Parovi uglova formiranih dvema paralelnim pravama koje su presečene transverzalom

Dva ugla često posmatramo zajedno, kao par koji ima poseban naziv. Neki parovi su ga dobili po međusobnom položaju uglova (susedni, unakrsni), a neki po zbiru njihovih mera (komplementni, suplementni). Kada jedna prava preseče dve paralelne prave, nastaje osam uglova, a za njihove parove važe jednostavna pravila koja se primenjuju u celoj geometriji.

Na ovoj stranici: Susedni uglovi · Komplementni i suplementni · Unakrsni uglovi · Uglovi na transverzali · Kada su prave paralelne? · Rešeni primeri · Zadaci za vežbu

Susedni uglovi

Susedni uglovi su dva ugla koja imaju zajedničko teme i jedan zajednički krak, a ne preklapaju se: leže sa različitih strana zajedničkog kraka.

Na slici su $\sphericalangle 1$ i $\sphericalangle 2$ susedni uglovi: imaju zajedničko teme $O$ i zajednički krak $OB.$ Zajedno čine veći ugao $AOC,$ pa je ${\sphericalangle AOC=\sphericalangle 1+\sphericalangle 2}.$

Komplementni i suplementni uglovi

Uglovi od $35^\circ$ i $55^\circ$ su komplementni, jer je ${35^\circ+55^\circ=90^\circ}.$ Oni ne moraju biti susedni: važan je samo zbir. Za svaki od ta dva ugla kažemo da je komplement onog drugog. Isto tako, uglovi od $60^\circ$ i $120^\circ$ su suplementni, a svaki od njih je suplement onog drugog.

Komplement ugla $\alpha$ je ${90^\circ-\alpha},$ a suplement ${180^\circ-\alpha}.$ Komplement ima samo oštar ugao.

Uporedni uglovi

Uporedni uglovi su dva susedna ugla čiji nezajednički kraci čine pravu. Uporedni uglovi su suplementni: ${\sphericalangle 1+\sphericalangle 2=180^\circ}.$

Razlog je jednostavan: ta dva ugla zajedno čine opružen ugao, a opružen ugao ima $180^\circ.$

Primer 1. Odredite komplement i suplement ugla od $37^\circ.$

Rešenje. Komplement je ${90^\circ-37^\circ=53^\circ},$ a suplement ${180^\circ-37^\circ=143^\circ}.$

Primer 2. Dva ugla su uporedna, a jedan od njih je četiri puta veći od drugog. Odredite te uglove.

Rešenje. Neka je manji ugao $x.$ Tada je veći ugao $4x$ i važi ${x+4x=180^\circ},$ pa je ${5x=180^\circ}$ i ${x=36^\circ}.$ Traženi uglovi su $36^\circ$ i ${4\cdot36^\circ=144^\circ}.$

Unakrsni uglovi

Dve prave koje se seku obrazuju četiri ugla. Dva ugla koja pritom leže jedan naspram drugog, kao $\sphericalangle 1$ i $\sphericalangle 3,$ nazivaju se unakrsni uglovi: oni nisu susedni, a kraci jednog ugla su produžeci krakova drugog preko temena. Drugi par unakrsnih uglova čine $\sphericalangle 2$ i $\sphericalangle 4.$

Unakrsni uglovi su jednaki: ${\sphericalangle 1=\sphericalangle 3}$ i ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 4}.$

Dokaz

Kako su $\sphericalangle 1$ i $\sphericalangle 2$ uporedni uglovi, važi ${\sphericalangle 1=180^\circ-\sphericalangle 2}.$ Uporedni su i $\sphericalangle 3$ i $\sphericalangle 2,$ pa je ${\sphericalangle 3=180^\circ-\sphericalangle 2}.$ Desne strane ovih jednakosti su iste, pa je ${\sphericalangle 1=\sphericalangle 3}.$ Na isti način dobijamo da je ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 4}.$

Primer 3. Dve prave se seku, a jedan od četiri dobijena ugla ima $68^\circ.$ Odredite ostala tri ugla.

Rešenje. Ugao koji je unakrsan sa datim uglom takođe ima $68^\circ.$ Svaki od preostala dva ugla uporedan je sa datim uglom, pa ima ${180^\circ-68^\circ=112^\circ}.$ Dakle, četiri ugla imaju redom $68^\circ,$ $112^\circ,$ $68^\circ$ i $112^\circ.$

Par uglova	Šta važi za ta dva ugla
Susedni	imaju zajedničko teme i jedan zajednički krak, a ne preklapaju se
Komplementni	zbir im je $90^\circ$
Suplementni	zbir im je $180^\circ$
Uporedni	susedni su, a nezajednički kraci im čine pravu; zbir im je $180^\circ$
Unakrsni	leže jedan naspram drugog u preseku dve prave; jednaki su

Uglovi na transverzali paralelnih pravih

Prava koja seče dve druge prave u dve različite tačke naziva se transverzala tih pravih. Na slici transverzala $t$ seče prave $m$ i $n$ i sa njima obrazuje osam uglova, po četiri kod svake prave.

Uglovi između te dve prave, $\sphericalangle 3,$ $\sphericalangle 4,$ $\sphericalangle 5$ i $\sphericalangle 6,$ nazivaju se unutrašnji uglovi. Uglovi izvan tih pravih, $\sphericalangle 1,$ $\sphericalangle 2,$ $\sphericalangle 7$ i $\sphericalangle 8,$ zovu se spoljašnji uglovi. Parovi u kojima je jedan ugao kod prave $m,$ a drugi kod prave $n,$ imaju u geometriji sledeće nazive:

Naziv	Položaj uglova	Parovi na slici
Saglasni uglovi	sa iste strane transverzale i u istom položaju prema svojoj pravoj (oba iznad svoje prave ili oba ispod svoje prave)	$\sphericalangle 1$ i $\sphericalangle 5,$ $\sphericalangle 2$ i $\sphericalangle 6,$ $\sphericalangle 3$ i $\sphericalangle 7,$ $\sphericalangle 4$ i $\sphericalangle 8$
Naizmenični unutrašnji uglovi	između pravih, sa različitih strana transverzale	$\sphericalangle 3$ i $\sphericalangle 6,$ $\sphericalangle 4$ i $\sphericalangle 5$
Naizmenični spoljašnji uglovi	izvan pravih, sa različitih strana transverzale	$\sphericalangle 1$ i $\sphericalangle 8,$ $\sphericalangle 2$ i $\sphericalangle 7$
Suprotni unutrašnji uglovi	između pravih, sa iste strane transverzale	$\sphericalangle 3$ i $\sphericalangle 5,$ $\sphericalangle 4$ i $\sphericalangle 6$
Suprotni spoljašnji uglovi	izvan pravih, sa iste strane transverzale	$\sphericalangle 1$ i $\sphericalangle 7,$ $\sphericalangle 2$ i $\sphericalangle 8$

Ovi nazivi opisuju samo položaj uglova, pa se mogu koristiti za bilo koje dve prave i njihovu transverzalu. Parovi postaju zaista korisni tek kada su te dve prave paralelne. Zapis ${m\parallel n}$ znači „prava $m$ je paralelna sa pravom $n$”.

Zašto ova pravila važe

Jedno pravilo prihvatamo bez dokaza: ako su dve prave paralelne, saglasni uglovi su jednaki. (To pravilo je ekvivalentno aksiomi paralelnosti: kroz tačku koja ne pripada datoj pravoj prolazi tačno jedna prava paralelna sa tom pravom.) Ostala pravila slede iz njega. Neka je ${m\parallel n}.$

Naizmenični unutrašnji uglovi. ${\sphericalangle 3=\sphericalangle 2}$ kao unakrsni uglovi i ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 6}$ kao saglasni uglovi, pa je ${\sphericalangle 3=\sphericalangle 6}.$

Naizmenični spoljašnji uglovi. ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 6}$ kao saglasni uglovi i ${\sphericalangle 6=\sphericalangle 7}$ kao unakrsni uglovi, pa je ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 7}.$

Suprotni unutrašnji uglovi. Kako su $\sphericalangle 4$ i $\sphericalangle 2$ uporedni uglovi, važi ${\sphericalangle 4+\sphericalangle 2=180^\circ}.$ Pošto je ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 6}$ (saglasni uglovi), dobijamo ${\sphericalangle 4+\sphericalangle 6=180^\circ}.$

Suprotni spoljašnji uglovi. Kako su $\sphericalangle 2$ i $\sphericalangle 4$ uporedni uglovi, važi ${\sphericalangle 2+\sphericalangle 4=180^\circ}.$ Pošto je ${\sphericalangle 4=\sphericalangle 8}$ (saglasni uglovi), dobijamo ${\sphericalangle 2+\sphericalangle 8=180^\circ}.$

Praktično pravilo: oštri i tupi uglovi

Kada transverzala seče dve paralelne prave i nije normalna na njih, nastaju četiri jednaka oštra ugla i četiri jednaka tupa ugla. Zbir bilo kog oštrog i bilo kog tupog ugla među tih osam uglova je $180^\circ.$

Zato je dovoljno znati jedan ugao da bismo odredili svih osam. Ako je transverzala normalna na prave, svaki od osam uglova je prav.

Kako dokazati da su dve prave paralelne

Pravila važe i u obrnutom smeru, i upravo se tako najčešće dokazuje da su dve prave paralelne.

Pazite na smer zaključivanja. Ako znate da su prave paralelne, možete zaključiti da su saglasni uglovi jednaki. Ako znate da su dva saglasna ugla jednaka, možete zaključiti da su prave paralelne. Ako prave nisu paralelne, saglasni uglovi nisu jednaki, a nisu jednaki ni naizmenični uglovi.

Rešeni primeri

Primer 4. Na slici je ${m\parallel n},$ uglovi su obeleženi brojevima kao i ranije, a dat je $\sphericalangle 1$ (ugao označen sa $53^\circ$). Odredite $\sphericalangle 8$ i $\sphericalangle 7.$

Rešenje. Uglovi $\sphericalangle 1$ i $\sphericalangle 8$ su naizmenični spoljašnji: nalaze se izvan paralelnih pravih, sa različitih strana transverzale. Zato je ${\sphericalangle 8=\sphericalangle 1=53^\circ}.$ Kako su $\sphericalangle 7$ i $\sphericalangle 8$ uporedni uglovi, važi ${\sphericalangle 7=180^\circ-53^\circ=127^\circ}.$

Primer 5. Odredite svih osam uglova na slici iz primera 4.

Rešenje. Kako je $\sphericalangle 1$ oštar ugao, svaki oštar ugao ima $53^\circ,$ a svaki tup ${180^\circ-53^\circ=127^\circ}.$ Na slici su oštri uglovi $\sphericalangle 1,$ $\sphericalangle 4,$ $\sphericalangle 5$ i $\sphericalangle 8,$ pa je ${\sphericalangle 1=\sphericalangle 4=\sphericalangle 5=\sphericalangle 8=53^\circ}$ i ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 3=\sphericalangle 6=\sphericalangle 7=127^\circ}.$

Primer 6. Dve paralelne prave presečene su transverzalom. Dva naizmenična unutrašnja ugla imaju ${(3x+10)^\circ}$ i ${(5x-30)^\circ}.$ Odredite $x$ i te uglove.

Rešenje. Prave su paralelne, pa su naizmenični unutrašnji uglovi jednaki: ${3x+10=5x-30}.$ Odatle je ${2x=40}$ i ${x=20}.$ Svaki od ta dva ugla ima ${3\cdot20+10=70}$ stepeni.

Primer 7. Dve paralelne prave presečene su transverzalom. Dva suprotna unutrašnja ugla imaju ${(2x+15)^\circ}$ i ${(3x-5)^\circ}.$ Odredite te uglove.

Rešenje. Prave su paralelne, pa je zbir suprotnih unutrašnjih uglova $180^\circ\text{:}$ ${(2x+15)+(3x-5)}={180}.$ Odatle je ${5x+10=180}$ i ${x=34}.$ Uglovi imaju ${2\cdot34+15=83}$ i ${3\cdot34-5=97}$ stepeni. Provera: ${83^\circ+97^\circ=180^\circ}.$

Primer 8. Transverzala seče prave $m$ i $n,$ a uglovi su obeleženi kao na ranijoj slici sa osam uglova. Da li su prave paralelne ako je a) ${\sphericalangle 4=115^\circ}$ i ${\sphericalangle 6=65^\circ};$ b) ${\sphericalangle 2=72^\circ}$ i ${\sphericalangle 6=78^\circ}?$

Rešenje.

a) Uglovi $\sphericalangle 4$ i $\sphericalangle 6$ su suprotni unutrašnji, a zbir im je ${115^\circ+65^\circ=180^\circ},$ pa su prave paralelne.

b) Uglovi $\sphericalangle 2$ i $\sphericalangle 6$ su saglasni, ali nisu jednaki, pa prave nisu paralelne.

Primer 9. Prave $a$ i $b$ su paralelne. Odredite ugao $x$ na slici.

Rešenje. Povucimo kroz tačku $K$ pravu paralelnu sa pravama $a$ i $b$ (isprekidana prava na slici). Ona deli ugao $x$ na dva dela. Gornji deo i ugao od $35^\circ$ kod tačke $A$ su naizmenični unutrašnji uglovi kod prave $a$ i nove prave (transverzala je $AK$), pa gornji deo ima $35^\circ.$ Na isti način, donji deo i ugao od $50^\circ$ kod tačke $B$ su naizmenični unutrašnji uglovi kod prave $b$ i nove prave (transverzala je $BK$), pa donji deo ima $50^\circ.$ Dakle, ${x=35^\circ+50^\circ=85^\circ}.$

Primer 10. Dokažite da je zbir uglova trougla $180^\circ.$

Dokaz. Povucimo kroz teme $C$ pravu paralelnu sa $AB.$ Ugao kod temena $C$ levo od trougla i ugao $\alpha$ kod temena $A$ su naizmenični unutrašnji uglovi (transverzala je $AC$), pa su jednaki. Na isti način, ugao kod temena $C$ desno od trougla jednak je uglu $\beta$ (transverzala je $BC$). Tri ugla kod temena $C$ zajedno čine opružen ugao, pa je ${\alpha+\gamma+\beta=180^\circ}.$

Zadaci za vežbu

1. Odredite komplement i suplement ugla od $64^\circ.$

Rešenje

Komplement je ${90^\circ-64^\circ=26^\circ},$ a suplement ${180^\circ-64^\circ=116^\circ}.$

2. Dva komplementna ugla razlikuju se za $18^\circ.$ Odredite ih.

Rešenje

Ako je manji ugao $x,$ onda je ${x+(x+18^\circ)=90^\circ},$ pa je ${x=36^\circ}.$ Uglovi su $36^\circ$ i $54^\circ.$

3. Suplement jednog ugla je tri puta veći od njegovog komplementa. Odredite taj ugao.

Rešenje

Za ugao $x$ važi ${180^\circ-x=3(90^\circ-x)},$ pa je ${2x=90^\circ}$ i ${x=45^\circ}.$ Provera: suplement je $135^\circ,$ a komplement $45^\circ.$

4. Dve prave se seku, a zbir dva unakrsna ugla je $150^\circ.$ Odredite sva četiri ugla.

Rešenje

Unakrsni uglovi su jednaki, pa svaki od njih ima $75^\circ.$ Svaki od preostala dva ugla ima ${180^\circ-75^\circ=105^\circ}.$

5. Na slici sa osam uglova je ${m\parallel n}$ i ${\sphericalangle 1=118^\circ}.$ Odredite ostalih sedam uglova.

Rešenje

${\sphericalangle 4=\sphericalangle 5=\sphericalangle 8=118^\circ}$ i ${\sphericalangle 2}={\sphericalangle 3}={\sphericalangle 6}={\sphericalangle 7}={180^\circ-118^\circ}={62^\circ}.$

6. Imenujte svaki od sledećih parova uglova na slici sa osam uglova: a) $\sphericalangle 4$ i $\sphericalangle 5;$ b) $\sphericalangle 2$ i $\sphericalangle 6;$ c) $\sphericalangle 1$ i $\sphericalangle 8;$ d) $\sphericalangle 3$ i $\sphericalangle 5.$

Rešenje

a) Naizmenični unutrašnji uglovi; b) saglasni uglovi; c) naizmenični spoljašnji uglovi; d) suprotni unutrašnji uglovi.

7. Dve paralelne prave presečene su transverzalom. Dva saglasna ugla imaju ${(4x-12)^\circ}$ i ${(2x+40)^\circ}.$ Odredite $x$ i te uglove.

Rešenje

${4x-12=2x+40},$ pa je ${x=26}.$ Svaki od ta dva ugla ima ${4\cdot26-12=92}$ stepena.

8. Dve paralelne prave presečene su transverzalom. Jedan od dva suprotna unutrašnja ugla je za $40^\circ$ veći od drugog. Odredite te uglove.

Rešenje

${x+(x+40^\circ)=180^\circ},$ pa je ${x=70^\circ}.$ Uglovi su $70^\circ$ i $110^\circ.$

9. Da li su dve prave paralelne ako transverzala sa njima obrazuje a) naizmenične unutrašnje uglove od $57^\circ$ i $123^\circ;$ b) suprotne unutrašnje uglove od $57^\circ$ i $123^\circ?$

Rešenje

a) Ne: naizmenični unutrašnji uglovi bi morali biti jednaki.

b) Da: ${57^\circ+123^\circ=180^\circ}.$

10. Slika je kao u primeru 9, ali sa drugim brojevima: prave $a$ i $b$ su paralelne, ugao kod tačke $A$ ima $28^\circ,$ a ugao $x$ kod tačke $K$ ima $75^\circ.$ Odredite ugao kod tačke $B.$

Rešenje

Kao u primeru 9, ugao kod tačke $K$ jednak je zbiru uglova kod tačaka $A$ i $B,$ pa ugao kod tačke $B$ ima ${75^\circ-28^\circ=47^\circ}.$

11. Transverzala je normalna na jednu od dve paralelne prave. Dokažite da je normalna i na drugu pravu.

Rešenje

Sa prvom pravom transverzala obrazuje ugao od $90^\circ.$ Saglasan ugao kod druge prave jednak je tom uglu, pa i on ima $90^\circ.$ Dakle, transverzala je normalna i na drugu pravu.

12. Dve paralelne prave presečene su transverzalom, a jedan od osam uglova je tri puta veći od nekog drugog. Odredite svih osam uglova.

Rešenje

Ta dva ugla nisu jednaka, pa je jedan oštar, a drugi tup, i zbir im je $180^\circ.$ Iz ${x+3x=180^\circ}$ dobijamo ${x=45^\circ}.$ Četiri ugla imaju po $45^\circ,$ a četiri po $135^\circ.$

Pogledajte i: Klasifikacija uglova · Merenje uglova · Trouglovi · Paralelogram