Vektori

Vektore možemo grafički predstaviti usmerenom duži. Dužinu vektora određujemo prema nekoj unapred određenoj razmeri, kako bismo predstavili intenzitet vektora, smer usmerene duži predstavlja smer vektora. Na primer, ako 1 cm predstavlja 5 km/h, onda severo-zapadni vetar brzine 15 km/h možemo predstaviti usmerenom duži dužine 3 cm, kao što je prikazano na slici levo.

Vektor u ravni je usmerena duž. Dva vektora su ekvivalentna ako imaju isti intenzitet, pravac i smer.

Uzmimo vektor‚ povučen od tačke A do tačke B. Tačku A nazivamo početnom tačkom vektora, a tačku B krajnjom tačkom. Ovaj vektor možemo označiti simbolima (čitaj “vektor AB”). Vektori se takođe označavaju podebljanim slovima kao što su u, v i w. Četiri vektora na slici levo, imaju isti dužinu, pravac i smer. Prema tome, oni predstavljaju ekvivalentne vektore; odnosno,
        
Kada govorimo o vektorima koristimo znak jednakosti, =, kako bismo označili ekvivalentnost.

Dužina ili intenzitet izražena je kao ||. Kako bismo odredili da li su vektori ekvivalentni, pronaći ćemo njihov intenzitet i smer.

Primer 1 Vektori u i w su prikazani na slici ispod. Pokaži da je u = = w.

Rešenje Prvo ćemo potražiti dužinu svakog vektora koristeći formulu za udaljenost između dve tačke:
|u| = √[2 - (-1)]2 + (4 - 3)2 = √9 + 1 = √10,
|| = √[0 - (-3)]2 + [0 - (-1)]2 = √9 + 1 = √10,
|w| = √(4 - 1)2 + [-1 - (-2)]2 = √9 + 1 = √10.
Otuda je
|u| = | = |w|.
Vektori u i w izgleda da imaju isti pravac i smer, pa ćemo proveriti njihove koeficijente pravca. Ako prave na kojima se nalaze vektori imaju isti koeficijent pravca, vektori imaju isti pravac i smer. Koeficijente pravca ćemo izračunati:
Pošto u i w imaju isti intenzitet i smer,
u = = w.

Imajte na umu da ekvivalentnost vektora zahteva samo isti intenzitet i isti pravac i smer - ne i isti početak. Na ilustracijama levo, ni jedan od prva tri para vektora nisu ekvivalentni. Četvrti par vektora je primer ekvivalentnosti.

Uzmimo da neka osoba napravi 4 koraka na istok i 3 koraka na sever. On ili ona će tada biti 5 koraka udaljeni od početne tačke u pravcu i smeru pokazanom na slici levo. Vektor dužine 4 usmeren na desno predstavlja 4 korana na istok, dok vektor dužine 3 usmeren ka gore predstavlja 3 koraka na sever. Zbir dva vektora je vektor dužine 5 koraka u smeru predstavljenom na slici. Zbir se takođe naziva rezultanta dva vektora.

Uopšteno, dva vektora različita od nule, u i v mogu se sabirati geometrijski tako što će početna tačka vektora v biti u krajnjoj tački vektora u, i zatim nalaženjem vektora koji ima istu početnu tačku kao vektor u i istu krajnju tačku kao vektor v, kao što je prikazano na slici.

Zbir je vektor predstavljen usmerenom duži od početne tačke A vektora u do krajnje tačke C vektora v. Odnosno, ako je u = i v = , onda je
u + v = + =

Sabiranje vektora takođe možemo opisati tako što ćemo postaviti početne tačke oba vektora u istu tačku, praveći paralelogram, i pronalaženjem dijagonale paralelograma. (Pogledaj sliku dole levo.) Ovakav opis sabiranja vektora se ponekad zove pravilo paralelograma vekroskog sabiranja. Sabiranje vektora je komutativno. Kao što se vidi na slici dole desno, oba vektora u + v i v + u su predstavljeni istom usmerenom duži.

Ako dve sile F1 i F2 deluju na isto telo, ukupan efekat je zbir, ili rezultanta, F1 + F2 ovih sila.

Primer 2 sile od 15 i 25 njutna deluju na objekat pod pravim uglom jedna u odnosu na drugu. Pronađi zbir, ili rezultantu, izračunavši jačinu rezultante i ugla koji ona pravi sa većom silom.

Rešenje Nacrtaćemo, u ovom slučaju, pravougaonik koristeći v ili da predstavimo rezultantu. Kako bismo našli intenzitet koristićemo Pitagorinu teoremu:
|v|2 = 152 + 252          Ovde |v| označava dužinu, ili jačinu vektora v
|v| = √152 + 252
|v| ≈ 29,2.
Kako bismo našli pravac i smer, primetimo da pošto je OAB pravougli trougao,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Koristeći digitron nalazimo θ, ugao koji veća rezultanta pravi sa većom silom:
θ = tan- 1(0,6) ≈ 31°
Rezultanta ima intenzitet 29,2 i pravi ugao od 31° sa većom silom.

Piloti moraju prilagoditi pravac i smer svog leta pri pojavi bočnog vetra. Obe, brzina vetra i brzina aviona mogu biti opisane kao vektori.

Primer 3 Brzina aviona i njegov pravac i smer. Avion putuje pod uglom od 100° brzinom od 190 km/h dok vetar duva 48 km/h pod uglom od 220°. Pronađi brzinu aviona u odnosu na Zemlju kao i pravac i smer njegove putanje, naravno iznad zemlje.

Rešenje Prvo ćemo predstaviti crtežom situaciju. Brzina vetra je predstavljena a vektor brzine aviona . Rezultirajući vektor brzine je v, zbir ova dva vektora. Ugao θ između v i zovemo ugao skretanja.

Primetite da je COA = 100° - 40° = 60°. Stoga je CBA takođe 60° (naspramni uglovi paralelograma su jednaki). Pošto je zbir svih uglova paralelograma jednak 360° a COB i OAB su istih mera (???), svaki od njih mora biti 120°. Prema kosinusnoj teoremi u OAB, imamo
|v|2 = 482 + 1902 - 2.48.190.cos120°
|v|2 = 47,524
|v| = 218
Stoga, je |v| = 218 km/h. Prema sinusnoj teoremi u istom trouglu,
48/sinθ = 218/sin120°,
ili
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Otuda je θ = 11°, do najbližeg stepena. Brzina aviona na zemlji je 218 km/h, i njegova putanja je u pravcu i smeru od 100° - 11°, ili 89°.

Recimo da imamo vektor w, mogli bismo pronaći druga dva vektora u i v čiji je zbir vektor w. Vektore u i v zovemo komponentama vektora w procedura njihovog nalaženja zove se projektovanje ili razlaganje vektora na njegove vektorske komponente.

Prilikom slaganja vektora, u suštini tražimo uzajamno normalne komponente. Najčešće će jedna komponenta biti paralelna sa x - osom, dok će druga biti paralelna sa y - osom. Iz tog razloga ih često nazivamo horizontalnim i vertikalnim komponentama vektora. Na slici ispod vektor w = je is razložen kao zbir vektora u = i v = .

Horizontalna komponenta vektora w je vektor u a vertikalna komponenta je vektor v.

Primer 4 Vektor w intenziteta 130 nagnut je pod uglom od 40° sa horizontalom. Razloži vektor na horizontalnu i vertikalnu komponentu.

Rešenje: Prvo ćemo to predstaviti crtežom prikazujući horizontalne i vertikalne vektore u i v čiji je zbir vektor w.

Iz trougaoABC nalazimo |u| i |v| koristeći definicije funkcija kosinusa i sinusa:
cos40° = |u|/130,      ili      |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130,      ili      |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Otuda je horizontalna komponenta vektora w = 100 na desno, a vertikalna komponenta vektora w = 84 na gore.


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2019