Kružnica i krug

Kalkulator za krug

Izaberite šta znate o krugu (poluprečnik, prečnik, obim ili površinu) i unesite vrednost. Kalkulator korak po korak računa ostale tri veličine: prvo tačnu vrednost, izraženu pomoću $\pi,$ a zatim zaokruženu vrednost. Obim ili površinu možete uneti i kao višekratnik broja $\pi\text{:}$ napišite pi, na primer 10pi. Ako unesete i centralni ugao u stepenima, kalkulator računa i dužinu njegovog luka i površinu njegovog isečka. Kalkulator koristi tačnu vrednost broja $\pi,$ pa se poslednja cifra rezultata može razlikovati kada se računa sa ${\pi\approx 3{,}14}.$

Šta su kružnica i krug?

Kružnica je skup svih tačaka ravni koje su jednako udaljene od date tačke $O,$ centra kružnice. To rastojanje je poluprečnik $r$ kružnice.

Kružnica je samo kriva linija. Kružnica zajedno sa svim tačkama u njenoj unutrašnjosti naziva se krug. Zato kažemo „površina kruga”, a ne „površina kružnice”: kružnica je linija, pa ima dužinu (to je obim kruga), ali nema površinu. Tačka $X$ leži unutar kružnice ako je ${OX\lt r},$ na kružnici ako je ${OX=r},$ a izvan kružnice ako je ${OX\gt r}.$

Na ovoj stranici: Kalkulator · Delovi kružnice i kruga · Obim i površina · Lukovi i isečci · Uglovi u krugu · Tetive i tangente · Rešeni zadaci · Zadaci za vežbanje

Delovi kružnice i kruga

Na slici je $O$ centar kružnice.

• Poluprečnik je duž koja spaja centar sa nekom tačkom kružnice, ovde $OA.$ Svi poluprečnici jedne kružnice su jednaki, a njihova dužina se takođe naziva poluprečnik $r.$
• Tetiva je duž koja spaja dve tačke kružnice, ovde $DE.$
• Prečnik je tetiva koja prolazi kroz centar, ovde $BC.$ Sastoji se od dva poluprečnika, pa je njegova dužina ${d=2r}.$ Prečnik je najduža tetiva kružnice: prema nejednakosti trougla, nijedna tetiva $DE$ nije duža od ${DO+OE=2r}.$
• Luk (kružni luk) je deo kružnice između dve njene tačke, ovde luk $FG.$ Označavamo ga sa $\overset{\frown}{FG}.$ Dve tačke dele kružnicu na dva luka, a prečnik je deli na dve polukružnice.

Prava i kružnica mogu imati dve zajedničke tačke, jednu ili nijednu. Koji slučaj nastupa zavisi od rastojanja centra od prave: ono je manje od $r,$ jednako $r$ ili veće od $r.$ Prava koja seče kružnicu u dve tačke je sečica, kao prava $MN.$ Prava koja ima tačno jednu zajedničku tačku sa kružnicom je tangenta, a ta tačka $T$ je dodirna tačka. Tangenta je normalna na poluprečnik $OT$ (videti odeljak Tangente niže).

Dva poluprečnika dele krug na dva kružna isečka, koji liče na parčad pite. Tetiva deli krug na dva kružna odsečka: odsečak je deo kruga između tetive i luka.

Obim i površina kruga

Broj $\pi$

Dužina kružnice naziva se obim kruga i označava se sa ${O}.$ U svakom krugu, malom ili velikom, obim je nešto veći od trostrukog prečnika, a količnik $\frac{O}{d}$ je uvek isti broj. Taj broj se označava sa $\pi$ (čita se „pi”):

Točak prečnika 1 za jedan pun obrt pređe tačno $\pi$ jedinica. Decimale broja $\pi$ se nikada ne završavaju i ne ponavljaju se periodično. Pri računanju ostavljamo $\pi$ u rezultatu ili koristimo njegovu približnu vrednost, $3{,}14$ ili $\frac{22}{7}.$

Obim kruga

Primer. Poluprečnik kruga je 5 cm. Njegov obim je ${O=2\pi\cdot 5=10\pi}$ cm. Za ${\pi\approx 3{,}14}$ to je približno $31{,}4$ cm.

Iz obima možemo da izračunamo poluprečnik: ${r=\frac{O}{2\pi}}.$ Na primer, ako je ${O=18{,}84}$ cm, onda je ${r\approx\frac{18{,}84}{2\cdot 3{,}14}=3}$ cm.

Površina kruga

Zašto? Podelimo krug na mnogo jednakih isečaka i poređajmo ih jedan do drugog, okrećući svaki drugi naopako. Dobijamo figuru koja je skoro paralelogram. Njena visina je poluprečnik $r,$ a osnovica je polovina obima, ${\frac{O}{2}=\pi r}.$ Što više isečaka uzmemo, to je figura bliža pravougaoniku sa stranicama $\pi r$ i $r,$ pa je površina kruga ${\pi r\cdot r=\pi r^2}.$

Primer. Površina kruga poluprečnika 5 cm je ${P=\pi\cdot 5^2=25\pi}$ cm², približno $78{,}5$ cm². Pomoću prečnika: kako je ${r=\frac{d}{2}},$ površina je i ${P=\frac{\pi d^2}{4}}.$

Iz površine možemo da izračunamo poluprečnik: ${r=\sqrt{\frac{P}{\pi}}}.$ Na primer, ako je ${P=49\pi}$ cm², onda je ${r=\sqrt{49}=7}$ cm.

Lukovi i isečci

Centralni ugao i mera luka

Ugao čije je teme u centru kružnice naziva se centralni ugao. Na slici je ${\sphericalangle AOB=\alpha}$ centralni ugao. Luk $AB$ koji leži u njegovoj unutrašnjosti je luk koji taj ugao zahvata; kažemo i da je ugao nad tim lukom.

Mera luka u stepenima jednaka je meri njegovog centralnog ugla: ${\overset{\frown}{AB}=\sphericalangle AOB}.$

Cela kružnica ima $360^\circ,$ polukružnica $180^\circ,$ a četvrtina kružnice $90^\circ.$ Luk manji od polukružnice je manji luk, a luk veći od polukružnice je veći luk. Ako manji luk $AB$ ima $80^\circ,$ onda veći luk sa istim krajevima ima ${360^\circ-80^\circ=280^\circ}.$

Dužina luka

Luk od $\alpha^\circ$ je $\frac{\alpha}{360}$ cele kružnice, pa je i njegova dužina $\frac{\alpha}{360}$ obima:

Primer. U kružnici poluprečnika 6 cm luk od $60^\circ$ ima dužinu ${\ell=\frac{\pi\cdot 6\cdot 60}{180}=2\pi}$ cm, približno $6{,}28$ cm.

Ako znamo dužinu luka, iz iste formule nalazimo njegov centralni ugao: ${\alpha=\frac{180\,\ell}{\pi r}}.$

Površina kružnog isečka

Kružni isečak sa centralnim uglom od $\alpha^\circ$ je $\frac{\alpha}{360}$ kruga, pa je njegova površina:

Primer. Isečak od $90^\circ$ u krugu poluprečnika 4 cm je četvrtina kruga: ${P_{\text{isečka}}}={\frac{90}{360}\cdot\pi\cdot 4^2}={4\pi}$ cm², približno $12{,}57$ cm².

Uglovi se mogu meriti i u radijanima: centralni ugao od $1$ radijana zahvata luk čija je dužina jednaka poluprečniku, a ${180^\circ=\pi}$ radijana. Ako je ugao $\alpha$ izražen u radijanima, formule su jednostavnije: ${\ell=r\alpha}$ i ${P_{\text{isečka}}=\frac{r^2\alpha}{2}}.$

Površina kružnog odsečka

Manji odsečak koji tetiva $AB$ odseca od kruga dobija se kada se od isečka $AOB$ oduzme trougao $AOB\text{:}$

Površina većeg odsečka dobija se obrnuto: površini većeg isečka dodaje se površina trougla. Pogledajte Zadatak 5 u rešenim zadacima niže.

Površina kružnog prstena

Kružni prsten je deo ravni između dve kružnice sa zajedničkim centrom i poluprečnicima $R$ i ${r\lt R}.$ Njegova površina jednaka je razlici površina većeg i manjeg kruga:

Površina dela kružnog prstena

Dva poluprečnika koja grade centralni ugao od $\alpha^\circ$ izdvajaju deo kružnog prstena (na slici iznad, desno). Taj deo je $\frac{\alpha}{360}$ prstena:

Uglovi u krugu

Periferijski ugao

Ugao čije teme leži na kružnici, a kraci sadrže tetive te kružnice, naziva se periferijski ugao. Na slici je $\sphericalangle APB$ periferijski ugao. On zahvata luk $AB$ koji leži u njegovoj unutrašnjosti (luk koji ne sadrži tačku $P$), a $\sphericalangle AOB$ je centralni ugao nad istim lukom.

Teorema o periferijskom uglu. Periferijski ugao jednak je polovini luka koji zahvata: $$\sphericalangle APB=\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}.$$ Kada je taj luk manji luk, kao na slici, periferijski ugao jednak je i polovini centralnog ugla nad istim lukom: ${\sphericalangle APB=\frac{\sphericalangle AOB}{2}}.$

Dokaz

1. Jedan krak ugla sadrži prečnik. Neka $PA$ prolazi kroz centar $O.$ Trougao $OPB$ je jednakokraki, jer je ${OP=OB=r},$ pa je ${\sphericalangle OBP=\sphericalangle OPB=\sphericalangle APB}.$ Centralni ugao $AOB$ je spoljašnji ugao trougla $OPB,$ pa je jednak zbiru dva unutrašnja nesusedna ugla: ${\sphericalangle AOB}={\sphericalangle OPB+\sphericalangle OBP}={2\sphericalangle APB}.$ Dakle, ${\sphericalangle APB=\frac{\sphericalangle AOB}{2}=\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}}.$

2. Centar leži u unutrašnjosti ugla. Povucimo prečnik $PC.$ On deli ugao i luk na po dva dela, a na svaki deo primenjujemo slučaj 1: ${\sphericalangle APB}={\sphericalangle APC+\sphericalangle CPB}={\frac{\overset{\frown}{AC}}{2}+\frac{\overset{\frown}{CB}}{2}}={\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}}.$

3. Centar leži izvan ugla. Ponovo povucimo prečnik $PC.$ Sada je ugao jednak razlici dva ugla: ${\sphericalangle APB}={\sphericalangle CPB-\sphericalangle CPA}={\frac{\overset{\frown}{CB}}{2}-\frac{\overset{\frown}{CA}}{2}}={\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}}.$

Primer. Luk $AB$ ima $84^\circ.$ Tada je periferijski ugao $APB$ jednak ${\frac{84^\circ}{2}=42^\circ}.$

Dve važne posledice:

• Periferijski uglovi nad istim lukom su jednaki: na slici levo je ${\sphericalangle AP_1B=\sphericalangle AP_2B}.$
• Periferijski ugao nad prečnikom (nad polukružnicom) je prav: ako je $AB$ prečnik, onda je ${\sphericalangle APB=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ}$ za svaku tačku $P$ kružnice različitu od $A$ i $B$ (na slici desno).

Ugao između tangente i tetive

Ugao između tangente i tetive povučene iz dodirne tačke jednak je polovini luka koji leži u unutrašnjosti tog ugla: ${\sphericalangle KAB=\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}}.$

Dokaz

Povucimo prečnik $AC.$ Tangenta je normalna na poluprečnik (videti odeljak Tangente), pa je ${\sphericalangle KAC=90^\circ}$ i ${\sphericalangle KAB=90^\circ-\sphericalangle BAC}.$ Ugao $ABC$ je periferijski ugao nad prečnikom, pa je prav, a u trouglu $ABC$ je ${\sphericalangle ACB=90^\circ-\sphericalangle BAC}.$ Zato je ${\sphericalangle KAB=\sphericalangle ACB},$ a periferijski ugao $ACB$ jednak je polovini luka $AB.$

Ako je ugao $KAB$ tup, drugi ugao između tetive i tangente je oštar i jednak je polovini drugog luka, pa je ${\sphericalangle KAB}={180^\circ-\frac{360^\circ-\overset{\frown}{AB}}{2}}={\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}}.$

Ugao između dve tetive ili dve sečice

Slučaj 1: dve tetive se seku unutar kružnice.

Ugao između dve tetive koje se seku unutar kružnice jednak je polovini zbira lukova koje zahvataju taj ugao i njemu unakrsni ugao: $$\sphericalangle AEB=\frac{\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}}{2}.$$

Dokaz

Povucimo duž $BC.$ Ugao $AEB$ je spoljašnji ugao trougla $BEC,$ pa je ${\sphericalangle AEB=\sphericalangle EBC+\sphericalangle ECB}.$ Tačka $E$ leži na $BD$ i na $AC,$ pa su to periferijski uglovi ${\sphericalangle EBC=\sphericalangle DBC=\frac{\overset{\frown}{CD}}{2}}$ i ${\sphericalangle ECB=\sphericalangle ACB=\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}}.$ Njihovim sabiranjem dobijamo formulu.

Primer. Na slici luk $AB$ ima $60^\circ,$ a luk $CD$ ima $50^\circ.$ Tada su uglovi 1 i 2 (oni su unakrsni) jednaki i svaki od njih iznosi ${\frac{60^\circ+50^\circ}{2}=55^\circ}.$

Slučaj 2: dve sečice se seku izvan kružnice.

Ugao između dve sečice povučene iz tačke izvan kružnice jednak je polovini razlike lukova koje on zahvata: od daljeg luka oduzimamo bliži. $$\sphericalangle BPD=\frac{\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{AC}}{2}.$$

Dokaz

Povucimo duž $AD.$ Ugao $BAD$ je spoljašnji ugao trougla $APD,$ pa je ${\sphericalangle BAD=\sphericalangle APD+\sphericalangle ADP}.$ Uglovi $BAD$ i $ADP$ su periferijski uglovi (tačka $C$ leži na $DP$): ${\sphericalangle BAD=\frac{\overset{\frown}{BD}}{2}}$ i ${\sphericalangle ADP=\sphericalangle ADC=\frac{\overset{\frown}{AC}}{2}}.$ Tačka $A$ leži na $PB,$ pa je ${\sphericalangle BPD}={\sphericalangle APD}={\frac{\overset{\frown}{BD}}{2}-\frac{\overset{\frown}{AC}}{2}}.$

Primer. Ako dalji luk ima $80^\circ,$ a bliži $30^\circ,$ ugao između sečica je ${\frac{80^\circ-30^\circ}{2}=25^\circ}.$ Ista formula važi i kada je jedna od pravih tangenta ili kada su obe prave tangente.

Tetive, tangente i sečice

Tetiva i centar kružnice

Normala iz centra kružnice na tetivu polovi tu tetivu: ako je ${OM\perp AB},$ onda je ${AM=MB}.$ Za rastojanje $OM$ centra od tetive važi $$OM^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2=r^2.$$

Dokaz

Pravougli trouglovi $OMA$ i $OMB$ imaju zajedničku katetu $OM$ i jednake hipotenuze ${OA=OB=r},$ pa su podudarni, odakle je ${AM=MB}.$ Druga formula je Pitagorina teorema za trougao $OMA.$

Zato su jednake tetive jednako udaljene od centra, a što je tetiva bliža centru, to je duža.

Tangente

Dokaz

1. Svaka tačka tangente osim $A$ leži izvan kružnice (prava koja prolazi kroz neku tačku unutar kružnice seče kružnicu u dve tačke), pa je dalje od $O$ nego tačka $A.$ Zato je $OA$ najkraća duž od $O$ do tangente, a najkraća duž od tačke do prave je normala.

2. Pravougli trouglovi $OAP$ i $OBP$ imaju zajedničku hipotenuzu $OP$ i jednake katete ${OA=OB=r},$ pa su podudarni. Zato je ${PA=PB}$ i ${\sphericalangle APO=\sphericalangle BPO}.$

Tetive koje se seku

Ako se tetive $AB$ i $CD$ seku u tački $X,$ onda je $$AX\cdot XB=CX\cdot XD.$$

Dokaz

U trouglovima $AXC$ i $DXB$ uglovi kod temena $X$ su unakrsni, a ${\sphericalangle CAB=\sphericalangle CDB},$ jer su to periferijski uglovi nad istim lukom $CB.$ Zato su ti trouglovi slični, pa je ${\frac{AX}{DX}=\frac{CX}{BX}},$ odnosno ${AX\cdot XB=CX\cdot XD}.$

Sečice i tangenta iz jedne tačke

Dokaz

1. Trouglovi $PAD$ i $PCB$ imaju zajednički ugao kod temena $P,$ a ${\sphericalangle PDA=\sphericalangle PBC},$ jer su to periferijski uglovi nad istim lukom $AC.$ Zato su ti trouglovi slični: ${\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}},$ odnosno ${PA\cdot PB=PC\cdot PD}.$

2. Trouglovi $PTA$ i $PBT$ imaju zajednički ugao kod temena $P,$ a ugao između tangente i tetive ${\sphericalangle PTA}$ jednak je periferijskom uglu ${\sphericalangle TBA}$ nad istim lukom $TA.$ Zato su ti trouglovi slični: ${\frac{PT}{PB}=\frac{PA}{PT}},$ odnosno ${PT^2=PA\cdot PB}.$

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Poluprečnik kruga je 7 cm. Odredite njegov prečnik, obim i površinu.

Rešenje. ${d=2\cdot 7=14}$ cm, ${O}={2\pi\cdot 7}={14\pi}\approx{43{,}98}$ cm i ${P}={\pi\cdot 7^2}={49\pi}\approx{153{,}94}$ cm².

Zadatak 2. Obim kruga je $31{,}4$ cm. Odredite njegov poluprečnik i površinu. Uzmite da je ${\pi\approx 3{,}14}.$

Rešenje. ${r=\frac{O}{2\pi}\approx\frac{31{,}4}{6{,}28}=5}$ cm, a ${P}={\pi r^2}\approx{3{,}14\cdot 25}={78{,}5}$ cm².

Zadatak 3. Točak bicikla ima prečnik 70 cm. Koliko punih obrta napravi točak na putu dugom 1 km?

Rešenje. Za jedan obrt točka bicikl pređe put jednak obimu točka: ${O=70\pi\approx 219{,}91}$ cm. Kako je ${1\text{ km}=100\,000}$ cm, a ${\frac{100\,000}{219{,}91}\approx 454{,}7},$ točak napravi 454 puna obrta.

Zadatak 4. Poluprečnik kruga je 6 cm. Odredite dužinu luka od $120^\circ$ i površinu kružnog isečka kome pripada taj luk.

Rešenje. Luk je ${\frac{120}{360}=\frac{1}{3}}$ kružnice. Zato je ${\ell}={\frac{1}{3}\cdot 2\pi\cdot 6}={4\pi}\approx{12{,}57}$ cm, a površina isečka je ${\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 6^2=12\pi\approx 37{,}70}$ cm².

Zadatak 5. U kružnici sa centrom $O$ i poluprečnikom 10 cm tetivi $AB$ odgovara centralni ugao ${\sphericalangle AOB=90^\circ}.$ Odredite površinu manjeg kružnog odsečka koji odseca ta tetiva.

Rešenje. Isečak $AOB$ je četvrtina kruga: njegova površina je ${\frac{\pi\cdot 10^2}{4}=25\pi}$ cm². Trougao $AOB$ je pravougli, sa katetama od 10 cm, pa je njegova površina ${\frac{10\cdot 10}{2}=50}$ cm². Površina odsečka je ${25\pi-50\approx 28{,}54}$ cm².

Zadatak 6. Tačke $A,$ $B$ i $C$ leže na kružnici sa centrom $O,$ a ${\sphericalangle AOB=110^\circ}.$ Odredite ugao $ACB$ ako tačka $C$ leži a) na većem luku $AB;$ b) na manjem luku $AB.$

Rešenje. a) Ugao $ACB$ zahvata manji luk $AB$ od $110^\circ,$ pa je ${\sphericalangle ACB=55^\circ}.$ b) Sada on zahvata veći luk od ${360^\circ-110^\circ=250^\circ},$ pa je ${\sphericalangle ACB=125^\circ}.$ Primetimo da je ${55^\circ+125^\circ=180^\circ}:$ dva luka zajedno čine celu kružnicu, pa dva ugla zajedno čine polovinu od $360^\circ.$ Iz istog razloga je zbir naspramnih uglova četvorougla upisanog u kružnicu jednak $180^\circ.$

Zadatak 7. Tetiva dužine 24 cm udaljena je 5 cm od centra kružnice. Odredite poluprečnik.

Rešenje. Normala iz centra polovi tetivu, pa je svaka polovina tetive 12 cm. Po Pitagorinoj teoremi je ${r}={\sqrt{12^2+5^2}}={\sqrt{169}}={13}$ cm.

Zadatak 8. Tetive $AB$ i $CD$ seku se u tački $X,$ pri čemu je ${AX=4}$ cm, ${XB=6}$ cm i ${CX=3}$ cm. Odredite dužinu tetive $CD.$

Rešenje. Iz ${AX\cdot XB=CX\cdot XD}$ dobijamo ${4\cdot 6=3\cdot XD},$ pa je ${XD=8}$ cm i ${CD=3+8=11}$ cm.

Zadatak 9. Tačka $P$ je udaljena 13 cm od centra kružnice poluprečnika 5 cm. Odredite dužinu tangentne duži iz tačke $P$ do kružnice.

Rešenje. Tangenta $PT$ je normalna na poluprečnik $OT,$ pa trougao $OTP$ ima prav ugao kod temena $T.$ Tada je ${PT}={\sqrt{13^2-5^2}}={\sqrt{144}}={12}$ cm.

Zadaci za vežbanje

1. Prečnik kruga je 10 cm. Odredite njegov obim i površinu.

${O=10\pi\approx 31{,}42}$ cm, ${P=25\pi\approx 78{,}54}$ cm².

2. Površina kruga je 154 cm². Odredite njegov poluprečnik i obim. Uzmite da je ${\pi\approx\frac{22}{7}}.$

${r^2\approx 154\cdot\frac{7}{22}=49},$ pa je ${r=7}$ cm i ${O\approx 2\cdot\frac{22}{7}\cdot 7=44}$ cm.

3. Obim kruga je $18\pi$ cm. Odredite površinu kruga.

${r=\frac{18\pi}{2\pi}=9}$ cm, pa je ${P=81\pi\approx 254{,}47}$ cm².

4. Poluprečnik kruga se poveća dva puta. Kako se menjaju obim i površina kruga?

Obim se poveća dva puta, a površina četiri puta: ${\pi(2r)^2=4\pi r^2}.$

5. U kružnici poluprečnika 9 cm luk ima dužinu $5\pi$ cm. Odredite njegov centralni ugao.

${\alpha=\frac{180\cdot 5\pi}{\pi\cdot 9}=100^\circ}.$

6. Isečak kruga poluprečnika 6 cm ima površinu $6\pi$ cm². Odredite njegov centralni ugao.

Isečak je ${\frac{6\pi}{36\pi}=\frac{1}{6}}$ kruga, pa je ${\alpha=\frac{360^\circ}{6}=60^\circ}.$

7. Odredite površinu kružnog prstena između dve kružnice sa zajedničkim centrom i poluprečnicima 5 cm i 3 cm.

${P}={\pi\left(5^2-3^2\right)}={16\pi}\approx{50{,}27}$ cm².

8. Periferijski ugao ima $38^\circ.$ Odredite luk koji on zahvata i centralni ugao nad istim lukom.

I luk i centralni ugao imaju po ${2\cdot 38^\circ=76^\circ}.$

9. $AB$ je prečnik kružnice, ${AB=10}$ cm, a $C$ je tačka kružnice za koju je ${AC=6}$ cm. Odredite $BC.$

Ugao $ACB$ je periferijski ugao nad prečnikom, pa je ${\sphericalangle ACB=90^\circ}$ i ${BC=\sqrt{10^2-6^2}=8}$ cm.

10. Dve tetive se seku unutar kružnice. Lukovi koje zahvataju jedan od uglova između njih i njemu unakrsni ugao imaju $70^\circ$ i $110^\circ.$ Odredite taj ugao.

${\frac{70^\circ+110^\circ}{2}=90^\circ}:$ tetive su međusobno normalne.

11. Iz tačke izvan kružnice povučene su dve sečice. Lukovi između njih imaju $130^\circ$ i $40^\circ.$ Odredite ugao između sečica.

${\frac{130^\circ-40^\circ}{2}=45^\circ}.$

12. Tetiva kružnice poluprečnika 10 cm ima dužinu 16 cm. Koliko je ona udaljena od centra?

Polovina tetive je 8 cm, pa je rastojanje ${\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6}$ cm.

13. Sečica iz tačke $P$ seče kružnicu u tačkama $A$ i $B,$ pri čemu je ${PA=3}$ cm i ${PB=12}$ cm. Odredite dužinu tangentne duži iz tačke $P.$

${PT^2}={PA\cdot PB}={3\cdot 12}={36},$ pa je ${PT=6}$ cm.

Pogledajte i: Formule za površinu · Obim · Trouglovi · Slični trouglovi