Integrali - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Odgovor: $\int g(x)dx =f(x)+C$

Pošto je $g(x)=\frac{d}{dx}f(x)$, prema definiciji neodređenog integrala
$\int g(x)dx$ $=f(x)$

Možemo ovo dokazati.
$\int g(x)dx$ $=\int (2x-3x^{2})dx$ $=\int 2xdx-\int 3x^{2}dx=$
$\int g(x)dx =2\int xdx-3\int x^{2}dx=2\cdot \frac{1}{2}x^{2}-3\cdot \frac{1}{3}x^{3}=x^{2}-x^{3}+C=f(x)+C$
gde $C\in R$

Rešenje:
Odgovor: Tačna je samo tvrdnja (i).

Pošto je $g(x)=\frac{d}{dx}f(x)$, prema definiciji, neodređeni integral
$\int g(x)dx=f(x)$

Dakle, proveravamo rezultat integrala
$\int g(x)dx$ $=\int (\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}})dx$ $=$

$\int g(x)dx$ $=\int \sqrt{x}dx+\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\int x^{1/2}dx+\frac{1}{2}\int x^{-1/2}dx=\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{3/2}+\frac{1}{2}\frac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}}+C$

$\int g(x)dx$ $=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+\sqrt{x}+C=f(x)+C$, gde je $C\in R$

Rešenje:
Odgovor: $\int \left( 3x^{2}-3\right) dx=x^{3}-3x+C$

Primećujemo da je $f(x)+g(x)=\int \left( x^{2}+2\right) dx+\int \left(2x^{2}-5\right) dx$
i koristimo svojstvo zbirke integrala, pa tako
$\int \left( x^{2}+2\right) dx+\int \left( 2x^{2}-5\right) dx=\int \left[ \left( x^{2}+2\right) +\left( 2x^{2}-5\right) \right] dx=\int \left( 3x^{2}-3\right) dx$

$\int \left( 3x^{2}-3\right) dx=f(x)+g(x)=\left( \frac{1}{3}x^{3}+2x+C\right) +\left( \frac{2}{3}x^{3}-5x+C\right) $
$\int \left( 3x^{2}-3\right) dx=x^{3}-3x+C$

Rešenje:
Odgovor: nijedan od ovih.

Imajući u vidu da
$\int f(x)\cdot g(x)dx\neq \left( \int f(x)dx\right) \left( \int g(x)dx\right) $
Dakle, kako bismo rešili $\int \left( 2x+3\right) \left(x^{2}+3\right) dx$

Morate pojednostaviti integrand.
$\int \left( 2x+3\right) \left(x^{2}+3\right) dx=\int \left( 2x^{3}+6x+3x^{2}+9\right) dx$

$\int \left( 2x+3\right) \left( x^{2}+3\right) dx=\int 2x^{3}dx+\int 6xdx+\int 3x^{2}dx+\int 9dx=\frac{2}{4}x^{4}+\frac{6}{2}x^{2}+\frac{3}{3}x^{3}+9x+C$

Dakle $\int \left( 2x+3\right) \left( x^{2}+3\right) dx=\frac{1}{2}x^{4}+3x^{2}+x^{3}+9x+C$

Rešenje:
Odgovor: $\int \frac{x^{2}+2x-3}{x^{4}}dx=\int \frac{dx}{x^{2}}+2\int \frac{dx}{x^{3}}-3\int \frac{dx}{x^{4}}$

---

Morate pojednostaviti integrand

$\int \frac{x^{2}+2x-3}{x^{4}}dx=\int \left( \frac{x^{2}}{x^{4}}+\frac{2x}{x^{4}}-\frac{3}{x^{4}}\right) dx$, i sada koristimo svojstvo integrala za sabiranje i oduzimanje..
So $\int \frac{x^{2}+2x-3}{x^{4}}dx=\int \frac{1}{x^{2}}dx+\int \frac{2}{x^{3}}dx-\int \frac{3}{x^{4}}dx$

$\int \frac{x^{2}+2x-3}{x^{4}}dx=\int \frac{dx}{x^{2}}+2\int \frac{dx}{x^{3}}-3\int \frac{dx}{x^{4}}$

Rešenje:
Dakle $\int (x+1)(x-2)dx=\int \left(x^{2}-2x+x-2\right) dx$

zatim $\int (x+1)(x-2)dx=\int \left( x^{2}-x-2\right) dx=\int x^{2}dx-\int xdx-2\int dx$

Rezultat je:
$\int (x+1)(x-2)dx=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-2x+C$, where $C\in R$

Rešenje:
$\int (2t^{2}-1)^{2}dt=\int(4t^{4}-4t^{2}+1)dt=\int 4t^{4}dt-\int 4t^{2}dt+\int dt=\frac{4}{5}t^{5}-\frac{4}{3}t^{3}+t+C$ тогда

$\int (2t^{2}-1)^{2}dt=\frac{4}{5}t^{5}-\frac{4}{3}t^{3}+t+C$

Rešenje:
Možemo koristiti osnovni trigonometrijski identitet kako bismo pojednostavili integrand, podsetimo se da
$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\Longrightarrow 1-\sin ^{2}x=\cos ^{2}x$ then $\int \frac{\sin x}{1-\sin ^{2}x}dx=\int \frac{\sin x}{\cos ^{2}x}dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1}{\cos x}dx$

Dakle, $\int \frac{\sin x}{1-\sin ^{2}x}dx=\int \tan x\cdot \sec xdx$
Ovo je neposredni integral.

$\int \frac{\sin x}{1-\sin ^{2}x}dx=\int \tan x\cdot \sec xdx=\sec x+C$

Rešenje:
$\Delta x=\frac{2-0}{4}=0{,}5$

Izvršićemo aproksimaciju integrala pomoću gornje sume $4$ pravougaonika, gde su visine pravougaonika $f(0{,}5);f(1);f(1{,}5);f(2)$

Dakle $\overset{2}{\underset{0}{\int }}f(x)dx\approx \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0{,}5\left( f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)+f(2)\right) $

$f(0{,}5)=2(0{,}5)+5=6$
$f(1)=2(1)+5=7$
$f(1{,}5)=2(1{,}5)+5=8$
$f(2)=2(2)+5=9$

Dakle $\overset{2}{\underset{0}{\int }}f(x)dx\approx 0{,}5\left( 6+7+8+9\right) =15$ zatim
$\overset{2}{\underset{0}{\int }}(2x+5)dx\approx 15$

Rešenje:
$\Delta x=\frac{5-2}{6}=0.5$

Izvršićemo aproksimaciju integrala pomoću gornje sume od $6$ pravougaonika, gde je visina pravougaonika
$g(2{,}5);g(3);g(3{,}5);g(4);g(4{,}5);g(5)$

$\overset{5}{\underset{2}{\int }}g(x)dx\approx \underset{i=1}{\overset{6}{\sum }}h_{i}\Delta x=0{,}5\left( g(2{,}5)+g(3)+g(3{,}5)+g(4)+g(4{,}5)+g(5)\right) $

$g(2{,}5)=2(2{,}5)^{2}-(2{,}5)-1=9$
$g(3)=2(3)^{2}-(3)-1=14$
$g(3{,}5)=2(3{,}5)^{2}-(3{,}5)-1=20$
$g(4)=2(4)^{2}-(4)-1=27$ $g(4{,}5)=2(4{,}5)^{2}-(4{,}5)-1=35$
$g(5)=2(5)^{2}-(5)-1=44$

Dakle $\overset{5}{\underset{2}{\int }}g(x)dx\approx 0{,}5\left( 9+14+20+27+35+44\right) =74{,}5$ zatim
$\overset{5}{\underset{2}{\int }}(2x^{2}-x-1)dx\approx 74{,}5$

Rešenje:
$12<\text{površina}<16$

Gornje sume: Sabraćemo površine $4$ pravougaonika visina $5,5,4,2$ i baze $\Delta x=1$
Dakle površina $\approx \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=\left( 5+5+4+2\right) \cdot 1=16$

Donje sume: Sabraćemo površine $4$ pravougaonika visina $4,4,3,1$
i baze $\Delta x=1$
Dakle površina $\approx \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=\left( 4+4+3+1\right) \cdot 1=12$
Površina ružičaste oblasti je ograničena gornjom sumom i donjom sumom, pa stoga
$12<\text{površina}<16$

Rešenje:
Odgovor: 3 < površina < 10

Gornje sume: sabraćemo površine $5$ pravougaonika visina $5,2,1,1,1$
i baza $\Delta x=1$
Površina $\approx \underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}h_{i}\Delta x=\left( 5+2+1+1+1\right) \cdot 1=10$

Donje sume: sabraćemo površine $5$ pravougaonika visina $2,1,0,0,0$
i baza $\Delta x=1$
Površina $\approx \underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}h_{i}\Delta x=\left( 2+1+0+0+0\right) \cdot 1=3$

Zatim je površina ružičaste oblasti ograničena gornjom sumom i donjom sumom,

tako da 3 < površina < 10

Rešenje:
Neka je $y=f(x)=\sqrt{x}$
Možemo primetiti da su visine gornjih pravougaonika
$f(\frac{1}{4});f(\frac{1}{2});f(\frac{3}{4});f(1);$
dok su visine donjih pravougaonika
$f(0);f(\frac{1}{4});f(\frac{1}{2});f(\frac{3}{4})$ baza za svaki pravougaonik je $\Delta x=\frac{1-0}{4}=0{,}25$ onda
$S=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0{,}25\left( f(\frac{1}{4})+f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{4})+f(1)\right) =0{,}25\left( \frac{1}{2}+\frac{ \sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right) $

$S=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x\approx 0{,}768$
$s=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0{,}25\left( f(0)+f(\frac{1}{4})+f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{4})\right) $
$s=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0{,}25\left( 0+\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx 0{,}518$
$s=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x\approx 0{,}518$

i pošto važi $s\leq \text{površina}\leq S\Longrightarrow 0{,}518\leq \text{površina}\leq 0{,}768$

Rešenje:
Odgovor: $0{,}646\le A\le 0{,}746$

Neka je $y=f(x)=\frac{1}{x}$. Osnovica svakog pravougaonika je $\Delta x=\frac{2-1}{5}=0{,}2$

Funkcija je opadajuća na $\left[ 1,2\right] $, pa se visine gornjih pravougaonika računaju u levim krajevima podintervala: $1;1{,}2;1{,}4;1{,}6;1{,}8$, a visine donjih pravougaonika u desnim krajevima: $1{,}2;1{,}4;1{,}6;1{,}8;2$

$S=\underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}h_{i}\Delta x=0{,}2\left( f(1)+f(1{,}2)+f(1{,}4)+f(1{,}6)+f(1{,}8)\right) =0{,}2\left( 1+\frac{5}{6}+\frac{5}{7}+\frac{5}{8}+\frac{5}{9}\right) \approx 0{,}746$

$s=\underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}h_{i}\Delta x=0{,}2\left( f(1{,}2)+f(1{,}4)+f(1{,}6)+f(1{,}8)+f(2)\right) =0{,}2\left( \frac{5}{6}+\frac{5}{7}+\frac{5}{8}+\frac{5}{9}+\frac{1}{2}\right) \approx 0{,}646$

Kako je $s\le A\le S$, sledi

$0{,}646\le A\le 0{,}746$

Rešenje:
$\int \left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x\right) dx$

Uvodimo smenu $u=x^{2}+x\Longrightarrow \frac{du}{dx}=2x+1$

odakle je $du=\left( 2x+1\right) dx$
Dakle
$\int \left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x\right) dx=\int udu=\frac{u^{2}}{2}+C$

$\int \left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x\right) dx=\frac{\left( x^{2}+x\right) ^{2}}{2}+C$

Rešenje:
$\int x^{2}\sqrt{x^{3}-5}dx$

Uvodimo smenu $u=x^{3}-5\Longrightarrow \frac{du}{dx}=3x^{2}$, pa je

$du=3x^{2}dx\Longrightarrow \frac{du}{3}=x^{2}dx$. Zamenom u polazni integral dobijamo

$\int x^{2}\sqrt{x^{3}-5}dx=\int \sqrt{u}\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int u^{1/2}du=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}+C$

$\int x^{2}\sqrt{x^{3}-5}dx=\frac{2}{9}\left( x^{3}-5\right) ^{3/2}+C=\frac{2}{9}\sqrt{\left( x^{3}-5\right) ^{3}}+C$

Rešenje:
Odgovor: $\int \frac{-4x}{\left( 1-2x^{2}\right) ^{2}}dx=-\frac{1}{\left( 1-2x^{2}\right) }+C$

$\int \frac{-4x}{\left( 1-2x^{2}\right) ^{2}}dx$
Uvodimo smenu $u=1-2x^{2}\Longrightarrow \frac{du}{dx}=-4x$

odakle je $du=-4xdx$, pa je $\int \frac{1}{u^{2}}du=\int u^{-2}du=-u^{-1}+C=-\frac{1}{u}+C$

$\int \frac{-4x}{\left( 1-2x^{2}\right) ^{2}}dx=-\frac{1}{\left( 1-2x^{2}\right) }+C$

Rešenje:
Odgovor: $\int \cos ^{2}x\sin xdx=-\frac{\cos ^{3}x}{3}+C$

$\int \cos ^{2}x\sin xdx$
Uvodimo smenu $u=\cos x$

njen izvod je $\frac{du}{dx}=-\sin x\Longrightarrow -du=\sin xdx$, pa je

$\int \cos ^{2}x\sin xdx=-\int u^{2}du=-\frac{u^{3}}{3}+C$

$\int \cos ^{2}x\sin xdx=-\frac{\cos ^{3}x}{3}+C$

Rešenje:
$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\left( x^{2}+1\right) ^{3}dx$

Uvodimo smenu $u=x^{2}+1\Longrightarrow \frac{du}{dx}=2x$

odakle je $\frac{1}{2}du=xdx$. Sada prilagođavamo granice integracije

Ako $x\rightarrow 0$ onda $u\rightarrow 1$, a ako $x\rightarrow 1$ onda $u\rightarrow 2$

pa zamenom u polazni integral dobijamo

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{2}u^{3}du=\frac{1}{2}\left[ \frac{u^{4}}{4}\right] _{1}^{2}=\frac{1}{2}\left[ \frac{2^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4}\right] =\frac{1}{2}\left[ 4-\frac{1}{4}\right] =\frac{15}{8}$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\left( x^{2}+1\right) ^{3}dx=\frac{15}{8}$

Rešenje:
$\overset{5}{\underset{1}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx$

Uvodimo smenu
$u=2x-1\Longrightarrow x=\frac{u+1}{2}$ i $\frac{du}{dx}=2\Longrightarrow \frac{1}{2}du=dx$

Sada prilagođavamo granice integracije
Ako $x\rightarrow 1$ onda $u\rightarrow 1$, a ako $x\rightarrow 5$ onda $u\rightarrow 9$

Zamenom u polazni integral dobijamo

$\overset{5}{\underset{1}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx=\overset{9}{\underset{1}{\int }}\frac{u+1}{2\sqrt{u}}\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{4}\overset{9}{\underset{1}{\int }}\left( u+1\right) u^{-1/2}du=\frac{1}{4}\overset{9}{\underset{1}{\int }}\left( u^{1/2}+u^{-1/2}\right) du$

$\overset{5}{\underset{1}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx=\frac{1}{4}\left[ \frac{2}{3}u^{3/2}+2u^{1/2}\right] _{1}^{9}=\frac{1}{4}\left[ \frac{2}{3}\left( 9^{3/2}\right) +2\left( 9^{1/2}\right) -\frac{2}{3}\left( 1^{3/2}\right) -2\left( 1^{1/2}\right) \right] $

$\overset{5}{\underset{1}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx=\frac{1}{4}\left[ \frac{2}{3}\left( 27\right) +2\left( 3\right) -\frac{2}{3}-2\right] =\frac{1}{4}\left( 18+6-\frac{2}{3}-2\right) =\frac{16}{3}\approx 5{,}33$