tačku [tex]D[/tex] tako da je [tex]BD=BC[/tex]. Tada je [tex]HD=HB+BC=MH[/tex], pa je [tex]CH[/tex] simetrala duži [tex]MD[/tex] i [tex]CD=CM[/tex].
Trougao [tex]BCD[/tex] je jednakokraki i njegov spoljašnji ugao kod [tex]B[/tex] je [tex]\angle ABC=\beta[/tex], pa je [tex]\angle BDC=\frac{\beta}{2}[/tex]. Pošto je [tex]CM=CD[/tex], [tex]\angle CMB=\angle CDM=\frac{\beta}{2}[/tex]. S druge strane, [tex]MA=MC[/tex] (težišna duž ka hipotenuzi), pa je spoljašnji ugao [tex]CMB[/tex] trougla [tex]AMC[/tex] jednak [tex]2\alpha[/tex]:
[tex]2\alpha=\dfrac{\beta}{2} \Rightarrow \beta=4\alpha; \alpha+4\alpha=90^\circ \Rightarrow \alpha=18^\circ[/tex]