Kompleksni brojevi - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
$5z-3w=5\left( -1,2\right) -3\left( 3,2\right) =\left( -5,10\right)-\left( 9,6\right) $

$5z-3w=\left( -5-9,10-6\right) =(-14,4)$

Rešenje:
Konjugovano kompleksni broj broja $w=\left( 3,2\right) $ je
$\overline{w}=(3,-2)$.
Ovo je formula za množenje
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ tako da je $x=z\cdot \overline{w}$
$x=\left( 2,-1\right) \cdot (3,-2)=(6-2,-4-3)=(4,-7)$
$x=(4,-7)$

Rešenje:
Formula za deljenje je: $(a,b)\div (c,d)=\frac{1}{c^{2}+d^{2}}\left[(a,b)\cdot (c,-d)\right]$
sledi da je $x=z\div w=\left( 3,-2\right) \div \left( -3,1\right) =\frac{1}{9+1}\left[ \left( 3,-2\right) \cdot \left( -3,-1\right) \right] $
Tako je
$x=\frac{1}{10}(-9-2,-3+6)=\left( -\frac{11}{10},\frac{3}{10}\right)$

Rešenje:
$x=z^{2}-w^{2}=(-2,3)\cdot (-2,3)-(4,-1)\cdot (4,-1)=\left(4-9,-6-6\right) -\left( 16-1,-4-4\right) $
$x=\left( -5,-12\right) -\left( 15,-8\right) =\left(-20,-4\right)$
$x=\left(-20,-4\right)$

Rešenje:
Moramo izračunati $\left( z-w\right)$ i $\left( z+w\right) $ pa je
$\left( z-w\right) =\left( 2,4\right) -\left( 4,-1\right) =\left(-2,5\right) $ i
$\left( z+w\right) =\left( 2,4\right) +\left( 4,-1\right) =\left( 6,3\right)$
a zatim izračunamo

$\overline{\left( z-w\right) }-\overline{\left( z+w\right) }=\overline{\left( -2,5\right) }-\overline{\left( 6,3\right) }=\left( -2,-5\right) -\left( 6,-3\right) =\left( 8,-2\right)$

$\overline{\left( z-w\right) }-\overline{\left( z+w\right) }=\left(8,-2\right)$

Rešenje:
Moduo kompleksnog broja, $z=(a,b)$ je dobijen formulom
$\rho =\mid z\mid =\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
Pošto je $z=(3,-4)$
$\rho =\mid z\mid =\sqrt{3^{2}+\left( -4\right)^{2}}=\sqrt{25}=5$
onda je
$x=\rho \overline{z}+\frac{10}{\rho }z=5\overline{(3,-4)}+\frac{10}{5}(3,-4)$
$x=5(3,4)+2(3,-4)=\left( 15,20\right) +\left( 6,-8\right) =\left(21,12\right) $

$x=\left( 21,12\right)$

Rešenje:
Formula za izračunavanje kvadratnog korena kompleksnog broja je
$\sqrt{z}=\left( \sqrt{\frac{\rho +a}{2}},\sqrt{\frac{\rho -a}{2}}\right)$
gde je $\rho =\mid z\mid =\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$\rho =\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ $=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ =$\sqrt{25}=5$ Tako je
$\sqrt{z}=\pm \left( \sqrt{\frac{\rho +a}{2}},\sqrt{\frac{\rho -a}{2}}\right) =\pm \left( \sqrt{\frac{5+3}{2}},\sqrt{\frac{5-3}{2}}\right) =\pm\left( \sqrt{4},\sqrt{1}\right) $

Odgovor:
$\sqrt{z}=\left(2,1\right)$ i $\sqrt{z}=\left(-2,-1\right)$

Rešenje:
Pošto je $z=(4,-3)$ možemo naći $\overline{z}=(4,3)$ i
$z\cdot \overline{z}= (4,-3)\cdot(4,-3)=(4^{2}+\left( -3\right) ^{2},-2\cdot4\left( -3\right) )$
$z\cdot \overline{z}=(25,24)\Longrightarrow \text{Re}\left( z\cdot \overline{z}\right) =25$
i pošto znamo da je $\left\vert z\right\vert =\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
$\mid z\mid^{2}=\left( \sqrt{a^{2}+b^{2}}\right) ^{2}=a^{2}+b^{2}$
Tako je $\mid z\mid^{2}=4^{2}+\left( -3\right) ^{2}=25$
Otuda sledi da je tačno da je
$\text{Re}\left( z\cdot \overline{z}\right)=\mid z\mid ^{2}$

Rešenje:
Pošto je $z=(4,-3)$ možemo naći $\overline{z}=(4,3)$ i

$z+\overline{z}=(4,-3)+(4,3)=(8,0)=2\text{Re}(z)$

Otuda je $z+\overline{z}=2\text{Re}(z)$
Tako da je odgovor tačno.

Rešenje:
Kako bismo dobili rezultat podelićemo eksponent.
$761\div 4=190+\frac{1}{4}$

Ovaj rezultat nam govori da pri celobrojnom deljenju sa $4$ dobijamo ostatak $1$. Pogledajmo tabelu sa početka.

Tako je, $i^{761}=i^{760+1}=i^{760}\cdot i=1\cdot i=i$

Rešenje:
Odvojeno ćemo oduzeti brojilac i imenilac,
prateći formulu za sabiranje i oduzimanje.

$(2-3i)-(3+2i)=(2-3)+(-3-2)i=-1-5i$
$(3+2i)-(2+i)=(3-2)+(2-1)i=1+i$

Tako imamo $\frac{(2-3i)-(3+2i)}{(3+2i)-(2+i)}=\frac{-1-5i}{1+i}=\frac{(-1\cdot 1+1\cdot (-5))+(-5\cdot 1-(-1)\cdot 1)i}{1^{2}+1^{2}}=\frac{-6-4i}{2}=-3-2i$

Rešenje:
$i^{326}=i^{324+2}=((i)^{4})^{81}\cdot i^{2}=1^{81}(-1)=-1$

$i^{545}=i^{544+1}=((i)^{4})^{136}\cdot i=1^{136} \cdot i=i$
Tako je,

$\frac{i^{326}-1}{i^{545}+1}=\frac{-1-1}{1+i}=\frac{-2+0i}{1+i}$

$\frac{i^{326}-1}{i^{545}+1}=\frac{(-2)+2i}{2}=-1+i$

Rešenje:
$\overline{z}=4-4i$ je konjugovano kompkleksni broj broja $z$, ovo je njegov binomni oblik. Da bismo ga prebacili u njegov polarni oblik moramo naći $r$ i $\alpha$

$r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
$\alpha =arg(z)=\arctg (\frac{b}{a})$

$r=\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
$\alpha =\arctg(\frac{-4}{4})=\arctg (-1)=(4k-1)\frac{\pi }{4},k=1,2,3,4,....$
Tako je polarni oblik
$\overline{z}=4\sqrt{2}((4k-1)\frac{\pi }{4})\qquad k=1,2,3,4,....$

Rešenje:
Prema formuli za množenje, (pogledaj na početku stranice)

$(5+2i)(2-3i)=(5\cdot 2-2 \cdot (-3))+(5 \cdot (-3)+2 \cdot 2)i=$
$(10+6)+(-15+4)i=16-11i$

Tako je
$(5+2i)\cdot(2-3i)=16-11i$

Rešenje:
$\frac{3-2i}{5+2i}=\frac{(3\cdot 5-2 \cdot 2)+(-2 \cdot 5-3 \cdot 2)i}{5^{2}+2^{2}}=\frac{11-16i}{29}=\frac{11}{29}-\frac{16}{29}i$

Rešenje:
$\overline{w}=3-2i\Longrightarrow z\cdot \overline{w}=(2+5i)\cdot (3-2i)=(6+10)+(15-4)i=16+11i$

Suprotno od $z\cdot \overline{w}$ je $-z\cdot \overline{w}=-16-16i$.

Konjugovano kompleksni broj broja $z\cdot \overline{w}$ je $\overline{z\cdot \overline{w}}=\overline{16+11i}=16-11i$

Rešenje:
$z \cdot 3t=(3+i)(3+3i)=(9-3)+(9+3)i=6+12i$

$2w \cdot s=(4-6i)(-1+2i)=(-4+12)+(8+6)i=8+14i$

$z \cdot 3t-2w \cdot s=(6+12i)-(8+14i)=-2-2i$

$\left\vert z \cdot 3t-2w \cdot s\right\vert =\left\vert -2-2i\right\vert =\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Rešenje:
Moramo izračunati moduo i argument od $z$.

$\left\vert z\right\vert =\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4}=2$
$\alpha =\arctg \frac{\sqrt{3}}{-1}=\arctg (-\sqrt{3})=120^{\circ}$
Tada je polarni oblik $z=2\angle120^{\circ}$

Rešenje:
Prema definiciji sabiranja i oduzimanja kompleksnih brojeva u binomnom obliku, moramo grupisati realne i imaginarne delove brojeva.

$(5+2i)+(-8+3i)-(4-2i)=(5-8-4)+(2+3+2)i=-7+7i$
Sada to možemo zapisati u polarnom obliku.

$r=\left\vert -7+7i\right\vert =\sqrt{(-7)^{2}+(7)^{2}}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$

$\alpha =\arctg \frac{7}{-7}=\arctg (-1)= n\pi +\frac{3}{4}\pi ,\qquad n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,......$

Tako je $-7+7i=r_{\alpha }=(7\sqrt{2})\angle(n\pi +\frac{3}{4}\pi) \qquad n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,......$

Poslednji je izraz u polarnom obliku.

Rešenje:
Udaljenost između dva kompleksna broja $(a+bi)$ i $(c+di)$
izračunavamo pomoću formule za udaljenost dve tačke $d(z,w)=\sqrt{(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}$.

U ovom slučaju imamo: $d(z,w)=\sqrt{(2+3)^{2}+(-3-2)^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}$
$d(z,w)=5\sqrt{2}$

Rešenje:
Središnja tačka između dva kompleksna broja se dobija pomoću formule
$Pm=(\frac{a+c}{2})+(\frac{b+d}{2})i$
tako imamo

$Pm=(\frac{6+2}{2})+(\frac{-3+5}{2})i =4+i$

Rešenje:
$s=z+w=(2+3i)+(1-4i)=3-i$

$r=z-w=(2+3i)-(1-4i)=1+7i$

Sad moramo naći $Pm(s,r)=\frac{3+1}{2}+\frac{-1+7}{2}i=2+3i$.

Rešenje:
$2z=2-i$,

$\overline{w}=-3-2i$

$Pm(2z,\overline{w})=\frac{2-3}{2}+\frac{-1-2}{2}i= -\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$

Rešenje:
Udaljenost $=\sqrt{(-1-2)^{2}+(1-3)^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$

Rešenje:
$2z=4-2i$
$w-t=8-i\Longrightarrow \frac{2z}{w-t}=2z \cdot \overline{(w-t)}=(4-2i)\cdot (8+i)$

$\frac{2z}{w-t}=(32+2)+(4-16)i=34-12i$
$\frac{2z}{w-t}=34-12i$

Rešenje:
Izračunajmo $w \cdot t=(5+i)\cdot (-3+2i)=(-15-2)+(10-3)i=-17+7i$

Sad je $w \cdot t-3z=(-17+7i)-(6-3i)=-23+10i$
te možemo naći konjugovano kompleksni broj $\overline{w\cdot t-3z}=-23-10i$.