Pravilo sinusa

Trougao ABC

Površina trougla ABC je:

$P = \frac{a\cdot c \cdot \sin(B)}{2} = \frac{b \cdot c \cdot \sin(A)}{2} = \frac{a \cdot b \cdot \sin(C)}{2}$

=>

$a\cdot c \cdot \sin(B) = b\cdot c \cdot \sin(A) = a \cdot b \cdot \sin(C)$

deleći sa $a\cdot b\cdot c$, dobijemo formulu za sinusnu teoremu

$\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}$

Recimo da je R precnik kružnice sa centrom O kroz tacke A,B i C(za svake 3 tacke koje ne leže na istoj pravoj postoji jedna kružnica kojoj pripadaju tačke) trougla ABC.

kružnica, trougao

Neka je B' druga tacka preseka prave BO i kružnice.
Ugao B' u trouglu BB'C je jednak sa A, i trougao BB'C je pravougli trougao
=> a = 2Rsin(B') = 2Rsin(A) tada imamo:

$\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}=2R$

Kosinusna teorema

Neka su a(dužina BC), b(dužina CA), c(dužina AB) dužine stranica trougla ABC.
Trougao ABC
Formule kosinusne teoreme su:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos(∠A)
b2 = c2 + a2 - 2ca cos(∠B)
c2 = a2 + b2 - 2ab cos(∠C)
gde cos(∠A) je cos(∠CAB), cos(∠B) je cos(∠ABC) i cos(∠C) je cos(∠BCA)

Tangensna teorema

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{ \text{tg}\left[\frac{1}{2}(A - B)\right] }{ \text{tg}\left[\frac{1}{2}(A + B)\right] }$

$\frac{b-c}{b+c}=\frac{ \text{tg}\left[\frac{1}{2}(B - C)\right] }{ \text{tg}\left[\frac{1}{2}(B + C)\right] }$

$\frac{a-c}{a+c}=\frac{ \text{tg}\left[\frac{1}{2}(A - C)\right] }{ \text{tg}\left[\frac{1}{2}(A + C)\right] }$

Zadaci

Zadaci iz sinusne teoreme
Zadaci iz kosinusne teoreme


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2021