Trigonometrijske nejednačine - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
U svakom kvadrantu posmatramo jedinični krug i upoređujemo znake i veličine tri funkcije (pogledajte crtež ispod rešenja).

Svuda gde je [tex]\operatorname{tg} x[/tex] definisan,
[tex]\sin x\cdot\cos x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos^{2}x=\operatorname{tg} x\cdot\cos^{2}x[/tex],
a unutar svakog kvadranta [tex]0\lt \cos^{2}x<1[/tex].

I kvadrant: [tex]\operatorname{tg} x>0[/tex]. Pozitivan broj pomnožen sa [tex]\cos^{2}x<1[/tex] postaje manji, pa je [tex]\sin x\cdot\cos x\lt \operatorname{tg} x[/tex]. Nejednakost ne važi.

II kvadrant: [tex]\sin x>0[/tex] i [tex]\cos x<0[/tex], pa je [tex]\operatorname{tg} x<0[/tex]. Negativan broj pomnožen sa [tex]\cos^{2}x<1[/tex] približava se nuli, tj. postaje veći, pa je [tex]\sin x\cdot\cos x>\operatorname{tg} x[/tex]. Nejednakost važi.

III kvadrant: [tex]\sin x<0[/tex] i [tex]\cos x<0[/tex], pa je [tex]\operatorname{tg} x>0[/tex] i, kao u I kvadrantu, [tex]\sin x\cdot\cos x\lt \operatorname{tg} x[/tex]. Nejednakost ne važi.

IV kvadrant: [tex]\sin x<0[/tex] i [tex]\cos x>0[/tex], pa je [tex]\operatorname{tg} x<0[/tex] i, kao u II kvadrantu, [tex]\sin x\cdot\cos x>\operatorname{tg} x[/tex]. Nejednakost važi.

Odgovor: u II i IV kvadrantu.

Rešenje:
Razlomak je definisan samo tamo gde [tex]\operatorname{tg} x[/tex] postoji i različit je od 0, tj. [tex]x\neq 0,\ \dfrac{\pi}{2},\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2},\ 2\pi[/tex].

Pošto je [tex]\cos x\le 1[/tex], brojilac nikada nije pozitivan: [tex]\cos x-1\le 0[/tex], a jednak je 0 samo za [tex]x=0[/tex] i [tex]x=2\pi[/tex], koji su već isključeni. Dakle, u oblasti definisanosti brojilac je negativan.

Razlomak sa negativnim brojiocem pozitivan je tačno onda kada je imenilac negativan:
[tex]\dfrac{\cos x-1}{\operatorname{tg} x}>0\Longleftrightarrow \operatorname{tg} x<0[/tex]

Tangens je negativan u II i u IV kvadrantu (pogledajte crtež ispod rešenja):
[tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)[/tex] ili [tex]x\in\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)[/tex]

Odgovor: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\cup\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)[/tex]

Rešenje:
[tex]\sin x-\dfrac{1}{2}>0\Longleftrightarrow \sin x>\dfrac{1}{2}[/tex]

Crtamo grafike funkcija [tex]y_{1}=\sin x[/tex] i [tex]y_{2}=\dfrac{1}{2}[/tex] (pogledajte crtež ispod rešenja).

Grafici se seku tamo gde je [tex]\sin x=\dfrac{1}{2}[/tex], tj. za [tex]x=\dfrac{\pi}{6}[/tex] i [tex]x=\dfrac{5\pi}{6}[/tex].

Između ove dve tačke sinusoida je iznad prave [tex]y=\dfrac{1}{2}[/tex], a za [tex]x\in\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{6},2\pi\right][/tex] nije.

Odgovor: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right)[/tex]

Rešenje:
[tex]\cos x+\dfrac{1}{3}\ge 0\Longleftrightarrow \cos x\ge -\dfrac{1}{3}[/tex]

Crtamo grafike funkcija [tex]y_{1}=\cos x[/tex] i [tex]y_{2}=-\dfrac{1}{3}[/tex] na intervalu [tex]\left[0,2\pi\right][/tex] (pogledajte crtež ispod rešenja).

Grafici se seku tamo gde je [tex]\cos x=-\dfrac{1}{3}[/tex]. Pošto je [tex]\cos\left(\pi-t\right)=\cos\left(\pi+t\right)=-\cos t[/tex], rešenja ove jednačine na [tex]\left[0,2\pi\right][/tex] su
[tex]x_{1}=\pi-\arccos\dfrac{1}{3}\approx 1{,}91[/tex] i [tex]x_{2}=\pi+\arccos\dfrac{1}{3}\approx 4{,}37[/tex]

Kosinusoida je na pravoj [tex]y=-\dfrac{1}{3}[/tex] ili iznad nje od [tex]0[/tex] do [tex]x_{1}[/tex] i od [tex]x_{2}[/tex] do [tex]2\pi[/tex].

Odgovor: [tex]x\in\left[0,\ \pi-\arccos\dfrac{1}{3}\right]\cup\left[\pi+\arccos\dfrac{1}{3},\ 2\pi\right][/tex]

Rešenje:
[tex]8\left|\operatorname{tg} x\right|-1<0\Longleftrightarrow \left|\operatorname{tg} x\right|\lt \dfrac{1}{8}\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{8}\lt \operatorname{tg} x\lt \dfrac{1}{8}[/tex]

Crtamo grafike funkcija [tex]y_{1}=\left|\operatorname{tg} x\right|[/tex] i [tex]y_{2}=\dfrac{1}{8}[/tex] (pogledajte crtež ispod rešenja).

Na intervalu [tex]\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)[/tex] tangens je rastuća funkcija, a [tex]\operatorname{tg} x=\pm\dfrac{1}{8}[/tex] za [tex]x=\pm\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}[/tex] (arkus tangens je neparna funkcija, pa je [tex]\operatorname{arctg}\left(-\dfrac{1}{8}\right)=-\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8})[/tex].

Dakle, na ovom intervalu rešenje je [tex]x\in\left(-\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8},\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}\right)[/tex].

Period tangensa je [tex]\pi[/tex], pa dodajemo [tex]k\pi[/tex].

Odgovor: [tex]x\in\left(-\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}+k\pi,\ \operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}+k\pi\right),\ k\in\mathbb{Z}[/tex]

Rešenje:
Pošto je [tex]-1\le\sin 2x\le 1[/tex], za imenilac važi [tex]0\le 1-\sin 2x\le 2[/tex], pa on nikada nije negativan.

Imenilac je 0 kada je [tex]\sin 2x=1[/tex], tj. [tex]2x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi[/tex], [tex]x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi[/tex]. Na [tex]\left(0,2\pi\right][/tex] to su [tex]x=\dfrac{\pi}{4}[/tex] i [tex]x=\dfrac{5\pi}{4}[/tex], koje moramo isključiti.

Svuda drugde imenilac je pozitivan, pa je razlomak negativan tačno onda kada je brojilac negativan:
[tex]\cos x<0\Longleftrightarrow x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex]

Iz ovog intervala uklanjamo [tex]x=\dfrac{5\pi}{4}[/tex] ([tex]\dfrac{\pi}{4}[/tex] ionako nije u njemu).

Odgovor: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)\setminus\left\{\dfrac{5\pi}{4}\right\}[/tex], tj. [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex]

Rešenje:
Levu stranu razvijamo po formuli za sinus razlike:
[tex]\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin x\cos\dfrac{\pi}{3}-\cos x\,\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x[/tex]

Nejednačina postaje
[tex]\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x>\sin x[/tex]
Množimo sa 2:
[tex]\sin x-\sqrt{3}\cos x>2\sin x[/tex]
[tex]\sin x+\sqrt{3}\cos x<0[/tex]

Pošto je [tex]\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left(\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex], dobijamo
[tex]\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)<0[/tex]

Za [tex]x\in\left[0,2\pi\right][/tex] imamo [tex]x+\dfrac{\pi}{3}\in\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{7\pi}{3}\right][/tex], a na tom intervalu sinus je negativan samo za [tex]x+\dfrac{\pi}{3}\in\left(\pi,2\pi\right)[/tex].

Dakle, [tex]x\in\left(\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right)[/tex].

Odgovor: [tex]x\in\left(\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right)[/tex]

Rešenje:
Pošto tačka [tex]\left(p,q\right)[/tex] leži na kružnici, važi [tex]p^{2}+q^{2}=r^{2}[/tex], pa postoji ugao [tex]\theta[/tex] takav da je
[tex]p=r\cos\theta,\quad q=r\sin\theta[/tex] (pogledajte crtež).



Delimo nejednačinu sa [tex]r>0[/tex]:
[tex]\cos\theta\,\sin x-\sin\theta\cos x>\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow \sin\left(x-\theta\right)>\dfrac{1}{2}[/tex]

Dakle,
[tex]x-\theta\in\left(\dfrac{\pi}{6}+2n\pi,\ \dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\right),\quad n\in\mathbb{Z}[/tex]
[tex]x\in\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}+2n\pi,\ \theta+\dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\right)[/tex]

Upoređujemo sa [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{3},\pi\right)[/tex]: [tex]\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}[/tex] i [tex]\theta+\dfrac{5\pi}{6}=\pi[/tex], pa je [tex]\theta=\dfrac{\pi}{6}[/tex] (do na umnožak od [tex]2\pi)[/tex].

Tada je
[tex]\dfrac{p}{q}=\dfrac{r\cos\theta}{r\sin\theta}=\operatorname{ctg}\theta=\operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}[/tex]

Odgovor: [tex]\dfrac{p}{q}=\sqrt{3}[/tex]

Rešenje:
Na jediničnom krugu [tex]\sin x[/tex] je ordinata tačke koja odgovara broju [tex]x[/tex]. Crtamo horizontalnu pravu [tex]y=\dfrac{1}{2}[/tex]; ona seče krug u tačkama [tex]M_{0}[/tex] i [tex]M_{1}[/tex].



Ove tačke odgovaraju rešenjima jednačine [tex]\sin x=\dfrac{1}{2}[/tex]:
[tex]x=\dfrac{\pi}{6}+2n\pi[/tex] ili [tex]x=\dfrac{5\pi}{6}+2n\pi,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Nejednačina važi za tačke luka [tex]M_{0}BM_{1}[/tex], koji je na pravoj ili iznad nje, idući u pozitivnom smeru (suprotno kretanju kazaljke na satu) od [tex]M_{0}[/tex] do [tex]M_{1}[/tex].

Odgovor: [tex]x\in\left[\dfrac{\pi}{6}+2n\pi,\ \dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\right],\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Rešenje:
Crtamo grafike funkcija [tex]f(x)=\cos x[/tex] i [tex]g(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex] na intervalu [tex]\left[0,2\pi\right][/tex].



Grafici se seku tamo gde je [tex]\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex], tj. za [tex]x=\dfrac{\pi}{4}[/tex] i [tex]x=\dfrac{7\pi}{4}[/tex].

Sa crteža se vidi da je [tex]f(x)\ge g(x)[/tex] (osenčeni delovi) za
[tex]x\in\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{4},2\pi\right][/tex]

Odgovor: [tex]x\in\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{4},2\pi\right][/tex]

Rešenje:
Koristimo [tex]\sin 2x=2\sin x\cos x[/tex] i dobijamo
[tex]2\sin x\cos x-6\cos x>0[/tex]
[tex]2\cos x\left(\sin x-3\right)>0[/tex]

Pošto je [tex]\sin x\le 1[/tex], činilac [tex]\sin x-3[/tex] je uvek negativan. Zato je proizvod pozitivan tačno onda kada je [tex]\cos x<0[/tex].

To se slaže sa graficima funkcija [tex]f(x)=\sin 2x[/tex] i [tex]g(x)=6\cos x[/tex] na intervalu [tex]\left[0,2\pi\right][/tex]: [tex]f(x)>g(x)[/tex] za [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex].



Obe funkcije se ponavljaju sa periodom [tex]2\pi[/tex], pa se i rešenje ponavlja na svakih [tex]2\pi[/tex].

Odgovor: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi,\ \dfrac{3\pi}{2}+2n\pi\right),\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Rešenje:
Tangens ima period [tex]\pi[/tex], pa je dovoljno rešiti nejednačinu na jednom periodu, [tex]\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)[/tex], a zatim dodati [tex]n\pi[/tex].

Na tom intervalu tangens je rastuća funkcija, [tex]\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1[/tex] i [tex]\operatorname{tg} x\to+\infty[/tex] kada [tex]x\to\dfrac{\pi}{2}[/tex]. Dakle, [tex]\operatorname{tg} x\ge 1[/tex] ⇔ [tex]x\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)[/tex]. Tačka [tex]\dfrac{\pi}{2}[/tex] se isključuje jer [tex]\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{2}[/tex] nije definisan.

Na jediničnom krugu (pogledajte crtež ispod rešenja) to su tačke luka od [tex]\dfrac{\pi}{4}[/tex] do [tex]\dfrac{\pi}{2}[/tex] i, jedan period kasnije, od [tex]\dfrac{5\pi}{4}[/tex] do [tex]\dfrac{3\pi}{2}[/tex].

Odgovor: [tex]x\in\left[\dfrac{\pi}{4}+n\pi,\ \dfrac{\pi}{2}+n\pi\right),\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Rešenje:
Posmatramo grafike funkcija [tex]f(x)=\sin x[/tex] i [tex]g(x)=\cos x[/tex] i najpre nalazimo njihove presečne tačke:
[tex]\sin x=\cos x\Longleftrightarrow \operatorname{tg} x=1[/tex] (smemo da delimo sa [tex]\cos x[/tex]: ako je [tex]\cos x=0[/tex], onda je [tex]\sin x=\pm 1\neq\cos x)[/tex].

Na [tex]\left[0,2\pi\right][/tex] dobijamo [tex]x_{1}=\dfrac{\pi}{4}[/tex], [tex]x_{2}=\dfrac{5\pi}{4}[/tex].



Sa crteža se vidi da je [tex]f(x)>g(x)[/tex] (osenčena oblast) za [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right)[/tex].

Odgovor: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right)[/tex]

Rešenje:
Crtamo grafike funkcija [tex]f(x)=\sqrt{3}\cos x[/tex] i [tex]g(x)=1+\sin x[/tex] na [tex]\left[0,2\pi\right][/tex] i tražimo njihove presečne tačke [tex]x_{1}[/tex] i [tex]x_{2}[/tex].



[tex]f(x)=g(x)\Longleftrightarrow \sqrt{3}\cos x=1+\sin x\Longleftrightarrow \sin x-\sqrt{3}\cos x=-1[/tex]

Pošto je [tex]\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\left(\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex],
[tex]\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}[/tex]

Za [tex]x\in\left(0,2\pi\right)[/tex] imamo [tex]x-\dfrac{\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right)[/tex], pa je
[tex]x-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{6}[/tex] ili [tex]x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{6}[/tex]
[tex]x_{1}=\dfrac{\pi}{6},\quad x_{2}=\dfrac{3\pi}{2}[/tex]

Sa crteža se vidi da je [tex]f(x)\lt g(x)[/tex] između [tex]x_{1}[/tex] i [tex]x_{2}[/tex] (provera: za [tex]x=\pi[/tex] dobijamo [tex]-\sqrt{3}<1)[/tex].

Odgovor: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex]